điểm cực trị của hàm số

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 1
ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ (Đề 01)
*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website:
www.vted.vn
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại www.vted.vn

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Mã đề thi
132

Họ, tên thí sinh:..................................................................... Trường: ...........................................
(1). Điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d(a ≠ 0).
Xét hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d.
•

b2 −3ac ≤ 0 hàm số không có điểm cực trị.
⎧
⎪
b2 −3ac > 0
⎪
hàm số có duy nhất 1 điểm cực trị.
⎨
⎪
⎪
⎩a = 0
⎧b2 −3ac > 0
⎪
⎪
hàm số có 2 điểm cực trị x1 , x2 là nghiệm của phương trình:
⎨

⎪
a
≠
0
⎪
⎩

•
•

Với y ′ = 0 ⇔ 3ax 2 + 2bx + c = 0, có x1 + x2 =

−2b
c
2 b2 −3ac
, x1x2 = ⇒ x1 − x2 =
.
3a
3a
3
a2

Khi đó:
•

2⎛
b2 ⎞
bc
Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là d : y = ⎜⎜⎜c − ⎟⎟⎟ x + d − .
⎟

⎜
3⎝
3a ⎠
9a

•

Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đi qua gốc toạ độ O ⇔ d =

•
•

2⎛
b2 ⎞
Hệ số góc của đường thẳng qua hai điểm cực trị là k = ⎜⎜⎜c − ⎟⎟⎟.
3 ⎜⎝
3a ⎟⎠
⎛ 2⎛
b2 ⎞
bc ⎞⎟ ⎛ 2 ⎛
b2 ⎞
bc ⎞⎟
Toạ độ 2 điểm cực trị là A⎜⎜⎜ x1; ⎜⎜⎜c − ⎟⎟⎟ x1 + d − ⎟⎟⎟, B⎜⎜⎜ x2 ; ⎜⎜⎜c − ⎟⎟⎟ x2 + d − ⎟⎟⎟.
⎜⎝ 3 ⎜⎝
3a ⎟⎠
9a ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎜⎝
3a ⎟⎠
9a ⎟⎠
2
4 ⎛⎜

b2 ⎞⎟⎟
1+ ⎜⎜c − ⎟ x1 − x2 .
9 ⎜⎝
3a ⎟⎠

•

Độ dài đoạn thẳng AB là

•

1⎛
bc ⎞
Diện tích tam giác OAB là S = ⎜⎜ d − ⎟⎟⎟(x1 − x2 ) .
2 ⎜⎝
9a ⎟⎠

•

bc
.
9a

Trung điểm I của AB cũng chính là điểm uốn của đồ thị hàm số, tức hoành độ của I là
⎛ b
bc
2b3 ⎞⎟⎟
nghiệm của phương trình y ′′ = 0, vì vậy I ⎜⎜⎜− ;d − +
⎟.
⎜⎝ 3a

3a 27a 2 ⎟⎠
BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 1
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

2

Ví dụ. Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x 3 −5x 2 −3x +1. Tìm toạ độ trung điểm của
AB.
⎛ 5 358 ⎞⎟
⎟.
A. M ⎜⎜ ;−
⎜⎝ 3 27 ⎟⎟⎠

⎛ 5 338 ⎞⎟
⎟.
B. N ⎜⎜− ;−
⎜⎝ 3 27 ⎟⎟⎠

C. Q(−5;−234).

Hoành độ trung điểm của AB là nghiệm của phương trình y ′′ = 0 ⇔ x = −

D. P(5;−14).
b
−5 5
358

=−
= ⇒ y =−
.
3a
3.1 3
27

Chọn đáp án A.
Các dạng toán hay gặp:
• AB ⊥ Δ ⇔ k.kΔ = −1.
•

AB / /Δ ⇒ k = kΔ .

•

( AB,Δ) = α ⇔ tanα =

•

d( M (x0 ; y0 ),Δ : ax + by + c) =

k − kΔ
.
1+ k.kΔ

ax0 + by0 + c
2

2

.

a +b
⎡ AB / /Δ
• A, B cách đều Δ ⇔ ⎢
.
⎢I ∈ Δ
⎣
>> Cụ thể: AB / /Δ( A, B nằm về cùng phía với Δ); I ∈ Δ( A, B nằm về hai phía với Δ).
⎧
⎪I ∈ Δ
• A, B đối xứng qua Δ ⇔ ⎪⎨
.
⎪
⎪
⎩k.kΔ = −1
• A, B nằm về hai phía trục hoành ⇔ y = 0 có ba nghiệm phân biệt.
!!" !!!"
• ΔABC cân tại C ⇔ CI .AB = 0.
!!" !!!"
3
AB.
• ΔABC đều ⇔ CI .AB = 0,CI =
2
• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = ax 3 + bx 2 + cx + d và trục hoành chia làm
hai phần, phần phía trên trục hoành và phần phía dưới trục hoành và chúng có diện tích bằng
⎛ b⎞
bc
2b3

nhau khi và chỉ khi tâm đối xứng thuộc trục hoành, tức y ⎜⎜− ⎟⎟⎟ = 0 ⇔ d − +
= 0.
⎜⎝ 3a ⎟⎠
3a 27a 2
Thủ thuật casio (tham khảo) viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số
y ′. y ′′ 2 ⎛⎜
b2 ⎞
bc
*Chú ý có y ′′ = 6ax + 2b ⇒ y =
+ ⎜⎜c − ⎟⎟⎟ x + d − .
⎟
18a
3 ⎜⎝
3a ⎠
9a

Suy ra

2 ⎛⎜
b2 ⎞
bc
y ′. y ′′
.
⎜⎜c − ⎟⎟⎟ x + d − = y −
3 ⎜⎝
3a ⎟⎠
9a
18a

Do đó bằng máy tính ta có thể tìm nhanh được đường thẳng đi qua hai điểm cực trị hàm số bằng cách

MODE 2 (Vào môi trường số phức)
2

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 3
y ′. y ′′
18a
Calc với x = i, (CALC ENG)
ta được kết quả là mi + n, khi đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là y = mx + n.

Nhập vào biểu thức y −

Ví dụ. Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = −x 3 + x 2 + 2x −1. Viết phương trình đường
thẳng AB.
7
14
14
7
7
14
14
7
A. y = − x + .
B. y = x − .
C. y = x − .
D. y = − x + .

9
9
9
9
9
9
9
9
2
(−3X + 2 X + 2)(−6 X + 2) .
Giải. Nhập (−X 3 + X 2 + 2 X −1) −
18×−1
7 14
14
7
Nhấn CALC ENG thu được kết quả − + i. Vậy đường thẳng AB là y = x − .
9 9
9
9
Chọn đáp án B.
HÀM TRÙNG PHƯƠNG
Xét hàm số y = ax 4 + bx 2 + c.
A – CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Với điều kiện ab < 0 hàm số có 3 điểm cực trị.
−b −b
;
.
Khi hàm số có điểm 3 cực trị thì 3 điểm cực trị là 0;−
2a 2a
⎧

⎪
A(0;c)
⎪
⎪
Toạ độ 3 điểm cực trị tương ứng của đồ thị hàm số là ⎪⎨ ⎛⎜ −b
b2 ⎞⎟⎟ ⎛⎜ −b
b2 ⎞⎟⎟
⎜
⎜
⎪
B
−
;c
−
,C
;c
−
⎟
⎟
⎜⎜
⎪
2a
4a ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ 2a
4a ⎟⎟⎠
⎪
⎝
⎪
⎩
Nhận xét: ΔABC cân tại A, có A ∈ Oy, AB = AC =
•

•
•
•
•

b4 −8ab
−2b
, BC =
.
2
a
16a

Các điểm cực trị đồ thị hàm số thuộc các trục toạ độ ⇔ b2 = 4ac.
b2
Điểm (0; y0 ) là trọng tâm tam giác ABC ⇔ 3y0 = 3c − .
2a
8a + b3
Điểm (0; y0 ) là trực tâm tam giác ABC ⇔ y0 − c = −
.
4ab
8a − b3
Điểm (0; y0 ) là tâm ngoại tiếp tam giác ABC ⇔ y0 − c =
.
8ab
b5
.
Diện tích tam giác ABC là S 2 = −
32a 3
b3 + 8a

−b5
(*)
S
=
.
và
ABC
32a 3
b3 −8a
! = 0 ⇔ b3 = −8a.
• Tam giác ABC vuông tại A ⇔ cos BAC

!=
Do đó cos BAC

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 3
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


4

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

! = 1 ⇔ b3 = −24a.
• Tam giác ABC đều ⇔ cos BAC
2
! = − 1 ⇔ 3b3 = −8a.
• Tam giác ABC có một góc 1200 ⇔ cos BAC
2

Lưu ý, chỉ cần nhớ công thức (*) để suy ra ba trường hợp đặc biệt trên.
Suy ra bán kính ngoại tiếp và bán kính nội tiếp như sau:
b3 −8a
• Bán kính ngoại tiếp tam giác ABC là R =
.
8ab

• Bán kính nội tiếp tam giác ABC là r =

b2
⎛
⎞
2b3 ⎟⎟
⎜
a ⎜⎜4 + 16−
⎟
⎜⎜⎝
a ⎟⎟⎠

.

Xét hàm số y = ax 4 + bx 2 + c.
B – GIAO ĐIỂM VỚI TRỤC HOÀNH
Với ab < 0,ac > 0,b2 − 4ac > 0 đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
Khi đó:
• Hoành độ 4 giao điểm lập thành cấp số cộng ⇔ 9b2 = 100ac.
• Cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt, tạo thành 3 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau
⇔ 9b2 = 100ac.
• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành có phần phía trên Ox và phần
phía dưới Ox bằng nhau ⇔ 5b2 = 36ac.

Câu 1. Gọi Δ là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x 3 −3x 2 −9x +15. Viết
phương trình của Δ.
A. Δ : y = 8x −12.
B. Δ : y = −8x +12.
C. Δ : y = 12x −8.
D. Δ : y = 12x + 8.
Câu 2. Tìm điều kiện của tham số a,m sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
y = 2x 3 + 3(m−1)x 2 + 6(m− 2)x −1 song song với đường thẳng d : y = ax.

A. m = 2 ± a(a > 0).

B. m = 3± a (a > 0).

C. m = 3± −a (a < 0).

D. m = 2 ± −a (a < 0).

Câu 3. Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) có đồ thị (C). Biết b2 −3ac > 0, tìm phương trình
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C).
2⎛
b⎞
bc
2 ⎛⎜
b2 ⎞⎟⎟
bc
A. y = ⎜⎜c − ⎟⎟⎟ x + d − .
B.
y
=
c

−
x+d− .
⎜
⎟
⎜
⎜
3⎝
3a ⎟⎠
9a
3 ⎜⎝
3a ⎟⎠
9a
2⎛
b2 ⎞
bc
2⎛
b⎞
bc
C. y = ⎜⎜⎜c − ⎟⎟⎟ x + d + .
D. y = ⎜⎜c − ⎟⎟⎟ x + d + .
⎜
⎟
3 ⎜⎝
3a ⎟⎠
9a
3⎝
3a ⎠
9a
Câu 4. Cho hàm số y = x 3 + ax 2 + bx + c, (a 2 −3b > 0) có đồ thị (C). Biết đường thẳng đi qua hai
điểm cực trị của (C) đi qua gốc toạ độ O. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

4

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 5
A. c = 9ab.
B. 9c = ab.
C. c = 3ab.
D. 3c = ab.
Câu 5. Tìm điều kiện của các tham số a,m sao cho đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
y = 2x 3 + 3(m−1)x 2 + 6m(1− 2m)x vuông góc với đường thẳng y = ax.
1⎛
1 ⎞⎟
1⎛
1 ⎞⎟
⎟⎟ (a > 0).
⎟⎟ (a < 0).
A. m = ⎜⎜1±
B. m = ⎜⎜1±
3⎜⎝
3⎜⎝
a ⎟⎠
−a ⎟⎠
1⎛
1 ⎞⎟
⎟⎟(a > 0).
C. m = ⎜⎜1±

2 ⎜⎝
a ⎟⎠

1⎛
1 ⎞⎟
⎟⎟ (a < 0).
D. m = ⎜⎜1±
2 ⎜⎝
−a ⎟⎠

Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x 3 −3mx 2 + 4m3 có hai điểm cực
trị A, B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O.
1
1
1
B. m = ± .
D. m = ±1.
A. m = ± .
C. m = ± .
2
4
2
Câu 7. Biết rằng với mọi m hàm số y = x 3 − 2mx 2 + (m2 −1)x −1 luôn có hai điểm cực trị x1 , x2 . Tính
giá trị biểu thức k =

f (x1 )− f (x2 )
.
x1 − x2

2

2
B. k = 3m2 − 2m−3 .
3m2 + 2m−3 .
9
9
2
2(m −3)
2(m2 + 3)
C. k = −
D. k = −
.
.
9
9
Câu 8. Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x 3 −3x +5. Tính bán kính R của đường
tròn ngoại tiếp tam giác OAB.
A. R = 5.
C. R = 10.
B. R = 5.
D. R = 2 5.
Câu 9. Gọi Δ là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x 3 −3x 2 −6x + 8. Viết
phương trình của Δ.
A. Δ : y = −6x + 6.
B. Δ : y = 6x −6.
C. Δ : y = −6x −6.
D. Δ : y = 6x + 6.
Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ
thị hàm số y = 2x 3 + 3(m−1)x 2 + 6m(1− 2m)x là đường thẳng y = −4x.

A. k =

(

)

(

)

1
1
C. m = .
D. m = − .
2
3
Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
9
hàm số y = x 3 + mx 2 + 7x + 3 vuông góc với đường thẳng y = x +1.
8
A. m = ±5.
B. m = ±6.
C. m = ±12.
D. m = ±10.
Câu 12. Kí hiệu dmin là khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số

A. m = 0.

B. m = 1.

1

y = x 3 − mx 2 − x + m+1. Tìm dmin .
3
2
4 13
A. dmin = .
.
B. dmin =
3
3

4
C. dmin = .
3

D. dmin =

2 13
.
3

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 5
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


6

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

Câu 13. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

3m 2
y = x3 −
x + m nằm khác phía với đường thẳng y = x.
2
A. m > 0.
B. m < 0.
C. m ≠ 0.
D. 0 < m ≠ 2.
Câu 14. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm
1
5
số y = x 3 −3x 2 + m2 x + m đối xứng nhau qua đường thẳng Δ : y = x − .
2
2
1
A. m = −1.
B. m = 0.
C. m = 1.
D. m = .
2
3
2
Câu 15. Với mọi m >1, đồ thị của hàm số y = mx −3mx + (2m+1)x + 3− m luôn có hai điểm cực trị
và gọi Δ là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó. Tìm điểm cố định K mà Δ đi qua.
⎛1
⎞
⎛
⎛ 1 ⎞
⎛
1⎞

1⎞
A. K ⎜⎜ ;−3⎟⎟⎟.
B. K ⎜⎜3;− ⎟⎟⎟.
C. K ⎜⎜− ;3⎟⎟⎟.
D. K ⎜⎜−3; ⎟⎟⎟.
⎜⎝ 2
⎜⎝
⎜⎝ 2 ⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠
2 ⎟⎠
2 ⎟⎠
Câu 16. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hai điểm cực trị A, B của đồ thị hàm số
y = x 3 −3mx 2 + 4m3 cùng với gốc toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.
A. m = ±2.
B. m = 3.
C. m = 4.
D. m = ±1.
Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
2
hàm số y = x 3 −3(m−1)x 2 + (2m2 −3m+ 2)x − m2 + m có hệ số góc bằng − .
3
C. m ∈ {0;3}.
D. m ∈ {−1;4}.
A. m = −1.
B. m = 4.
Câu 18. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = x 3 − mx 2 +

4 3
m có hai

27

điểm cực trị A, B cùng với gốc toạ độ tạo thành một tam giác có tâm ngoại tiếp I(1;2).
A. 0 < m <12.
B. m = 6.
C. m = 3.
D. m = 12.
4
Câu 19. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2mx 2 + 2m+ m4 có ba
điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.
B. m = 2.
D. m = 3.
A. m = 3 3.
C. m = 3 2 .
Câu 20. Cho biết đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) có ba điểm cực trị A, B và C , khi đó tìm
tung độ của điểm G là trọng tâm ABC.
b2
b2
b2
b2
A. yG = c − .
B. yG = c +
C. yG = c + .
D. yG = c −
.
.
6a
12a
6a
12a

Câu 21. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x 4 + mx 2 + m− m4 có ba điểm
cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 1200.
1
2
4
A. m = − 3 .
C. m = − 3 .
D. m = − 3 .
B. m = − 3 3.
3
3
3
4
2
Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + 2m4 − m có ba
điểm cực trị đều thuộc các trục toạ độ.
6

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 7
1
D. m = 3.
C. m = .
2
Câu 23. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x 4 + mx 2 +1 có ba điểm cực trị
phân biệt tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.

A. m = −1.
B. m = −2.
C. m = 1.
D. m = 2.
4
Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2(m+1)x 2 + 3m+ 2 có ba
điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.
1
1
A. m = 0.
C. m = 1.
B. m = − .
D. m = .
2
2
x 2 − x +1
.
Câu 25. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y =
x+2
A. y = 2x +1.
B. y = −2x +1.
C. y = −2x −1.
D. y = 2x −1.

A. m = 1.

B. m = 2.

x 2 + mx + n
có hai điểm cực trị x1 , x2 . Viết phương trình đường

x 2 +1
thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.
m
−m
A. y = mx + n.
C. y = −mx + n.
B. y = x + n.
D. y =
x + n.
2
2
f (x1 )− f (x2 )
x 2 − 2x + m
Câu 27. Biết rằng hàm số f (x) =
có hai cực trị x1 , x2 . Tính k =
.
2
x1 − x2
x +2

Câu 26. Biết rằng hàm số f (x) =

−2
2
B. k = 1.
D. k = −1.
C. k = .
.
m
m

Câu 28. Cho biết đồ thị của hàm số y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) có ba điểm cực trị. Tìm bán kính R của
đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị đó.

A. k =

A. R =

1 b2 8
− .
8 a b

B. R =

1 b2 8
+ .
4 a b

C. R =

1 b2 8
+ .
8 a b

D. R =

1 b2 8
− .
4 a b

Câu 29. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y = mx 4 − 2(m+1)x 2 −1

có ba điểm cực trị A, B,C với A thuộc Oy và thoả mãn OA = BC.
3
4
3
4
A. m = .
B. m = − .
C. m = − .
D. m = .
4
3
4
3
4
2
Câu 30. Cho biết đồ thị của hàm số y = ax + bx + c (a,c ≠ 0) có ba điểm cực trị A, B,C với A thuộc
Oy và OB = AC. Tìm hệ thức đúng trong các hệ thức sau.
D. b = −4ac.
A. b2 = −2ac.
B. b2 = 4ac.
C. b2 = 2ac.
Câu 31. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x 2 (x 2 + 2m−3)− m−1 có ba
điểm cực trị là ba đỉnh một tam giác đều.
3
B. m = − 3 3.
A. m = −2 3 3.
C. m = 3 3.
D. m = − 3 3.
2
Câu 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 2m+ m4 có ba

điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 7
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


8

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

A. m = 1.
B. m = 2.
C. m = −1.
D. m = −2.
3
Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x −3mx 2 + 3(m2 −1)x − m3 + m
có hai điểm cực trị cùng với điểm I(1;1) tạo thành một tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính
R = 5.
⎪⎧ 3 ⎪⎫
A. m ∈ ⎪⎨− ;1⎪⎬.
⎪⎪⎩ 5 ⎪⎪⎭

⎧3 ⎪
⎫
⎪⎧ 3⎪⎫
⎪
⎪⎧
3⎪⎫
B. m ∈ ⎪⎨−1; ⎪⎬.
C. m ∈ ⎪⎨ ;1⎪⎬.

D. m ∈ ⎪⎨−1;− ⎪⎬.
⎪⎪⎩ 5⎪⎪⎭
⎪
⎪⎪⎩
5⎪⎪⎭
⎪
⎪
⎩5 ⎪
⎭
Câu 34. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
mx 2 − 2x + m−1
y=
vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
2x +1
1
1
A. m = 1.
C. m = −1.
B. m = .
D. m = − .
2
2
3
2
3
Câu 35. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x −3mx + m có hai điểm
⎛ 7⎞
cực trị cùng với điểm C ⎜⎜1; ⎟⎟⎟ tạo thành một tam giác cân tại C.
⎜⎝ 8 ⎟⎠
1

B. m = .
2

A. m = −1.

1
D. m = − .
2

C. m = −1.

1
Câu 36. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x 4 −(2m−1)x 2 + m+ 3 có ba
8
điểm cực trị cùng với gốc toạ độ là bốn đỉnh của một hình chữ nhật.
1
B. m = 1.
C. m = 2.
D. m = 4.
A. m > .
2
Câu 37. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x 3 − 2mx 2 + m3 có hai điểm cực
trị A và B sao cho góc !
AOB = 1200.

A. m = ±2 4

27
.
25

B. m = ±6

3
.
5

C. m = ±2

3
.
5

Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x 3 −

D. m = ±

12
.
5

9m 2 27m3
có hai điểm
x +
2
2

cực trị A và B cùng với gốc toạ độ O là ba đỉnh một tam giác vuông.
A. Với mọi m.
B. m = 3.

C. m = 9.
D. m ≠ 0.
4
2
Câu 39. Biết đồ thị hàm số y = x −6x + 4x + 6 có ba điểm cực trị A, B,C. Hỏi ba điểm cực trị của đồ
thị hàm số thuộc đường cong nào dưới đây?
A. y = −3(x 2 − x − 2).
B. y = 4x 3 −12x + 4.
C. y = 3(x 2 − x − 2).

D. y = −4x 3 +12x − 4.

Câu 40. Điều kiện đầy đủ của tham số m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2m2 x 2 + 2m−1 có ba điểm cực trị
là ba đỉnh của một tam giác có trực tâm H (0;1) là?
A. m = 1.
B. m = 0.
2
4
C. 1− m (m + 2− 2m) = 0.
D. 1+ m2 (m4 + 2− 2m) = 0.
8

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 9
Câu 41. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
y = x 4 − 4(m−1)x 2 + 2m−1 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 1200.

1
1
1
1
A. m = 1+ 3 .
B. m = 1+ 3 .
C. m = 1+ 3 .
D. m = 1+ 3 .
24
16
48
2
Câu 42. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số
1
y = x 3 − mx 2 + (m2 −1)x có hai điểm cực trị A, B sao cho A, B nằm khác phía và cách đều đường
3
thẳng y = 5x −9. Tính tổng tất cả các phần tử của S.
A. 0.
B. 6.
C. −6.
D. 3.
Câu 43. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số
1
1
y = x 3 − (2m−1)x 2 + (m2 − m)x −1 có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB có diện tích
3
2
bằng 2. Hỏi S có tất cả bao nhiêu phần tử nguyên ?
A. 1.
B. 0.

C. 2.
D. 4.
1
Câu 44. Cho hàm số y = x 3 − mx 2 + (m2 −1)x −1 có đồ thị (Cm ). Biết rằng tồn tại duy nhất điểm
3
A(a;b) sao cho A là điểm cực đại (Cm ) tương ứng với m = m1 và A là điểm cực tiểu của (Cm ) tương
ứng với m = m2 . Tính S = a + b.
A. S = 1.
B. S = −1.
C. S = −2.
D. S = −3.
Câu 45. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số
y = x 3 −3mx 2 + 4m3 có hai điểm cực trị A, B nằm cùng một phía và cách đều đường thẳng
x + 2 y −1= 0. Tính tổng tất cả các phần tử của S.
1
1
C. 1.
B. − .
D. .
2
2
Câu 46. Cho điểm C(5;9). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số
1
y = x 3 − mx 2 + (m2 −1)x có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC cân C. Tính tổng tất cả các
3
phần tử của S.
9
15
15
A. 0.

B. .
C. − .
D. .
2
2
2
3
Câu 47. Cho (Cm ) là đồ thị của hàm số y = x + 3mx +1 (với m < 0 là tham số thực). Gọi d là đường

A. 0.

thẳng đi qua hai điểm cực trị của (Cm ). Đường thẳng d cắt đường tròn tâm I(−1;0) bán kính R = 3
tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho diện tích tam giác IAB
đạt giá trị lớn nhất. Hỏi S có tất cả bao nhiêu phần tử ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 0.
Câu 48. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số
OA
y = x 3 −3mx 2 + 3(m2 −1)x − m3 + m có hai điểm cực trị A, B sao cho
= 2. Tính tổng tất cả các
OB
phần tử của S.
BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 9
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
10 PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

A. −6.
B. 6.
C. −3.
D. 0.
3
2
Câu 49. Biết đồ thị của hàm số y = x + bx + cx + d có hai điểm cực trị và gốc toạ độ nằm trên đường
thẳng đi qua hai điểm này. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = bcd + bc + 3d.
A. −4.

B. −6.

C. 4.

D. 6.

3m
2
có ba điểm cực trị cùng với gốc toạ độ tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tính tổng tất cả các phần tử của
S.
C. −1.
D. 0.
A. 2− 2 3.
B. −2− 3.

Câu 50. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = 2x 4 + 2mx 2 −

Câu 51. Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [0;2017] để đồ thị hàm số
y = x 3 −(2m+1)x 2 + (3m+ 2)x −(m+ 2) có hai điểm cực trị A, B nằm về hai phía của trục hoành ?
A. 2014.

B. 2015.
C. 2013.
D. 2012.
Câu 52. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = mx 3 −3x có hai
diểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC đều với C(2;1). Tính tổng tất cả các phần tử của S.

4
1
D. 3.
C. .
.
3
3
Câu 53. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y = x 3 −3mx 2 + 4m3 có hai
điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 với O là gốc toạ độ.
1
1
C. m = − 4 ;m = 4 .
D. m = −1;m = 1.
A. m ≠ 0.
B. m = 1.
2
2
Câu 54. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y = x 4 − 2mx 2 có ba điểm cực
trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.
A. m <1.
B. 0 < m <1.
D. m > 0.
C. 0 < m < 3 4 .

A. 0.

B.

Câu 55. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y = x 4 − 2mx 2 có ba điểm cực
trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 −1.
A. m = 1.
B. m = 2 2 − 2.
C. m = 2.

D. m = 2 −1.
Câu 56. Cho hàm số y = 3x −6x + 2, có đồ thị (C). Gọi A là điểm cực đại của (C); B,C là điểm
cực tiểu của (C). Gọi d là đường thẳng đi qua A và S là tổng khoảng cách từ B,C đến d. Tính tổng
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S.
4 5
3 10
.
.
A. 4 +
B. 6 +
C. 4 + 4 5.
D. 2 + 2.
5
5
Câu 57. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y = x 4 + (3m+1)x 2 −3 có ba
2
điểm cực trị tạo thành một tam giác cân có độ dài cạnh đáy bằng độ dài cạnh bên.
3
5
3

5
3
A. m = − .
B. m = − .
C. m = .
D. m = .
3
5
3
5
4

10

2

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 1
1
Câu 58. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x 3 −3x 2 + 2 có hai điểm cực trị
nằm về hai phía đối với đường tròn (Cm ) : x 2 + y 2 − 2mx − 4my + 5m2 −1= 0.
5
5
3
3
A. 1< m < .

B. −1< m < .
C. < m <1.
D. − < m <1.
3
3
5
5
Câu 59. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm
số y = x 3 −3mx 2 + 6m3 tạo với trục hoành góc 450.
1
1
1
.
C. m = − ;m =
D. m = − .
A. m = −1;m = 1.
C. m = −1.
2
2
2
4
Câu 60. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = −x + 2mx 2 − 4 có các
điểm cực trị đều nằm trên các trục toạ độ.
A. (−∞;0) ∪{2}.
B. (−∞;0]∪{2}.
C. {−2;2}.
D. {2}.

CÁC KHOÁ HỌC MÔN TOÁN DÀNH CHO 2K – 2K1 – 2K2 – 2K3 TẠI VTED
PRO XMAX – VẬN DỤNG CAO 2018 MÔN

TOÁN CHO TEEN 2K
/>PRO X LUYỆN THI THPT QUỐC GIA MÔN
TOÁN 2018 CHO TEEN 2K
/>
PRO XPLUS – LUYỆN ĐỀ THI THỬ THPT
QUỐC GIA 2018 MÔN TOÁN
/>
BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 11
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
12 PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

PRO XMIN –BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018
MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÀ CÁC
SỞ ĐÀO TẠO
/>PRO Y NỀN TẢNG TOÁN 11 VỮNG CHẮC CHO
TEEN 2K1
/>PRO O CHƯƠNG TRÌNH HỌC SINH GIỎI
TOÁN 11 CHO TEEN 2K1
/>PRO Z NỀN TẢNG TOÁN 10 VỮNG CHẮC CHO
TEEN 2K2
/>ĐỘI NGŨ HỖ TRỢ VTED

ĐÁP ÁN
Thi và xem lời giải chi tiết tại khoá học PRO X />1B
2C
3B
4B

5A
6B
7D
8A
9A
10B
11A
12D
13C
14B
15C
16D
17C
18C
19A
20A
12

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


21C
31B
41A
51A

22A
32A
42A

52D

23B
33B
43A
53D

24A
34C
44B
54B

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 1
3
25D
26B
27A
28A
29B
30C
35B
36B
37A
38D
39A
40C
45B
46A
47A

48D
49A
50B
55A
56B
57A
58C
59B
60D

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 13
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN