hàm sô 2 image marked image marked

Câu 51:(Chuyên Đại Học Vinh) Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên
R?
A. y = x

B. y =

x
x +1

C. y = s inx

D. y=

x
x +1

Đáp án B
Phương pháp:
Dựa vào tính chất liên tục của hàm số.
Cách giải:
TXĐ: D = R \ 1 . Đồ thị hàm số y =

x
không liên tục tại điểm x = −1 .
x +1

Câu 52: (Chuyên Đại Học Vinh) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên.
Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó?
A. Nghịch biến trên khoảng ( −3;0 )
B. Đồng biến trên khoảng ( 0; 2 )
C. Đồng biến trên khoảng ( −1;0 )

D. Nghịch biến trên khoảng ( 0;3)
Đáp án C
Phương pháp:
+) Dựa vào đồ thị hàm số nhận xét những đặc điểm của đồ thì và chọn kết luận đúng.
Cách giải:
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra đồ thị hàm số đồng biến trên ( −1;0) và ( 2; + ) , nghịch biến
trên ( −; −1) và ( 0; 2 )

Câu 53:(Chuyên Đại Học Vinh)
Đồ thị hàm số y =
A. 4

x +1
x2 −1

có tất cả bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

B. 2

C. 1

D. 3

Đáp án D
Phương pháp:
+) Đường thẳng x = a được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu:


limf ( x ) = 
x →a

+) Đường thẳng y = b được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu:

lim f ( x ) = b

x →

Cách giải:
TXĐ: D = ( −; −1)  (1; + )
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1 .

1
x = 1 = 1  tiệm cận ngang y = 1 .
Ta có lim y = lim
x →+
x →+
1
1
1− 2
x
1+

Lại có lim y = lim
x →−

x →−

Đồ thị hàm số y =

1+

1
x

1
− 1− 2
x
x +1
x2 −1

=

1
− 1

= −1  tiệm cận ngang y = −1 .

có tất cả 3 cận đứng và tiệm cận ngang.

Câu 54:(Chuyên Đại Học Vinh)
Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x 2 − 2x, x  . Hàm số y = −2f ( x ) đồng biến
trên khoảng
A. ( 0; 2 )

C. ( 2;+ )

B. ( −2;0 )

D. ( −; −2)

Đáp án A
Phương pháp:
+) Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên

 y '  0 với mọi x 

Cách giải:
Ta có: y' = −2f ' ( x )  0  f ' ( x )  0  x 2 − 2x  0  0  x  2
Câu 55:(Chuyên Đại Học Vinh)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 1 + x +
A. −5

B. 5

4
trên đoạn  −3; −1 bằng
x

C. −4

Đáp án C
Phương pháp:
+) Giải phương trình y ' = 0 để tìm các nghiệm x = x i

D. −6


+) Ta tính các giá trị y ( a ) ; y ( x i ) ; y ( b ) và kết luận giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

a; b

Cách giải:
Hàm số đã xác định và liên tục trên  −3; −1.
Ta có: y ' = 1 −

 x = −2 (  −3; −1)
4
 y ' = 0  x2 = 4  
2
x
 x = 2 (  −3; −1)

Tính y ( −3) = −

10
ly ( −1) = −4; y ( −2 ) = −3  min y = −4
 −3;−1
3

Câu 56: (Chuyên Đại Học Vinh)
1

Cho ( P ) : y = x 2 và A  −2;  . Gọi M là một điểm bất kì thuộc ( P ) . Khoảng cách MA bé nhất
2


là
A.

2
2

B.

5
4

C.

5
2

D.

2 3
3

Đáp án C
Phương pháp:
Gọi M ( a; a 2 ) ( P ) , tính MA 2 theo a và tìm GTNN của MA 2
Cách giải:
2

1

Gọi M ( a;a )  MA = ( a + 2 ) +  a 2 −  = f ( a )
2

2

2

2

1

Khi đó f ' ( a ) = 2 ( a + 2 ) + 2  a 2 −  .2a = 4a 3 + 4 = 0  a = −1
2


Lại có: lim f ( a ) = +  Min f ( a ) = f ( −1) =
x →

5
5
 MA min =
4
2

Câu 57: (Chuyên Đại Học Vinh)
Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn
đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch đế tạo ra bốn cánh hoa
(được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của
viên gạch bằng
A.

800 2
cm
3

B.

400 2
cm
3

C. 250cm 2

D. 800cm 2


Đáp án B
Phương pháp:
+) Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho tâm O trùng với tâm của viên gạch hình vuông. Xác định
tọa độ các đỉnh của hình vuông.
+) Tính diện tích của một cánh hoa ở góc phần tư thứ nhất. Xác định các phương trình
parabol tạo nên cánh hoa đó.
+) Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.
Cách giải:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
Với A ( 20;20 ) , xét hình phẳng ở góc phân tư thứ nhất.
Hai Parabol có phương trình lần lượt là: y = a x 2 ( P1 ) và x = ay2 ( P2 )
Do Parabol ( P1 ) qua điểm A ( 20; 20 )  a =

20
1
x2
=

y
=

202 20
20

Do Parabol ( P2 ) qua điểm A ( 20; 20 )
20
1
y2
a = 2 =
y=
 y = 20x
20
20
20
20


2
x2 
x3 
400
3
S =   20x −  dx = 
20x −  =
20 
60  0
3
3
0 
20

Câu 58: (Chuyên Đại Học Vinh)
Biết rằng a là số thực dương để bất phương trình a x  9x + 1 nghiệm đúng với mọi x  R .
Mệnh đề nào sau đây đúng?
B. a  (103 ;104 

A. a  104 ; + )

C. a  ( 0;102 

D. a  (102 ;103 

Đáp án B
Phương pháp:
Chuyển vế, đưa phương trình về dạng f ( x )  0x 

 min f ( x )  0

Cách giải:
Xét hàm số f ( x ) = a x − 9x − 1( x 

)

Ta có: f ( 0) = 0;f ' ( x ) = a x ln a − 9
Để f ( x )  0 ( x 

) thì

Min f ( x ) = 0 = f ( 0 )  f ( x ) là hàm đồng biến trên

0; + ) và

nghịch biến trên ( −;0 suy ra f ' ( 0) = 0  a 0 ln a = 9  a = e9  8103. Vậy a  (103 ;104  .
Câu 59: (Chuyên Đại Học Vinh)
Gọi a là số thực lớn nhất để bất phương trình 2 − x + 2 + a ln ( x 2 − x + 1)  0 nghiệm đúng với
mọi x  . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  ( 6;7

B. a  ( 2;3

C. a  ( −6; −5

D. a  (8; + )

Đáp án A
Phương pháp:
Đặt t = x 2 − x + 1, tìm khoảng giá trị của t.
Xét bất phương trình f ( t )  0 trên khoảng vừa tìm được  M ( t )  0
Cách giải:
2

1 3 3

Đặt t = x 2 − x + 1 =  x −  + 
2 4 4


 3

Khi đó BPT trở thành f ( t ) = t + 1 + a ln t  0  t   ; +  


 4

Ta có: f ' ( t ) = 1 +

a
= 0  t = −a
t

3
3 7
Mặt khác lim f ( t ) = +;f   = + a ln
t →+
4
4 4
3

Với a  0  f ( t ) đồng biến trên  ; + 
4



7
3
3

 f ( t )  0  t   ; +    Min f ( t ) = + a ln  0
3



4
4
4


 4 ;+ 




−7
3 −7
 a ln 
 a  4  6, 08. Vì đề bài yêu cầu tìm số thực lớn nhất nên suy ra
3
4 4
ln
4

a  ( 6;7.
Câu 60: (Chuyên Đại Học Vinh)
Cho đồ thị ( C) : x3 − 3x 2 . Có bao nhiêu số nguyên b  ( −10;10 ) để có đúng một tiếp tuyến
của ( C ) đi qua điểm B ( 0;b ) ?


A. 17

B. 9

C. 2

D. 16

Đáp án
Phương pháp:
+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

x 0 : y − y' ( x 0 )( x − x 0 ) + y0
+) Thay tọa độ điểm B vào phương trình tiếp tuyến, suy ra phương trình có dạng b = f ( x 0 )
tìm điều kiện của b để phương trình đó có nghiệm duy nhất.
+) Phương trình b = f ( x 0 ) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng y = b cắt đồ thị
hàm số y = f ( x 0 ) tại một điểm duy nhất. Lập BBT của đồ thị hàm số y = f ( x 0 ) và kết luận.
Cách giải:
Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M ( x 0 ; x 30 − 3x 02 ) có dạng:
y = ( 3x 02 − 6x 0 ) ( x − x 0 ) + x 30 − 3x 02

Do tiếp tuyến đi qua điểm ( 0; b )  b = ( 3x 02 − 6x 0 ) ( − x 0 ) + x 30 − 3x 02 = −2x 30 + 3x 02
Để có đúng một tiếp của ( C ) đi qua B ( 0;b ) thì phương trình b = −2x 30 + 3x 02 có duy nhất một
nghiệm.
x = 0  y = 0
Xét hàm số y = −2x 3 + 3x 2  y ' = −6x 2 + 6x = 0  
x = 1  y = 1

BBT:

x

−

y'

y

0
-

+

1

+

0

+

0

-

1
−

0
b  1
Dựa vào BBT của đồ thị hàm số suy ra PT có 1 nghiệm khi 
b  0

Với b  ( −10;10)  b −9; −8; −7; −6; −5; −4; −3; −2; −1;2;3;4;5;6;7;8;9  có 17 giá trị
nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bào toán.

Câu 61:(Chuyên Đại Học Vinh)
Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn ( f ' ( x ) ) + f ( x ) .f '' ( x ) = 15x 4 + 12x, x  và f ( 0) = f ' ( 0 ) . Giá
2


trị của f 2 (1) bằng
A. 4

B.

9
2

C. 10

D.

5
2

Đáp án A
Phương pháp:
+) Nhận xét VT =  f ( x ) .f ' ( x )  '
+) Lấy nguyên hàm hai vế hai lần.
Cách giải:
Ta có: f ( x ) .f ' ( x ) ' = f ' ( x ) + f ( x ) .f '' ( x ) = 15x 4 + 12x
2

Nguyên hàm 2 vế ta được f ( x ) .f ' ( x ) = 3x 5 + 6x 2 + C
Do f ( 0) = f ' ( 0 ) = 1  C = 1

Tiếp tục nguyên hàm 2 vế ta được:  f ( x ) df ( x ) =  ( 3x 5 + 6x 2 + 1) dx


f 2 ( x ) 3x 6 6x 3
1
=
+
+ x + D = x 6 + 2x 3 + x + D
2
6
3
2

Do f ( 0 ) = 1  D =

1
1
1
 f 2 ( x ) = x 6 + 2x 3 + x +  f 2 (1) = 4
2
2
2

Câu 62:(Chuyên Đại Học Vinh)
ho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên R. Bảng biến thiên của hàm số y = f ' ( x ) được
 x
cho như hình vẽ bên. Hàm số y = f 1 −  + x nghịch biến trên khoảng
 2

x

−1

f '( x)

3

0

1

2

3
4

1

2
−1

A. ( 2; 4 )
Đáp án B
Phương pháp:

B. ( −4; −2 )

C. ( −2;0 )

D. ( 0; 2 )

Tính g ' ( x ) , giải bất phương trình g ' ( x )  0
Cách giải:
1  x
 x
Ta có g ( x ) = f 1 −  + x  g ' ( x ) = − .f ' 1 −  + 1; x 
2  2
 2

1  x
 x
Xét bất phương trình g ' ( x )  0  − .f ' 1 −  + 1  0  f ' 1 −   2
2  2
 2

(* )

Thử lần lượt từng đáp án
x
 x
Đáp án A: x  ( 2; 4 )  1 −  ( −1;0 )  f ' 1 −   1  đáp án A sai
2
 2

x
 x
Đáp án B: x  ( −4; −2 )  1 −  ( 2;3)  f ' 1 −   2  B đúng.
2
 2

x
 x
Đáp án C: x  ( −2;0 )  1 −  (1; 2 )  −1  f ' 1 −   2  Csai
2
 2

x
 x
Đáp án D: x  ( 0; 2 )  1 −  ( 0;1)  −1  f ' 1 −   1  D sai.
2
 2

Câu 63: (Chuyên Đại Học Vinh)

(

)

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( x −1) x 2 − 2x , với mọi x  . .Có bao nhiêu giá
2

trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = f ( x 2 − 8x + m ) có 5 điểm cực trị?
A. 16

B. 17

C. 15

D. 18

Đáp án C
Phương pháp:
Đặt g ( x ) = f ( x 2 = 8x + m ) , tính g ' ( x ) và giải phương trình g ' ( x ) = 0, tìm điều kiện để
phương trình có 5 nghiệm phân biệt và qua các nghiệm đó g ' ( x ) đổi dấu.
Cách giải:

x = 4
Ta có g ' ( x ) = ( 2x − 8 ) f ' ( x 2 − 8x + m ) = 0  
2
f ' ( x − 8x + m ) = 0

(

)

( *)

( I ).

Mà f ' ( x ) = ( x −1) x 2 − 2x = ( x −1) .x ( x − 2 ) ; x 
2

Suy

2

ra


 x 2 − 8x + m − 1 = 0 (1)


2
(*)  ( x 2 − 8x + m − 1) ( x 2 − 8x + m )( x 2 − 8x + m − 2 ) = 0   x 2 − 8x + m = 0
(2)
 2
 x − 8x + m − 2 = 0 ( 3)

Qua các nghiệm của phương trình (1) (nếu có) thì g ' ( x ) đều không đổi dấu. Do đó ta không
xét phương trình (1).
Để hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (2); (3) có 2 nghiệm phân biệt
khác 4.
16 − m  0
16 − m + 2  0


 m  16
−
16
+
m

0

−18 + m  0

Kết hợp m 

*

 có 15gias trị m cần tìm.

Câu 64: (Chuyên Đại Học Vinh)
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của a để đồ thị hàm số y = x3 + ( a + 10) x 2 − x + 1 cắt trục
hoành tại đúng một điểm?
A. 9

B. 8

C. 11

D. 10

Đáp án D
Phương pháp:
Xét phương trình hoành độ giao điểm x3 + ( a + 10) x 2 − x + 1 = 0, cô lập a, đư phương trình về
dạng a = f ( x ) , phương trình có nghiệm duy nhất  đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số

y = f ( x ) tại một điểm duy nhất, lập BBT và kết luận.
Cách giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và OX là x3 + ( a + 10) x 2 − x + 1 = 0

(*)

x3 − x + 1
.
Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (*). Khi đó (*)  −a − 10 =
x2
x3 − x + 1
x3 + x − 2
1 1

= x − + 2 , có f ' ( x ) =
= 0  x =1
Xét hàm số f ( x ) =
x2
x3
x x

Tính lim f ( x ) = +; lim f ( x ) = +; lim− f ( x ) = −; lim+ f ( x ) = +;f (1) = 1.
x →−

BBT:

x →+

x →0

x →0


−

x

0
-

y'

+

1

0

-

+

+

+

+

y
−

Dựa

vào

bảng

biến

1

thiên,

ta

f ( x ) = −a − 10 có

thấy

nghiệm

duy

nhất

 −a −10  1  a  −11

Câu 65: (Chuyên Đại Học Vinh)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  ( −10;10 ) để hàm số y = m2 x 4 − 2 ( 4m −1) x 2 + 1 đồng
biến trên khoảng (1;+ ) ?
A. 15

B. 7

C. 16

D. 6

Đáp án C
Phương pháp:
Để hàm số đồng biến trên (1; +)  y'  0x  (1; + ) và y ' = 0 tại hữu hạn điểm thuộc

(1;+ )
Cách giải:

Ta có y ' = 4m 2 x 3 − 4 ( 4m − 1) x = 4x ( m 2 x 2 − 4m + 1)
Để

hàm

số

đồng

(1; +)  y'  0, x  (1; +)  m2x 2 − 4m +1  0, x  (1; +)

biến

(1)

Rõ ràng m = 0 thỏa mãn (1).
Với m  0 thì

m  0
m

0


4m
−
1
4m
−
1

 m  2 + 3
(1)  x 2  2 x  (1; + )  2  1   2
m
m
m − 4m + 1  0  
  m  2 − 3

m  ( −10;10 )
 m  4;5;6;7;8;9; −9; −8; −7; −6; −5; −4; −3; −2; −1 .
Kết hợp với 
m




Vậy có 16 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

trên


Câu 66:(Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội)
Khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 đến trục tung bằng
A. 0.
B. 2.
C. 1.
D. 4.
Đáp án B
Câu 67:(Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội)
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = −2x + m tiếp xúc với đồ thị
x +1

hàm số y =
là
x −1
A. m 7; −1.
B. m = 6.
C. m 6; −1.
D. m = −1.
Đáp án A.
Ta có: y ' =

−2

( x − 1)

2

. Go ̣i A ( x 0 , y0 ) là tiế p điể m, trong đó x 0  1, y 0 =

Để đường thẳ ng y = −2x + m tiế p xúc với đồ thi ̣hàm số y =

x0 +1
x0 −1

x +1
thì y' ( x 0 ) = −2
x −1

x0 = 2
2
= −2  ( x 0 − 1) = 1  

( x 0 − 1)
x0 = 0
Với x 0 = 2  x 0 = 3  3 = −2.2 + m  m = 7
Với x 0 = 0  y0 = −1  −1 = −2.0 + m  m = −1.


−2

2

Câu 68: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Điểm thuộc đường thẳng d : x − y − 1 = 0 cách đều
hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 là
A. ( −1; 2 ) .

B. ( 0; −1) .

C. (1;0 ) .

D. ( 2;1) .

Đáp án C.
x = 0
.
Ta có: y ' = 3x 2 − 6x = 3x ( x − 2 )  y ' = 0  
x = 2
Suy ra to ̣a đô ̣ 2 điể m cực tri ̣của đồ thi ̣hàm số là A ( 0;2) , B ( 2; −2)  I (1;0 ) là trung điể m
AB.
PT đường trung thực của AB là d’: ( x −1) − 2y = 0  x − 2y −1 = 0.

Điể m cầ n tim

̀ là M (1;0 ) = d  d '.
Câu 69: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội)
Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hàm số y = x 3 + 3 3ax có cực đại, cực tiểu và đường
thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ
A. a  0.
B. a  −1.
C. −1  a  0.
D. a  0.
Đáp án A.
Ta có y ' = 3x 2 + 3 3a.
Hàm số có cực tri ̣  y ' = 0 có 2 nghiê ̣m phân biê ̣t  a  0.
Hàm số là hàm lẻ nên đồ thi ̣hàm số có tâm đố i xứng là gố c to ̣a đô ̣, do đó đường thẳ ng nố i
cực đa ̣i và cực tiể u của đồ thi ̣hàm số luôn đi qua gố c to ̣a đô ̣.


Câu 70: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
5 + x −1
y= 2
x + 4x
A. x = 0.
B. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
C. x = −4.
D. x = 0, x = −4.
Đáp án A.
x = 0
Ta có x 2 + 4x = 0  
.
 x = −4
5 + x −1
5 + x −1

1
Mă ̣t khác lim y = lim 2
= , lim y = lim 2
=− .
x →0
x →0 x + 4x
x →−4
x →−4 x + 4x
8
Suy ra x = 0 là tiê ̣m câ ̣n đứng của đồ thi ̣hàm số đã cho.

Câu 71: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y = x 4 − 3x 2 + 1 tại các điểm có tung độ bằng 5 là
A. y = 20x − 35.
B. y = −20 − 35; y = 20x + 35.
C. y = −20x − 35.
D. y = 20x − 35; y = −20x − 35.
Đáp án D.
x = 2
.
Ta có y = 5  x 4 − 3x 2 + 1 = 5  
 x = −2

 y ' ( 2 ) = 20
Có y ' = 4x 3 − 6x  
.
y
'
−
2

=
−
20
(
)


 y = 20 ( x − 2 ) + 5
 y = 20x − 35

.
Suy ra PTTT thỏa mañ đề bài là 
 y = −20x − 35
 y = −20 ( x + 2 ) + 5

Câu 72:(Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Khoảng cách từ gốc tọa độ đến giao điểm của hai
đường tiệm cận của đồ thị hàm số
2x + 1
y=
bằ ng
x +1
A. 2.
B. 5.
C. 5.
D. 3.
Đáp án B.
Đồ thi ̣hàm số y =

2x + 1
có tâm đố i xứng là I ( −1;2 )  OI =

x +1

( −1)

2

+ 22 = 5.

Câu 73:(Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội)
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x 3 − 2x + 1 bằ ng
10 6
.
3
Đáp án D.

A.

B.

10
.
3

C.

10 3
.
3

D.

10 6
.
9


Ta có y ' = 3x 2 − 2; y ' = 0  x = 

 6 9−4 6  
6
6 9+4 6 
. Suy ra A 
;
;
 ; B  −

3
6
9
 3
  3


Với A, B là hai điể m cực tri ̣của đồ thi ̣hàm số . Vâ ̣y AB =

10 6
.
9

Câu 74: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Gọi A,B,C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số

y = x 4 − 2x 2 + 4. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng
A. 2.
Đáp án C.

B. 1.

C.

2 −1.

D.

2 + 1.

x = 0
Ta có y ' = 4x 3 − 4x  y ' = 0  
.
 x = 1
2
2

AC = BC = 2
Suy ra to ̣a đô ̣ ba điể m cực tri ̣là A ( −1;3) , B (1;3) , C ( 0; 4 )   2
 ABC
AB
=
4


vuông cân ta ̣i C.

S 1
  2 + 2 +2
2 2  : 
Suy ra r = = 
 = 2 − 1.
P 2
2
 


Câu 75: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Phương trình tiếp tuyến của đường cong
y = x 3 + 3x 2 − 2 tại điểm có hoành độ x 0 = 1 là

B. y = 9x + 7

A. y = 9x − 7

D. y = −9x + 7

C. y = −9x − 7

Đáp án A
Ta có y' = 3x 2 + 6x  y' (1) = 9, y (1) = 2
Suy ra PTTT là y = 9 ( x −1) + 2  y = 9x − 7
Câu 76:(Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm
f ' ( x ) = ( x + 1) ( x − 2 ) ( x + 3) . Số điểm cực trị của hàm số f ( x ) là
4

5

A. 5

3

B. 3

C. 1

D. 2

Đáp án B
Ta có: f ( u ) ' = f ' ( u ) .u ' ( x )  f ( x ) ' = f ' ( x ) . x ' = ( x + 1)
Chú ý: ( x ) ' =

4

( x − 2 ) ( x + 3) . xx
5

3

( x ) ' = 22xx
2

Do đó hàm số f ( x ) có 3 điểm cực trị là x = 2, x = 0
Câu 77:(Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018) Đồ thị ở hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào


sau đây?

A. y = −x 3 + 6x 2 − 9x + 2
B. y = x 3 − 6x 2 + 9x − 2
C. y = −x 3 + 6x 2 + 9x − 2
D. y = x 3 − 3x 2 − 2
Đáp án B

Câu 78:(Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018) Số điểm cực trị của hàm số y =
A. 0

B. 3

C. 1

1
là
x

D. 2

Đáp án A
Hàm số có tập xác định D =
Có y ' = −

\ 0

1
 0, x  D  Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định, suy ra hàm số
x2

Câu 79: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trục đối xứng của đồ thị hàm số

y = − x 4 + 4x 2 − 3 là

A. Đường thẳng x = 2 B. Đường thẳng x = −1 C. Trục hoành

D. Trục tung

Đáp án D
Hàm số chẵn có trục đối xứng của đồ thị hàm số là trục tung.
Câu 80: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào?

x
y'

−1

−

-

0

0
+

0

+

1
-

0

+


−3

+

y

+
A.

−4

−4

y = x 4 + 2x 2 − 3

B. y = −x 4 + 2x 2 − 3

C. y = x 4 − 2x 2 − 3

D. y = x 4 + 2x 2 + 3

Đáp án C
Dựa vào đồ thị hàm số ta có: lim y = +  a  0 (loại B)
x →+

Đồ thị hàm số đi qua điểm ( 0; −3) (loại D) và đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị (loại A).
2x − 3
:
x →+ 1 − 3x

Câu 81: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Tìm giới hạn lim
A.

2
3

B. −

2
3

C. −

3
2

D. 2

Đáp án B
2x − 3
2
=−
x →+ 1 − 3x
3

lim

Câu 82:(Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018) Hàm số nào sau đây đồng biến trên
A. y = x 2 + 1

B. y =

x
x +1

?

D. y = x 4 + 1

C. y = x + 1

Đáp án C
Ta có y = x + 1  y '  0 suy ra y = x + 1là hàm số đồng biến trên

.

Câu 83: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Biết đồ thị hàm số y =

( 2x − n ) x 2 + mx + 1
x 2 + mx + n − 6

(m, n là tham số) nhận trục hoành và trục tung làm hai đường tiệm cận. Tính m + n
A. 6

B. −6

C. 8

D. 9

Đáp án D
m 1
+ 2
x
x = 2m − n  y = 2m − n là TCN
Ta có lim y = lim
x 
x 
m n −6
1+ + 2
x
x
2m − n +

Mà y = 0 là tiệm cận ngang của ĐTHS  y = 0  2m − n = 0
Và x = 0 là TCĐ của ĐTHS  x = 0 là nghiệm của phương trình x 2 + mx + n − 6 = 0
2m − n = 0 m = 3

→m+n =9
Vậy 
n = 6
n = 6


Câu 84: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Xét hàm số f ( x ) = x 2 + ax + b , với a, b là

tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên  −1;3. Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể
được, tính a + 2b.
A. 3

B. 4

C. −4

D. 2

Đáp án C


M  f ( −1) = b − a + 1 ; M  f ( 3) = b + 3a + 9
Ta có 

M  f (1) = b + a + 1  2M  −2b − 2a − 2

(1)
( 2)

Từ (1) và (2), kết hợp với x + y + z  x + y + z , ta được

4M  b − a + 1 + b + 3a + 9 + −2b − 2a − 2  b − a + 1 + b + 3a + 9 − 2b − 2c − 2 = 8  M  2
Vậy M  2.

 b − a +1 = 2

Dấu bằng xảy ra khi  b + 3a + 9 = 2 và b − a + 1.b + 3a + 9, −2b − 2a − 2 cùng dấu


 b + a +1 = 2
a = −2
→ a + 2b = −4
Do đó 
b = −1

Phương pháp: Tên  ;  tùy ý thì ta chọn 3 giá trị , ,

+
2

Câu 85( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam): Tính giới hạn lim−
x →−2

A. −.

B. 2.

3 + 2x
.
x+2

C. +.

D.

3
.
2

Đáp án C.
3 + 2. ( −2 ) −1
3 + 2x
= lim−
=
= +.
−
2 x+2
x →−2
( −2 ) + 2 0−

Ta có lim
−
x→

Câu 46: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và có đạo hàm trên R thỏa mãn
f (1 + 2x )  = x − f (1 − x ) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại
điểm có hoành độ bằng 1.
2

3


1
6
A. y = − x − .
7
7
Đáp án A.

B. y =

1
8
x− .
7
7

1
8
C. y = − x + .
7
7

6
D. y = − x + .
7

f (1) = a
a = 0
, thay x = 0 vào giả thiết, ta được f 2 (1) = −f 3 ( 0 )  a 3 + a 2 = 0  
Đặt 
.
a = −1
f ' (1) = b '
Đạo hàm 2 vế biểu thức f 2 (1 + 2x ) = x − f 3 (1 − x ) , ta được

4f ' (1 + 2x ) .f (1 + 2x ) = 1 + 3f ' (1 − x ) .f 2 (1 − x )

(1).

Thay x = 0 vào biểu thức (1), ta có 4f ' (1) .f (1) = 1 + 3f ' (1) .f 2 (1)  4ab = 1 + 3a 2b

(2).

TH1: Với a = 0, thay vào (2), ta được 0 = 1 (vô lý).
1
1
TH2: Với a = −1, thay vào (2), ta được −4b = 1 + 3b  b = −  f ' (1) = − .
7
7
1
6
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y − f (1) = f ' (1)( x − 1)  y = − x − .
7
7

Câu 86: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam)
Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên R và có đạo hàm y = f ' ( x ) thỏa mãn

f ' ( x ) = (1 − x )( x + 2) .g ( x ) + 2018 trong đó g ( x )  0, x  . Hàm số
y = f (1 − x ) + 2018x + 2019 nghịch biến trên khoảng nào?
A. (1; + ) .

B. ( 0;3) .

C. ( −;3) .

D. (1; + ) .

Đáp án D.
Ta có y ' = f (1 − x ) + 2018x + 2019  ' = (1 − x ) '.f ' (1 − x ) + 2018 = −f ' (1 − x ) + 2018

= −x ( 3 − x ) .g (1 − x ) − 2018 + 2018 = −x ( 3 − x ) .g (1 − x ) mà g (1 − x )  0; x 

x  3
Nên y '  0  − x ( 3 − x ) .g (1 − x )  0  x ( 3 − x ) .g (1 − x )  0  x (3 − x )  0  
.x  0
Khi đó, hàm số y = f (1 − x ) + 2018x + 2019 nghịch biến trên khoảng ( 3; + ) .

Câu 87: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam)
Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng y = x + 1 và đồ thị hàm số y =
độ trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng
5
A. − .
B. 2.
2
Đáp án D.

C. -1.

2x + 4
. Khi đó hoành
x −1

D. 1.

2x + 4
= x + 1  x 2 − 2x − 5 = 0
x −1

x + xN
= 1.
Khi đó, hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng MN là x1 = M
2

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là

Câu 88:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Xét phương trình ax 3 − x 2 + bx − 1 = 0 với a, b là
các số thực, a  0, a  b sao cho các nghiệm đều là số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của


biểu thức P =

5a 2 − 3ab + 2
.
a2 (b − a )

A. 15 3.

B. 8 2.

C. 11 6.

D. 12 3.

Đáp án D.
1

 x1 + x 2 + x 3 = x1x 2 x 3 = a  0
Giả sử phương trình đã cho có 3 nghiệm x1 , x 2 , x 3  

.
x x + x x + x x = b
1 3
2 3
 1 2
a
5 3b 2
2
− +
2
x1 + x 2 + x 3 )
(
5a − ab + 2 a a 2 a 3
b
1
  2
Khi đó P = 2
mà x1x 2 + x1x 3 + x 2 x 3 
=
b
3
a 3a
a (b − a)
−1
a
1 27
1
Do x1 + x 2 + x 3  3 3 x1x 2 x 3  2 
a
a

a
3 3
5 3 b 2 5 3 1
2
− . + 2
− . 2+ 3
2
a = 15a + 3 = f ( x ) , với 0  a  1
Suy ra P = a a a a  a a 3a
b
1
a − 3a 3
3 3
−1
−
1
3
a
3a
2
15a + 3 
1 
 1 
a
 Min f ( a ) = f 
Xét hàm số f ( a ) =

 = 12 3.
3 
a − 3a 

3 3   0; 1 
3 3
 3 3

Câu 89: ( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3)
Tìm I = lim

8n 5 − 2n 3 + 1
.
4n 5 + 2n 2 + 1

B. I = 8

A. I = 2

C. I = 1

D. I = 4

Đáp án A
2
1
+ 5
2
n
n =2
Ta có: I = lim
2 1
4+ 3 + 5
n n

8−

Câu 90:( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3)

2 1+ x − 3 8 − x
. Tính
Cho hàm số y = f ( x ) =
x

lim f ( x ) .
x →0

A.

1
12

Đáp án B
Cách 1: CALC

B.

13
12

C. +

D.

10

11


2 1+ x − 2 + 2 − 3 8 − x
= lim
x →0
x →0
x

Cách 2: lim f ( x ) = lim
x →0


2
1
= lim 
+
2
x →0  1 + x + 1
4 + 2 3 8 − x + 3 (8 − x )


8 − (8 − x )
 (1 + x ) − 1 
2
+
2
 1 + x + 1 4 + 2 3 8 − x + 3 (8 − x )
x


 = 13
 12


Câu 91:( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Gọi m là số thực dương sao cho đường thẳng y = m + 1
cắt đồ thị hàm số y = x 4 − 3x 2 − 2 tại hai điểm A, B thỏa mãn tam giác OAB vuông tại O (O
là gốc tọa độ). Kết luận nào sau đây là đúng?
7 9
A. m   ; 
9 4

1 3
B. m   ; 
2 4

5 7
D. m   ; 
4 4

3 5
C. m   ; 
4 4

Đáp án C
t =x
→ t 2 − 3t − m − 3 = 0 (1) .
PT hoành độ giao điểm là m + 1 = x 4 − 3x 2 − 2 ⎯⎯⎯
2

Hai đồ thị có 2 giao điểm  (1)  có 2 nghiệm trái dấu

 t1t 2  0  −m − 3  0  m  −3 ( 2 )

3 + 21 + 4m
 t1 =
 x A = t1

2
Khi đó 

 t = 3 − 21 + 4m
 x B = − t1
 2
2

Suy ra tọa độ hai điểm A,B là A

(

(
(

)

OA = t1 ; m + 1

t1 ; m + 1 , B − t 1 ; m + 1  
OB = − t1 ; m + 1


) (

)

)

Tam giác OAB vuông tại O
 OA.OB = 0  − t1 + ( m + 1) = 0  −
2

3 + 21 + 4m
2
+ ( m + 1) = 0
2

3 5
Giải PT kết hợp với điều kiện ( 2 )  m = 1  m   ; 
4 4

Câu 92: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Biết lim
x →0

hai số nguyên dương và phân số

3x + 1 − 1 a
= , trong đó a, b là
x
b

a
tối giản. Tính giá trị biểu thức P = a 2 + b 2 .
b


A. P = 13

B. P = 0

D. P = 40

C. P = 5

Đáp án A
Ta có: lim
x →0

3x + 1 − 1
= lim
x
x →0 x

(

3x

)

3x + 1 + 1

= lim
x →0

(

3

)

3x + 1 + 1

=

3 a
=  a = 3; b = 2.
2 b

Câu 93: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 )Cho a và b là các
số thực dương khác 1. Biết rằng bất kì đường thẳng nào song song với
trục tung mà cắt các đồ thị y = log a x, y = log b x và trục hoành lần
lượt tại A, B và H ta đều có 2HA = 3HB (hình vẽ bên). Khẳng định
nào sau đây đúng?
A. a 2 b3 = 1

B. 3a = 2b

C. 2a = 3b

D. a 3b 2 = 1

Đáp án D
Giả sử với x = 2 ta có: HB = logb 2 ;HA = loga 2 . Theo bài ra ta có:
2HA = 3HB  3 log b 2 = 2 log a 2 →

3
2
=−
 3log 2 a + 2 log 2 b = 0
log 2 b
log 2 a

 log 2 a 3 + log 2 b 2 = 0  log 2 a 3b 2 = 0  a 3b 2 = 1

Câu 94: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận
tốc v km / h phụ thuộc thời gian t ( h ) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh

I (1;1) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường S mà vật di
chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát.
A. S = 6km
C. S =

46
km
3

B. S = 8km
D. S =

40
km

3

Đáp án D
Gọi parabol ( P ) có dạng y = at 2 + bt + c ( a  0 )

a = 1
a + b + c = 1


 b = −2.
Đồ thị ( P ) đi qua điểm M ( 0;2 ) và đỉnh I (1;1) suy ra  b
− 2a = 1;c = 2 c = 2



4

Suy ra ( P ) : y = t − 2t + 2. Vậy quãng đường S cần tính là S =  ( t 2 − 2t + 2 ) dt =
2

0

40
km.
3

a
a
(trong đó
là phân số tối giản và

b
b
2
2
a, b  * ) là giá trị của tham số m thực để cho hàm số y = x3 − mx 2 − 2 ( 3m 2 − 1) x + có
3
3
2
2
hai điểm cực trị x1 , x2 sao cho x1 x2 + 2 ( x1 + x2 ) = 1 . Tính giá trị biểu thức S = a + b
Câu 95:(Chuyên Thái Nguyên Lần 1)

A. S = 13
Đáp án A

Biết

B. S = 25

D. S = 34

C. S = 10

Ta có y ' = 2 x 2 − 2mx − 2 ( 2m 2 − 1) . Để hàm số có 2 điểm cực trị thì y ' = 0 có 2 nghiệm phân
biệt
2

 m  13
  ' = m 2 + 4 ( 3m 2 − 1)  0  
(*) . Khi đó

2

 m  − 13


 x1 + x2 = m

2
 x1 x2 = 1 − 3m

m = 0
 x1 x2 + 2 ( x1 + x2 ) = 1  1 − 3m + 2m = 1  3m − 2m = 0  
m = 2
3

2
So sánh với (*) ta có m =  a = 2, b = 3  S = 22 + 32 = 13
3
2

2

Câu 96: (Chuyên Thái Nguyên Lần 1)Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
m để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 + x 2 + mx − 1 nằm bên phải trục tung. Tìm số
phần tử của tập hợp ( −5;6 )  S
A. 2
Đáp án D

B. 5

C. 3

Ta có y = 3x 2 + 2 x + m . Hàm số có cực trị khi  ' = 1 − 3m  0  m 

D. 4
1
3

Do hàm số có a = 1  0  xCT  xCD
Giả thiết bài toán  PT : 3 x 2 + 2 x + m = 0 có ít nhất 1 nghiệm dương
2

 x1 + x2 = − 3  0
 m  0 là giá trị cần tìm. Vậy ( −5;6)  S = ( −5;0)
Do 
x x = m
 1 2 3
Câu 97: (Chuyên Thái Nguyên Lần 1)Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng
2x +1
y = x + m − 1 cắt đồ thị hàm số y =
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2 3
x +1
A. m = 2  10
B. m = 4  3
C. m = 2  3
D. m = 4  10
Đáp án D


Phương trình hoành độ dao điểm của ( C ) và ( d ) là

 x  −1
2x +1

= x + m − 1   x2 + ( m − 2) x + m − 2
x +1

f ( x)

m  6
Để ( C ) cắt ( d ) tại hai điểm phân biệt  f ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt x  −1  
m  2
Gọi A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là giao điểm của ( C ) và (Dethithpt.com)

( d )  AB =

2 ( x2 − x1 ) = 2 ( x2 + x1 ) − 8x1 x2
2

2

 x1 + x2 = 2 − m
Theo hệ thức Viet, ta được 
mà
 x1 x2 = m − 2
AB = 2 3  ( 2 − m ) − 4 ( m − 2 ) = 6  m = 4  10
2

Câu 98: (Chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị)Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
phương trình x 4 − 2x 2 − 3 = m có 4 nghiệm phân biệt.
C. −4  m  −3

A. −1  m  1 B. m  −4
Đáp án C

D. m  −1

Xét hàm số y = x 4 − 2x 2 − 3 có đồ thị như hình vẽ.
Dựa vào đồ thị suy ra PT có 4 nghiệm phân biệt  −4  m  −3.
Câu 99:(Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Giới hạn lim
x →2

1
2
D. 1
Đáp án B
A.

lim
x →2

B.

x+2 −2
= lim
x →2
x−2

(

1

4

x+2 −2

( x − 2) (

x+2 −2
bằng
x−2

C. 0

)(

x+2 +2

x+2+2

)

) = lim
x →2

1
1
=
x+2+2 4

Câu 100: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

x

−

0

−

+

y'

+

3

y

+

−

Hàm số đã cho đạt cực đại tại
A. 2
B. 1

+

2

1
C. 0

D. 3


Đáp án C
Câu 101:(Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Hàm số y = x 3 − 3x + 1 nghịch biến trên khoảng
C. ( −; −1)

B. (1;+ )

A. ( 0; 2 )

D. ( −1;1)

Đáp án D
Câu 102: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
x+2
y=
biết tiếp tuyến đó cắt trục tung và trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
2x + 3
tam giác OAB cân là
A. y = − x − 2
B. y = x + 2
C. y = x − 2
D. y = − x + 2
Đáp án A
Vậy ( d ) : y = −x − 2
Câu 103: (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ)Phát biểu nào sau đây là sai?

A. lim u n = c (u n = c là hằng số).
B. lim q n = 0 ( q  1)
C. lim

1
=0
n

D. lim

1
= 0 ( k  1)
nk

Đáp án B
Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số (SGK ĐS11- Chương 4) thì lim q n = 0 ( q  1)
Câu104: (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ)Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên
khoảng ( −; + ) , có bảng biến thiên như hình sau:
x

−1

−

y’

+

0
2

+

1

−

0

+

+

y
−

−1

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên (1;+ )

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −; −2)

C. Hàm số nghịch biến trên ( −;1)

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1; + )

Đáp án B
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng ( −; −1) suy ra hàm số cũng đồng
biến trên ( −; −2 )

Câu 105: (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ)Phát biểu nào trong các phát biểu sau là đúng?
A. Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trái tại x 0 thì nó liên tục tại điểm đó.
B. Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm phải tại x 0 thì nó liên tục tại điểm đó.
C. Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại x 0 thì nó liên tục tại điểm − x 0


D. Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại x 0 thì nó liên tục tại điểm đó
Đáp án D
Ta có định lí sau:
Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại x 0 thì nó liên tục tại điểm đó.
Câu 106: (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ) Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. Hàm số y = cos x là hàm số lẻ.
B. Hàm số y = cot x là hàm số lẻ.
C. Hàm số y = sin x là hàm số lẻ.
D. Hàm số y = tan x là hàm số lẻ.
Đáp án A
Ta có các kết quả sau:
+ Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.
+ Hàm số y = cot x là hàm số lẻ.
+ Hàm số y = sin x là hàm số lẻ.
+ Hàm số y = tan x là hàm số lẻ
Câu 107: (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ)Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
đường thẳng có phương trình?
A. y = 5
B. x = 0
Đáp án D
Ta có lim y = lim
x →+

x →+

C. x = 1

5
là
x −1

D. y = 0

5
= 0  đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
x −1

5
= 0  đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
x →− x − 1

lim y = lim

x →−

Câu 108: (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ)Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x 3 − 3x + 5
là điểm?
A. Q ( 3;1)
B. M (1;3)
C. P ( 7; −1)
D. N ( −1;7 )
Đáp án B

 x = 1  y '' (1) = 6  0

Ta có y ' = 3x 2 − 3  y '' = 6x . Khi đó y ' = 0  
 x = −1  y '' ( −1) = −6  0
 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và hàm số đạt cực đại tại x = −1
Với x = 1  y = 3  điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x 3 − 3x + 5 là M (1;3)
Câu 109: (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng

( a; b ) . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên đoạn a;b là?
A. lim f ( x ) = f ( a ) và lim f ( x ) = f ( b )
B. lim f ( x ) = f ( a ) và lim f ( x ) = f ( b )
x →b
x →b
x →a
x →a
C. lim f ( x ) = f ( a ) và lim f ( x ) = f ( b )
D. lim f ( x ) = f ( a ) và lim f ( x ) = f ( b )
x →a
x →b
x →a
x →b
+

−

+

+

−

+

−

−


Đáp án A
Hàm số f xác định trên đoạn a;b được gọi là liên tục trên đoạn a;b nếu nó liên tục trên
khoảng ( a;b ) , đồng thời lim− f ( x ) = f ( a ) và lim− f ( x ) = f ( b )
x →b

x →a

Câu 110: (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ)Hình bên là đồ thị
của hàm số y = f ' ( x ) . Hỏi đồ thị hàm số y = f ( x ) đồng biến
trên khoảng nào dưới đây
A. ( 2;+ )
B. (1;2 )
C. ( 0;1)

D. ( 0;1) và ( 2;+ )

Đáp án A
Dựa vào đồ thị f ' ( x ) ta có f ' ( x )  0 khi x  ( 2; + )  hàm số f ( x ) đồng biến trên

( 2;+ )
Câu 111: (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ)Cho hàm số y = f ( x ) xác định

\ −1 , liên

tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình sau:
x

−1

−

y’

+

−

0

+

3
0

2 +

+

+

y
−4

−

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình y = f ( x ) có đúng ba
nghiệm thực phân biệt
A. ( −4;2 )

B.  −4; 2 )

C. ( −4; 2 

D. ( −; 2 

Đáp án A
Số nghiệm phương trình f ( x ) = m là số giao điểm của hai đường y = f ( x ) và y = m : là
đường thẳng song song với trục Ox cắt Oy tại điểm có tung độ m
Phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt khi đường thẳng y = m cắt đồ thị y = f ( x ) tại ba
điểm phân biệt.
Dựa vào bảng biến thiên có m  ( −4;2)
Câu 112: (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ)Đường thẳng y = 2x − 1 có bao nhiêu điểm
chung với đồ thị hàm số y =

x2 − x −1
x +1