thể tích khối đa diện khó

Hình lăng trụ:
1. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C cạnh đáy a, góc của AB với mp
(BCC B ) bằng

.
Chứng minh S
xq
của lăng trụ bằng



sin
3sin
sin2
3
2
a
.
2. Cho lăng trụ đứng OAB.O A B với AOB là tam giác vuông cân tại O có BA = a,
mặt bên ABB A là hình vuông.
a) Tính S
xq
và V của lăng trụ.
b) Gọi I là trung điểm AB,

là mặt phẳng qua I, vuông góc với AB . Xác
định thiết diện của

với lăng trụ và tính diện tích của thiết diện này.
c) Tính tỉ số thể tích

chia lăng trụ.
3. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có cạnh AB = a, AA = h. Gọi I là trung
điểm của AB, J là hình chiếu của I trên AC.
a) Xác định thiết diện của lăng trụ voéi mp (IJC ).
b) Tính diện tích thiết diện này.
4. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a.
Gọi M, N, E lần lợt là trung điểm của BC, CC , C A .
a) Dựng thiết diện của mp (MNE) với lăng trụ. Chứng minh các mp
(MNE), (AA B B) vuông góc với nhau.
b) Tính diện tích thiết diện.
5. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C cạnh đáy a. bán kính đ ờng tròn ngoại
tiếp 1 mặt bên là a.
a) Tính V, S
xq
của lăng trụ.
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
6. Chiều cao của 1 lăng trụ tứ giác đều là h. Từ 1 đỉnh ta vẽ 2 đờng chéo của 2
mặt bên kề nhau, góc của 2 đờng chéo ấy bằng

.
a) Chứng minh góc BCA = góc B CB và tính V lăng trụ.
b) Tính diện tích thiết diện tạo nên do mp (ACB ) cắt lăng trụ.
Lăng trụ xiên:
7. Cho lăng trụ xiên ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A
xuống mp (ABC) là tâm O của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC và góc BAA =
45
0
.
a) Tính V lăng trụ.
b) Chứng minh BCC B là hcn.

c) Tính S
xq
của lăng trụ.
8. Cho lăng trụ xiên ABC.A B C có đáy là tam giác đều ABC có tâm O. Hình
chiếu của C trên (ABC) là O. Tính V của lăng trụ biết rằng k/c từ O đến CC là d
và số đo nhị diện cạnh CC là 2

.
9. Một lăng trụ xiên ABC.A B C có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên
BB = a, hình chiếu của B xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC.
a) Tính góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ. Tính V lăng trụ.
b) Chứng minh mặt bên AA C C là hcn.
10. Cho lăng trụ xiên ABC.A B C có đáy là tam giác đều ABC có tâm O. Hình
chiếu của A trên (ABC) là O. Biết k/c từ O đến mặt bên ABB A là d, góc nhị diện
cạnh AA là 2

.
Chứng minh V lăng trụ đó bằng

22
3
cos43cos4
27

d
Hình hộp, hình hộp chữ nhật, hình lập ph ơng:
11. Cho hình hộp ABCD.A B C D có 6 mặt là các hình thoi cạnh a, hình chiếu
vuông góc H của A trên mp (ABCD) nằm trong hình thoi ABCD, các cạnh xuất
phát từ A của hình hộp đôi một tạo với nhau góc

a) Chứng minh H nằm trên đờng chéo AC.
b) Tính diện tích các mặt chéo ACC A và BDD B .
c) Tính V của hình hộp ABCD.A B C D
12. Cho hình lập phơng ABCD.A B C D
a) Tính góc của mp (A BD) và mp (ABCD)
b) Chứng minh AC

(A BD)
13. Cho hình lập phơng ABCD.A B C D . Lấy điểm M trên cạnh BC, mp (MB D)
cắt A D tại N.
a) Chứng minh NB MD là hbh.
b) Chứng minh MN

C D
c) Gọi H là h/c của A trên MN. Khi M chạy trên đoạn BC, tìm tập hợp
điểm H.
14. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có đ ờng chéo là d. Biết CA hợp với
các mp (ABCD), (ABB A ) các góc a, b. Chứng minh V hình hộp là:
V =
)cos()cos(sinsin
3

+
d
15. Trong các hình hộp cn có cùng V, hình nào có diện tích toàn phần min.
16. Cho hình hộp ABCD.A B C D . Chứng minh: (BA C ) // (ACD ) và
chia đờng chéo B D thành 3 đoạn bằng nhau.
17. Chứng minh rằng trong một hình hộp, tổng bình phơng các đờng chéo bằng
tổng bình phơng các cạnh.
18. Cho hình hộp ABCD.A B C D có đáy là hình thoi cạnh a, góc A = 60

0
. Chân
đờng vuông góc hạ từ B xuống mp (ABCD) trùng với giao điểm các đ ờng chéo
của đáy. Cho BB = a.
a) Tính góc của cạnh bên và đáy
b) Tính V và S
xq
của hình hộp.
19. Cho hình lập phơng ABCD.A B C D cạnh a. Gọi M là điểm trên cạnh A D và
A M = x (0 < x < a). Mp (MAC) cắt C D tại N.
Tứ giác MNCA là hình gì? Tính diện tích tứ giác đó theo a và x.
20. Trong tất cả các hình hộp cn có cùng diện tích toàn phần, hình nào có V
max?
21. Cho hình lập phơng ABCD.A B C D cạnh a.
a) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của AA và BD
b) Điểm M di động trên cạnh AA . Mp (MBD ) cắt CC tại N. Tứ giác
BMD N là hình gì? Xác định điểm M để diện tích tứ giác BMD N min.
Tính Smin đó.
22. Cho hình hộp cn ABCD.A B C D có cạnh AB = a, AD = h. M, N lần l ợt là 2
điểm trên 2 cạnh AB. BC. Mp (MDD ) cắt A B tại M , mp (NDD ) cắt B C tại N và
các mp đó chia hình hộp thành 3 phần có V bằng nhau.
a) Tính AM, CN theo a, b.
b) Tính tỉ số V 2 khối đa diện DMND M N và BMNB M N .
c) Tìm hệ thức giữa a và b để các mp (DMM ) và (NMM ) vuông góc với
nhau.
23. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có cạnh đáy a, chiều cao h. Một mp a
di động qua A cắt các cạnh bên BB , CC lần l ợt tại K, L sao cho tam giác AKL
vuông tại K. Tìm đk mà a, h phải thỏa để bài toán có nghĩa. Khi đó tìm max, min
của diện tích thiết diện AKL.
24. Cho lăng trụ đứng ABCD.A B C D có đáy là hình thang cân, AB = 2a, CD = a

và góc BAD = 60
0
. Trên các cạnh AA và BB lần l ợt lấy các điểm M, N sao cho
AM = 2x, BN = 2y. Trên các cạnh DD và CC lần l ợt lấy các điểm P, Q sao cho
DP = x, CQ = y.
a) Chứng minh MP cắt NQ tại I trên mp (ABCD).
b) MNPQ là hình gì? Tính các cạnh của tứ giác theo a, x, y.
c) Tính y theo a và x để MNPQ là hình thang vuông tại M và P. Trong T.H
này hãy tính cosin của góc giữa 2 mp ABCD và MNPQ theo a, x.
25. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A B C D cạnh đáy a, góc của 1 đchéo với đáy
là 60
0
.
a) Tính V và S
xq
của lăng trụ.
b) Gọi M, N lần lợt là trung điểm của các cạnh BB và DD . Chứng minh
MN, AC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn và MN

AC . Suy ra
hình dạng của thiết diện tạo bởi mp (C MN) và lăng trụ. Tính diện tích
thiết diện.
c) Tính góc của mp (C MN) và đáy.
26. Cho hình hộp ABCD.A B C D . Gọi O là trung điểm của đ ờng chéo AC . Tìm vị
trí của 1 điểm M trong không gian sao cho tổng các bình phơng các k/c từ M đến
các đỉnh của hình hộp min.
27. Cho hình hộp ABCD.A B C D có:
AB = a, AD = b, AA = c và BD = AC = CA =
222
cba

++

a) Chứng minh ABC D là hcn và ABCD. A B C D là hình hộp cn.
b) Gọi a, b, c là 3 góc tạo bởi 1 đờng chéo và 3 mặt cùng qua 1 đỉnh
thuộc 1 đ/chéo. Chứng minh: Sin
2
a + Sin
2
b + Sin
2
c = 1.
28. Cho hình lập phơng ABCD. A B C D có đ ờng chéo bằng a.
a) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các đờng thẳng AC và
DC'
b) Gọi G là trọng tâm tam giác A C D . Mp (GAC) cắt hình lập ph ơng theo
hình gì? Tính diện tích hình này.
c) Điểm M di động trên cạnh BC. Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của
A trên DM
Hình chóp đều:
29. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên là a, góc ở đáy của mặt bên
là a. Chứng minh V của hình chóp là: V =
)30sin()30sin(cos
3
2
0023
+

a
30. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b hợp với đáy 1 góc a.
a) Tính V hình chóp.

b) Tính S
xq
của hình chóp đó.
31. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc của đờng cao và mặt bên là a,
trung đoạn có độ dài là d. Chứng minh S
tp
của hình chóp là:
)
24
(cossin8
22



d

32. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng l, mặt bên hợp với đáy
góc a
a) Tính V của hình chóp
b) Chứng minh rằng V
27
34
3
l

. Với giá trị nào của a thì đẳng thức xảy
ra?
33. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc ASB bằng a.
Gọi O là tâm của mặt đáy.
a) Tính S

xq
của hình chóp
b) Chứng minh chiều cao hình chóp bằng:
1cot
2
2


g
a
c) Xác định góc a để O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
34. Một hình chóp tam giác đều có trung đoạn d, góc của mặt bên và đáy là a.
Chứng minh rằng S
tp
của hình chóp là:
2
coscos36
22


d
Hình chóp có 1 cạnh bên vuông góc đáy:
35. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hcn có cạnh AB = a, cạnh bên SA
vuông góc đáy; cạnh bên SC hợp đáy góc a và hợp với mặt bên 1 góc b.
a) Chứng minh rằng

22
2
2
sincos

=
a
SC
b) Tính V hình chóp S.ABCD
36. Cho hình chóp S.ABCD có 2 mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với đáy;
SA = a, ABCD là hình thoi cạnh a có góc A = 120
0
.
a) Chứng minh 2 tam giác SBC và SDC bằng nhau.
b) Tính S
xq
của hình chóp S.ABCD
c) Tính V hình chóp S.ABCD, từ đó suy ra k/c từ D đến mp (SBC )
37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hcn, chiều cao SA = h, 2 mặt bên
SBC, SCD lần lợt tạo với đáy các góc a, b. Tính V hình chóp .
38. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, B là chân đờng
cao của hình chóp.
a) CMR 3 mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông và SC
2
= SB
2
+ BA
2
+ AC
2
b) Biết SB = h, góc ASC = a và nhị diện cạnh AC là b. Tính V hình chóp
theo h, a, b .
38. Cho tứ diện S.ABC với các mặt SAB, SBC, SCA vuông góc với nhau từng đôi
một và có diện tích tơng ứng là 24a

2
, 30a
2
, 40a
2
. Hãy tính V tứ diện ấy.
Hình chóp có mặt bên vuông góc đáy:
39. Cho hình chóp S.ABC có (SBC) vuông góc đáy, 2 mặt bên SAB, SAC cùng
hợp đáy góc 45
0
; đáy ABC là tam giác vuông cân tại A có AB = a.
a) Chứng minh hình chiếu vuông góc của S lên mặt ABC là trung điểm
của cạnh BC.
b) Tính V của hình chóp S.ABC
40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam
giác đều và vuông góc với đáy.
a) Tính V hình chóp đó.
b) Tính góc hợp bởi cạnh bên SC với mặt đáy của hình chóp.
41. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình cn với AB = a, BC = b. Mặt bên SBC là
tam giác vuông tại S và vuông góc với đáy. Biết góc SBC = a
a) Tính V hình chóp
b) Tính tổng diện tích các mặt bên SAB, SCD.
Hình chóp cụt:
42. Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD.A B C D có cạnh bên là l và hợp với đáy
góc a, diện tích đáy lớn bằng 4 lần diện tích đáy nhỏ
a) Tính V hình chóp cụt.
b) Tính diện tích xung quanh hình chóp cụt đó
43. Cho biết diện tích 2 đáy của 1 hình chóp cụt là S
1
, S

2
. Tính diện tích của thiết
diện trung bình (tức là thiết diện qua trung điểm của 1 cạnh bên và // với đáy).
Hình nón:
44. Tính S
tp
hình nón có đờng sinh là l và đờng sinh hợp với đáy góc a
45. Gọi V, V
1
, V
2
là thể tích các vật thể tròn xoay tạo ra bởi 1 tam giác vuông khi
quay quanh cạnh huyền và các cạnh góc vuông. Chứng minh rằng:
2
2
2
1
2
111
VV
V
+=