Sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhằm nâng cao hiệu quả dạy học hình học không gian ở trường THPT

1

MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Đứng trước sự phát triển và đi lên của đất nước đang đòi hỏi
ngành giáo dục phải đổi mới phương pháp để nâng cao chất lượng dạy và
học. Giáo dục phải tạo nên những con người năng động, sáng tạo có năng
lực làm chủ vấn đề và giải quyết vấn đề. Phương pháp dạy học đóng vai trò
to lớn trong kết quả của quá trình giáo dục. Mỗi phương pháp dạy học sẽ
giúp nguời học phát triển trí tuệ và năng lực theo những hướng khác nhau.
1.2. Trong những năm gần đây việc đổi mới phương pháp dạy học ở
nước ta đã có một số chuyển biến tích cực. Các phương pháp dạy học hiện
đại như dạy học và phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy học khám phá, dạy
học kiến tạo đã được một số giáo viên áp dụng ở một góc độ nào đó qua
từng tiết dạy, qua từng bài tập. Những sự đổi mới đó nhằm tổ chức các môi
trường học tập trong đó học sinh được hoạt động trí tuệ nhiều hơn, có cơ
hội để khám phá và kiến tạo tri thức, qua đó học sinh lĩnh hội bài học và
phát triển tư duy cho bản thân họ. Tuy nhiên, giáo viên vẫn còn gặp khó
khăn trong việc thực hiện các phương pháp dạy học mới.
1.3. Trong nhà trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học.
Đối với học sinh có thể xem giải bài tập toán là một trong các hoạt động
chủ yếu của hoạt động toán học. Theo G. Polya thì hoạt động giải toán phải
thể hiện được: “đặc trưng của phương pháp khoa học đó là dự đoán và
kiểm nghiệm” ( Dẫn theo [23, tr .1]). Cách phát biểu bài toán có thể chỉ ra
nhiệm vụ cần thực hiện (như chứng minh mệnh đề), cũng có thể đặt học
sinh vào tình huống mò mẫm, dự đoán, thử nghiệm và tìm kết quả tức là
dạng bài toán mở. Nhưng hiện nay các bài tập trong sách giáo khoa thường
có cấu trúc dạng đóng, đồng thời vấn đề sử dụng bài tập mở như là phương
tiện giáo dục toán học cho học sinh chưa được quan tâm và khai thác một

2
cách hiệu quả, vì thế người giáo viên gặp khó khăn trong việc tạo ra một
môi trường học tập trong đó học sinh thực sự tích cực, chủ động, sáng tạo
trong việc tiếp nhận kiến thức.
1.4. Qua nghiên cứu lí luận và thực tiễn chúng tôi nhận thấy nếu người
giáo viên biết thiết kế và cấu trúc lại các bài tập trong sách giáo khoa thành
dạng bài tập mở phù hợp với năng lực của học sinh và xem nó như là một
phương tiện để tiến hành các phương pháp dạy học hiện đại thì có thể phát
huy được tính tích cực và khơi dậy được những khả năng tiềm tàng của học
sinh, đồng thời qua đó giáo viên nhận được nhưng thông tin về năng lực
của học sinh một cách chính xác để kịp thời rèn luyện, khắc phục và sữa
chữa những sai lầm.
1.5. Một số tác giả nước ngoài như là Moon và Schulman cũng đã đề
cập đến vấn đề sử dụng câu hỏi, bài tập mở trong dạy học ở trường phổ
thông. Ở Việt Nam đã có các công trình nghiên cứu về bài toán mở của các
tác giả Tôn Thân, Nguyễn Văn Bàng, Bùi Huy Ngọc, Phan Trọng Ngọ…
Tác giả Trần Vui cũng đã nghiên cứu việc “Khảo sát toán học” thông qua
bài tập mở. Gần đây vấn đề sử dụng bài tập mở cũng đã được bàn tới trong
luận án tiến sĩ của tác giả Đặng Huỳnh Mai, trong luận văn thạc sĩ của
mình tác giả Hồ Thị Hoài Ân đã chọn đề tài về câu hỏi mở cho đối tượng là
học sinh đại trà ở lớp 10.
Kết hợp với nghiên cứu đặc điểm sách giáo khoa hình học 11 và các
vấn đề trong giảng dạy hình học không gian chúng tôi chọn đề tài nghiên
cứu của luận văn là: “Sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhằm nâng cao hiệu
quả dạy học hình học không gian ở trường THPT”. Với đối tượng nghiên cứu
là học sinh khá và giỏi.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục đích của luận văn là nghiên cứu cơ sở lí luận và tính hiệu quả
của việc sử dụng bài tập mở. Đồng thời xây dựng câu hỏi, bài tập mở như

3
là một phương tiện để thực hiện các phương pháp dạy học hiện đại góp
phần nâng cao hiệu quả dạy học hình học lớp 11, với đối tượng là học sinh khá
và giỏi.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
3.1.Tổng hợp một số quan điểm của một số tác giả về cơ sở lí luận của
câu hỏi, bài tập mở.
3.2. Nghiên cứu và phân tích cơ sở lí luận của việc sử dụng câu hỏi,
bài tập mở theo quan điểm dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy học
khám phá, dạy học kiến tạo.
3.3. Nghiên cứu hệ thống bài tập trong sách giáo khoa hình học lớp 11
và các tài liệu có liên quan để xây dựng câu hỏi, bài tập mở nhằm nâng cao
hiệu quả dạy học hình học 11.
3.4. Thực nghiệm sư phạm.
4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Trên cơ sở chương trình và sách giáo khoa hiện hành nếu xây dựng
được hệ thống câu hỏi, bài tập mở phù hợp với từng nội dung và tổ chức
triển khai dạy học theo hướng sử dụng bài tập mở như là một phương tiện
để thực hiện các phương pháp dạy học không truyền thống thì sẽ góp phần
nâng cao hiệu quả dạy học.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
5.1. Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu thuộc các lĩnh vực:
toán học, phương pháp dạy học toán, giáo dục học, tâm lí học, các tài liệu
và bài viết có liên quan đến đề tài luận văn.
5.2. Quan sát: Quan sát và nghiên cứu thực tế dạy học toán ở trường
phổ thông và vấn đề sử dụng câu hỏi, bài tập mở trong dạy học phổ thông.
Sử dụng phiếu thăm dò để đánh giá thực trạng, đồng thời tham khảo ý kiến
các chuyên gia, giáo viên có nhiều kinh nghiệm về vấn đề nghiên cứu.

4
5.3. Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét
tính khả thi và hiệu quả của đề tài nghiên cứu.
6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Luận văn, ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo và phần
phụ lục có 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1. Câu hỏi, bài tập đóng, Câu hỏi bài tập mở.
1.1.1. Câu hỏi, bài tập đóng.
1.1.2. Câu hỏi bài tập mở.
1.2. Dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhìn theo quan điểm của các
lí thuyết dạy học hiện đại.
1.2.1. Dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở theo quan điểm dạy học
phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.2.2. Dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhìn theo quan điểm dạy
học kiến tạo.
1.2.3. Dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhìn theo quan điểm dạy
học khám phá.
1.3. Vai trò của câu hỏi, bài tập mở trong việc phát huy tính tích cực,
phát triển năng lực kiến tạo và khám phá kiến thức cho học sinh.
1.3.1. Vai trò của câu hỏi, bài tập mở trong việc phát huy tính tích
cực học tập của học sinh.
1.3.2. Vai trò của câu hỏi bài tập mở trong việc phát triển tư duy,
năng lực kiến tạo và khám phá kiến thức cho học sinh.
1.4. Tổ chức dạy học Toán theo hướng sử dụng câu hỏi bài tập mở.
1.5. Ưu điểm và hạn chế khi sử dụng câu hỏi, bài tập mở.
1.5.1. Ưu điểm.
1.5.2. Hạn chế.
1.6. Thực trạng của việc dạy học ở nước ta hiện nay.

5
1.7. Khả năng áp dụng câu hỏi, bài tập mở trong dạy học toán ở trường
THPT.
1.8. Kết luận chương 1.
Chương 2: Xây dựng câu hỏi, bài tập mở và vận dụng vào

giảng dạy một số nội dung trong chương trình hình học 11
2.1. Đặc điểm của sách giáo khoa chương trình hình học 11.
2.1.1. Đặc điểm về nội dung của sách giáo khoa hình học lớp 11.
2.1.2. Đặc điểm liên quan đến vấn đề sử dụng câu hỏi, bài tập mở.
2.2. Xây dựng câu hỏi, bài tập mở trong chương trình hình học 11.
2.2.1. Câu hỏi, bài tập mở nhằm củng cố khái niệm cho học sinh.
2.2.2. Câu hỏi, bài tập mở nhằm khắc sâu các kiến thức, định lí cho
học sinh.
2.2.3. Câu hỏi, bài tập mở nhằm phát triển nâng cao khả năng giải
toán cho học sinh.
2.3. Kết luận chương 2.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm.
3.2. Nội dung thực nghiệm.
3.3. Tổ chức thực nghiệm.
3.3.1. Chọn lớp thực nghiệm.
3.3.2. Hình thức tổ chức thực nghiệm.
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm.
3.4.1. Đánh giá định tính.
3.4.2. Đánh giá định lượng.
Kết luận của luận văn
Phụ lục: Một số giáo án dạy học theo hướng sử dụng câu hỏi, bài

tập mở


6

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1.Câu hỏi, bài tập đóng và câu hỏi, bài tập mở
1.1.1. Câu hỏi, bài tập đóng
Câu hỏi, bài tập đóng là dạng câu hỏi có cấu trúc hoàn chỉnh, ở đây
một câu trả lời đúng luôn được xác định rõ ràng theo một mục tiêu cố định
nào đó từ những giả thiết cần thiết được cho trong tình huống của bài toán.


 
Ví dụ 1.1. Cho u = (1;2), v = (−4;2). Chứng minh u và v vuông góc.
Ví dụ 1.2. Cho tam giác ABC vuông tại B. SA vuông góc với mặt
phẳng ABC tại A. Chứng minh BC ⊥ ( ASB ) .
1.1.2. Câu hỏi, bài tập mở
Theo Tôn Thân: “Câu hỏi, bài tập mở là dạng bài toán trong đó điều
phải tìm hoặc điều phải chứng minh không được nêu lên một cách rõ ràng,
người giải phải tự xác định điều ấy thông qua mò mẫm dự đoán và kiểm
nghiệm” [28, tr. 43]. Nghiên cứu của Tôn Thân về câu hỏi, bài tập mở chú
ý đến bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh.
Theo Nguyễn Văn Bàng: câu hỏi, bài tập mở là bài tập có 3 đặc điểm
sau:
- Bài tập được phát biểu ngắn gọn, dễ hiểu thuộc một lĩnh vực nhận
thức rất quen thuộc.
- Bài tập không quay về áp dụng trực tiếp những thuật toán hay thủ

thuật đã biết, bài tập không có những hướng dẫn về phương pháp giải do đó
bài tập không nêu cụ thể dạng chứng minh mệnh đề Toán học này khác.


7
- Người giải phải vận dụng các thao tác mò mẫm, dự đoán và thử
nghiệm.
Theo Phan Trọng Ngọ về hình thức câu hỏi có hai loại: “Câu hỏi đóng
(có - không hoặc đúng - sai; lựa chọn phương án đúng, điền thế, ghép đôi,
v.v…) và các câu hỏi mở” [21, tr. 212].
Bùi Huy Ngọc phát triển thêm: bài tập mà học sinh có tham gia vào
việc xây dựng giả thiết, hay phải chọn lọc hoặc điều chỉnh giả thiết gọi là
bài tập mở về giả thiết (mở đầu vào). Bài tập khi giải phải mò mẫm dự
đoán, biện luận nhiều trường hợp sẽ thuộc bài tập mở phía kết luận (mở đầu
ra).
Theo Trần Vui: “Câu hỏi, bài tập mở là dạng câu hỏi, bài tập trong đó
học sinh được cho một tình huống và yêu cầu cho thể hiện lời giải của mình
(thông thường là dạng viết). Nó có thể sắp xếp từ mức độ đơn giản yêu cầu
học sinh chứng tỏ một công việc, hoặc yêu cầu thêm giả thuyết rõ ràng vào
một tình huống phức tạp, hoặc giải thích các tình huống toán học, viết ra
phương hướng, tạo ra các bài toán mới có liên quan, tổng quát hoá. Các câu
hỏi mở có thể mở ít hay nhiều phụ thuộc vào bao nhiêu sự hạn chế hoặc
phương diện được tính đến. Câu hỏi, bài tập mở thường có cấu trúc như
thiếu dữ liệu hoặc các giả thiết và không có thuật giải cố định. Điều đó dẫn
đến có nhiều lời giải đúng cho một bài toán. Giải quyết câu hỏi, bài tập mở
đòi hỏi sự kiến tạo của chính bản thân học sinh” [34, tr. 77].
Theo [30, tr.22], “bài toán mở có thể có dạng tìm vấn đề và chọn mục
đích hoặc mục đích đã biết tìm phương pháp giải cũng có thể là dạng tìm
nhiều mục đích để phát triển”





Ví dụ 1.3. Cho u = (a; b) , tìm v sao cho u và v vuông góc.
Ví dụ 1.4. Trong không gian cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (O; R). Hãy
xét vị trí tương đối của (P) và mặt cầu?


8
Có nhiều ý kiến về dạng cấu trúc của câu hỏi, bài tập mở tuy nhiên,
trong luận văn này chúng tôi chú ý tới dạng câu hỏi, bài tập mở mà để giải
quyết vấn đề học sinh phải thực hiện quá trình dự đoán, mò mẫm, kiểm
nghiệm và dạng bài toán mở mà có thể tạo ra nhiều tình huống và bài toán mới.
Các dạng câu hỏi, bài tập mở có thể từ mức độ đơn giản đến phức tạp
từ việc giải thích các tình huống toán học đến việc tìm ra phương hướng,
tạo ra các bài toán có liên quan, ở mức độ cao hơn có thể là yêu cầu tổng
quát hoá, khái quát hoá. Câu hỏi, bài tập mở ở mức độ nào còn phụ thuộc
vào các thành tố của quá trình dạy học.
Giải quyết một bài toán mở yêu cầu học sinh phải tiếp cận và làm
thành thạo các bài toán đóng tương ứng, nắm vững kiến thức cơ bản đồng
thời huy động và cấu trúc lại kiến thức để mở rộng, tìm tòi và phát hiện các
kết quả còn tiềm ẩn.
1.2. Dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhìn theo quan điểm của
các lí thuyết dạy học hiện đại
1.2.1. Dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhìn theo quan điểm của
lí thuyết dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Theo các nhà tâm lý học, con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy
sinh nhu cầu tư duy, tức là khi đứng trước một khó khăn về nhận thức cần
phải khắc phục, một tình huống gợi vấn đề, hay nói như Rubinstein: "Tư duy
sáng tạo luôn bắt đầu bằng một tình huống gợi vấn đề".

Trong dạy học, một vấn đề biểu thị bởi một hệ thống những mệnh đề
và câu hỏi (hoặc yêu cầu hành động) thoả mãn hai điều kiện sau:
- Học sinh chưa giải đáp được câu hỏi đó hoặc chưa thực hiện được
hành động đó.
- Học sinh chưa được học một quy tắc có tính chất thuật toán nào để
giải đáp câu hỏi hoặc thực hiện yêu cầu đặt ra. Hiểu theo nghĩa trên thì vấn
đề không đồng nghĩa với bài tập. Những bài tập chỉ yêu cầu học sinh trực


9
tiếp vận dụng một quy tắc có tính chất thuật toán thì không phải là những
tình huống có vấn đề, ví dụ đối với học sinh THPT giải phương trình: x2
-5x + 4 = 0 không phải là tình huống có vấn đề.
Tính huống gợi vấn đề là một tình huống gợi ra cho học sinh những
khó khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt
qua, nhưng không phải là ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính chất thuật
toán, mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến
đổi đối tượng hoạt động hoặc điểu chỉnh kiến thức sẵn có. Như vậy, một
tình huống có vấn đề cần thoả mãn các điều kiện sau:
- Tồn tại một vấn đề: Tính huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn
với trình độ nhận thức, chủ thể phải ý thức được một khó khăn trong tư duy
hoặc hành động mà vốn hiểu biết sẵn có chưa đủ để vượt qua.
- Gợi nhu cầu nhận thức, tức là người học sinh phải cảm thấy sự cần
thiết, thấy mình có nhu cầu giải quyết. Tốt nhất là tình huống gây được
"cảm xúc" làm cho học sinh ngạc nhiên, thấy hứng thú mà mong muốn giải
quyết.
- Gây niềm tin ở khả năng: Nếu một tình huống tuy có vấn đề và vấn
đề tuy hấp dẫn, nhưng nếu học sinh cảm thấy nó vượt quá xa so với khả
năng của mình thì họ cũng không sẵn sàng giải quyết. Cần làm cho học
sinh thấy rõ tuy họ chưa có ngay lời giải, nhưng đã có một số kiến thức, kỹ

năng liên quan đến vấn đề đặt ra và họ tin rằng nếu tích cực suy nghĩ thì sẽ
giải quyết được.
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: "Tri thức không phải là điều có thể dễ
dàng cho không. Để dạy một tri thức nào đó, thầy giáo thường không thể
trao ngay cho học sinh điều thầy muốn dạy, cách làm tốt nhất thường là cài
đặt tri thức đó vào những tình huống thích hợp để học sinh chiếm lĩnh nó
thông qua hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo”.


10
Giới thiệu bài toán với tư cách là một tình huống gợi vấn đề với mục
đích làm cho vấn đề trở nên hấp dẫn tạo khả năng kích thích hoạt động tích
cực của học sinh.
Như vậy trong dạy học giải quyết vấn đề ta thấy:
+ Học sinh được đặt vào tình huống gợi vấn đề chứ không phải là
thông báo tri thức dưới dạng có sẵn.
+ Học sinh hoạt động tích cực, chủ động, tận lực huy động tri thức và
khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề.
+ Mục tiêu dạy học không phải là chỉ làm cho học sinh lĩnh hội kết
quả của quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề mà còn ở chỗ làm cho họ
phát triển khả năng tiến hành những quá trình như vậy. Nói cách khác học
sinh được học bản thân của việc học.
Điều quan trọng trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề không
phải là nêu lên các câu hỏi mà là cách đặt câu hỏi như thế nào để tạo ra
các tình huống có vấn đề.
Từ việc nghiên cứu bản chất của câu hỏi, bài tập mở chúng tôi cho
rằng nếu người giáo viên biết đặt ra các câu hỏi, bài tập mở phù hợp thì khi
đó cũng đồng thời ta được những tình huống có vấn đề và trong quá trình
giải quyết vấn đề vừa được đặt ra thì câu hỏi và bài tập mở sẽ giúp học sinh
tìm ra được những vấn đề mới từ đó tiếp nhận kiến thức một cách tích cực

và chủ động hơn.
Ví dụ 1.5. Sau khi học khái niệm hai véctơ cùng phương giáo viên có
thể nêu câu hỏi sau.

r r

r

r

r

Cho hai vectơ u , v và hai số thực a, b thoả mãn a.u + b.v = o .

r r
Hai vectơ u , v có cùng phương không?

Với câu hỏi này giáo viên có thể nhận được nhiều phản hồi từ phía học
sinh bởi qua những câu trả lời khác nhau.


11

r r

Có những học sinh trả lời vectơ u , v cùng phương, còn có những
r r
học sinh cho rằng hai vectơ u , v không cùng phương, và có thể có những
học sinh xét được những trường hợp của các số a, b, và đưa ra được kết
luận đúng trong từng trường hợp. Điều quan trọng là qua đó giáo viên đánh

giá được khả năng phân tích, suy luận của học sinh và khắc sâu được khái
niệm véctơ không và hai vectơ cùng phương.
Trong giờ luyện tập về quan hệ vuông góc giáo viên có thể nêu cho
học sinh câu hỏi với độ mở lớn như sau
Ví dụ 1.6. Trong một tứ diện các đường cao có đồng quy không?
Với câu hỏi này học sinh có thể liên tưởng tới tính đồng quy của 3
đường cao trong tam giác và cho rằng các đường cao trong tứ diện đồng quy.
Tuy nhiên, có những học sinh đưa ra ví dụ về những tứ diện mà đường
cao không đồng quy. Khi đó vấn đề mới đặt ra cho học sinh là “tứ diện nào
thì các đường cao đồng quy?”
S

Ví dụ 1.7. Ta xét ví dụ về dạy học giải quyết vấn
đề với câu hỏi mở.
Bài toán 1. (hình 1) Cho hình chóp S . ABCD , đáy

K

ABCD là hình vuông, SA vuông góc với (ABCD).

A

D

Dựng đường vuông góc chung của AD và SB.
Trong bài toán này học sinh có thể nhìn thấy

B

HìnhC 1

AD ⊥ SB . Từ A dựng AK ⊥ SB suy ra AK là đoạn vuông góc chung của

AD và SB.
Bài toán 2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành,

SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Hãy xác định đường vuông
góc chung của AD và SB. (hình 2)


12

Trong bài toán 2, AD không vuông góc với SB. Vì vậy, không
dựng trực tiếp được đoạn AK như trong bài toán 1, nên tình huống gợi
ra thực sự là tình huống có vấn đề.
Trong bài toán 1 ta thấy

AK ⊥ ( SBD ) ,

S

suy

ra AK sẽ vuông góc với mọi đường nằm
trong mặt phẳng (SBD).
Từ nhận xét đó ta có thể xác định được

M

K

A

phương của đường vuông góc chung của AD
và SB trong bài toán 2 không?
Với câu hỏi này học sinh có thể sẽ nghĩ B
đến dựng B’ trên BC sao cho AB ' ⊥ BC . Gọi

D

N

Hình C2

B'

AK là đoạn vuông góc chung của SB ' và AD . Khi đó đường vuông góc
chung của AD và SB sẽ song song với AK.
Ta có thể dựng đoạn vuông góc chung của AD và BS như thế nào?
Từ K dựng đường thẳng song song với AD cắt BS tại M. Từ M kẻ
đường thẳng song song AK cắt đường thẳng AD tại N. Khi đó MN là đoạn
vuông góc chung của AD và SB.
Trong bước vận dụng bài toán ta có thể nêu các câu hỏi sau:
Xét vị trí tương đối của mặt phẳng (SAB ) và AD?
Đường SB’ và SB có mối quan hệ gì ?

d2
N

Từ đó có thể nêu quy trình dựng đoạn vuông
d1

góc chung của hai đường thẳng d1 , d 2 chéo nhau
không ?
Ta đi đến quy trình sau:
Trường hợp 1. Nếu d1 ⊥ d 2 . (hình 3)

M

α

Hình 3


13
Gọi ( α ) là mặt phẳng qua d1 và vuông góc với d2 tại M. Dựng MN
vuông góc với d1 ta suy ra MN là đoạn vuông góc
d1

chung của d1 và d2.
Trường hợp 2. d1 , d 2 không vuông góc. (hình

M

4)

A

Từ bài toán 2, học sinh có thể nêu ra cách
dựng đoạn vuông góc chung của d1 , d 2 như sau.

d2
N
d3
K

α

+ Bước 1. Xác định ( α ) vuông góc với d1 và

Hình 4

cắt d1 tại điểm A. Gọi d3 là hình chiếu của d2 lên ( α ) .
+ Bước 2. Dựng đoạn vuông góc chung AK của d1 và d3 như trường hợp 1.
+ Bước 3. Dựng đường thẳng qua K song song với d1 cắt d2 tại N. Từ
N kẻ đường thẳng song song với AK cắt d 1 tại M. Chứng minh MN là đoạn
vuông góc chung của d1 và d2.
Khi đó giáo viên yêu cầu học sinh nhìn lại bài toán 2 theo cách dựng vừa nêu.
Như vậy dạy học theo hướng sử dụng câu hỏi, bài tập mở tương thích
với dạy học giải quyết vấn đề. Các câu hỏi, bài tập mở thông thường
chứa đựng các tình huống có vấn đề trong Toán học.
1.2.2. Dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhìn theo quan điểm của
lí thuyết dạy học kiến tạo
Theo lí thuyết kiến tạo nhận thức của Jean Piaget:
Học tập là quá trình cá nhân hình thành các tri thức. Tri thức được học
sinh tiếp thu một cách chủ động, sáng tạo và phát triển chứ không phải tiếp
nhận một cách thụ động từ bên ngoài. Nhận thức là quá trình thích nghi và
tổ chức lại thế giới quan của mỗi người nhưng không phải khám phá một
thế độc lập tồn tại bên ngoài ý thức con người.

14
- Jean Piaget cho rằng: “cấu trúc nhận thức có chức năng tạo sự thích
ứng của cá thể với các kích thích của môi trường. Các cấu trúc nhận thức
có được hình thành theo cơ chế đồng hoá và điều ứng” [21, tr. 58].
+ Đồng hoá là quá trình chủ thể tái lập lại một số đặc điểm của khách
thể được nhận thức vào các cấu trúc đã có trước đó.
+ Điều ứng là quá trình thích nghi và biến đổi những đặc điểm của
khách thể vào cái đã có tạo ra cấu trúc mới.
Đồng hoá dẫn đến sự tăng trưởng các cấu trúc đã có trước đó còn điều
ứng tạo các cấu trúc kiến thức mới
Quá trình thu nhận tri thức mới của học sinh có được theo sơ đồ sau:
Tri thức đã có Dự đoán Kiểm nghiệm Thích nghi (nếu thành công)
Kiến
thức mới
Thất bại Dự đoán khác

Ta thấy rằng những câu hỏi, bài tập mở có “độ mở ít” tạo điều kiện
củng cố các khái niệm hoặc khắc sâu kiến thức cho học sinh.

r r

rr

Ví dụ 1.8. Xác định góc giữa hai vectơ u , v biết u.v = 0
Với câu hỏi này thì giáo viên sẽ cũng cố được cho học sinh khái niệm
hai vectơ vuông góc và vectơ không.
Còn những câu hỏi, bài tập mở với “độ mở nhiều” sẽ tạo điều kiện
để học sinh thực hiện quá trình điều ứng kiến thức và thu nhận kiến thức
mới.
Ví dụ 1.9. Cho ABCD là tứ diện gần đều AB = CD = a, BC = AD = b,
CA = BD = c. Tìm thể tích tứ diện theo a, b, c. (hình 5)

Rõ ràng có nhiều định hướng tìm lời giải cho bài toán trên. Tuy nhiên
ta giả sử bài toán trên được nêu lên sau khi học sinh biết cách tính thể tích
của tứ diện DMNP có 3 góc phẳng ở đỉnh D vuông.


15
Ban đầu học sinh có thể nghĩ tới tính thể tích ABCD theo công thức
V =

D

1
S .h nhưng sẽ gặp khó khăn với việc tính
3

đường cao buộc học sinh phải cấu trúc lại
kiến thức để tìm cách tính.

M

C

P

Khi đó giáo viên có thể nêu các câu hỏi

B

A

mở để học sinh thực hiện quá trình điều ứng

Hình 5

kiến thức.

N

Có thể tìm sự liên hệ giữa tứ diện ABCD với một hình nào đó đã tính
được thể tích hay không?
Nếu DMNP là tứ diện vuông đỉnh D ta có thể dựng được một tứ diện
gần đều có quan hệ đặc biệt với tứ diện đã cho không?
Từ đó học sinh có thể tìm ra nhận xét.
Gọi A, B,C lần lượt là trung điểm của MN, NP, MP.
1
4

Khi đó ta có ABCD là tứ diện gần đều và V ABCD = VDMNP .
Mặt khác nếu AB = CD = a, BC = AD = b, CA = BD = c
Sử dụng hệ thức Pitago ta tính được
DM = 2(a 2 + b 2 − c 2 ) ,

Suy ra V ABCD =

DN = 2(c 2 + b 2 − a 2 ) , DP = 2(c 2 + a 2 − b 2 )

1
2( a 2 + b 2 − c 2 )(b 2 + c 2 − a 2 )(a 2 + c 2 − b 2 ) .
12

Ta thấy câu hỏi, bài tập mở là tình huống mang tính kiến tạo, đặt ra
cơ hội kiến tạo kiến thức cho học sinh. Có thể nói rằng dạy học sử dụng
câu hỏi, bài tập mở là tương thích với dạy học kiến tạo.
1.2.3. Dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhìn theo quan điểm của
lí thuyết dạy học khám phá
Jerome Bruner đã đễ xuất mô hình dạy học khám phá được đặc trưng
bởi các yếu tố cơ bản sau đây:


16
a. Hành động tìm tòi khám phá của học sinh.
Theo Jerome Bruner, học sinh phải là người tự lực, tích cực hành động
tìm tòi, khám phá đối tượng học tập để hình thành cho mình các nguyên
tắc, các ý tưởng cơ bản từ các tình huống học tập cụ thể. Trong học tập
khám phá cho phép người học đi qua các giai đoạn các hình thức học tập
sau: đầu tiên là các hành động phân tích trên cơ sở các kiến thức và các vấn
đề nêu ra. Trên cơ sở đó thực hiện các bước chuyển di các nguyên tắc, các
kiến thức đã có vào các tình huống, và cuối cùng rút ra được các kết quả.
b. Cấu trúc của vấn đề
Cấu trúc tối ưu của nhận thức với đặc tính là sự tối giản hoá các thông
tin, khả năng tìm ra được sự kiện mới, hiểu biết rộng hơn những thông tin
đã cho và khả năng vận dụng kiến thức đã học vào giải uyết các vấn đề.
Tính đơn giản hoá các thông tin giúp người học nhận ra được cái
chung, cái riêng, nhận ra được tính đặc trưng của vấn đề. Khả năng sinh ra
cái mới chính là khả năng tìm ra được sự kiện mới, hiểu biết sâu và rộng
hơn những thông tin đã cho, khả năng vận dụng kiến thức đã học được vào
việc giải quyết các tình huống riêng. Theo Jerome Bruner có hai loại ứng
dụng cấu trúc: “Loại thứ nhất là chuyển di các mối liên tưởng, các kĩ năng
hay kĩ xảo mẫu đã tiếp thu được sang các liên tưởng, kĩ năng gần giống với
nó. Loại thứ hai là chuyển di các nguyên tắc, các thái độ đã có vào các tình

huống khác nhau” [21, tr. 61]. Về cơ bản đây là học một ý tưởng để dùng
làm cơ sở cho việc triển khai các vấn đề cụ thể sau đó. Jerome Bruner cho
rằng, loại chuyển di này là trọng tâm của quá trình dạy học. Đó là sự mở
rộng và đào sâu không ngừng kiến thức theo những ý tưởng, nguyên tắc tổng
quát và cơ bản.
c. Đánh giá quá trình khám phá của học sinh
Jerome Bruner đề nghị phân biệt trạng thái thành công hay thất bại
trong quá trình khám phá với sự thưởng phạt. Đôi khi quá trình khám phá


17
của học sinh không đạt được kết quả như mong muốn nhưng những gì học
sinh thu được trong quá trình trải nghiệm đó có thể rất tốt và bổ ích. Do đó
trong dạy học cần phả trả lại chức năng ban thưởng của sự thành công hay
thất bại của người học. Người học tự thưởng hay phạt bằng cách đánh giá
những cố gắng của mình khi độc lập giải quyết vấn đề. Đừng để học sinh
đánh mất niềm vui đích thực của việc học.
Học tập là quá trình lĩnh hội những tri thức mà loài người đã tích lũy
được. Trong học tập, học sinh cũng phải được khám ra những hiểu biết mới
đối với bản thân. Học sinh sẽ thông hiểu, ghi nhớ và vận dụng linh hoạt
những gì mà mình đã nắm được qua hoạt động chủ động tự lực khám phá
của chính mình. Tới một trình độ nhất định thì sự học tập tích cực, sự khám
phá sẽ mang tính nghiên cứu khoa học và người học cũng tạo ra những tri
thức mới cho khoa học.
Khác với khám phá trong nghiên cứu khoa học, khám phá trong học
tập không phải là một quá trình tự phát mà là một quá trình có hướng dẫn
của giáo viên, trong đó giáo viên khéo léo đặt học sinh ở địa vị người phát
hiện, người khám phá lại những tri thức. Giáo viên không cung cấp những
kiến thức mới bằng phương pháp thuyết trình, giảng giải mà bằng phương
pháp tổ chức các hoạt động khám phá để học sinh tự lực khám phá tri thức mới.

Hoạt động khám phá trong học tập có nhiều dạng khác nhau, từ trình
độ thấp lên trình độ cao tùy theo năng lực tư duy của người học và được tổ
chức thực hiện theo cá nhân, nhóm nhỏ hoặc nhóm lớn, tùy theo mức độ
phức tạp của vấn đề cần khám phá.
Các dạng hoạt động khám phá trong học tập có thể là:
- Trả lời câu hỏi.
- Thử nghiệm, đề xuất giả thuyết, phân tích nguyên nhân, thông báo
kết quả.


18
- Thảo luận, tranh luận một vấn đề nêu ra hoặc giải các bài toán.
Quyết định hiệu quả học tập là những gì học sinh làm chứ không phải
những gì giáo viên làm. Vì vậy giáo viên phải tập trung vào thiết kế các
hoạt động của học sinh. Tuy nhiên, cũng không nên có tham vọng biến toàn
bộ nội dung bài học thành chuỗi các hoạt động khám phá. Số lượng hoạt
động và mức độ tư duy đòi hỏi ở mỗi họat động trong một tiết học phải phù
hợp với trình độ học sinh để có đủ thời lượng để thầy trò thực hiện hoạt
động khám phá.
Mỗi câu hỏi, bài tập mở là một tình huống toán học và kích thích
hoạt động khám phá của học sinh và mở ra nhiều hướng của một chủ đề
có ý nghĩa. Giáo viên sử dụng câu hỏi, bài tập mở giúp học sinh phát huy
được hết khả năng toán học của mình và cho phép học sinh tiếp cận và
khám phá vấn đề theo cách mà các em chọn.
Ví dụ 1.10. Ta xét ví dụ sau về dạy học khám phá nhờ các câu hỏi mở.
Bài tập 72 trang 64 sách bài tập hình học 11. (hình 6)
Cho hình chóp S. ABC và điểm M nằm trong tam giác ABC. Các
đường thẳng qua M lần lượt song song với các đường thẳng SA, SB, SC,
cắt các mặt phẳng (SBC), (SCA), (SAB) tại A1 , B1 , C1 .
a. Gọi N là giao điểm của SA1 và BC , chứng minh các điểm A, M, N

thẳng hàng, từ đó suy ra cách dựng điểm A1 .
MA

HM

1
b. Chứng minh SA = HA .

S

MA1

MB

MC

c. Chứng minh SA + 1 + 1 =1.
SB
SC
Ta phát biểu bài toán trên thành bài toán mở
như sau:

C1
A1

A

K

C

N

E

M

B


19
Cho hình chóp S. ABC và điểm M nằm trong tam giác ABC. Các
đường thẳng qua M lần lượt song song với các đường thẳng SA, SB, SC,
cắt các mặt phẳng (SBC), (SCA), (SAB) tại A1 , B1 , C1 .

Hình 6

a. Hãy nêu cách dựng điểm A1 , B1 , C1 , và giải thích cách dựng đó.
MA

MB

MC

1
1
b. Tìm mối liên hệ giữa các hệ thức SA , 1 ,
với S MAB , S MAC ,
SB SC

MA

MB

MC

1
S MCB , S ABC ? Có nhận xét gì về tổng
+ 1+ 1?
SA
SB
SC

MA1 MB

MC

1
c. Tồn tại hay không điểm M để cho tích SA . 1 .
đạt giá trị
SB
SC

lớn nhất?
Để giải quyết bài toán trên giáo viên có thể kết hợp nhiều câu hỏi dưới
các hình thức kiến tạo, giải quyết vấn đề hoặc khám phá.
Do MA1 // SA nên có mp( MA1 , SA ), gọi N là giao điểm của
mp( MA1 , SA ) và BC. Từ đó suy ra cách dựng điểm A1 .
Do MA1 // SA ta suy ra điều gì ?
MA

NM

1
Khi đó học sinh có thể tìm ra được hệ thức SA = NA

Tìm hệ thức liên hệ giữa

NM
với
NA

S MAB , S MAC , S MCB và S ABC ? Hãy

chứng minh hệ thức đó.
NM

S

MBC
Khi đó học sinh đưa ra và chứng minh được hệ thức NA = S
ABC

MA1 S MBC
MB1 S MAC
=
Suy ra SA = S . Tương tự
.
S ABC
SB
ABC

MC1 S MBA
=
.
SA
S ABC

Từ đó học sinh đi đến kết luận
S MBC S MAC S MBA
MA1 MB1 MC1
⇒
+
+
=
+
+
SA
SB
SC
S ABC S ABC S ABC

MA1 MB1 MC1
+
+
=1
SA
SB
SC

20

Do tổng

MA1 MB1 MC1
+
+
=1
SA
SB
SC

MA1 MB

nên để tìm GTLN của SA . 1 .
SB

MC1
ta sẽ liên hệ đến BĐT nào?
SC

Với câu hỏi đó học sinh có thể tìm ra cách sau nhờ BĐT Cauchy.
3

 MA1 MB1 MC1 
3
MA1 MB1 MC1  SA + SB + SC 
1
1



≤
=
.
.
  =
SA


SB
SC
3
27
 3





Dấu = xảy ra khi
Suy ra

MA1 MB1 MC1 1
=
=
=
SA
SB
SC 3

NM
KM EM 1
= . Hay M là trọng tâm của tam giác ABC.
=
=
NA
KB
EC 3

Qua ví dụ ta thấy giáo viên có thể kết hợp câu hỏi, bài tập mở cùng với
các câu hỏi định hướng để dẫn dắt học sinh tìm tòi và khám phá kiến thức.
Việc giải toán là một yêu cầu rất quan trọng đối với học sinh. Do vậy
khi dạy học sinh giải toán, giáo viên không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải
mà quan trọng hơn là dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm ra con đường
hợp lý để giải toán. Bởi theo G. Pôlya: "Tìm được cách giải một bài toán là
một điều phát minh".
Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, lẽ đương nhiên không
cần huy động đến mọi kiến thức mà người giải đã thu thập, tích luỹ được từ
trước.
Giáo viên thông qua các câu hỏi mở để rèn luyện khả năng huy động
đến những kiến thức nào, cần xem xét đến những mối liên hệ nào. Người
giải toán đã tích luỹ được những tri thức ấy trong trí nhớ, giờ đây rút ra và
vận dụng một cách thích hợp để giải bài toán. G. Pôlya gọi việc huy động
có chọn lọc các tri thức thích ứng với bài toán đang giải là sự tổ chức.


21
Như vậy ta có thể xem câu hỏi, bài tập mở là phương thức truyền tải
hiệu quả vấn đề mà giáo viên muốn học sinh tìm tòi, đó cũng là cách để
kích thích khả năng khám phá của học sinh.

1.3. Vai trò của câu hỏi, bài tập mở trong việc phát huy tính tích
cực, phát triển năng lực kiến tạo và khám phá kiến thức cho học sinh
1.3.1. Vai trò của câu hỏi, bài tập mở trong việc phát huy tính tích
cực học tập của học sinh
+ Học là hoạt động tích cực, tự lực, sáng tạo của học sinh. Bất kì hoạt
động nhận thức nào trong đó có sự học là một quá trình tích cực. “kiến thức
chỉ thực sự là kiến thức khi nào nó là thành quả của những cố gắng tư duy
chứ không phải là trí nhớ” [13, tr.18], học sinh không bao giờ nắm kiến
thức một cách thực sự nên không có sự tham gia tích cực của hoạt động tư
duy. Đặc biệt việc nắm kiến thức toán học không đơn giản là việc học thuộc
lòng không thể chỉ dạy giải bài tập mà chỉ có thể học giải bài tập. Nhiều
học sinh giải bài tập theo mẫu mà không hiểu bản chất cách giải. Đó cũng
là một trong những nguyên nhân học kém môn toán.
Để nắm được kiến thức toán học học sinh cần phải hiểu nó, muốn thế
học sinh phải có những cố gắng, hứng thú học tập nhất định. “ việc nắm
kiến thức diễn ra tuỳ theo mức độ biểu lộ tính tích cực của trí tuệ và lòng
ham hiểu biết của mỗi em” [13, tr. 19].
+ Tính tích cực của nhận thức là thái độ cải tạo của chủ thủ thể đối với
khách thể thông qua sự huy động cao của các chứcc năng tâm lí nhằm giải
quyết vấn đề học tâp, nhận thức.
Tính tích cực nhận thức đối với học sinh đòi hỏi phải có những nhân
tố, tính lựa chọn, thái độ đối với đối tượng nhận thức. Đề ra cho học sinh
mục đích nhiệm vụ cần giải quyết sau khi đã lựa chọn đối tượng cải tạo
trong hoạt động. Nếu hoạt động thiếu những nhân tố có tính lựa chọn thái
độ đối với nhận thức thì chỉ thể hiện trạng thái hành động nhất định của con


22
người mà không thể nói đến tính tích cực nhận thức. Ví dụ: giáo viên giải
bài tập bằng cách ghi lên bảng cho học sinh chép vào vở, nhiều học sinh sẽ

không hiểu gì cả, vì học sinh không thể hiện thái độ cải tạo đối với điều đó.
Hiện tượng tích cực và trạng thái hoạt động bình thường có thể giống
nhau về bề ngoài nhưng khác nhau về bản chất. Trong giờ học toán học
sinh có thể chăm chú nghe thầy, ghi chép tất cả những điều đã có trên bảng,
thậm chí có nhiều em cố gắng học thuộc lòng các quy tắc, định lí nhưng
chưa hẳn đã thể hiện thái độ tích cực trong học tập. Tính tích cực chỉ được
thể hiện trong hoạt động cải tạo, đòi hỏi phải thay đổi, phải có tình huống
mà trước tiên là trong ý thức của chủ thể hành động. Chỉ có kích thích sự
hoạt động nhận thức của học sinh và nâng cao những cố gắng của bản thân
các em trong việc vững kiến thức ở tất cả các giai đoạn dạy học mới có thể
cải thiện được kết quả học tập.
Người ta phân tính tích cực theo ba cấp độ khác nhau trong hoạt động
nhận thức.
- Tính tích cực tái hiện dựa vào trí nhớ và tư duy tái hiện. Tính tích
cực này chỉ phát huy trong khi hoạt động có ý thức, hoạt động này phục vụ
cho sự vận động tiếp theo nào đó.
- Tính tích cực tìm tòi được đặc trưng bằng sự bình phẩm, phê phán.
cố gắng cao về mặt nhận thức, sự khao khát hiểu biết, vươn lên trong học
tập. Tính tích cực này không bị hạn chế bởi yêu cầu của giáo viên trong giờ
học.
- Tính tích cực sáng tạo là mức độ cao nhất của tính tích cực. Nó đặc trưng
bằng sự khẳng định con đường riêng của mình mang tính sáng tạo, không chấp
nhận theo con đường củ, phát kiến những giá trị mới trong nhận thức.
Trong dạy học toán tính tích cực đều có thể biểu hiện ở ba cấp độ tuỳ
thuộc vào nội dung, phương pháp dạy học và đối tượng học sinh. Chúng tôi cho
rằng câu hỏi, bài tập mở có thể phát huy tốt cấp độ tìm tòi và sáng tạo.


23
Tính tích cực của nhận thức chỉ được bắt đầu khi mà ta đặt học sinh trước

một hình huống có vấn đề. Vì thế trong giờ học giáo viên chú ý nãy sinh
thường xuyên các vấn để kích thích tính tích cực học tập của học sinh. Nếu như
bài tập đóng thường áp dụng trực tiếp kiến thức, vận dụng các phép tính,
công thức, hoặc dễ định hướng lời giải thì câu hỏi, bài tập mở thường đưa
học sinh đến thình huống mới lạ, kích thích sự tìm kiếm kết quả và cách
thức giải quyết vấn đề.
Theo Kharlamov học là quá trình chủ thể của quá trình nhận thức (học
sinh) tự biến đổi mình, bằng cách chọn lọc, tiếp nhận và xử lí thông tin lấy
từ môi trường xung quanh, con đường tiếp nhận và biến đổi tri thức, hình
thành kĩ năng của chủ thể là thông qua các hoạt động, các mối giao lưu,
tương tác giữa các cá nhân với nhau hay tập thể hoặc giáo viên. Ta có thể
thấy rằng bản thân khái niệm học đã nói lên yêu cầu về tính tích cực của
chủ thể nhận thức. Sẽ không có một tri thức nào được hình thành, không có
kĩ năng nào được phát triển nếu người học không hoạt động tích cực ở mức
độ nhất định. Bản thân nguồn tri thức phải chứa đựng những yếu tố kích
thích tích cực của chủ thể khi họ đã sẵn sàng tiếp nhận nó. Vì vậy nói đến
phát huy tính tích cực học tập của học sinh thì thầy giáo phải làm cho
nguồn tri thức phát triển ở mức độ cần thiết và làm tăng tính tích cực bằng
những kích thích bên trong cấu trúc của bài toán trong quá trình dạy học.
Câu hỏi, bài tập mở có điều kiện kích thích tính tích cực theo hướng đó.
Như vậy trong quá trình dạy học giáo viên có thể tìm cách thay đổi cấu
trúc của bài toán từ bài toán từ dạng đóng sang dạng mở để phát huy tính
tích cực của học sinh.
Ví dụ 1.11. Trong chương trình hình học phẳng ta có.
Bài toán 1. Cho tam giác OBC, đường thẳng d cắt OB, OC lần lượt tại
các điểm B1, C1. (hình 7)


24

Chứng minh

S∆OB1C1
S∆OBC

=

OB1 OC1
.
OB OC

O

Hãy phát biểu bài toán tương tự trong không gian?
Câu hỏi này sẽ kích thích học sinh đi tìm sự tương

C1
B1

ứng từ phẳng lên không gian.
Đường thẳng tương ứng với mặt phẳng

Hình 7
C

B

Tam giác tương ứng với chóp
Diện tích tương ứng với thể tích.
Học sinh có thể nghĩ đến mệnh đề sau.

O

Bài toán 2. Cho hình chóp O.ABC, nếu mặt
C1

phẳng (P) cắt các cạnh OA, OB, OC, tại A 1, B1, C1
thì

VOA1B1C1
VOABC

OA OB OC
= 1 . 1 . 1 . (hình 8)
OA OB OC

A1

B1

A

C

Ta thấy câu hỏi, bài tập mở nếu được sử dụng
B 8
Hình

một cách hợp lí sẽ góp phần gợi động cơ, tích cực
hoá các hoạt động học tập của học sinh .

Ví dụ 1.12. Bài toán 1. Cho hai đường thẳng a,
b chéo nhau. Tồn tại hay không mặt phẳng (α ) , ( β ) lần

b

lượt chứa a, b và song song với nhau ? ( hình 9).

β

Học sinh có thể trả lời câu hỏi này bằng cách dựng
(α ) và ( β ) .

Từ đó giáo viên có thể tiếp tục nêu các câu hỏi

a
α

Hình 9

mở để phát huy tính tích cực cho học sinh.
Cho tứ diện ABCD, qua các cặp cạnh đối của tứ diện tương ứng vẽ các
cặp mặt phẳng song song (mỗi mặt chứa cạnh thứ nhất và song song với
cạnh thứ hai và ngược lại). Hình tạo bởi giao tuyến của 6 mặt phẳng trên là
hình gì ? Hãy giải thích kết luận đó.


25
Nếu ABCD là tứ diện gần đều thì hình tạo thành có đặc điểm gì ?
Qua các câu hỏi mở học sinh đã chủ động và tích cực tìm kiếm và đi
đến kết quả sau:

nêu ta được hình hộp AEBFHDGC và gọi là

B

E

Cho hình tứ diện ABCD với cách dựng đã
A

F

hình hộp ngoại tiếp tứ diện ABCD. Nếu ABCD là
tứ diện gần đều thì AEBFHDGC là hình hộp chữ
nhật. (hình 10)
Nếu ABCD là tứ diện gần đều. Hãy so sánh

G

D
H

Hình 10
C

thể tích của ABCD và thể tích của hình hộp?

VABCD = VAEBFHDGC − VAHDC − VBDGC − VABFC − VABED
1
6

Mặt khác ta thấy VAHDC = VBDGC = VABFC = VABED = VAEBFHDGC
1
⇒ VABCD = VAEBFHDGC .
3

Nếu biết AB = CD = b, AC=BD=c, AD=BC=a, hãy tính thể tích ABCD?
Do AEBFHDGC là hình hộp chữ nhật nên tính được
a 2 + b2 − c2
b2 + c 2 − a 2
a2 + c 2 − b2
, HC =
, HA =
HD =
2
2
2

Suy ra VABCD =

1
2 ( a 2 + b2 − c 2 ) ( a 2 + c 2 − b2 ) ( b2 + c 2 − a 2 ) .
12

Học sinh có thể thấy rằng đây cũng là một phương pháp tính thể tích
của tứ diện gần đều.
Ví dụ 1.13. Cho hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau và vuông góc với
nhau, gọi AB là đoạn vuông góc chung ( A ∈ d1 , B ∈ d 2 ). Trên d1, d2 lần lượt
lấy các điểm M, N sao cho AM = x, BN = y . Tìm mối liên hệ của MN và
AB với x, y khi MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB . (hình 11)
Giáo viên có thể định hướng cho học sinh bằng câu hỏi sau