SKKN dãy số (bản 2) image marked

1.ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1 Bối cảnh:
Năm học 2013-2014 là năm học tiếp tục thực hiện các cuộc vận động “ Học
tập và làm theo tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh”, cuộc vận động “ Hai không”; “
Mỗi thầy, cô giáo là một tấm gương đạo đức, tự học và sáng tạo” ; với chủ đề " Năm
học đổi mới quản lý và nâng cao chất lượng giáo dục " cùng với phong trào xây
dựng " Trường học thân thiện, học sinh tích cực ". Nghị quyết TW 2 khóa VIII đã
khẳng định " Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối dạy
học truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy cho người học, từng bước áp dụng
phương pháp tiên tiến, ứng dụng cộng nghệ thông tin vào quá trình dạy học ". Do đó
trong quá trình dạy học đòi hỏi các thầy cô giáo phải tích cực học tập; không ngừng
nâng cao năng lực chuyên môn; đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy
tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học,
sáng tạo; khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học
tập cho các em.
1.2 Lý do chọn đề tài:
Các vấn đề liên quan tới dãy số là một phần quan trọng của Đại số và Giải tích
toán học. Song khái niệm dãy số học sinh mới chỉ được làm quen trong chương trình
toán lớp 11 phần mở đầu của Giải tích toán học. Các dạng toán liên quan tới nội
dung này thường là khó với các em.
Qua thực tế giảng dạy chương trình chuyên toán lớp 11 những năm qua, cũng
như việc nghiên cứu nội dung thi học sinh giỏi các cấp, tôi nhận thấy một dạng toán
khá cơ bản về dãy số là bài toán tìm số hạng tổng quát. Lý thuyết đại số và các bài
toán về dãy số đã được đề cập hầu hết trong các giáo trình cơ bản của giải tích toán
học.Các phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi gần
như là bài toán được đề cập tới đầu tiên. Tuy nhiên với nhiều phương pháp khác
nhau bài toán này thực sự không phải là dễ với học sinh.
Xuất phát từ các lí do trên tôi chọn đề tài: “Một số phương pháp xác định
công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số ”. Qua nội dung
các ví dụ trong đề tài nhằm giúp các em học sinh lớp 11 có thêm kiến thức, phần nào
đáp ứng được việc học chuyên đề lớp 11 chuyên toán cũng như việc ôn thi học sinh

giỏi các cấp.
1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 11 qua các năm giảng dạy
từ trước đến nay và hiện nay là lớp 11A1, 11A2.
1


Phạm vi nghiên cứu:
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là “Chương III: Dãy số . Cấp số cộng và cấp
số nhân” sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 ban nâng cao.
1.4 Mục đích nghiên cứu:
Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen với
tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những
phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những
vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần
chất lượng giảng dạy học nói chung và môn Đại số và Giải tích 11 nói riêng.
1.5 Điểm mới trong kết quả nghiên cứu:
Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống, không
áp đặt hoặc dập khuôn máy móc do đó mà học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải
quyết các bài toán lạ, các bài toán khó.

2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1 Cơ sở lý luận:
a) Phương pháp quy nạp toán học
b) Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
* Dãy số  un  gọi là dãy số tăng nếu un  un1 ,

* Dãy số  un  gọi là dãy số giảm nếu un  un1 ,

n  *

n  *

Vậy: Nếu un1  un  0, n   suy ra  un  là dãy số tăng
*

Nếu un1  un  0, n   suy ra  un  là dãy số giảm
*

* Nếu tồn tại số M sao cho un  M ,
* Nếu tồn tại số m sao cho un  m ,

n  * thì  un  bị chặn trên

n  * thì  un  bị chặn dưới

* Nếu dãy số  un  bị chặn trên và bị chặng dưới thì gọi là dãy só bị chặn
c) Cấp số cộng
*
* Dãy số  un  là cấp số cộng  un1  un  d với n   , trong đó d là số
không đổi gọi là công sai của cấp số cộng.
* Nếu dãy số  un  là cấp số cộng thì un  u1   n  1 d
* Nếu dãy số  un  là cấp số cộng thì tổng

Sn  u1  u2  ...  un 
d) Cấp số nhân
2

n

 u1  un 
2


* Dóy s un l cp s nhõn un1 un .q vi n , trong ú q l s
*

khụng i gi l cụng bi ca cp s nhõn.
n 1
* Nu dóy s un l cp s nhõn thỡ un u1.q

* Nu dóy s un l cp s nhõn vi q 1, q 0 thỡ tng

1 qn
Sn u1 u2 ... un u1.
1 q
e) Mt s inh lớ v gii hn
n
- Nu q 1 thỡ lim q 0
- Nu q 1 thỡ lim q
n

- Nu cỏc dóy s an bn cn , n v lim an lim cn L thỡ lim bn L
*

- Nu dóy s un tng v b chn trờn thỡ un cú gii hn

Nu dóy s un gim v b chn di thỡ un cú gii hn.

2.2 Ni dung nghiờn cu ca ti.

A. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một

Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng :

u1 , a.un 1 b.un f n , n N *
trong đó a,b, là các hằng số ,a # 0 và f n là biểu thức của n cho trước
Dạng 1
Tìm un thoả mãn điều kiện

u1 , a.un 1 b .un 0

(1.1)

trong đó a, b, cho trước n N *
Phương pháp giải
Giải phương trình đặc trưng a. b 0 để tìm Khi đó un q n (q là hằng
số ) , trong đó q được xác định khi biết u1
Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết số hạng đầu tiên bằng
1 và công bội bằng 2
Bài giải Ta có

un 1 2 un , u1 1

(1.2)

Phương trình đặc trưng có nghiệm 2 Vậy un c.2n . Từ u1 1 suy ra c
đó un 2n 1
3

1

Do
2


Dạng 2
Tìm un thoả mãn điều kiện

u1 , a un 1 bun f n , n N *

(2 .1)

trong đó f n là đa thức theo n
Phương pháp giải
Giải phương trình đặc trưng a. b 0 ta tìm được Ta có un un0 un*
Trong đó un0 là nghiệm của phương trình thuần nhất (1.1) và un* là nghiệm riêng tuỳ
ý của phương trình không thuần nhất (2.1) Vậy un0 q. n q là hằng số sẽ được xác
định sau
Ta xác định un* như sau :
1) Nếu #1 thì un* là đa thức cùng bậc với f n
2) Nếu 1 thì un* n.g n với g n là đa thức cùng bậc với f n
Thay un* vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của un*
Bài toán 2: Tìm un thoả mãn điều kiện

u1 2; un 1 un 2n, n N *

(2.2)

Bài giải Phương trình đặc trưng 1 0 có nghiệm 1 Ta có un un0 un* trong
đó un0 c.1n c, un* n an b Thay un* vào phương trình (2.2) ta được

n 1 a n 1 b n an b 2n

(2.3)

thay n=1và n=2 vào (2.3) ta được hệ phương trình sau
3a b 2
a 1


5a b 4 b 1

Do đó un n n 1
Ta có un un0 un* c n n 1 Vì u1 2 nên 2 c 11 1 c 2
Vậy un 2 n n 1 , hay un n 2 n 2
Dạng 3
Tìm un thoả mãn điều kiện

u1 , a.un 1 bun v. n , n N *

(3.1)
4


trong đó f n là đa thức theo n
Phương pháp giải
Giải phương trình đặc trưng a. b 0 ta tìm được Ta có un un0 un*
Trong đó un0 c. n , c là hằng số chưa được xác định , un* được xác định như sau :
1) Nếu #

thì un* A. n

2) Nếu

thì un* A.n. n

Thay un* vào phương trình (3.1) đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của un* .
Biết u1 , từ hệ thức un un0 un* , tính được c
Bài toán 3: Tìm un thoả mãn điều kiện

u1 1; un 1 3.un 2n , n N *

(3.2)

Bài giải Phương trình đặc trưng 3 0 có nghiệm 3 Ta có un un0 un* trong
đó un0 c.3n , un* a.2n
Thay un* a.2n vào phương trình (3.2) , ta thu được
a.2n 1 3a.2n 2n 2a 3a 1 a 1

Suy ra un 2n Do đó un c.3n 2n vì u1 1 nên c=1 Vậy un 3n 2n
Dạng 4
Tìm un thoả mãn điều kiện

u1 , a.un 1 bun f1n f 2 n , n N *

(4.1)

Trong đó f1n là đa thức theo n và f 2 n v. n
Phương pháp giải
Ta có un un0 u1*n u2*n Trong đó un0 là nghiệm tổng quát của phương trình
thuần nhất aun 1 bun 0 , un* là một nghiệm riêng của phương trình không thuần

*
nhất a.un 1 b.un f1n , u2n
là nghiệm riêng bất kỳ của phương trình không thuần nhất

a.un 1 b.un f 2 n
Bài toán 4: Tìm un thoả mãn điều kiện

u1 1; un 1 2un n 2 3.2n , n N *

(4.2)

5


Bài giải Phương trình đặc trưng 2 0 có nghiệm 2 Ta có un un0 u1*n u2*n
trong đó un0 c.2n , un* a.n 2 b.n c , u2*n An.2n
Thay un* vào phương trình un 1 2.un n 2 , ta được

a n 1 b n 1 c 2an 2 2bn 2c n 2
2

Cho n=1 , n=2 ta thu được hệ phương trình
2a c 1
a 1


b 2
a b c 4
2a 2b c 9 c 3

*
Vậy u1*n n 2 2n 3 thay u2n
vào phương trình un 1 2.un 3.2n Ta được

A n 1 2n 1 2 An.2n 3.2n 2 A n 1 2 An 3 A

3
2

Vậy
3
u2*n n.2n 3n.2n 1
2

Do đó un c.2n n 2 2n 3 3n.2n 1 . Ta có u1 1 nên 1 2c 2 3 c 0
Vậy un 3n.2n 1 n 2 2n 3
B. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai
Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là phương trình sai phân dạng

u1 , u2 , a.un 1 bun c.un 1 f n , n N *
trong đó a,b,c, , là các hằng số , a # 0 và f n là biểu thức của n cho trước
(NX: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai luôn có
hai nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trường số
thực , tức là chỉ xét nghiệm thực )
Dạng 1
Tìm un thoả mãn điều kiện

u1 , u2 , a un 1 bun c.un 1 0, n N *

(5.1)

Phương pháp giải
Giải phương trình đặc trưng a. 2 b. c 0 tìm Khi đó
6


1) Nếu 1 , 2 là hai nghiệm thực khác nhau thì un A.1n B.2n , trong đó A và B
được xác định khi biết u1 , u2
2) Nếu 1 , 2 là hai nghiệm kép 1 2 thì un A Bn . n , trong đó A và
B được xác định khi biết u1 , u2
Bài toán 5: Tìm un thoả mãn điều kiện sau

u0 1, u1 16, un 2 8.un 1 16.un

(5.1)

Bài giải Phương trình đặc trưng 2 8 16 0 có nghiệm kép 4
Ta có

un A B.n .4n

(5.2)

Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu được hệ phương trình
u0 1 A
A 1


u1 1 B .4 16 B 3

Vậy un 1 3n .4n
Dạng 2
Tìm un thoả mãn điều kiện

u1 , u2 , a.un 1 b.un c.un 1 f n , n 2, (6.1)
trong đó a # 0, f n là đa thức theo n cho trước
Phương pháp giải
Giải phương trình đặc trưng a. 2 b. c 0 để tìm . Khi đó ta có

un un0 un* , trong đó un0 là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
a.un 1 b.un c.un 1 0 và un* là một nghiệm tuỳ ý của phương trình
a.un 1 b.un c.un 1 f n
Theo dạng 1 ta tìm được un0 , trong đó hệ số A, B chưa được xác định , un* được xác
định như sau :
1) Nếu #1 thì un* là đa thức cùng bậc với f n
2) Nếu 1 là nghiệm đơn thì un* n.g n , g n là đa thức cùng bậc với f n
3) Nếu 1 là nghiệm kép thì un* n.2 g n , g n là đa thức cùng bậc với f n ,
7


Thay un* vào phương trình , đồng nhất các hệ số, tính được các hệ số của un* . Biết

u1 , u2 từ hệ thức un un0 un* tính được A, B
Bài toán 6: Tìm un thoả mãn điều kiện

u1 1; u2 0, un 1 2un un 1 n 1, n 2

(6.2)

Bài giải Phương trình đặc trưng 2 2 1 0 có nghiệm kép 1 Ta có

un un0 un* trong đó un0 A B.n .1n A Bn, un* n 2 a.n b
Thay un* vào phương trình (6,2) , ta được

n 1

2

a n 1 b 2n 2 a.n b n 1 a n 1 b n 1
2

Cho n=1 , n=2 ta thu được hệ phương trình
1

a


4 2a b 2 a b 2

6


9 3a b 8 2a b a b 3 b 1

2

n 1
un* n 2
6 2

Vậy
Do đó

n 1
un un0 un* A Bn n 2
6 2

Mt khác
1 1

A 4
A B 6 2 1



11
A 2 B 4 1 1 0 B 3

3 2

Vậy
un 4

11
n 1
n n2
3
6 2

Dạng 3
Tìm un thoả mãn điều kiện

u1 , u2 , a un 1 bun c.un 1 d . n , n 2
Phương pháp giải
8

(7.1)


Giải phương trình đặc trưng a. 2 b. c 0 để tìm Khi đó ta có

un un0 un* , trong đó un0 được xác định như dạng 1 và hệ số A và B chưa được xác
định, un* được xác định như sau
1) Nếu # thì un* k . n
2) Nếu là nghiệm đơn thì un* k .n n
3) Nếu là nghiệm kép thì un* k .n.2 n
Thay un* vào phương trình , dùng phương pháp đồng nhất thức các hệ số sẽ tính được
hệ số k . Biết u1 , u2 từ hệ thức un un0 un* tính được A,B
Bài toán 7: Tìm un thoả mãn điều kiện

u1 0; u2 0, un 1 2un un 1 3.2n , n 2
Bài giải Phương trình đặc trưng 2 2 1 0 có nghiệm kép 1 Ta có

un un0 u1*n trong đó un0 A B.n .1n A Bn, un* k .2n
Thay un* vào phương trình , ta được
k .2n 1 2k .2n k .2n 1 3.2n k 6

Vậy un* 6.2n 3.2n 1 . Do đó un un0 un* A bn 3.2n 1 . (1) Thay u1 1, u2 0
vào phương trình (1) ta thu được

1 A B 12
A 2



0 A 2 B 24 B 13

Vậy

un 2 13n 3.2n 1
Dạng 4
Tìm un thoả mãn điều kiện

u1 , u2 , a un 1 bun c.un 1 f n g n , n 2 (8.1)
trong đó a # 0 , f n là đa thức theo n và g n v. n
Phương pháp giải
Ta có un un0 u1*n u2*n trong đó un0 là nghiệm tổng quát của phương trình
thuần nhất a un 1 bun c.un 1 0 , u1n* là nghiệm riêng tùy ý của phương trình
9


*
không thuần nhất a un 1 bun c.un 1 f n u2n
là nghiệm riêng tùy ý của phương

trình không thuần nhất a un 1 bun c.un 1 g n
Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 )
Tìm un thoả mãn điều kiện

u1 0; u2 0, un 1 2un 3un 1 n 2n , n 2 (8.2)

Bài giải Phương trình đặc trưng 2 2 3 0 có nghiệm 1 1, 2 3 Ta có

un un0 u1*n u2*n
trong đó
un0 A 1 B.3n , u1*n a bn, u2*n k .2n
n

Thay u1n* vào phương trình un 1 2un 3un 1 n , ta được
a n 1 b 2 an b 3 a n 1 b n 4a 1 n 4 a b 0

Vậy
ab

1
4

Do đó
un*

1
n 1
4

*
Thay u2n
vào phương trình un 1 2un 3un 1 2n , ta được

k .2n 1 2.k .2n 3.k .2n 1 2n k

2

3

Do đó

2
1
u2*n .2n .2n 1
3
3
Vậy

un un0 u1*n u2*n A 1 B.3n
n

1
1
n 1 .2n1 (8.3)
4
3

Ta thay u1 1, u2 0 vào (8.3) ta được hệ phương trình

10


1 4
61


A 3B 2 3 1 A 48

3
8
A 9B 0
B 25


4 3
48

Vậy

un

61
25
1
1
n
. 1 .3n . n 1 .2n 1
48
48
4
3

C. Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba
Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba là phương trình sai phân dạng

u1 , u2 , u3 , a.un 2 bun 1 c.un d .un 1 f n , n 2 (a.1)

trong đó a,b,c, d, , , là các hằng số , a # 0 và f n là biểu thức của n cho trước
(NX: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba luôn có ba
nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trường số
thực , tức là chỉ xét nghiệm thực )
Phương pháp giải
Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba có dạng

un un0 un* , trong đó un0 là nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất,
un* là một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất
Xét phương trình đặc trưng
a 3 b 2 c d 0

(a.2)

1) Xác định công thức nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp
ba thuần nhất
a) Nếu (a.2) có ba nghiệm thực 1 , 2 , 3 phân biệt thì

un0 a1 .1n a2 .2n a3 .3n
b) Nếu (a.2) có một nghiệm thực bội 2 và một nghiệm đơn (1 2 # 3 )
thì

un0 (a1 a2 n)1n a3 .3n
c) Nếu (a.2) có một nghiệm thực bội 3 (1 2 3 ) thì

un0 (a1 a2 n a3 n 2 )1n
11


2) Xác định nghiệm riêng un* của phương trình (a.1)

Xét f n là đa thức của n ta có
a) Nếu #1 thì un* là đa thức cùng bậc với f n
b) Nếu 1 (nghiệm đơn ) thì un* n.g n , g n là đa thức cùng bậc với f n
c) Nếu 1 (bội 2 ) thì un* n 2 .g n g n là đa thức cùng bậc với f n
d) Nếu 1 (bội 3) thì un* n3 .g n g n là đa thức cùng bậc với f n
Xét f n v. n ta có
a) Nếu # thì un* k .n. n
b) Nếu (nghiệm đơn ) thì un* k . n
c) Nếu (nghiệm bội s ) thì un* k .n s . n
Bài toán 9: Tìm dãy số (un ) biết rằng

u1 0, u2 1, u3 3, un 7un 1 11.un 2 5.un 3 , n 4 (9.1)
Bài giải

Xét phương trình đặc trưng

3 7 2 11 5 0
có 3 nghiệm thực

1 2 1, 3 5
Vậy un c1 c2 n c3 5n
Cho n=1, n=2, n=3 và giải hệ phương trình tạo thành, ta được

c1

1
3
1
, c2 , c3
16

4
16

Vậy un

1 3
1
n 1 .5n 1
16 4
16

D. Bài tập áp dụng
Bài toán 10: Cho dãy số (an ) được xác định theo công thức sau

a1 0; a2 1, an 1 2an an 1 1, n 2 (10.1)
Chứng minh số A 4.an .an 2 1 là số chính phương
Bài giải Ta có
12


an 1 2an an 1 1

(10.2)

Trong (9.2) ta thay n bởi n-1, ta được

an 2an 1 an 2 1

(10.3)

Trừ các vế của (10.1) cho (10.2) ta thu được

an 1 3an 3an 1 an 2 0

(10.4)

Phương trình đặc trưng của (10.4) là

3 3 2 3 1 0
có nghiệm 1 là nghiệm bội bậc ba
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (10.4) là

an (c1 c2 n c3 n 2 )1n
Cho n=0, n=1, n=2 ta được
0 c1
c1 0



1 c2 c2 c3
1
3 c 2c 4c
c2 c3 2
1
2
3


Ta thu được an

n n 1
và từ đó ta có
2

A 4an .an 2 1 n 2 3n 1

2

Điều này chứng tỏ A là một số chính phương
Bài toán 11: Cho dãy số ( xn ) được xác định theo công thức sau

x1 7; x2 50, xn 1 4 xn 5 xn 1 1975 n 2

(11.1)

Chứng minh rằng x1996 1997
Bài giải Xét dãy số ( yn ) với y1 7, y2 50 và

yn 1 4 yn 5 yn 1 22 n 2

(11.2)

Dễ thấy yn xn mod1997 . Do đó chỉ cần chứng minh

y1996 0 mod1997
Đặt zn 4 yn 11 suy ra z1 39, z2 211 . Nhận xét rằng

zn 1 4 yn 1 11 16 yn 20 yn 1 99 4 zn 20 yn 1 55
Ta lại có
13

(11.3)


zn 1 4 yn 1 11 suy ra 20 yn 1 5 zn 1 55

(11.4)

Thế (11.4) vào (11.3) ta được

zn 1 4 zn 5 zn 1
Suy ra

zn 1 4 zn 5 zn 1 0

(11.5)

Phương trình đặc trưng của (11.5) là

2 4 5 0 có nghiệm 1 1, 2 5
Nghiệm tổng quát của (11.1) là
zn 1 5n
n

Ta có
8

z1 5 39
3


z2 25 211 25

3

Do đó ta nhận được

8
25
n
zn . 1 .5n
3
3

(11.6)

Từ (11.6) ta suy ra

z1996

8 25.51996
3

Ta cần chứng minh

z1996 11 mod1997
Do

51996 1 1997
1996
5 1 3

Nên 51996 1 3.1997 . Từ đó , ta có 51996 3n.1997 1 , và khi đó
8 25 3n.1997 1
z1996
25.n.1997 11
3
3

Vậy z1996 11 mod 1997
14


E. Bài tập tương tự
Bài 1: Xác định công thức của dãy số ( xn ) thoả mãn các điều kiện sau
1) x1 11, xn 1 10.xn 1 9n , n N
2) x0 2, x1 8, xn 2 8.xn 1 9 xn
3) x0 1, x1 3, 2. xn 2 5 xn 1 2 xn n 2 2n 3
4) x0 0, x1 1, xn 1 4 xn 4 xn 1 n 2 6n 5
5) x1 1, x2 2, xn 2 5 xn 1 6 xn 4
Bài 2: Cho dãy số (an ) thoả mãn điều kiện

an an 1 2.an 2

a1 a2 1

n 3

n N

Chứng minh rằng an là một số lẻ
Bài 3: Cho dãy số (bn ) xác định bởi

bn 2.bn 1 bn 2

b1 1, b2 2

n N

n 3
n

5
Chứng minh rằng bn , n N
2

Bài 4: Cho dãy số (un ) thoả mãn điều kiện

un 2 2.un 1 un 2
n N

u

1,
u

0
0

1

n 2

Chứng minh rằng un là một số chính phương
Bài 5: (Tuyển tập đề thi Olympic 30 4 Toán 11 Lần thứ VIII 2002
NXB giáo dục )
Cho dãy số (un ) thoả mãn như sau
un Z , N

u0 1, u1 9
u 10.u u
n N , n 2
n 1
n2
n

Chứng minh : k N , k 1
1) uk2 uk21 10uk .uk 1 8
2) 5.uk uk 1 4 va 3.uk2 1 2
15


( kí hiệu chia hết )
Bài 6: Cho dãy số (un ) thoả mãn điều kiện

un 2 2un 1 2un un 1 , n N *
Chứng minh rằng tồn tại các hằng số nguyên M sao cho các số M 4.an 1an đều là số
chính phương
Bài 7: ( Báo Toán Học và Tuổi Trẻ số 356)

Cho dãy số (ai ) ( i=1,2,3,4)được xác định bởi

a1 1, a2 1, an an 1 2an 2 , n 3, 4,...
Tính giá trị của biểu thức
2
2
A 2.a2006
a2006 .a2007 a2007

Bài 8: Cho dãy số nguyên dương (un ) thoả mãn điều kiện

u0 20, u1 100, un 2 4.un 1 5.un 20, n N *
Tìm số nguyên dương h bé nhất có tính chất

an h an 1998 , n N

F. Xây dựng bài toán về dãy số truy hồi
Nhận xét : Nội dung của đề tài trên giúp bạn đọc tìm ra công thức tổng quát của một
lớp dãy số có tính chất truy hồi một cách chính xác nhất, giúp các Thầy cô kiểm tra
kết quả bài toán theo cách giải khác. Bên cạnh đó ta có thể tiến hành xây dựng thêm
các bài toán mới về dãy số.
Dưới đây là một số ví dụ xây dựng thêm các bài toán về dãy số có tính
quy luật chỉ mang tính chất tham khảo. Tác giả mong muốn bạn đọc tìm hiểu và
phát triển rộng hơn các bài toán khác về dãy số.
Ví dụ 1:

Xuất phát từ phương trình

1 9 0

2

8 9 0

16

(12.1)


phương trình (12.1) có thể được coi là phương trình đặc trưng của một dãy số có quy
luật. Chẳng hạn dãy số (un ) được xác định theo công thức sau

un 2 8.un 1 9.un 0
có thể cho u0 2, u1 8 . Ta có thể phát biểu thành các bài toán sau
Bài toán 1: Cho dãy số ( xn ) xác định như sau
xn 2 8.xn 1 9.xn 0

x0 2, x1 8

n N

Xác định công thức của xn
Bài toán 2: Cho dãy số ( xn ) xác định như sau
xn 2 8.xn 1 9.xn 0

x0 2, x1 8

n N

Tính giá trị của biểu thức A x2006 5.x2007 4

Ví dụ 2:

Xuất phát từ phương trình

1

2

0 2 2 1 0

(12.2)

phương trình (12.2) có thể được coi là phương trình đặc trưng của một dãy số có quy
luật. Chẳng hạn dãy số (un ) được xác định theo công thức sau

un 2 2.un 1 un 2
có thể cho u0 1, u1 0 khi đó vận dụng thuật toán trên xác định được công thức
tổng quát của dãy số
xn n 1

2

Ta có thể phát biểu thành các bài toán sau
Bài toán 1: Xác định công thức của dãy số ( xn ) thoả mãn các điều kiện sau
xn 2 2 xn 1 xn 2
n N

x

1,

x

0
0
1
Bài toán 2: Cho dãy số ( xn ) xác định như sau
xn 2 2 xn 1 xn 2
n N

x

1,
x

0
0
1
Chứng minh rằng xn là một số chính phương

17


Bài toán 3: Cho dãy số ( xn ) xác định như sau
xn 2 2 xn 1 xn 2
n N

x

1,
x

0
0
1
Xác định số tự nhiên n sao cho
xn 1 xn 22685

2.3 Cỏc bin phỏp ó tin hnh gii quyt vn .
thc hin ti ny tụi ó tỡm c rt nhiu ti liu vit v vn ny,
nghiờn cu li gii cho tng dng toỏn, la chn bi tp phự hp vi tng ni dung
lm ni bt c ni dung cn phõn tớch.
2.4. Hiu qu ca sỏng kin kinh nghim.
Trong quỏ trỡnh thc hin ti vi vic cho hc sinh lờn bng lm mt s bi
tp ngi giỏo viờn cú th nm bt c tỡnh hỡnh tip thu bi hc. Nhng cú
c s kt lun ton din nờn gia hc kỡ II nm hc 2013 2014 khi hc sinh ó
hc song cỏc phn liờn quan n ni dung ca bi vit ny tụi ó cho cỏc lp 11A1,
11A2 lm bi kim tra 45 phỳt vi bi tng t phn kho sỏt thc tin ch thay
i v mt s liu thun tin cho vic i chiu so sỏnh kt qu thu c.
Trong ú lp 11A1 l lp thc nghim trong quỏ trỡnh trin khai ti cũn
lp 11A2 l lp i chng khụng tham gia trong vic trin khai ti.
Sau khi chm bi kim tra tụi thu kt qu vi mc im c tớnh phn trm
nh sau:
Lp thc nghim 11A1(42 hc sinh)
Lp i chng 11A2 (48 hc sinh)

im
Lp

1 1 2,5 3 3 4,5 5 6,5 7 8,59 9 10

Lp 11A1

0%

2%

18%

20%

60%

Lp 11A2

4%

28%

52%

14%

2%

Cn c vo kt qu kim tra. i chiu so sỏnh kt qu lm bi ca lp thc
nghim v lp cũn li khụng c tham gia thc nghim ta thy: Vi cỏc ni dung
18


đã trình bày trong bài viết này đã giúp các em học sinh lớp 11 có cái nhìn bao quát

về cách giải các bài toán về dãy số thuộc chương trình trung học phổ thông không
chuyên giúp các em tự tin hơn khi đứng trước các bài toán về dãy số đồng thời góp
phần làm cho học sinh thấy hứng thú hơn nữa với môn Toán vì trong đó thường có
các phép thế tuyệt đẹp các suy luận rất rất logic.

19


3. KẾT LUẬN
3.1. Những bài học kinh nghiệm:
Như đã nêu trên, muốn cho học sinh học tốt hơn đối với môn học này thì
người giáo viên phải có một số kỹ năng sau:
* Kỹ năng nêu vấn đề và hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề.
* Kỹ năng giúp học sinh biết tư duy, suy luận logíc.
* Kỹ năng trình bày lời giải.
3.2. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm:
Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm là nhằm tạo ra động lực thúc đẩy học sinh
tích cực học tập góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của bản thân nói riêng và
kết quả giáo dục của nhà trường nói chung.
3.3 Khả năng ứng dụng, triển khai:
Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm nối bậc ở phương pháp giảng
dạy đó là phương pháp đặt vấn đề và phận tích hướng dẫn học sinh giải quyết vấn
đề.
3.4 Những kiến nghị, đề xuất:
Nhằm giúp cho học sinh học tốt hơn với môn học, bản thân có kiến nghị với
phòng thiết bị, Ban giám hiệu, Sở giáo dục có kế hoạch mua bổ sung một số tài liệu
tham khảo và thư ờng xuyên tổ chức các buổi thảo luận chuyên đ ề toán học nhằm
giúp cho việc giảng dạy của giáo viên được thuận lợi hơn.

Tiên Lữ, ngày 25 tháng 03 năm 2014

Người Viết

Đào Hữu Trang

20


Tài liệu tham khảo
1) Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định , Phương pháp sai phân. Nhà xuất bản Đại Học
Quốc Gia Hà Nội 2004
2) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 4 Môn Toán Lần thứ V, Nhà xuất bản Giáo
Dục
3) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 4 Môn Toán Lần thứ VII-2002 , Nhà xuất bản
Giáo Dục
4) Tạp trí Toán Học và Tuổi Trẻ Số 356 ,

Nhà xuất bản Giáo Dục

5) Trần Chí Hiếu Nguyễn Danh Phan Tuyển chọn các bài toán PTTH Đại số và
giải tích 11,

Nhà xuất bản Giáo Dục

6) Nguyễn Văn Mậu , Một số bài toán chọn lọc về dãy số , Nhà xuất bản Giáo Dục
- 2003

21