Toàn Bộ Đề,Đáp Án Toán ĐH-CĐ 2009

Bộ GD&ĐT ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009
Đề Chính Thức Môn thi : TOÁN
(Thời gian: 180 phút………………………….)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2 điểm)Cho hàm số y = 2x
4
– 4x
2
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Với các giá trị nào của m, phương trình
2 2
x x 2 m− =
có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình
3
sin x cos x sin 2x 3 cos3x 2(cos4x sin x)+ + = +
2. Giải hệ phương trình
2 2 2
xy x 1 7y
(x,y )
x y xy 1 13y
+ + =

∈

+ + =

¡
Câu III (1 điểm)Tính tích phân

3
2
1
3 ln x
I dx
(x 1)
+
=
+
∫
Câu IV (1 điểm)
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC)
bằng 60
0
; tam giác ABC vuông tại C và
·
BAC
= 60
0
. Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng
(ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.
Câu V (1 điểm)
Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)
3
+ 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :A = 3(x
4
+ y
4
+ x
2

y
2
) – 2(x
2
+ y
2
) + 1
PHẦN RIÊNG (3 điểm)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a. (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) :
2 2
4
(x 2) y
5
− + =
và hai đường thẳng ∆
1
: x –
y = 0, ∆
2
: x – 7y = 0. Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn (C
1
); biết đường tròn (C
1
)
tiếp xúc với các đường thẳng ∆
1
, ∆
2

và tâm K thuộc đường tròn (C)
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1) và
D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng
cách từ D đến (P)
Câu VII.a (1 điểm)
Tìm số phức z thoả mãn :
z (2 i) 10 và z.z 25− + = =
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(-1;4) và các đỉnh B, C
thuộc đường thẳng ∆ : x – y – 4 = 0. Xác định toạ độ các điểm B và C , biết diện tích tam giác ABC
bằng 18.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai điểm A(-3;0;1),
B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng
mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
Câu VII.b (1 điểm)
Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số
2
x 1
y
x
−
=
tại 2 điểm phân
biệt A, B sao cho AB = 4.
Hết.
Thí sinh không sử dụng tài liệu . Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh……………………………………….;Số báo danh……………………………………….
BÀI GIẢI GỢI Ý
Câu I.

1. y = 2x
4
– 4x
2
. TXĐ : D = R
y’ = 8x
3
– 8x; y’ = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±1;
x
lim
→±∞
= +∞
x
−∞ −1 0 1 +∞
y'
− 0 + 0 − 0 +
y
+∞ 0 +∞
−2 CĐ −2
CT CT
y đồng biến trên (-1; 0); (1; +∞)
y nghịch biến trên (-∞; -1); (0; 1)
y đạt cực đại bằng 0 tại x = 0
y đạt cực tiểu bằng -2 tại x = ±1
Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 0)
Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (0; 0); (±
2
;0)
2. x
2

x
2
– 2 = m ⇔ 2x
2
x
2
– 2 = 2m (*)
(*) là phương trình hoành độ giao điểm của (C’) :
y = 2x
2
x
2
– 2 và (d): y = 2m
Ta có (C’) ≡ (C); nếu x ≤ -
2
hay x ≥
2
(C’) đđối xứng với (C) qua trục hoành nếu -
2
< x <
2
Theo đồ thị ta thấy ycbt ⇔ 0 < 2m < 2 ⇔ 0 < m < 1
Câu II.
1. PT:sinx+cosxsin2x+
3
3 cos3x 2(cos4x si n x)= +
3 1 3sin x sin3x
sin x sin 3x 3cos3x 2cos4x
2 2 2
sin3x 3cos3x 2cos4x

1 3
sin3x cos3x cos4x
2 2
sin sin3x cos cos3x cos4x
6 6
cos4x cos 3x
6
4x 3x k2 x k2
6 6
2
4x 3x k2 x k
6 42 7
−
⇔ + + = +
⇔ + =
⇔ + =
π π
⇔ + =
π
 
⇔ = −
 ÷
 
π π
 
= − + + π = − + π
 
⇔ ⇔
 
π π π

 
= − + π = +
 
 
2.
{
2 2 2
xy x 1 7y
x y xy 1 13y
+ + =
+ + =
y = 0 hệ vô nghiệm
y ≠ 0 hệ ⇔
2
2
x 1
x 7
y y
x 1
x 13
y y

+ + =



+ + =




2
x
y
−1
1
0
−
2
(C’)
−2
x
y
−1
1
0
−
2
(C)
Đặt a =
1
x
y
+
; b =
x
y
⇒
2 2
2
1 x

a x 2
y y
= + +
⇒
2 2
2
1
x a 2b
y
+ = −
Ta có hệ là
{
2
a b 7
a b 13
+ =
− =
⇔
{
2
a b 7
a a 20 0
+ =
+ − =
⇔
{
a 4
b 3
=
=

hay
{
a 5
b 12
= −
=
. Vậy
1
x 4
y
x
3
y

+ =



=



hay
1
x 5
y
x
12
y


+ = −



=



⇔
{
2
x 4x 3 0
x 3y
− + =
=
hay
{
2
x 5x 12 0
x 12y
+ + =
=
(VN) ⇔
x 1
1
y
3
=




=


hay
{
x 3
y 1
=
=
Câu III :
3 3 3
2 2 2
1 1 1
3
3
1
2
1
1
3
2
2
1
3 ln x dx ln x
I dx 3 dx
(x 1) (x 1) (x 1)
dx 3 3
I 3
(x 1) (x 1) 4

ln x
I dx
(x 1)
+
= = +
+ + +
−
= = =
+ +
=
+
∫ ∫ ∫
∫
∫
Đặt u = lnx
dx
du
x
⇒ =
2
dx
dv .
(x 1)
=
+
Chọn
1
v
x 1
−

=
+
3
3 3 3
2
1
1 1 1
ln x dx ln3 dx dx ln3 3
I ln
x 1 x(x 1) 4 x x 1 4 2
= − + = − + − = − +
+ + +
∫ ∫ ∫
Vậy :
3
I (1 ln 3) ln 2
4
= + −
Câu IV.
BH=
2
a
,
2 1 3
3
3 2 2 4
BH a a
BN
BN
= ⇒ = =

;
3
'
2
a
B H =
goïi CA= x, BA=2x, 3BC x=
2
2 2 2
2
2
CA
BA BC BN+ = +
2
2
2 2
3
3 4 2
4 2
a x
x x
 
⇔ + = +
 ÷
 
2
2
9
52
a

x⇔ =
Ta có:
3 3
' '
2 2
a
B H BB= =
V=
2 3
2
1 1 3 1 9 3 9
3
3 2 2 12 52 2 208
a a a a
x
 
= =
 ÷
 
Câu V :
3
3 2
2
(x y) 4xy 2
(x y) (x y) 2 0 x y 1
(x y) 4xy 0

+ + ≥

⇒ + + + − ≥ ⇒ + ≥


+ − ≥


C A
B
M
N
H
2
2 2
(x y) 1
x y
2 2
+
⇒ + ≥ ≥
dấu “=” xảy ra khi :
1
x y
2
= =
Ta có :
2 2 2
2 2
(x y )
x y
4
+
≤
( )

4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A 3 x y x y 2(x y ) 1 3 (x y ) x y 2(x y ) 1
 
= + + − + + = + − − + +
 
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
(x y )
3 (x y ) 2(x y ) 1
4
9
(x y ) 2(x y ) 1
4
 
+
≥ + − − + +
 
 
= + − + +
Đặt t = x
2
+ y
2
, đk t ≥
1
2
2
9 1
f (t) t 2t 1, t

4 2
9 1
f '(t) t 2 0 t
2 2
1 9
f (t) f( )
2 16
= − + ≥
= − > ∀ ≥
⇒ ≥ =
Vậy :
min
9 1
A khi x y
16 2
= = =
Câu VIa.
1. Phương trình 2 phân giác (∆
1
, ∆
2
) :
x y x 7y
2 5 2
− −
= ±
1
2
5(x y) (x 7y)
y 2x :d

5(x y) x 7y
1
5(x y) x 7y
y x : d
2
⇔ − = ± −
= −

− = −


⇔ ⇔


− = − +
=


Phương trình hoành độ giao điểm của d
1
và (C) : (x – 2)
2
+ (– 2x)
2
=
4
5
25x
2
– 20x + 16 = 0 (vô nghiệm)

Phương trình hoành độ giao điểm của d
2
và (C) : (x – 2)
2
+
2
x 4
2 5
 
=
 ÷
 
2
25x 80x 64 0⇔ − + = ⇔ x =
8
5
. Vậy K
8 4
;
5 5
 
 ÷
 
R = d (K, ∆
1
) =
2 2
5
2. TH1 : (P) // CD. Ta có :
AB ( 3; 1;2),CD ( 2;4;0)= − − = −

uuur uuur
(P) có PVT n ( 8; 4; 14) hay n (4;2;7)
(P) :4(x 1) 2(y 2) 7(z 1) 0
4x 2y 7z 15 0
⇒ = − − − =
− + − + − =
⇔ + + − =
r r
TH2 : (P) qua
I(1;1;1)
là trung điểm CD
Ta có AB ( 3; 1;2), AI (0; 1;0)
(P) có PVT n (2;0;3)
(P) :2(x 1) 3(z 1) 0 2x 3z 5 0
= − − = −
⇒ =
− + − = ⇔ + − =
uuur uur
r
Câu VIb.
1.
1 4 4
9
AH
2 2
1 36 36
S AH.BC 18 BC 4 2
9
2 AH
2

− − −
= =
= = ⇔ = = =
Pt AH : 1(x + 1) + 1(y – 4) = 0
x y 4
7 1
H : H ;
x y 3
2 2
− =

 
⇒ −

 ÷
+ =
 

B(m;m – 4)
2 2
2
2
2
BC 7 1
HB 8 m m 4
4 2 2
7 11
m 2
7
2 2

m 4
7 3
2
m 2
2 2
   
⇒ = = = − + − +
 ÷  ÷
   

= + =

 
⇔ − = ⇔

 ÷
 

= − =


Vậy
1 1 2 2
11 3 3 5 3 5 11 3
B ; C ; hay B ; C ;
2 2 2 2 2 2 2 2
       
∧ − − ∧
 ÷  ÷  ÷  ÷
       

2.
P
AB (4; 1;2); n (1; 2;2)= − = −
uuur r
Pt mặt phẳng (Q) qua A và // (P) : 1(x + 3) – 2(y – 0) + 2(z – 1) = 0
⇔ x – 2y + 2z + 1 = 0. Gọi ∆ là đường thẳng bất kỳ qua A
Gọi H là hình chiếu của B xuống mặt phẳng (Q). Ta có :
d(B, ∆) ≥ BH; d (B, ∆) đạt min ⇔ ∆ qua A và H.
Pt tham số
x 1 t
BH: y 1 2t
z 3 2t
= +


= − −


= +

Tọa độ H = BH ∩ (Q) thỏa hệ phương trình :
x 1 t,y 1 2t,z 3 2t
x 2y 2z 1 0
= + = − − = +


− + + =


10

t
9
⇒ = −

1 11 7
H ; ;
9 9 9
 
⇒ −
 ÷
 
∆ qua A (-3; 0;1) và có 1 VTCP
( )
1
a AH 26;11; 2
9
∆
= = −
uur uuur
Pt (∆) :
x 3 y 0 z 1
26 11 2
+ − −
= =
−
Câu VII.a. Đặt z = x + yi với x, y ∈ R thì z – 2 – i = x – 2 + (y – 1)i
z – (2 + i)=
10
và
z.z 25=

⇔
2 2
2 2
(x 2) (y 1) 10
x y 25

− + − =

+ =

⇔
{
2 2
4x 2y 20
x y 25
+ =
+ =

⇔
{
2
y 10 2x
x 8x 15 0
= −
− + =
⇔
{
x 3
y 4
=

=
hay
{
x 5
y 0
=
=
Vậy z = 3 + 4i hay z = 5
Câu VII.b.
Pt hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng là :
2
x 1
x m
x
−
− + =

⇔ 2x
2
– mx – 1 = 0 (*) (vì x = 0 không là nghiệm của (*))
Vì a.c < 0 nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt ≠ 0
Do đó đồ thị và đường thẳng luôn có 2 giao điểm phân biệt A, B
AB = 4 ⇔ (x
B
– x
A
)
2
+ [(-x
B

+ m) – (-x
A
+ m)]
2
= 16 ⇔ 2(x
B
– x
A
)
2
= 16
⇔ (x
B
– x
A
)
2
= 8 ⇔
2
m 8
8
4
 
+
=
 ÷
 
⇔
2
m 24=

⇔ m =
2 6±
.
Hết.
Bộ GD&ĐT ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009
Đề Chính Thức
Môn thi : TOÁN
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2,0 điểm).
Cho hàm số y = x
4
– (3m + 2)x
2
+ 3m có đồ thị là (C
m
), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0.
2. Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (C
m
) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình
3cos5x 2sin3x cos2x sin x 0− − =
2. Giải hệ phương trình
2
2
x(x y 1) 3 0
5
(x y) 1 0
x

+ + − =



+ − + =


(x, y ∈ R)
Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân
3
x
1
dx
I
e 1
=
−
∫
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ =
2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích
khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).
Câu V (1,0 điểm).Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức S = (4x
2
+ 3y)(4y
2
+ 3x) + 25xy.
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm của cạnh AB. Đường
trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x – 2y – 3 = 0 và 6x – y – 4 = 0. Viết
phương trình đường thẳng AC.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P): x +
y + z – 20 = 0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với
mặt phẳng (P).
Câu VII.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện z – (3 – 4i)= 2.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x – 1)
2
+ y
2
= 1. Gọi I là tâm của (C). Xác định tọa
độ điểm M thuộc (C) sao cho
·
IMO
= 30
0
.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆:
x 2 y 2 z
1 1 1
+ −
= =
−
và mặt phẳng (P): x + 2y – 3z
+ 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng ∆.

Câu VII.b (1,0 điểm)
Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số
2
x x 1
y
x
+ −
=
tại hai điểm phân
biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung.
Hết.
Thí sinh không sử dụng tài liệu . Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh……………………………………….;Số báo danh……………………………………….
BÀI GIẢI GỢI Ý
Câu I. 1. m = 0, y = x
4
– 2x
2
. TXĐ : D = R
y’ = 4x
3
– 4x; y’ = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±1;
x
lim
→±∞
= +∞
x
−∞ −1 0 1 +∞
y'
− 0 + 0 − 0 +

y
+∞ 0 +∞
−1 CĐ −1
CT CT
y đồng biến trên (-1; 0); (1; +∞)
y nghịch biến trên (-∞; -1); (0; 1)
y đạt cực đại bằng 0 tại x = 0
y đạt cực tiểu bằng -1 tại x = ±1
Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 0)
Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (0; 0); (±
2
;0)
2. Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và đường thẳng y = -1 là
x
4
– (3m + 2)x
2
+ 3m = -1
⇔ x
4
– (3m + 2)x
2
+ 3m + 1 = 0 ⇔ x = ±1 hay x
2
= 3m + 1 (*)
Đường thẳng y = -1 cắt (C
m
) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trình (*) có

hai nghiệm phân biệt khác ±1 và < 2
⇔
0 3m 1 4
3m 1 1
< + <


+ ≠

⇔
1
m 1
3
m 0

− < <



≠

Câu II. 1) Phương trình tương đương :
3cos5x (sin5x sin x) sin x 0 3cos5x sin5x 2sin x− + − = ⇔ − =
⇔
3 1
cos5x sin5x sin x
2 2
− =
⇔
sin 5x sin x

3
π
 
− =
 ÷
 
⇔
5x x k2
3
π
− = + π
hay
5x x k2
3
π
− = π − + π
⇔
6x k2
3
π
= − π
hay
2
4x k2 k2
3 3
π π
= − π − π = − − π
⇔
x k
18 3

π π
= −
hay
x k
6 2
π π
= − −
(k ∈ Z).
2) Hệ phương trình tương đương :
−1
x
y
−1
1
0
2 2 2
2
2
x(x y 1) 3
x(x y) x 3
5
x (x y) x 5
(x y) 1
x
+ + =

+ + =


⇔

 
+ + =
+ + =



ĐK : x ≠ 0
Đặt t=x(x + y). Hệ trở thành:

2 2 2
t x 3 t x 3 t x 3 t 1 x 1
t x 5 (t x) 2tx 5 tx 2 x 2 t 2


+ = + = + =  = =
 
 
⇔ ⇔ ⇔ ∨
    
+ = + − = = = =
 





Vậy
3
x(x y) 1 x(x y) 2 y 1
y

2
x 2 x 1 x 1
x 2

+ = + = =
= −
  

∨ ⇔ ∨
   
= = =
  

=

Câu III :
3 3 3
x x x
3
x
x x
1
1 1 1
1 e e e
I dx dx dx 2 ln e 1
e 1 e 1
− +
= = − + = − + −
− −
∫ ∫ ∫

3 2
2 ln(e 1) ln(e 1) 2 ln(e e 1)= − + − − − = − + + +
Câu IV.
2 2 2 2
9 4 5 5AC a a a AC a= − = ⇒ =
2 2 2 2
5 4 2BC a a a BC a= − = ⇒ =
H là hình chiếu của I xuống mặt ABC
Ta có
IH AC⊥
/ /
/
1 2 4
2 3 3
IA A M IH a
IH
IC AC AA
= = ⇒ = ⇒ =
3
1 1 1 4 4
2
3 3 2 3 9
IABC ABC
a a
V S IH a a= = × × =
(đvtt)
Tam giác A’BC vuông tại B
Nên S
A’BC
=

2
1
52 5
2
a a a=
Xét 2 tam giác A’BC và IBC, Đáy
/
/ 2
2 2 2
5
3 3 3
IBC
A BC
IC A C S S a= ⇒ = =
Vậy d(A,IBC)
3
2
3 4 3 2 2 5
3
9 5
2 5 5
IABC
IBC
V a a a
S
a
= = = =
Câu V. S = (4x
2
+ 3y)(4y

2
+ 3x) + 25xy = 16x
2
y
2
+ 12(x
3
+ y
3
) + 34xy
= 16x
2
y
2
+ 12[(x + y)
3
– 3xy(x + y)] + 34xy = 16x
2
y
2
+ 12(1 – 3xy) + 34xy
= 16x
2
y
2
– 2xy + 12
Đặt t = x.y, vì x, y ≥ 0 và x + y = 1 nên 0 ≤ t ≤ ¼
Khi đó S = 16t
2
– 2t + 12

S’ = 32t – 2 ; S’ = 0 ⇔ t =
1
16
S(0) = 12; S(¼) =
25
2
; S (
1
16
) =
191
16
. Vì S liên tục [0; ¼ ] nên :
Max S =
25
2
khi x = y =
1
2
Min S =
191
16
khi
2 3
x
4
2 3
y
4


+
=



−

=


hay
2 3
x
4
2 3
y
4

−
=



+

=


PHẦN RIÊNG
/

A
A
C
I
M
B

H

C
/