ĐỀ+ĐA HSG TOÁN 8 CẤP HUYỆN 2012

Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên
UBND Huyện tân uyên Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện
Phòng giáo dục và đào tạo Năm học: 2011 - 2012
Môn: Toán - lớp 8
Thời gian: 150 phút(Không tính
thời gian giao đề)
(Đề có 01 trang)

Câu 1. (4,0 điểm). Phân tích các đa thức thành nhân tử.
a, A = 3x
2
- 8x + 4
b, B = 3x
3
- 7x
2
+ 17x - 5
Câu 2. (4,0 điểm).
Tính giá trị của biểu thức:
2x 1

2
2x + 3x + 3
P = có giá trị là một số nguyên
Câu 3. (4,0 điểm).
Cho a > b > 0. So sánh 2 số x, y với:
x =
2
1 a
1 a a
+

+ +
; y =
2
1 b
1 b b
+
+ +

Câu 4. (4,0 điểm).
a, Giải phơng trình sau:
2 2
x 4x 1 x 5x 1
2
x 1 2x 1
+ +
+ =
+ +

b, Chứng minh bất đẳng thức: x
2
+ y
2
+ 1

xy + x + y
Câu 5. (5,0 điểm) Cho hình vuông ABCD. Qua A kẻ hai đờng thẳng vuông góc với
nhau lần lợt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S.
a, Chứng minh rằng: AQR và APS là các tam giác cân.
b, QR cắt PS tại H và gọi M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác
AMHN là hình chữ nhật.

c, Chứng minh P là trực tâm SQR.

d, Chứng minh MN là trung trực của AC.
e, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng.








Đề chính thức

Hết

Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên
Đáp án
Chú ý: Đáp án chỉ mang tính tham khảo
Câu 1. Phân tích các đa thức thành nhân tử.
Giải
a, A = 3x
2
- 8x + 4 = 3x
2
- 6x - 2x + 4 = 3x(x - 2) - 2(x - 2) = (x - 2)(3x -
2)
b, B = 3x
3
- 7x

2
+ 17x - 5 = x
2
(3x - 1) - 2x(3x - 1) + 5(3x - 1)
= (3x - 1)(x
2
- 2x + 5)
Câu 2. Tính giá trị của biểu thức:
2x 1

2
2x + 3x + 3
P =
có giá trị là một số nguyên.
Giải
Biểu thức P có nghĩa khi x
1
2

. Khi đó ta có:
P =
2
x(2x 1) 2(2x 1) 5
2x 3x 3 5
x 2
2x 1 2x 1 2x 1
+ ++ +
= = + +

P Z khi
5
2x 1



Z

2x - 1

Ư(5) = {

1;

5} x = {- 2; 0; 1; 3}
Câu 3. Cho a > b > 0 So sánh 2 số x, y với:

x
=
2
1 a
1 a a
+
+ +
; y =
2
1 b
1 b b
+
+ +

Giải
Giả sử x < y


2
1 a
1 a a
+
+ +
<
2
1 b
1 b b
+
+ +
(Vì: 1 + a + a
2
> 0 và 1 + b + b
2
> 0)


(1 + a)(1 + b + b
2
) < (1 + b)(1 + a + a
2
)

1 + b + b
2
+ a + ab + ab
2
< 1 + a + a
2
+ b + ab + a
2
b


a
2
- b
2
+ a
2
b - ab
2
> 0


(a - b)(a + b) + ab(a - b) > 0


(a - b)(a + b + ab) > 0 (đúng) (vì a > b > 0 a - b > 0 và a + b + ab > 0)
Vậy x < y
Câu 4. a, Giải phơng trình sau:
2 2
x 4x 1 x 5x 1

2
x 1 2x 1
+ +
+ =
+ +
(*)
b, Chứng minh bất đẳng thức: x
2
+ y
2
+ 1

xy + x + y

Giải
a, ĐKXĐ: x -1 và x
1
2

. Khi đó ta có:
(*) (2x + 1)(x
2
- 4x + 1) + 2(x + 1)(2x + 1) = - (x + 1)(x
2
- 5x + 1)


2x
3
- 8x

2
+ 2x + x
2
- 4x + 1 + 4x
2
+ 6x + 2 + x
3
- 5x
2
+ x + x
2
- 5x + 1 = 0


3x
3
- 7x
2
+ 4 = 0

3x
2
(x - 1) - 4(x
2
- 1) = 0


(x - 1)(3x
2
- 4x - 4) = 0

(x - 1)(3x + 2)(x - 2) = 0



x 1 0 x 1
3x 2 0 x 2/3
x 2 0 x 2
= =


+ = =


= =

(Thoả mn điều kiện bài toán)
Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên
Vậy S =
2
; 1; 2
3





b, x
2
+ y

2
+ 1

xy + x + y

x
2
- xy + y
2
- x - y + 1

0
x
2
- xy +
2
y
4
- (x -
y
2
) +
1
4
+
2
3y
4
-
3y

2
+
3
4

0

( )
2
2
y y 1 3
x x y 2y 1 0
2 2 4 4


+ + +







( )
2
2
y 1 3
x y 1 0
2 2 4

+


(đúng với mọi x, y) . Dấu "=" xấy ra khi x = y = 1
Câu 5. Cho hình vuông ABCD. Qua A kẻ hai đờng thẳng vuông góc với nhau lần lợt cắt BC tại P và
R, cắt CD tại Q và S.
a, Chứng minh rằng: AQR và APS là các tam giác cân.
b, QR cắt PS tại H và gọi M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác AMHN là hình
chữ nhật.
c, Chứng minh P là trực tâm SQR.

d, Chứng minh MN là trung trực của AC.
e, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng.
Giải
HS tự ghi GT/KL
a, Chứng minh rằng



AQS và



APS là các tam giác cân.
+) Xét DAQ và BAR có:



0
D B 90 (gt)

= =

BA = DA (cạnh hình vuông ABCD)


2 4
A A
= (cùng phụ với

3
A
)
DAQ = BAR(g.c.g)
AQ = AR (cạnh tơng ứng)
AQR cân tại A
+) Xét AQS và ARP có:



0
QAS RAP 90
= =

AQ = AR (vì AQR cân tại A)



AQS ARS
=
(cùng phụ với góc APR)

AQS = ARP (g.c.g) AS = AP APS cân tại A
b, QR cắt PS tại H và gọi M, N là trung điểm của QR và PS. C/m tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
+) Vì SA QP và PC QS
R là trực tâm của PQS QH PS

MHN
= 90
0
(1)
+) Vì AQS vuông cân tại A mà M là trung điểm của QR
AM cũng là đờng cao trong AQR AM QR


0
AMH 90
= (2)
+) Vì AN là đờng trung tuyến trong APS vuông cân tại A
AN PS

0
ANH 90
= (3)
Từ (1), (2) và (3) AMHN là hình chữ nhật
c, Chứng minh P là trực tâm



SQR.

Xét SQR có:

+) SH là đờng cao từ đỉnh S xuống cạnh QR
+) RC là đờng cao từ đỉnh R xuống cạnh QS
Mà SH
RC = {P}
P là trực tâm của RQS
N
M
H
S
Q
R
P
D
C
B
A
4
3
2
1
A
B
C
D
P
R
Q
S
Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên
d, Chứng minh MN là trung trực của AC.

+) AM = MQ = MR (T/c đờng trung tuyến trong vuông cân AQR)
+) MC = MQ = MR (T/c đờng trung tuyến trong vuông CQR)
MA = MC M thuộc trung trực của AC
Tơng tự:
+) NA = NP = NS (T/c đờng trung tuyến trong vuông cân APS)
+) NC = NP = NS (T/c đờng trung tuyến của CPS)
NA = NC N thuộc trung trực của AC
Vậy MN là đờng trung trực của AC
e, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng.
+) Vì ABCD là hình vuông nên BD là trng trực của AC
+) MN cũng là trung trực của AC (c/m trên)
Đờng thẳng MN trung với đờng thẳng BD M, B, N, D thẳng hàng.