SKKN học tốt quan hệ vuông góc image marked

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MƠN TỐN

ĐỀ TÀI:MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
HƯỚNG DẪN HỌC SINH HỌC TỐT
QUAN HỆ VNG GĨC TRONG HÌNH
HỌC KHƠNG GIAN

1


TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

A/ PHẦN MỞ ĐẦU
I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong q trình dạy tốn ở bậc THPT tơi nhận thấy đa số học sinh rất e ngại bài
tốn hình học khơng gian, tình trạng này có nhiều lý do :
1/ Để học tốt phân mơn HHKG đòi hỏi người học phải có tư duy nhại bén, óc
tưởng tượng phong phú, phải nắm được các qui ước vẽ hình. Nhưng hiện nay đa số
học sinh lại lười tư duy, ít suy nghĩ, bài tốn nào hơi khó là bỏ qua khơng kiên trì
tìm kiếm phương pháp giải.
2/ Phân mơn HHKG được học phần cơ bản ở lớp 11 và phần tổng hợp ở lớp 12.

Do đó đa số học sinh khơng chú ý, khơng nắm vững vấn đề cốt lõi của chương trình
lớp 11, khơng rèn luyện kỹ năng giải tốn từ lớp 11 nên khi lên lớp 12 hầu hết các
em đều sợ phần HHKG này.
Mặt khác trong đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi ĐH ln có một bài tốn HHKG
ở phần bắt buộc,vì vậy để giúp các em học sinh làm tốt hơn bài tốn HHKG trong
các kỳ thi tôi mạnh dạn viết đề tài này.Nội dung đề tài này tơi chỉ gợi ý một vài
dạng tốn chủ lực và phương pháp giải để từ đó học sinh vận dụng vào giải đề
tốn trong các kỳ thi.
Tơi rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân thành của q thầy cô cùng
đồng nghiệp để bài viết được tổng quát hơn, hay hơn
II/ NỘI DUNG :
Bài viết gồm các phần sau:
1/ Cách xác định đoạn vng góc hạ từ một điểm đến một mặt phẳng. Từ dạng
tốn này học sinh tính được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng
cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó, khoảng cách giữa
hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, tính góc
giữa đường thẳng và mặt phẳng.
2/ Cách vẽ mặt phẳng qua M và song song với hai đường thẳng a và b cho trước,
tìm thiết diện.
Từ dạng tốn này học sinh vẽ được mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng
cho trước, vẽ được mặt phẳng qua M và vng góc với đường thẳng a cho trước,
vẽ được mặt phẳng chứa đường thẳng a và vng góc với mặt phẳng cho trước.

2


TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

B/ PHẦN NỘI DUNG

Dạng 1 : Cách xác đònh đọan vuông góc hạ từ điểm M đến mặt phẳng (  )
TH1 : Ta có định lý : « Nếu từ M có các đọan xiên dài bằng nhau thì hình chiếu của chúng
phải bằng nhau và ngược lại », căn cứ vào định lý này ta xác định chân đường vng góc hạ từ
điểm M
TH2 : Nếu từ M không có các đọan xiên dài bằng nhau thì :
+ Chọn mặt phẳng (  ) qua Mvà (  )  (  )
+ Tìm c = (  )  (  )
+ Từ M hạ đường vuông góc MH đến đường giao tuyến c  MH  ( )

Ứng dụng 1 : Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (  ): là độ dài MH
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a , SA = SB = SC =

2a 3
3

a/ Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) ?
b/ Tính góc giữa SA và mặt phẳng ( ABC) ?

Giải:

S

Nhận xét:Do SA = SB = SC nên bài tốn này thuộc TH1
Gọi H là hình chiếu vng góc của S trên mặt phẳng (ABC)
Do SA = SB = SC nên HA = HB = HC
 H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Do tam giác ABC đều nên H là trọng tâm tam giác ABC
 d( S, (ABC)) = SH

a 3
Ta có HA =
3
Xét tam giác SAH: SH  SA2  AH 2  a

H

A

C

3

a 3
1
S ABC .SH =
12
3

b/  SA,  ABC     SA, AB   SAH

VSABC =

B

AH 1
  600
  SAH
SA 2
Từ cách xác định ở TH1 ta đi đến một nhận xét cho hình chóp đa giác đều:

“ Trong hình chóp đa giác đều thì hình chiếu vng góc của đỉnh trên mặt phẳng đáy phải trùng với
tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy”

=
cos SAH

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh

bên bằng a 2 ,Tính thể tích khối chóp đều S.ABCD
3


TRNG THPT HNG VNG

SNG KIN KINH NGHIM

Nhn xột Vỡ S.ABCD l hỡnh chúp u nờn hỡnh chiu ca S trờn mt phng (ABCD) phi trựng vi
tõm ng trũn ngoi tip hỡnh vuụng ABCD .T ú ta cú cỏch v hỡnh nh sau:
* Bc 1: V hỡnh vuụng ABCD, ly giao im hai ng chộo l O
* Bc 2: T O dng ng vuụng gúc vi mt phng (ABCD), chn nh S khỏc O trờn ng
vuụng gúc ny
* Bc 3: Ni S vi cỏc nh A, B, C, D ta c hỡnh chúp S.ABCD
Gii:
S
Vỡ S.ABCD l hỡnh chúp u nờn SO (ABCD) vi O = AC BD
1
VSABCD = S ABCD .SO
3
SABCD = a 2
Xột tam giỏc SAO vuụng ti O cú SA = a 2 ,

1
1
OA = AC a 2
2
2

SO SA2 OA2 2a 2

1
3

Vy VSABCD a 2 .

a 3
2



a2 a 3

2
2

A

D

a3

O

B

6

C

Vớ duù 3: Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a, AB (BCD)

và AB = a. Tính khoảng cách:
1) Từ D đến (ABC)

2) Từ B đến (ACD)

Gii:
A

1/ Nhn xột : ta cn xỏc nh on vuụng gúc h t D
n mt phng ( ABC)
DB = DC = a, DA = a 2 ( xột tam giỏc ABD vuụng ti B)
ta tỡm hai mt phng vuụng gúc nhau trong ú cú mt
mt phng i qua D
Ta cú :
AB (BCD) (ABC) (BCD)
M (ABC) (BCD) = BC
B
K DH BC DH ( ABC)
3
Vy khong cỏch t D n (ABC) l DH = a
2

( do DH l ng cao trong tam giỏc u BCD)
2/ Tớnh d( B,(ACD))?
Cỏch 1 : Gi M l trung im CD, ta cú :
4

K

D
H

M
C


TRNG THPT HNG VNG

SNG KIN KINH NGHIM

BM CD


AB CD
CD ( ABM ) (ACD) (ABM)
BM , AB ( ABM )
M (ABM) (ACD) = AM
K BK AM BK ( ACD)
Vy khong cỏch t B n (ACD) l BK
Xột tam giỏc ABM vuụng ti B
1
1

1
1
4
7
a 3


2 2 2 d( B,(ACD)) = BK =
2
2
2
BK
BA
BM
a
3a
3a
7
Cỏch 2 : Nhn xột : ta cú BA = BC = BD = a nu K l hỡnh chiu vuụng gúc ca B trờn (ACD)
thỡ KA = KC = KD K l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ACD
a 3
Do AC = AD = a 2 nờn K nm trờn AM, tớnh BK =
7

ng dng 2 : Khong cỏch t ng thng a n maởt phaỳng ( ) song song vi a
Vớ duù 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

SA (ABCD), SA = h. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Tính khoảng cách:
1) Từ B đến (SCD)
2) Từ O đến (SCD)

3)Gia SC v BD
4) Gia AB v SC

Gii:
1/ Tớnh d(B,(SCD)) ?
Nhn xột : T B ta khụng cú cỏc on xiờn bng nhau n
mt phng (SCD) v cng khụng tỡm c mt mt phng cha
B v vuụng gúc vi (SCD), nhng B nm trờn cng AB v
AB//CD nờn AB//(SCD)
Do ú d(B,(SCD)) = d(AB,(SCD))= d(A,(SCD))
Ta cú :
CD AD


CD SA
CD ( SAD) ( SCD) ( SAD)
AD, SA ( SAD)
M (SAD) (SCD) = SD
K AH SD AH ( SCD)
Vy khong cỏch t B n (SCD) l AH
B
Xột tam giỏc SAD vuụng ti A
2
2
ah
1
1
1
1
1 a h

2
2 2 2 2 AH =
2
2
AH
SA
AD
h
a
a h
a 2 h2
2/ Tớnh d(O,(SCD)) ?
5

S

H

I
E

A
D
O

K
C


TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG

1
Nhận xét : OI//SA và OI = SA với I là trung điểm SC
2

OK//AD và OK =

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1
AD với K là trung điểm CD
2

 (OIK) //(SAD)
CD  (SAD) nên CD  (OIK)  (SCD)  (OIK)
Mà (OIK)  (SCD) = IK
Kẻ OE  IK  OE  ( SCD)
Vậy khoảng cách từ O đến (SCD) là OE
Xét tam giác OIK vng tại O
ah
1
1
1
4
4 4(a 2  h 2 )


 2  2 
 OE =
2
2

2
2 2
OE
OI
OK
h
a
a h
2 a 2  h2

Ứng dụng 3 :Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là độ dài
đoạn vng góc chung của a và b hoặc bằng khoảng cách từ đường thẳng a
đến một mặt phẳng chứa đường b và song song với đường a
Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b :
+Chọn mặt phẳng (  )  b

,

(  ) // a

+Từ điểm M thích hợp trên đường a hạ MH  (  )
+Từ H dựng a/ // a  a /  b  I
+Từ I dựng IJ // MH ( J nằm trên đường a)
 IJ là đọan vuông góc chung của a và b
THĐB : Nếu a chéo b và a vuông góc với b thì :
+ Chọn mặt phẳng (  )  b

,

( )  a

+ Tìm H là giao điểm của a và (  )
+Từ H dựng HI vuông góc với b  IH là đọan vuông góc chung của a và b

Giải tiếp ví dụ 3:
3/ Tính khoảng cách giữa SC và BD
BD  AC


Ta có BD  SA
  BD  ( SAC )  BD  SC
AC , SA  ( SAC ) 
Như vậy BD và SC là hai đường thẳng chéo nhau nhưng
vng góc với nhau, hình chiếu vng góc của B trên mặt
phẳng (SAC) là điểm O
Ta có : BO  (SAC). Từ O dựng OH  SC
 OH là đoạn vng góc chung của SC và BD
AE
Xét tam giác SAC có OH // AE và OH =
2
2
2
1
1
1
1
1
2a  h
 2 
 2  2 

B
2
2
AE
SA
AC
h
2a
2a 2 h 2
6

S

H

I
E

A
D
O

K
C


TRNG THPT HNG VNG
ah 2
AE
2a 2 h 2

SNG KIN KINH NGHIM

Vy khong cỏch gia SC v BD l OH =

ah
2 2a 2 h 2

4/ Tớnh khong cỏch gia AB v SC
Ta cú AB // (SCD) nờn d ( AB,SC) = d( AB, (SCD)) = d( A, (SCD))
Vỡ CD (SAD) (SCD) (SAD)
SAD SCD SD , k AI SD AI (SCD)
1
1
1
1
1 a 2 h2




2 2
AI 2 SA2 AD 2 h 2 a 2
a h
ah
Vy d ( AB,SC) = d( A, (SCD)) = AI =
2
a h2

Xột tam giỏc SAD :

ng dng 4:xỏc nh v tớnh gúc gia ng thng v mt phng
xỏc nh gúc gia ng thng a v mt phng (P)thỡ :
Bc1:Xỏc nh giao im cu a v (P) , gi s l im A
Bc2:Trờn a chn im M khỏc im A, t M ta xỏc nh on vuụng gúc MH
n mt phng (P)
Bc3:Xỏc nh hỡnh chiu ca a trờn mt phng (P)l b, t ú xỏc nh gúc
gia ng thng a v mt phng (P)
Vớ duù 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

SA (ABCD), SA = a
a/ SD v (ABCD)

3 . Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Tớnh gúc to bi

b/ SC v (SAB)

Gii:
a/ Nhn xột : SD v (ABCD) cú im chung l D, chn im S
T S ta cú SA (ABCD)

c/ SB v (SAC)

S

SD l ng xiờn cú hỡnh chiu trờn (ABCD) l AD


( SD, ( ABCD)) ( SD, AD) SDA
Xột tam giỏc SAD vuụng ti A

600
= SA a 3 3 SDA
tan SDA
AD
a
b/ Nhn xột : SC v (SAB) cú im chung l S, chn im C
T C ta tỡm ng vuụng gúc vi mt phng (SAB)
CB AB


Ta cú CB SA
CB ( SAB)
SA, AB ( SAB)
B
SC l ng xiờn cú hỡnh chiu trờn (SAB) l SB

( SC , ( SAB)) ( SC , SB) CSB
Xột tam giỏc SBC vuụng ti B cú SB =

SA2 AB 2 2a
7

A
D
O

C


TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

BC
a 1
  arctan 1

  CSB
SB 2a 2
2
c/ Nhận xét : SB và (SAC)có điểm chung là S, chọn điểm B
Từ B ta tìm đường vuông góc với mặt phẳng (SAC)
BO  AC


Ta có BO  SA
  BO  ( SAC )
SA, AC  ( SAC ) 
SB là đường xiên có hình chiếu trên (SAC) là SO

 ( SB, ( SAC ))  ( SB, SO)  OSB
Xét tam giác SBO vuông tại O
a
  OB  2  1  OSB
  arcsin 1
sin OSB
SB
2a 2 2
2 2


tan CSB

Ví duï 5: Cho h×nh chãp đều S.ABCD cã đường cao SO = h, tạo với mặt bên

(SCD) một góc 300. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Giải:
Nhận xét:Ta cần xác định góc 300 là góc giữa SO với mặt phẳng (SCD)
SO và (SCD)có điểm chung là S, chọn điểm O
Từ B ta tìm đường vuông góc với mặt phẳng (SAC)
Từ O ta không có các đoạn xiên bằng nhau nên ta cần tìm một mặt
phẳng chứa O và vuông góc với (SCD)
Gọi K là trung điểm CD
CD  OK


Ta có CD  SO
  CD  ( SOK )
A
SO, OK  ( SOK ) 
CD  ( SCD)  ( SOK )  ( SCD)
( SOK )  ( SCD)  SK
B
Kẻ OH  SK  OH  ( SCD)
SO là đường xiên có hình chiếu trên (SCD) là SH
  300
 ( SO, ( SCD))  ( SO, SH )  OSH
h
2h
 AD  2OK 

Xét tam giác SOK ta có OK  SO.tan 300 
3
3
2
3
1
1 4h
4h
.h 
Vậy VSABCD  S ABCD .SO 
3
3 3
9

8

S

H

D
O

K
C


TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Dạng 2: Vẽ mặt phẳng thỏa điều kiện về song song hay vng góc
Trong dạng tốn này ta chỉ cần nắm vững một dạng cơ bản là vẽ mặt phẳng (  ) qua M và (  ) // a ,
(  ) // b , các dạng khác ta đều đưa về dạng cơ bản để vẽ .Phương pháp này giúp học sinh học tốt hơn vì
khơng cần phải nhớ nhiều, ngồi ra dạng cơ bản được hình thành từ một định lý rất quen thuộc với các em
trong bài đường thẳng song song với mặt phẳng , đó là định lý “ Nếu một đường thẳng a song song với
một mặt phẳng (P) thì bất kỳ mặt phẳng (Q) nào chứa a và cắt (P) theo một giao tuyến b thì b//a”

Dạng cơ bản: Vẽ mặt phẳng (  ) qua M và (  ) // a , (  ) // b .tìm thiết diện ?
Phương pháp: +Chọn mặt phẳng (  ) qua M và (  ) chứa đường thẳng a
 ( )  (  )  c .Vậy a// c
+ làm tương tự cho đường thẳng b
Ví dụ 1: Cho h×nh chãp S.ABCD có ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a; mỈt bªn
SAB lµ tam gi¸c ®Ịu; SC = SD = a 3 . M lµ ®iĨm trªn c¹nh AD. MỈt ph¼ng

(P)qua M song song với AB và SC cắt BC , SB, SA lần lượt tại tại N, P, Q
a/Chøng minh MQ//SD
b/ Tứ giác MNPQ hình gì?
c/ §Ỉt AM = x  0  x  a  . TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c MNPQ theo a vµ x. T×m x ®Ĩ
diƯn tÝch nµy nhá nhÊt
Giải: Nhận xét:Để vẽ được mặt phẳng (P) trước hết ta chọn một mặt phẳng chứa M và AB
hoặc SC, ở đây ta thấy mặt phẳng (ABCD) thỏa điều kiện chứa M và AB , nên ta sử dụng (P)//AB

a/Chøng minh MQ//SD

 P  // AB

*  ABCD   AB
   P    ABCD   MN // AB


M   P    ABCD  

( N  BC )

Nhận xét:Lúc này ta có hai điểm M, N nằm trong (P), tiếp tục ta chọn một mặt phẳng chứa
M hay N và chứa AB hoặc SC, ở đây ta thấy mặt phẳng (SBC) thỏa điều kiện chứa N và SC ,
nên ta sử dụng (P)//SC

 P  // SC
S

*  SBC   SC
   P    SBC   NP // SC ( P  SB)

N   P    SBC  
Q
Nhận xét:Lúc này ta có ba điểm M, N,P nằm trong (P),
P
tiếp tục ta chọn một mặt phẳng chứa một trong ba điểm M, N,
P và chứa AB hoặc SC, ở đây ta thấy mặt phẳng (SAB) thỏa
điều kiện chứa P và AB , nên ta sử dụng (P)//AB

 P  // AB
M

*  SAB   AB
A
   P    SAB   PQ // AB (Q  SA)

P   P    SAB  

  P    SCD   MQ
B
N

9

C

D


TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Bây giờ ta chứng minh MQ//SD
MN // AB 
Do
  MN // CD
AB // CD 


Mà MN , NP   P     P  //  SCD 

SC , CD   SCD  
 SAD    SCD   SD 
Ta lại có
  MQ // SD
 SAD    P   MQ 
NP // SC

b/ Tứ giác MNPQ hình gì?
PQ // AB 
  MN // PQ
MN // AB 
  SDC

SCD

SD // MQ 
   
Mặt khác SC = SD nên
  PNM  SCD , QMN  SDC
SC // NP

MN // CD 

Ta có

Vậy tứ giác MNPQ là hình thang cân
c/ Tính diện tích MNPQ?
MN  PQ
S MNPQ 
.QK với QK là đường cao của hình thang MNPQ
2
Ta có MN = AB = a
NP BN

Xét tam giác SBC có NP//SC nên
SC BC

Xét hình vuông ABCD có MN//AB nên

BN AM

BC
AD

NP AM
SC. AM

 NP 
x 3
SC
AD
AD
PQ SQ

Xét tam giác SAB có PQ//AB nên
AB SA
SQ DM

Xét tam giác SAD có MQ//SD nên
SA
DA
PQ DM
AB.DM

 PQ 
ax
Suy ra

AB
AD
AD

Suy ra

Kẻ đường cao QK của hình thang MNPQ, ta có MK =
Xét tam giác MQK : QK =
Vậy S MNPQ 

 2a  x  x

MQ 2  MK 2 

MN  PQ x

2
2

x 11
với MQ = NP
2

11

4

10

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

*/ Tìm x để diện tích MNPQ là nhỏ nhất ?
Ta có 0  x  a  2a  x  0
2

 2a  x  x 
2
Theo bất đẳng thức Cơ Si ta có  2a  x  x  
 a
2


2
a 11
 S MNPQ 
.Dấu « = » xảy ra khi 2a – x = x  x = a, khi đó M trùng D
4

Vấn đề : Vẽ mặt phẳng (  ) qua M và (  )// (  ) ø.tìm thiết diện ?
( ) //(  )
Phương pháp : + Sử dụng tính chất : 
 a //( ) quay về dạng cơ bản
a  (  )
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a, AD
= 2a, tam giác SAB vng cân tại A.M là điểm trên cạnh AD sao cho AM = x
(0< x< a). Mặt phẳng (P) qua M song song với mặt phẳng (SAB) cắt BC, SC, SD lần
lượt tại N, P, Q

a/ Tứ giác MNPQ hình gí?
b/ Tính diện tích MNPQ theo a và x.

Giải :
a/ Do (P) //( SAB) nên (P)//SA, (P)//SB và (P)//AB

 P  // AB

*  ABCD   AB
   P    ABCD   MN // AB ( N  BC )

M   P    ABCD  

 P  // SB

*  SBC   SB
S
   P    SBC   NP // SB ( P  SC )

N   P    SBC  

 P  // SA

*  SAD   SA
   P    SAD   MQ // SA

M   P    SAD  
  P    SCD   PQ

Vì MN//AB, AB//CD nên MN//CD, suy ra


 P  // CD

 SCD   CD
  PQ // CD suy ra MN//PQ
 P    SCD   PQ 

11

(Q  SD)
Q

P

A

B

M
D

N

C


TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SA // MQ 


Mặt khác MN // AB   MN  MQ
SA  AB 
Vậy tứ giác MNPQ là hình thang vng
b/ Tính diện tích MNPQ theo a và x.
MN  PQ
S MNPQ 
.MQ . Ta có MN = AB = a
2
MQ DM
SA.DM a (2a  x) 2a  x

 MQ 


Xét tam giác SAD có MQ//SA nên
SA
DA
DA
2a
2
PQ SQ

Xét tam giác SCD có PQ//CD nên
CD SD
SQ AM

Xét tam giác SAD có MQ//SA nên
SD AD
PQ AM
CD. AM a.x x


 PQ 


Suy ra
CD AD
AD
2a 2
x
a
2
2
2 .( 2a  x )   2a  x  2a  x   4a  x
Vậy S MNPQ 
2
2
8
8

Vấn đề : Vẽ mặt phẳng (  ) qua M và (  )  a :
b  ( ) 

Ta có định lý: b  a   b //( ) , căn cứ vào định lý trên ta có phương pháp vẽ mặt phẳng như sau:
( )  a 
Phương pháp: + Tìm b  a , c  a
+ Nếu b không qua M thì b// (  ),nếu b qua M thì b  ( )
+Làm tương tự cho đường thẳng c
+ quay về dạng cơ bản
Ví dụ 3: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thang vu«ng t¹i A vµ B víi

AB = BC = a, AD = 2a, SA  (ABCD) vµ SA = 2a. Gäi M lµ mét ®iĨm trªn c¹nh AB;
() lµ mỈt ph¼ng qua M vu«ng gãc víi AB. §Ỉt x = AM (0 < x < a).
a) T×m thiÕt diƯn cđa h×nh chãp S.ABCD víi mỈt ph¼ng (). ThiÕt diƯn lµ h×nh g×?
b) TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn.
Giải :
Nhận xét : Trước hết ta phải xác định mặt phẳng( ) Muốn vậy ta tìm hai đường thẳng khơng
cùng phương và vng góc với AB
BC  AB 
Ta có
  BC //( )
M  BC 
Mặt khác

SA  AB 
  SA //( )
M  SA 
12


TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Vậy mặt phẳng () là mặt phẳng đi qua M và song song với hai đường thẳng BC và SA
S

  // BC

*  ABCD   BC
      ABCD   MN // BC ( N  CD)


M      ABCD  
Q
P

  // SA

*  SAB   SA
      SAB   MQ // SA (Q  SB)

M      SAB  

  // BC

I
A
*  SBC   BC
      SBC   QP // BC ( P  SC )
E
M

Q      SBC  
B

D

N

     SCD   NP .Suy ra thiÕt diÖn tạo bởi h×nh chãp S.ABCD víi mÆt ph¼ng ()là MNPQ
C

MN // BC 
  MN // PQ
PQ // BC 
SA  AD


Mặt khác: MN // BC // AD   MQ  MN

MQ // SA


Ta có

Vậy MNPQ là hình thang vuông
MN  PQ
.MQ
b/ S MNPQ 
2
Xét hình thang ABCD , gọi I là trung điểm AD, E là giao điểm của MN và CI
 MN = ME + EN , ME = a = AI = ID = CI
EN CE
CE BM


Xét tam giác CID:
, mà
ID CI
CI
BA

ID.BM
 EN 
 a  x  MN = 2a – x
BA
MQ BM
SA.BM

 MQ 
 2a  x
Xét tam giác SAB:
SA
BA
BA
PQ SQ

Xét tam giác SBC:
BC SB
SQ AM

Xét tam giác SAB:
SB
AB
PQ AM
BC. AM

 PQ 
x
Suy ra
BC
AB

AB
MN  PQ
.MQ  2a  a  x 
Vậy S MNPQ 
2

13


TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Vấn đề : Vẽ mặt phẳng (  ) chứa đường thẳng a và (  )  (  ) :
( )  (  ) 
M  ( ) 
Ta có định lý:
  b  ( ) , căn cứ vào định lý trên ta có phương pháp vẽ mặt phẳng
M b 
b  (  ) 
như sau: Phương pháp: + Tìm b  (  )
+ Nếu b và a có điểm chung thì b  ( )
+ Nếu b và a không có điểm chung thì b// (  )
+ quay về dạng cơ bản
Ví dụ 4: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a; SA  (ABCD) vµ
SA = a 3 . Gäi () lµ mỈt ph¼ng chøa AB vµ vng góc với (SCD).
a) X¸c ®Þnh râ mỈt ph¼ng (). mỈt ph¼ng () c¾t h×nh chãp S.ABCD theo thiÕt diƯn lµ h×nh g×?
b) TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn.
Giải :
Nhận xét : Để xác định mặt phẳng( )ta tìm đường thẳng vng góc với

mặt phẳng (SCD)
S
CD  AD 
Ta có
  CD  ( SAD)
CD  SA 

 SCD    SAD 

Suy ra  SCD    SAD   SD   AH  ( SCD)

H

K



Vậy mặt phẳng () chính là mặt phẳng (ABH)
Do AB//CD nên (ABH)// CD

A
  // CD

 SCD   CD       SCD   HK // CD

H      SCD  
B
HK // CD 
Ta có
  HK // AB

AB // CD 
AH  (SCD)  AH  KH
Vậy thiết diện tạo bởi () và hình chóp S.ABCD là hình thang vng ABKH
b/ TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn.
1
1
1
1
1
4
a 3

 2  2  2  2  AH 
Xét tam giác SAD :
2
2
2
AH
AD
SA
a
3a
3a
2
SA
3
 a
SA 2 = SH.SD  SH 
SD 2
Ke AH  SD

14

D

C


TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

3
a
KH SH 2
3
3
3
Xét tam giác SCD :


  KH  CD  a
CD SD 2a 4
4
4
3
a+ a
2
AB  KH
4 .( a 3 )  7 a 3

. AH =
Vậy S ABKH 
2
2
2
16

MỘT SỐ ĐỀ THI ĐỂ HỌC SINH TỰ LUYỆN
Bµi 1: Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a, mỈt bªn (SAB)  ®¸y vµ SA = SB = b.
TÝnh kho¶ng c¸ch:
a) Tõ S ®Õn (ABCD)
b) Tõ trung ®iĨm I cđa CD ®Õn (SHC), H lµ trung ®iĨm cđa AB.
c) Tõ AD ®Õn (SBC).
Bµi 2: Cho tø diƯn ABCD cã BCD lµ tam gi¸c ®Ịu c¹nh a, AB  (BCD) vµ AB = a. TÝnh kho¶ng c¸ch:
a) Tõ D ®Õn (ABC)
b) Tõ B ®Õn (ACD)
Bµi 3: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông tại A , SA = SB = SC =

a 3
, BC = a
2

a/ Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) ?
b/ Tính góc giữa SA và mặt phẳng ( ABC) ?
Bµi 4: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc A bằng 600 ,
2a 3
SA = SB = SD =
3
a/ Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC ?
b/ Chứng minh (SAC)  ( ABCD) và SB  BC ?

c/ Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) , tính tan  ?
Bµi 5: Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh thang víi ®¸y lín BC = 2a; AD = a vµ AB = b. MỈt bªn
SAD lµ tam gi¸c ®Ịu, (P) lµ mỈt ph¼ng qua ®iĨm M trªn ®o¹n AB vµ song song víi SA vµ BC,
mặt phẳng (P) c¾t CD; SC; SB lÇn l­ỵt t¹i I; J; K
a, Chøng minh MIJK lµ h×nh thang c©n
b, TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp(P) theo a vµ x = AM.
Bµi 6: Cho h×nh chãp SABCD. Gäi M vµ N lµ hai ®iĨm trªn AB vµ CD vµ (P) lµ mỈt ph¼ng qua MN
vµ song song víi SA
a, T×m c¸c giao tun cđa (P) víi (SAB) vµ (SAC)
b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp(P)
c, T×m ®iỊu kiƯn cđa M; N ®Ĩ thiÕt diƯn lµ h×nh thang
Bµi 7: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O; M lµ ®iĨm di ®éng trªn SC vµ (P) lµ
mỈt ph¼ng qua AM vµ song song víi BD
a, Chøng minh (P) lu«n chøa mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh
SB SD SC


b, T×m c¸c giao ®iĨm H vµ K cđa (P) víi SB vµ SD. Chøng minh
lµ mét h»ng sè
SH SK SM
15


TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

c, ThiÕt diƯn cđa h×nh chãp víi mp(P) cã thĨ lµ h×nh thang ®­ỵc hay kh«ng
Bµi 8: Cho tø diƯn ®Ịu ABCD c¹nh a; M vµ P lµ hai ®iỴm di ®éng trªn c¸c c¹nh AD vµ BC sao
cho AM=CP=x (0 < x < a). Mét mỈt ph¼ng qua MP vµ song song víi CD c¾t tø diƯn theo mét

thiÕt diƯn
a, Chøng minh thiÕt diƯn lµ h×nh thang c©n
b, TÝnh x ®Ĩ diƯn tÝch thiÕt diƯn nhá nhÊt


BÀI 9 : Tứ diện SABC có ABC  90 0 , AB = 2a , BC = a 3 , SA  ( ABC), SA = a.Gọi M là
trung điểm của AB .
a/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) ?
b/ Tính đường cao AK của tam giác AMC ?
c/ Tính góc  giữa hai mặt phẳng (SMC) và (ABC) ?
d/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMC) ?
BÀI 10 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=SB=SC=SD= a 2
Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC .
a/ Chứng minh rằng (SIK)  (SBC) ?
b/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB ?
BÀI 11 : Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/
a/ Chứng minh rằng BC/  (A/B/CD)
b/ Tính đô dài đọan vuông góc chung của AB/ và BC/
c/ Tính góc giữa hai đường thẳng : AB/ và BC/ , AC/và CD/

C/ TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/ Sách giáo khoa hình học lớp 11 nâng cao
2/ Dạy và học với máy tính HHKG lớp 11 và 12
3/ Tuyển tập các bài tốn HHKG của Lê hồnh Phò
4/ Phương pháp giải tốn HHKG của trường chun Lê Hồng Phong

16


TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

D/ PHẦN KẾT LUẬN
Kết quả thực hiện :
Nội dung đề tài này,tơi đã áp dụng dạy cho học sinh lớp 11 trong thời gian 14 tiết, trong
đó 8 tiết đầu tơi dạy và khắc sâu phần tính khoảng cách và tính góc, thời gian 6 tiết sau đó tơi
hướng dẫn cho học sinh phương pháp vẽ 4 dạng mặt phẳng trong quan hệ song song và vng
góc , phần này tơi dạy cho các học sinh từ trung bình yếu trở lên.Khi tôi dạy cho học sinh vấn
đề này, tôi thấy các em rất thích thú, khi gặp một đề bài tương tự các em đã vận dụng cách
giải một cách linh hoạt. Tơi hy vọng với nội dung đề tài này tơi sẽ giúp ích được cho học sinh một
số kinh nghiệm học hình học khơng gian thuần t để các em hiểu sâu và nắm bắt được vấn đề, qua
đó các em sẽ giải được đề bài HHKG tổng hợp, các em sẽ tự tin hơn trong phòng thi và kết quả các
kỳ thi sẽ đạt cao hơn.
Kết quả cá nhân đạt được trong các năm gần đây
NĂM HỌC

MÔN TOÁN
3 KHỐI

2006-2007
2007-2008
2008-2009
2009-2010
2010-2011
BP

182
217
192

202
198

ĐIỂM TỪ 5 – 10 ĐIỂM TỪ 8-10
SL
%
SL
%
104
198
178
191
193

57,1
91,2
92,7
94,5
97.6

18
21
20
24
38

17,3
9,6
10,4
11,8

19.2

HỌC SINH GIỎI
TOÁN
2
4
6

KHEN THƯỞNG

Bằng khenUBND TỈNH
Giấy khen SỞ GD-BP
CSTĐCS- SỞ GD-BP
CSTĐCS-Bằng khenBỘ GD
CSTĐCS-Giấy khen SỞ GD-

Kiến nghò :
Nhiệm vụ hàng đầu của người giáo viên dạy Toán là làm sao cho học sinh yêu thích môn
Toán, chăm chú nghe giảng trong giờ dạy của mình và đạt kết quả cao trong các kỳ thi. Hiện
nay có rất nhiều học sinh cảm thấy môn Toán trừu tượng, khó hiểu, khơng nhớ được cơng thức
ít liên quan đến đời sống thực tại. Do đó khi trực tiếp giảng dạy môn Toán tôi luôn cố gắng
tìm phương pháp hay để các em tiếp cận vấn đề của Toán học dễ dàng hơn. Sáng kiến trên là
một phần nhỏ trong suy nghó của tôi, tôi hy vọng q thầy cô cũng như tôi tìm kiếm nhiều
phương pháp hay, trực quan, dễ hiểu để học sinh của chúng ta ngày càng giỏi hơn, thi đậu
nhiều hơn nữa.
Dù đã cố gắng rất nhiều trong việc phân tích các ví dụ nhưng cũng khó tránh khỏi những
sai sót.Rất mong nhận được ý kiến đóng góp của q thầy cô để bài viết được hoàn hảo hơn.

17

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

NHẬN XÉT

_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________

18