SKKN giải các bài toán về quỹ tích hình học 11 NC image marked

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHAD (GSP)
VÀO DẠY HỌC MỘT SỐ BÀI TỐN QUỸ TÍCH
CHƯƠNG I – HÌNH HỌC 11 NÂNG CAO
-----------------------I-ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất năm 2000, “phép dời hình và phép đồng
dạng” là chương cuối của hình học 10, khi đó phần lớn giáo viên và học sinh xem nhẹ
chương này , ít đầu tư và đi sâu vào các phép biến hình mà đặc biệt là các bài toán về quỹ
tích
Trong sách giáo khoa mới ( cải cách năm 2007) , chương “ phép dời hình và phép
đồng dạng” lại được đặt ở chương đầu tiên của hình học 11 nâng cao, điều này nói lên
phần nào tầm quan trọng của nó , đồng thời gợi cho giáo viên và học sinh tính nghiêm túc
và cần thiết cao khi học chương này.
Thực tế để khi giải một bài toán quỹ tích bằng phép biến hình ngừơi học gặp rất
nhiều khó khăn, người dạy cũng gặp không ít khó khăn khi hướng dẫn HS giải , cái khó ở
đây không phải là trình độ HS hay tay nghề, trình độ chuyên môn của giáo viên mà là khó
trong việc thể hiện tính đúng đắn của bài toán một cách trực quan mà chỉ có thể kiểm
chứng trên cơ sở lý thuyết, từ đó thiếu tính thuyết phục đối với người học, mặc khác HS sẽ
gặp khó khăn khi dự đoán quỹ tích các điểm M thoả mãn yêu cầu bài toán.
Một ví dụ cụ thể: bài tập 9- ôn tập chương I, trang 35, sách giáo khoa hình học 11 nâng
cao:
“ Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố đònh , một dây cung BC thay đổi của (O;R)có độ
dài không đổi BC = m . Tìm quỹ tích các điểm G sao cho GA  GB  GC  0 ”
B
Hoạt động hướng dẫn giải như sau:
Gọi I là trung điểm của BC
I

G
A

C
O

Câu hỏi 1: Điểm nào thay đổi, điểm nào cố đònh ?
Trả lời 1: Điểm B, C thay đổi , tức điểm I thay đổi, điểm A và (O; R) cố đònh, BC=m cố
đònh
-Đến đây người dạy sẽ gặp khó khăn khi muốn biểu diễn trực quan tính thay đổi của dây
BC cũng như tính cố đònh của độ dài cung dây BC = m, vì hình vẽ trên bảng là hình chết,
đồng thời người học tiếp thu một cách bất tự nhiên mặc dù biết giả thuyết của bài toán là
như vậy.


Câu hỏi 2: Hãy dự đoán quỹ tích của điểm I
-Đây là một vấn đề quan trọng và khó , vì với hình vẽ trên bảng kết hợp với giả thuyết từ
đó tìm mối quan hệ giữa yếu tố thay đổi và yếu tố cố đònh , để làm được việc đó HS chỉ
có một cách là suy luận và tưởng tượng, mà đây là hai việc rất khó đối với HS
Trả lời 2:Trong  ABC vuông ta có
2

m
OI  OB  IB  R     R' (const)
2
2

2

2

Suy ra quỹ tích I là đường tròn (O; R’)
Câu hỏi 3: Nếu m = 2R, tìm quỹ tích I

Trả lời 3: m = 2R thì quỹ tích của I là điểm O
-Để minh hoạ quỹ tích của I khi m = 2R giáo viên có thể kẻ BC là đường kính của (O; R)
và kẻ (O; OI) nhưng khi đó hình vẽ trở nên nhiều nét khó quan sát.
Câu hỏi 4: Tìm mối quan hệ giữa điểm I và điểm G và suy ra quỹ tích G
Trả lời 4: GA  GB  GC  0  AG 
Tức phép vò tự V tâm I tỉ số

2
AI
3

2
biến điểm I thành điểm G, do đó quỹ tích của G là ảnh của
3

quỹ tích I qua phép vò tự V
-Khi suy luận và chứng minh xong , giáo viên sẽ gặp kho ùkhăn khi vẽ chính xác quỹ tích
của G
Tóm lại: Giáo viên chỉ có thể mô tả bằng lời những yếu tố động và khó khăn trong
việc vẽ quỹ tích. Chỉ giài bài toán quỹ tích theo hướng suy luận lý thuyết rồi dựng quỹ
tích, tại sao ta không cho HS giải theo chiều ngược lại, tức là cho HS dự đoán , khám phá
hình ảnh trực quan của quỹ tích trước rồi tìm lời giải, lời chứng minh sau.
Những khó khăn, yếu kém gặp phải trong ví dụ trên chỉ là một phần trong rất nhiều trở
ngại trong hướng dẫn HS ứng dụng các phép biến hình thực hiện một số hoạt động cũng
như các bài tập về quỹ tích của chương này mà hậu quả là phần lớn giáo viên lơ đãng , bỏ
qua mà nếu dạy toán quỹ tích thì cũng chỉ hướng dẫn qua loa vì phần đông là học sinh
trung bình yếu, hậu quả đa số HS mơ hồ và mang nặng tâm trạng ngán ngại học toán mà
cụ thể chương “phép dời hình và phép đồng dạng” nói chung , toán về quỹ tích nói riêng.
-Trước đây, đối với các bài toán quỹ tích , giáo viên thường giải một bài toán mẫu và
cho HS làm các bài tập tương tự .Giải pháp trên không mang lại hiệu quả cao, vì khi gặp

các bài toán dạng khác HS sẽ gặp lúng túng trong việc phân tích đề và dự đoán quỹ tích,
mặc khác giáo viên mất khá nhiều thời gian trên lớp nhưng chỉ hướng dẫn đường một dạng
toán thì không hay.
Giài pháp khác: Đã có một số giáo viên ứng dụng phần mềm Macromedia Flash vào bài
toán quỹ tích, đây được xem là một cung cụ hiêu quả nhưng chưa cao, vì nó không chuyên
toán học. Mặc khác tính phổ biến của nó rất thấp vì Flash rất khó tiếp cận và mất nhiều
thời gian khi thiết kế bài dạy nên có rất ít giáo viên thực hiện và áp dụng
Nhìn chung , nguyên nhân gây ra khó khăn lớn trước đây là việc ứng dụng công nghệ
thông tin trong nhà trường còn rất hạn chế, tư tưởng người thầy còn bò ảnh hưởng nặng nề
lối dạy truyền thống, trình độ tin học còn yếu nhất là đối với các giáo viên lớn tuổi.. Có
2


chăng chỉ là những tiết dạy mẫu bằng Powerpoint, mang tính chất thuyết trình, không đi
sâu khai thác các phần mềm chuyên môn như GSP, G3W, Cabri II, Cabri 3D…
II-GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. cơ sở lý luận
Theo quan điểm công nghệ thông tin (CNTT) , học là một quá trình thu nhận thông tin
có đònh hướng, có sự tái tạo và phát triển thông tin; dạy là phát thông tin giúp người học
thực hiện quá trình trên một cách có hiệu quả.
Nếu nội dung bài học chỉ truyền tới người học dưới dạng văn bản thì người học có thể
sẽ kém hứng thú, nếu chỉ có sự truyền tin theo một chiều không có sự hỏi đáp thì thông tin
thu được của học có thể phiến diện, không đầy đủ hoặc có thể bò biến dạng , có khi dẫn
đến hiểu sai nội dung.
Nói riêng tinh thần thay sách giáo khoa mới, chương trình toán được thực hiện theo
phươnh châm “Sát thực –trực quan- nhẹ nhàng – đổi mới”, khi đó việc ứng dụng CNTT
càng trở nên cấp thíêt và phù hợp, góp phần giảm nhẹ lý thuyết, tăng tính trực quan,dễ
tiếp thu.
2. Giả thuyết
Trong hè năm 2007 , mỗi trường THPT ở tỉnh ta đều có cử giáo viên học tập huấn ứng

dụng CNTT vào dạy học môn toán, trong đó có phầm mềm dạy học GSP, ngoài ra các
giáo viên môn toán còn có dip tiếp cận và chứng kiến hiệu quả của phần mềm GSP trong
các khoá học thay sách. Theo tôi nghó mọi giáo viên toán nếu tiếp cận nghiêng cứu GSP
khoãng một tháng là có thể sử dụng khá thành thạo phần mềm dạy học này. Hiện nay mỗi
trường THPT đều có máy tính , máy projector, nên hoàn toàn có thể sử dụng GSP vào dạy
học
- Khi dạy một bài toán quỹ tích theo cách dạy truyền thống ta thực hiện theo con đường:
Vận dụng lý thuyết  suy luận kết luận quỹ tích  vẽ quỹ tích
-Tại sao ta không dạy theo hướng ngược lại :
Xem quỹ tích kết luận quỹ tích suy luận kết hợp lý thuyết  kiểm chứng
Khi đó , quá trình giải một bài toán quỹ tích sẽ là một quá trình khám phá, mà HS là chủ
thể, từ đó người học chiếm lónh tri thức một cách hiệu qủa.
3. Quy trình thực hiện
a) Chuẩn bò thiết bò phục vụ cho tiết dạy
- Nắm lòch cúp điện
- Liên hệ phòng thiết bò vào buổi trước mượn máy tính ( máy tính xách tay càng tốt), máy
chiếu projector, màn ảnh chiếu
- Dặn dò HS ở tiết trước để HS chuẩn bò sẵn móc treo bảng chiếu, trước tiết dạy khoảng 5
phút HS lên phòng thiết bò mang dụng cụ theo hướng dẫn của GV nhằm tránh mất thời
gian lắp ráp thiết bò
b) Chuẩn bò nội dung bài dạy:
-Hướng 1:Nội dung bài học và các hiệu ứng đều soạn trong môi trường GSP
-Hướng 2: Chỉ có các hiệu ứng minh hoạ, hổ trợ soạn trong môi trường GSP, còn nội dung
lý thuyết thể viết bảng (hướng này ít tốn thời gian soạn bài hơn hướng 1)
c)Tiến hành tiết dạy
3


Bài toán 1/ trang 7 -SGK hình 11 nâ ng cao: giải bằng phép tònh tiến
Trường hợp BC không qua O

A

A-DI CHUYEN
H?

Quan sát sự chuyển động của điểm H,
dự đoán quỹ đao di chuyển của nó

H?
Q. Tích
H?

Quan sát vết của H,nhận xét
tính chất và hình dạn g của vết

B'

Sử dụng phép tònh tiến để chứng minh
quỹ tích H là đườn g tròn màu đỏ

H

O

B

chung minh

Tứ giác ABCD là hình

bình hành
C

Suy ra : AH = B'C <=>
Mà A thay đổi ttên (O;R) nên trực tâm H
luôn nằm trên đường tròn cố đònh ( màu
đỏ) là ản h của (O; R) qua phép tònh tiến
nói trên
Tinh tien

Trường hợp BC qua O

Hãy rê đie åm C đến trùng v ới B' (BC là trường k ính của (O; R)).Nhận x ét quỹ tích màu đỏ
của H

Ghi chú:
- n vào nút
-n vào nút

A-DI CHUYEN

H?

để HS quan sát điểm A di chuyển trên (O; R)

để hiện câu hỏi hoặc ẩn câu hỏi

- GV click chọn điểm H , và bấm Ctrl + T để tạo vết cho H
-n vào nút

Q. Tíc h

để xem quỹ tích

-n vào nút

chung minh

hiện nội dung chứng minh

-n vào nút

tinh tien

để quan sát (O:R) tònh tiến

4


BÀI 2 /Bài tập 4/ trang 9 -SGK hình 11 nâng cao
"Cho đườn g tròn (O) và hai điểm A ,B. Một điểm M thay đổi tre ân (O), Tìm quỹ tích
đie åm M' sao cho MM' +MA =MB "

M'

Di chuyen M
H?

Quan sát M' ? và dự đoán qũy tích của M'
M

Vet
H?

Nhận x ét tính chất quỹ tích của M'

B

Quy tich
chung minh

O

Ta có MM' + MA =MB <=>MM' =MB -MA =A B
<=>T

AB

A

(M) = M'

Mà M chạy trêm (O) ne ân quỹ tích của M' là (O') là ản h của (O)

T

AB
Tinh tien

Ghi chú :

-n vào nút
-n nút

Di chuyen M

để hiện hoặc ẩn câu hỏi

H?

-n vào nút
- n nút

để cho HS quan sát M chạy trên đường tròn (O; R)

Vet

Quy tich

-n nút

chung minh

-n nút

Tinh tien

để hiện vết của M’ sau khi dự đoán
để hiện quỹ tích của M’
để hiện nội dung chứng minh


xem (O:R) tònh tiến theo vectơ AB

Bài tập 10 /trang 13-SGK hinh 11 nân g cao: giải bằng phép đối xứng trục
Trường hợp BC không qua O

A

A-DI CHUYEN
H?

H?

Quan sát sự chuyển động của điểm H
dự đoán quỹ đao di chuyển của H
H

Quan sát vết của H,nhận xét
tính chất và hình dạn g của vết

O

Q. Tích

H?

Sử dụng phép đối xứng trục để chứn g
minh quỹ tích H là đường tròn màu
đỏ

B

C

chung minh

Trường hợp BC qua O
BC qua O
H?

Nhận xét quỹ tích màu đỏ của H và (O;R)

Ghi chú:
5


-Trước khi yêu cầu HS quan sát vết của H , GV chọn H và ấn Ctrl+T để tạo vết cho H
-n nút BC qua O
để HS quan sát trường hợp BC qua tâm O, điểm C di chuyển đến
vò trí sao cho BC qua O
Bài toán 2/ trang 28-SGK hình 11 nân g cao : giải bằng phép vò tự
Tam giác A BC có hai đỉnh B, C cố đònh còn đỉnh A chạy tre ân một đường tròn (O ; R) cố đònh
không có điểm chung v ới BC. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác A BC
An d. trung tuyen
H?

Quan sát sự chuyển động của điểm A và dự
đoán quỹ đao di chuyển của trọn g tâm G
B

Quy tich
H?

Dự đoán mối quan hệ giữa đường tròn màu
xanh v à đườn g tròn đỏ ?

H?

Dự đoán tâm của phép vò tự biến đường tròn
màu xanh thành đường tròn đỏ ? và chứng m inh
dự đoán đó là đún g ?

A
O'
I

O
G

C

Chung minh

Gọi I là trung đie åm của BC, I cố đònh
1
G là trọng tâm A BC<=>IG = IA
3
1
V ậy có phe ùp vò tự V tâm I tỉ số
bie án A thành G .

3
Mà A chạy tre ân (O; R) ne ân quỹ tích G là (O';R') là ản h của (O;R) là
1
1
phép vò tự V ,v ới IO' = IO và R' = R
3
3

Ghi chú:
- n nút

An d. trung tuyen

nếu muốn ẩn hoặc hiện các đường trung tuyến

-Để xuất hiện O’ ta thực hiện phép vò tự V tâm I tỉ số 1/3:
+ Chọn tâm I, vào menu transform / mark center
+ Chọn điểm O , vào menu tranform / dilate/ chon tỉ số vò tự 1/3, ta được O’

6


Bài tập 9- trang 35-SGK 11 nân g cao Giải bằn g phép vò tự

B

BC thay doi
H?

Hãy dự đoán qũy tích trung điểm I

Quy tich I
H?
H?

Khi I thay đổi , hãy dự đoán quỹ tích của G
A

Tìm mối quan hệ của I và G

I

G
O'

O

C

Chung minh

GA +GB + GC =0 <=>AG=

2
3

Tức phép vò tự V tâm A tỉ số

C

AI
2

biến điểm I thành điểm G,
3
do đó quỹ tích của G là ảnh của quỹ tích I qua phép vò tự V
Quy tich G
m= 2R
Reset
H?

Quan sát quỹ tích của I và G k hi m = 2R

Ghi chú:
- n nút

BC thay doi

để quan sát sự thay đổi của dây BC với độ dài không đổi

-n nút m= 2R
để BC trở thành đường kính của (O;R), nhằm giúp HS quan sát sự thay
đổi của quỹ tích của I và quỹ tích của G
4/ Hiệu quả mới . Ý nghóa của SKKG
-Nếu các tiết dạy các bài toán quỹ tích của chương I được dạy như trên sẽ có các lợi ích
thiết thực như: ít mất thời giờ vẽ hình, giải thích nhằm mô tả quỹ tích, độ chính xác toán
học của các hình cao. HS tiếp thu kiến thức tự nhiên trực quan và hứng thú, khắc phục
được cái khó trước đây khi chưa áp dụng SKKG là tính động trong hình ảnh và có thể kiểm
chứng cho HS thấy độ chính xác toán học
- Khi thực hiện SKKG hầu hết GV đều tỏ ra hài lòng , và HS tiếp thu bài nhanh hơn

- Khi GV đã thành thạo trong việc sử dụng phần mềm GSP có thể thiết kế cho các bài
khác, các môn khác
Tóm lại : Việc giải các bài toán quỹ tích bằng phần mềm SGP như trên là một phần trong
các phương pháp đổi mới giáo dục, bước đầu đưa tin học giảng dạy , đúng nghóa của một
giáo án điện tử
- Tuy nhiên nó có nhữ hạn chế : đòi hỏi người GV đầu tư nhiều thời gian và công sức thiết
kế và phụ thuộc vào trình độ tin học của các GV cũng như các trang thiết bò của nhà
trường. Không phải HS nào cũng có thể tự sử dụng máy tính để có thể khám phá và giải
các bài toán quỹ tích ở tại nhà cũng như trong lớp.
III/ Bài học kinh nghiệm
-Một lần nữa tôi xin nhắc lại mục đích của SKKN này là vận dụng phần mềm GSP vào
dạy các bài toán quỹ tích chương I của hình học 11 nâng cao, giúp người đọc thấy được cái
hay và hiệu quả của phần mềm GSP. Các GV có thể tự mình thiết kế theo ý đồ mỗi người,
hoặc có thể sử dụng các thiết kế có sẵn trong đóa kèm theo tại thư mục “tien hanh tiet day”
bài viết này .
7


- Nếu người đọc muốn sử dụng SKKN thì cần làm các công việc sau:
+ Máy tính phải có phần mềm Geometer’s Sketchpad , các bạn có thể tải tại trang wed
của bộ giáo dục , tải về giải nén và copy vào máy là có thể sử dụng được
+ Đọc SKKN này phải kết hợp với nội dung trong đóa kèm theo
+ Phải có kó năng sử dụng cơ bản phần mềm GSP .
- Tuy nhiên , để nâng cao hiệu quả hơn, tổ toán ở mỗi trường cần phải tổ chức ít nhất một
buổi tập huấn, để GV thành thạo phần mềm GSP hướng dẫn cho các GV khác. Khi đã
thành thạo, các GV cần không ngừng nghiêng cứu, khám phá phần mềm GSP, vì nó rất
phong phú và đa dạng. Để làm được điều đó , nhà trường cần hổ trợ máy tính cho các GV.
Ĩc Eo, ngày 17 tháng 2 năm 20008
Người viết

Phạm Anh Dũng

8