Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Bình Thuận (Vòng 1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH THUẬN

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề này có 01 trang)

KÌ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2018 – 2019
Ngày thi: 18/10/2018
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (6,0 điểm).
a) Cho x và y là các số thực thỏa mãn 2 x  y  0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P 

x 2  xy  y 2
.
x 2  xy  y 2

b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
y  x3  3 x 2  3mx  m có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành.
Bài 2 (5,0 điểm).
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số  un  biết u1  2 và un1  2un  5, n *.
b) Cho dãy số  vn  thỏa mãn v1 

2vn
1
, n *. Chứng minh
, vn1 
2

2018
1  2018vn

rằng vn1  vn , n *.
Bài 3 (4,0 điểm). Giải hệ phương trình
2 xy  x  y  1  x 2  y 2

.

 x 2 y y 2  1  x 2  1  x 2 y  x

Bài 4 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn có AB  AC và hai đường cao BE, CF cắt
nhau tại H . Các đường tròn  O1  ,  O2  cùng đi qua A và theo thứ tự tiếp xúc với
BC tại B, C. Gọi D là giao điểm thứ hai của  O1  và  O2  .

a) Chứng minh đường thẳng AD đi qua trung điểm của cạnh BC;
b) Chứng minh ba đường thẳng EF , BC , HD đồng quy.
-------------- HẾT ------------Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . .


HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài
1
a

Nội dung

t2  t 1
x 1
, với t   .
2
t  t 1
y 2
2
1
t  t 1
Xét hàm số f (t )  2
với t  .
2
t  t 1

f
(
 t)  0
2t 2  2

Tính được f (t)  2
,  1
 t  1.
2
(t  t  1) t 
 2
Bảng biến thiên
1
Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng , không có giá trị lớn nhất.
3
Ta có P 

Điểm
6,0
0,5
0,5
1,0
0,5
0,5

b
Tập xác định D  
y '  3 x 2  6 x  3m
Yêu cầu bài toán  Phương trình y '  0 có hai nghiệm phân biệt
x1 , x2 thỏa mãn y  x1  . y  x2   0.
Phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt  1  m  0 (*)
Khi đó đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là
A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  .
 x 1
Ta có y     . y  2  m  1 x
 3 3
Do đó y1  y  x1   2  m  1 x1
y2  y  x2   2  m  1 x2
2

y  x1  . y  x2   0  4  m  1 x1.x2  0

 x1.x2  0  m  0  m  0
Kết hợp với điều kiện (*) ta có m  0 thỏa mãn bài toán
2
a

n   , ta có un 1  2un  5  un 1  5  2  un  5 
*

0,25
0,5
0,25

0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
5,0
0,5

Đặt wn  u n  5, n   * .
Khi đó wn 1  2 wn , n  * .
Do đó  wn  là cấp số nhân có w1  u1  5  7, công bội q  2.

0,5
0,5

Suy ra wn  w1.q n 1  7.2 n 1 , n  * .

0,5

Vậy un  7.2 n 1  5, n  * .

0,5

Chứng minh được vn  0, n  * .
2vn
2vn
1


, n  * . (1)
Khi đó vn 1 
2
1  2108vn 2 2018.vn
2018

0,5

b

1,0

Mặt khác, n  * , ta có
2
2vn
vn  2018vn3 vn 1  2018vn 
vn1  vn 
 vn 

0
1  2018vn2
1  2018vn2

1  2018vn2

1,0


3

2 xy  x  y  1  x 2  y 2
 2
2
2
2
 x y y  1  x  1  x y  x
Điều kiện xy  0

(1)

4,0

.

(2)
0,25

Ta có x  1  x  0, x   nên y  0 không thỏa mãn (2). Do đó
y  0. Suy ra x  0 không thỏa mãn (1).
Nếu x, y cùng âm thì (1) vô lí. Do đó x, y cùng dương.
1
Suy ra (2)  2 x 2  1  x  y y 2  1  1
x

1 1
1

 1   y y 2  1  y (3)
2
x x
x
2



 

t

0,5
0,25

2

 1  0, t  0
t2 1
Suy ra f (t ) đồng biến trên  0;  

0,5

1
1
Do đó (3)  f    f  y    y  xy  1
x

x
Thay xy  1 vào phương trình (1) ta được

0,5

2

2

2  x  y  1  x 2  y 2   x  1   y  1  0  x  y  1

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  x; y   1;1
4
a

0,25



Xét hàm số f (t )  t t 2  1  t trên khoảng  0;   .
Ta có f (t )  t 2  1 

0,5

Gọi I là giao điểm của AD và BC.
Ta có IB 2  IA.ID  IC 2 .
Suy ra IB  IC.
Do đó I là trung điểm của BC. Hay đường thẳng AD đi qua trung
điểm I của BC.

0,5

0,5
0,25
5,0
0,25
0,75
0,25
0,25

b

A
E
F H

D

I
B
C
K
  BDC
. Suy ra tứ giác BHDC nội tiếp.
Chứng minh được BHC
Chứng minh AFHD nội tiếp
Chứng minh EF , BC , HD đồng qui

1,0
1,0

1,5