ĐỀ CƯƠNG ôn HK 2 TOÁN 11

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HKII NĂM HỌC 2018 - 2019
MÔN TOÁN – KHỐI 11

TRƯỜNG THPT HAI BÀ TRƯNG
TỔ TOÁN


Họ và tên: PHAN PHƯỚC BẢO; Trường: HAI BÀ TRƯNG; Lớp: 11

                                           

A. Nội dung
I. Giải tích: Từ §1 chương IV. Giới hạn đến §5 chương V. Đạo hàm. 
II. Hình học: Từ §1 đến §5 chương III. Vectơ trong khơng gian. Quan hệ vng góc. 
B. Một số bài tập tham khảo
Xem lại các bài tập trong SGK và SBT Đại số & Giải tích, Hình học 11 cơ bản.
Câu 1.

 CHỦ ĐỀ I. GIỚI HẠN
Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng  0 ? 
n

n

 2 
A. un    . 
 3 

6
B. un    . 
5

C. un 

n3  3n
. 
n 1

D. un  n 2  4n . 

 
lim un
Lời giải:  Vì  
 lim un  0  lim un  0  
 un  1

Câu 2.

Phát biểu nào trong các phát biểu sau là sai? 
A. lim q n  0    | q |  1 .  B. lim c  c . 

C. lim

1
1
 0    k  1 .  D. lim  0 . 
k
n
n

Lời giải:  

Theo định lý  lim q n  0  khi   | q |  1 . 
Câu 3.

Tính giới hạn  lim
A. .  

n3  2n
. 
3n 2  n  2
1
B. .  
3

C. .  

D. 0.  

Lời giải:  
2
1 2
n 3  2n
n
 lim n.
lim 2
1 2
3n  n  2
3  2
n n
lim n.  

Tự luận : 

1
lim
3

2
n2

1 2

n n2



 

1
3

2
1 2
n3  2n
n
 im 2
 lim n.
 
1 2
3n  n  2
3  2

n n

x3  2 x
CALC    x 1010

    
MTCT: NHẬP
3x 2  x  2
 
Câu 4.

a 2 n3  5n 2  n  1
 b . Có bao nhiêu giá trị  a  nguyên dương để  b  0; 4 ? 
4n3  bn  a
A. 0 . 
B. 4 . 
C. 16 . 
D. 2 . 
2 3
2
2
a n  5n  n  1 a
   0; 4  0  a  4, a    a  1; 2;3; 4  
Lời giải:   lim
4n3  bn  a
4
 
Cho  lim

Trường THPT Hai Bà Trưng – Huế 

                      

                        Trang 1/81 


Câu 5.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số  a  thuộc   10;10   để  lim 5n  3  a 2  2  n3    ? 
A. 16 . 
Lời giải:  

Câu 6.

Câu 7.

Câu 8.

B. 3 . 

C. 5 . 

D. 10 . 

a  2
lim 5n  3  a 2  2  n3     lim  3  a 2  2  n3    a 2  2  0  
 a   2  
do    a   10;10  , a    a  9; 8;...; 2; 2;3;...;8;9
 
7n 2  2n3  1

. 
Tính giới hạn  I  lim 3
3n  2n 2  1
7
2
A. . 
B.  . 
C. 0 . 
D. 1 . 
3
3
Lời giải:  
1
7
n3   2  3 
2
3
7n  2n  1
2
n
n 
 lim 
  
I  lim 3
2
2 1
3n  2n  1
3

n3  3   3 

n n 

2
3
7 x  2 x  1 Calc  1010
2

 0, 666 
MTCT: NHẬP 3
2
3x  2 x  1
3
 
2n 3  n 2  4 1
Biết  lim
  với  a  là tham số. Tính  a  a 2 . 
an 3  2
2
A.  12 . 
B. 2 . 
C. 0 . 
D. 6 . 
Lời giải:  
1 4

n3  2   3 
3
2
2n  n  4
n n  2 1

 lim 
   a  4 
Ta có  lim
3
2
an  2
a 2
3
n a 
n

2
2
Vậy  a  a  4  4  12
an 2  5  3n
 1 . Tính  S  a  b . 
Cho hai số thực a; b  thỏa mãn  lim 3
5n  4  2n 2  bn3
A. S  5 . 
B. S  3 . 
C. S  3 . 
D. S  5 . 
Lời giải:  
Do tử có bậc 2 nên giới hạn đã cho về 1 số khác khơng khi tử và mẫu cùng bậc 
Suy ra  b  5  
an 2  5  3n a
  1  a  2  
Từ đó  lim
4  2n2
2

Vậy  S  a  b  2  (5)  3  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Trường THPT Hai Bà Trưng – Huế 

                      

                        Trang 2/81 


Câu 9.

Cho dãy số   un   với  un 

1
1
1

 ... 

. Tính  lim un . 
1.3 3.5
 2n  1 2n  1

1
B.  . 
2

A.  0 . 

1
C.  . 
4

D. 1 . 

Lời giải:  
Tự luận:
1
1
1
1 1 1 1
1
1  1
1 
un 

 ... 
  1     ... 


 1 

1.3 3.5
2n  1 2n  1  2  2n  1 
 2n  1 2n  1 2  3 3 5

 

1
1  1
lim   un  lim 1 

2  2n  1  2
 
MTCT CASIO – 580 : Bấm như sau

q[a1R(2[p1)(2[+1)$$1E100=
 
HIỂN THỊ

KẾT QUẢ 

1
2

Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên lớn hơn  10  của tham số  m  để  lim
A.  9 . 
Lời giải:  

B. 10 . 





4n 2  3  mn  5   ? 

C.  11. 

D.  12 . 


3
5 
4n 2  3  mn  5  lim  n  4  2  m  2     2  m  0  
n
n 

Do m  , 10  m  2  m  9; 8;...;1   có 11 giá trị m. 
lim





9n  3n 1
1
Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số  a  thuộc khoảng   0; 2018   để có  lim n n  a 
? 
5 9

2187
A. 2011 . 
B. 2016 . 
C. 2019 . 
D. 2009 . 
Lời giải:  
Bước 1: Dùng MTCT CASI0 -580 sử dụng công cụ FACT 
2187=qx 

Xuất hiện  ở màn hình MTCT   

 

 

Bước 2:  lim

9n  3n 1
5n  9 n  a

 3n 1 
9n 1  n 
9 
1
1

 lim
 lim a  7  a  7  
n
3

3
5

9n  a  n  1
5


Do a  thuộc khoảng   0; 2018  nên  a  7;8;...; 2017  có 2011 giá trị a nguyên thỏa mãn. 
 
 
 
 
 
 

Trường THPT Hai Bà Trưng – Huế 

                      

                        Trang 3/81 



1 
1 
1 
Câu 12. Tính giới hạn  lim 1  2  1  2  ... 1  2   . 
 2   3   n  
1
1

A. 1. 
B.  . 
C.  . 
2
4
Lời giải:  
Tự luận: nhớ lại hằng đẳng thức và áp dụng
a 2  b 2   a  b  a  b 

3
D.  .   
2

1 
1 
1 

 1   1  1  1   1   1 
lim 1  2  1  2  ...  1  2    lim  1   1  1   1   ...  1   1    
 2   2  3  3   n   n 
 2   3   n  
1  3 2   n n 1   1 
1  1 1
 lim .  .  ... 
.
 . 1    lim .  1   
2  2 3   n 1 n   n 
2  n 2

MTCT CASIO - 580

Q[1pa1R[d$$2$100= 
Xuất hiện ở màn hình kết quả  

 

 

KẾT QUẢ 

1
2

 
Câu 13. Tính tổng tất cả các giá trị thực của tham số  a  để  lim
A. 1 .  
Lời giải:  

lim

lim



2

B. 5   
2

n  a n  n   a  2  n  1  lim

1

n  a2  a  2  
n



a2
a2 1
 2
n  1  1

n
n
n

 Sa  1 theo  Viet 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Trường THPT Hai Bà Trưng – Huế 








n2  a2 n  n2   a  2  n  1
n2  a2 n  n2   a  2  n  1

a2  a  2
 2  a2  a  6  0
2

                      



n2  a2 n  n2   a  2  n  1  2 . 

C. 1.   



2



D. 5 . 



 

                        Trang 4/81 


1 1 1
 1
Câu 14. Tính tổng  S  1     ...    
3 9 27
 3
3
A. S  1 . 
B. S  . 
4
Lời giải:  
Tự luận

n 1

 ...  với  n  * . 

Nhắc lại tổng của 1 cấp số nhân lùi vô hạn  S n 
1 1 1
 1
S  1  
 ...    

3 9 27
 3

n 1

 ... 

D. S 

C. S   .

3
. 
2

u1
  
1 q

1
3
  
 1 4
1   
 3

MTCT CASIO -580VN

q[(ap1R3$)^[$$0E100= 

Xuất hiện ở màn hình kết quả
 
Câu 15. Giả sử ta có  lim f  x   a  và  lim g  x   b . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 
x 

x 

A.  lim  f  x  g  x    ab . 
x 
C.  lim

x 

B.  lim  f  x   g  x    a  b . 
x 

f  x a
 .   
g  x b

D.  lim  f  x   g  x    a  b . 
x 

 
Lời giải:  lim

x 

f  x a
  vì có thể  lim g  x   b  0  

x 
g  x b

 
 
Câu 16. Cho các giới hạn  lim f  x   2 ;  lim g  x   3 . Tính giới hạn  lim 3 f  x   4 g  x   .
x  x0

x  x0

A. 5 .  
B. 2 . 
Lời giải:  
lim 3 f  x   4 g  x    3.2  4.3  6  

x  x0

C. 6 . 

D. 3 . 

3
C.  . 
2

D. 3 . 

x  x0

Câu 17. Tính giới hạn  lim

x 

2x  3
. 
1  3x

2
. 
3
Lời giải:  

A.

2
B.  . 
3

3

x2  
2x  3
2
x
Tự luận lim
 lim 
  
x  1  3 x
x 
3

1

x   3
x

MTCT CASIO -580VN
 

2 x  3 Calc  x 1010
2
 
 
1  3x
3

 

a2[p3R1p3[r10^10==
kết quả xuất hiện ở màn hình MTCT    

 
Trường THPT Hai Bà Trưng – Huế 

                      

                        Trang 5/81 


Câu 18. Cho lim

x 





x 2  ax  5  x  5  thì  a  là  1  nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau? 

A. x 2  11x  10  0 .
Lời giải:  

B. x 2  5x  6  0 . 

C. x 2  8 x  15  0 . 

D. x 2  9 x  10  0 . 

5

xa  
x  ax  5  x
x

lim x 2  ax  5  x  lim
 lim

2
x 
x 
x 

a 5
x  ax  5  x
x 1  2  x
x x
 
5
5


xa  
xa  
a
x
x


lim
 lim

 5  a  10
x 
x 

 2
a 5
a 5
x 1  2  x
 x  1   2  1
x x
x x



x  1
Mà D. x 2  9 x  10  0  
. (thỏa) 
 x  10
 



2



Câu 19. Tính giới hạn  I  lim

x 



A. I  2 . 
Lời giải:  
Tự luận:  I  lim

x 



2



x 2  4 x  1  x . 
B. I  4 . 

C. I  1 . 



x2  4x 1  x2

x 2  4 x  1  x  lim

x 

x2  4x 1  x

D. I  1 . 

4
 lim

x 

1
x

4 1
 1   2 1
x x

 2  

MTCT CASIO -580VN
 
10

Calc   x 10
x 2  4 x  1  x 
 2  
s[d+4[+1$+[rp10^10== 

               

                 kết quả màn hình xuất hiện   

                                                              
 
 
f  x   10
 5 . Tính giới hạn  lim
Câu 20. Cho  lim
x 1
x 1
x 1
A. 1 . 

 

 

f  x   10





x 1

B. 2 . 

4 f  x  9  3



. 

C. 10 . 

D.

5
. 
3

Lời giải:  
Bình luận: khi giải dạng này ta ln đối chiếu với định nghĩa đạo hàm 
f  x   10
f  x   f  x0 
lim

 5  lim
 f '  x0  .
x 1
x  x0
x 1
x  x0
 
 f 1  10

 f ' 1  5

lim
x 1

f  x   10





x 1

4 f  x  9  3

Trường THPT Hai Bà Trưng – Huế 



 lim
x 1

f  x   10
.
x 1

                      







x 1

4 f x  9  3



 5.

11
1 
4.10  9  3
                        Trang 6/81 


 
 





Câu 21. Tính giới hạn lim 3 x3  5 x 2  9 2 x  2017 . 
x 

A.   . 
B.  3 . 
C.  3 . 
D.   . 
Lời giải:  
Bình luận: các giới hạn khi x tiến về + vơ cùng (hoặc – vơ cùng) ta chỉ quan tâm đến bậc lớn nhất 
của x 

5 9 2 2017 
lim 3 x3  5 x 2  9 2 x  2017  lim x3  3   2  3    . 
x 
x 
x x
x 

 4 x 2  3x  1

Câu 22. Cho hai số thực  a  và  b  thoả mãn lim 
 ax  b   0 . Tính  a  2b .
x 
 2x 1






A. 4 . 
Lời giải:  
Tự luận:
 

B. 5 . 

C. 4 . 

D. 3 . 

7
4 x2  3x  1
5
 2x   2
2x 1
2 2x 1

 


7 



 4 x  3x  1


5
lim 
 ax  b   lim  2 x   2    ax  b    0
x 
2 2x  1 
 2x 1
 x  




7
a  2
5

2
vì  lim
 0  nên  2 x   ax  b  
5 
x  2 x  1
2
b   2
 5
Vậy  a  2b  2  2.    3  
 2
2

* MTCT CASIO -580VN ( sau khi thi xong và hè sẽ luyện tập MTCT thêm)
dùng thủ thuật Calc 100 (lấy 2 chữ số)

ta có 97,5 > 50 ta lấy 97,5 - 100 = 2,5 sau đó làm trịn hàng tiếp theo lên 1 đơn vị :
tức 1 + 1 = 2 < 50. ta có 2 x 

5
2

4 x 2  3 x  1 Calc    x100
5
197,5...  2 x 
2x  1
2
3  2x
Câu 23. Tính giới hạn  lim
. 
x 2 x  2
B.  2 . 

A.  . 

3
D.  . 
2

C.  . 

Lời giải:  
lim  3  2 x   7,    lim  x  2   0,   x  2  x  2  x  2  0
x 2

x2

3  2x
 lim
 
x2 x  2
MTCT CASIO -580VN  
3  2 x Calcx 1,9999

   
 
x2
 
Trường THPT Hai Bà Trưng – Huế 

                      

 

                        Trang 7/81 


1
1
a


 2
 là một phân số tối giản   b  0  . Tính  S  6a 2  b . 
Câu 24. Biết  lim  2


x 2 3x  4 x  4
b
x  12 x  20 

A. S  10 . 
B. S  10 . 
C. S  32 . 
D. S  21 . 
Lời giải:  
Tự luận


1
1
1
1


 2
 lim 

lim  2


x 2 3x  4 x  4
x  12 x  20  x 2   x  2  3 x  2   x  2  x  10  

4  x  2
1
3x  2  x  10

 lim
.
 lim
 
x  2  x  2   3 x  2  x  10 
x 2  x  2  3 x  2  x  10 
 lim
x 2

4

 3 x  2  x  10 



4
1 a


8.  8 16 b

b  0  b  16;  a  1
2

S  6a 2  b  6.  1  16  10  

MTCT CASIO -580VN

a1R3[dp4[p4$+a1R[dp12[+20
màn hình xuất hiện 

 
 
tiếp tục r1.9999== 
 
màn hình xuất hiện  
 
 

 

p0.0625= 
 
kết quả  0, 0625 

1
 
16

 

Trường THPT Hai Bà Trưng – Huế 

                      

                        Trang 8/81 


Câu 25. Biết   lim

x 





4 x 2  3 x  1   ax  b   0 . Tính  a  4b . 

A. 3 . 
Lời giải:  
Tự luận
cách 1:


lim 
lim

x 

x 

B. 5 .

C. 1 . 

D. 2 . 


4 x  3 x  1   ax  b 
4 x  3 x  1  a x  2abx  b

4 x  3 x  1   ax  b    lim
 lim

3 1
b
4 x  3 x  1   ax  b 
4 x 2  3 x  1   ax  b   0  a  0  

2

2

2

2

2

2

2

x 

x 

2

0

x 4   2  a  
x x
x


khi bậc tử < bậc mẫu
a  2
4  a 2  0
3

tức là 

3  a  4b  2  4.  5
4
3  2ab  0 b  

4

f  x
 a  xlim
 x n

cách 2 : bí kíp lim  f  x    a.x n  bx n 1  ...   b  lim  f  x   ax n 
x 
x 

...


4 x 2  3x  1

2
x

a  lim

x 

b  lim

x 





4 x 2  3x  1  2 x  lim

4 x 2  3x  1  4 x 2

x 



4 x2  3x  1  2 x





3

3

22 4

 

MTCT CASIO -580VN

as4[dp3[+1R[r10^10== 
4 x 2  3x  1 Calc    x 1010

  2 
x

 

s4[dp3[+1$p2[r10^10==
 
10

Calc    x 10
4 x 2  3 x  1  2 x 


Trường THPT Hai Bà Trưng – Huế 

3
 
4

                      

 

                        Trang 9/81 


Câu 26. Tính giới hạn  lim

x 

x2  x  4 x 2  1
. 
2x  3

1
A.  .
2
Lời giải:  
Tự luận

C.  . 

B.  .

D.

1
. 
2



1
1 
1
1 
x
x
1


4


1


4





2
x
x 
x
x 2   1  2  1
x2  x  4 x 2  1



lim
 lim
 lim

  
x 
x 
x 
3
3
2x  3
2
2


x2  
x2  
x
x


MTCT CASIO -580VN

x 2  x  4 x 2  1 Calc   x 1010 1

  
2x  3
2

as[dp[$ps4[d+1R2[+3rp10^10
== 

 

xuất hiện          
 

a x 2  1  2017 1
 ;  lim
Câu 27. Cho  lim
x 
x  2018
2 x 
A. P  3 .  
B. P  1 . 
Lời giải:  





x 2  bx  1  x  2 . Tính  P  4a  b . 
C. P  2 . 

D. P  1 . 

1
1

 2017
a   x  1  2  2017
2
x
x
 lim
x

x  2018
x  2018

a x 1

2

a x  1  2017
 lim
x 
x  2018

1 2017 
x  a 1  2 

x
x  a 1
1

 lim

 a

x 
1 2
2
 2018 
x 1 

x 

lim

x 

 

1

xb  
x  bx  1  x
b
x

lim x 2  bx  1  x  lim
 lim

 2  b  4 
2
x 
x 
x  
 11

b 1
x  bx  1  x
x  1   2  1
x x


 1
P  4a  b  4     4  2  
 2





Trường THPT Hai Bà Trưng – Huế 

2

2

                      

                        Trang 10/81 


Câu 28.

2x
Giá trị của số thực  m  sao cho  lim
x 

A.  m  3 . 
Lời giải:  
Tự luận

2x
lim

x 

2

B.  m  3 . 

2

 1  mx  3

 6  là 
x3  4 x  7
C.  m  2 . 

D.  m  2 . 

1  
3

x2  2  2  x  m  
x  
x  2m

 lim 

 6 m 3 
x 
4 7
1
3
x 1  2  3 
x 
 x

 1  mx  3

x3  4 x  7

* MTCT CASIO -580VN
gán m = Y 
thử đáp án A ta có 

a(2[dp1)(Q)[+3)R[^3$+4[+7r
10^10=p3== 
   

 

 
 

 

thử đáp án B ta có 

 

 

 

 

a(2[dp1)(Q)[+3)R[^3$+4[+7r
10^10=3==

 
 
Câu 29. Cho hàm số  y  f  x   xác định trên   \ 1  có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào đúng? 

A.  lim f  x   ; lim  f  x    . 

 
B.  lim f  x   ; lim  f  x    . 

C.  lim f  x   ; lim  f  x    . 

D.  lim f  x   ; lim  f  x    . 

x 1

x 1

x  1

x  1

x 1

x 1

x  1

x  1

 
Lời giải:  
Bình luận
Khi gặp dang đồ thị cần nhớ : 
khi x từ phía lớn hơn về vị trí khơng xác định (kí hiệu là +) nhánh đồ thì hướng lên là + vơ cùng 
khi x từ phía nhỏ hơn về vị trí khơng xác định (kí hiệu là -) nhánh đồ thì hướng xuống là - vơ cùng 
 

Trường THPT Hai Bà Trưng – Huế 

                      

                        Trang 11/81 


Câu 30. Tính giới hạn  lim
x 5

3x  1  4
. 
3 x  4

9
A.   . 
4

B.  3 . 

C.  18 . 

3
D.   . 
8

0
Lời giải: tự luận dạng vô định     nhân liên hợp khử vô định 
0

  3x  1  4
  3x  1  4
 
3

x

4
3


x

4
  lim 3  x  5 
  3 . 33   9
3x  1  16 
 lim
.
9  x  4  3x  1  4 
  x  5   3 x  1  4  1 4  4
4

lim
x 5







3 x  4
3x  1  4
3x  1  4
 lim
.
3  x  4 x 5 3  x  4
3 x  4

x 5

x 5

MTCT CASIO -580VN
cách 1: dùng Calc

3x  1  4 Calc     x  4,99999
9


4
3 x  4

as3[+1$p4R3ps[+4r4.99999== 
   
xuất hiện      
 
 

 

 

 
 
sau đó   Wp2.25=
 
  
 
cách 2: dùng cơng cụ đạo hàm

aqys3[+1$p4$5
Rqy3ps[+4$$5  

 

 

=
 

Trường THPT Hai Bà Trưng – Huế 

                      

                        Trang 12/81 


2x  x  3
.  
x 1
x2 1
7
3
3
A. I  .   
B. I  .  
C. I  .  
D. I 
8

2
8
0
Lời giải: dạng vô định    
0
tự luận nhân liên hợp khử vô định 
2x  x  3 2x  x  3
2x  x  3
4x2  x  3
I  lim

lim
.

lim
x 1
x 1  x  1 x  1
x 1
x2 1
2x  x  3
 x  1 x  1 2 x 

Câu 31. Tính giới hạn  I  lim












3
. 
4

x3

 

 x  1 4 x  3
 4 x  3
7
 lim

x 1
 x  1 x  1  2 x  x  3  x1  x  1  2 x  x  3  8

 lim

MTCT CASIO -580VN tương tự câu 30 ( bấm tại lớp để rèn luyện và học hỏi)
 

x  7  x2  x  2
Câu 32. Tính giới hạn  lim
. 
x 1
x 1

1
A.
B. 
12
0
Lời giải: dạng vô định    
0
tự luận nhân liên hợp khử vô định 
3

C. 

3
2

2
D.  . 
3

x  1  3 x  7  2, x 2  x  2  2
3

lim
x 1

 3 x7 2
x  7  x2  x  2
x2  x  2  2 
 lim 



x 1 

1
1
x 1
x
x







x  7 8
x2  x  2  4
 lim 

x 1
2
2
  x  1  3  x  7   2 3 x  7  4   x  1 x  x  2  2





 x  1 x  2 
x 1

 lim 

x 1
2
2
  x  1  3  x  7   2 3 x  7  4   x  1 x  x  2  2




























 x  2
1
 lim 


x 1 
2
x2  x  2  2 
 3  x  7   2 3 x  7  4

 

1 3
2
 
  
12 4
3
MTCT CASIO -580VN tương tự câu 30 ( bấm tại lớp để rèn luyện và học hỏi)



Trường THPT Hai Bà Trưng – Huế 

                      



                        Trang 13/81 


x 2   a  1 x  a
. 
xa
x 3  a3

Câu 33. Tính giới hạn  lim
A. 

a 1
. 
3a 2

B.   . 

C. 

a 1
. 
3a 2

D. 

a 1
. 
3a

0
Lời giải: dạng vô định    
0
2
x   a  1 x  a
 x  a  x  1  lim  x  1  a  1  
 lim
tự luận lim
3
3
x a
x a x  a
x a

  x 2  xa  a 2  x  a  x 2  xa  a 2  3a 2

 
MTCT CASIO -580VN tương tự câu 30 ( bấm tại lớp để rèn luyện và học hỏi)
gán a = 3 ( vì mẫu có kết quả bội 3 ) 
 
Câu 34. Cho hàm số  y  f  x   liên tục trên   a; b  . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên   a; b   là 
A. lim f  x   f  a   và  lim f  x   f  b  . 

B. lim f  x   f  a   và  lim f  x   f  b  . 

C. lim f  x   f  a   và  lim f  x   f  b  . 

D. lim f  x   f  a   và  lim f  x   f  b  . 

x a

x a

x b
x b

x a

x b

x a

x b

Lời giải:  
định lý sgk 

 x 2  x  12
   khi x  4

Câu 35. Tìm tham số thực  m  để hàm số  y  f  x    x  4
 liên tục tại điểm  x0  4 . 
mx  1           khi x  4

A.  m  4 . 
B.  m  3 . 
C.  m  2 . 
D.  m  5 . 
Lời giải:  
Để hàm số  y  f  x   liên tục tại điểm  x0  4  thì 

 x  4  x  3   4m  1
x 2  x  12
 4m  1  lim
 
x 4
x 4
x 4
x4
x4
 7  4m  1  m  2
 
 ax 2  (a  2) x  2
    khi x  1

Câu 36. Có tất cả bao nhiêu giá trị của  a  để hàm số  f ( x )  
 liên tục tại  x  1 ? 
x3 2
2

8  a                       khi x  1
A. 1 . 
B. 0 .        
C. 3 . 
 D. 2 . 
Lời giải:  
để hàm số  f ( x )  liên tục tại  x  1 thì 
lim f  x   f  4   lim





 x  1 ax  2  x  3  2
ax 2  (a  2) x  2
 8  a 2  lim
 8  a2
x 1
x 1
x

1
x 3 4
x3 2
 
a

0

  a  2  .4  8  a 2  a 2  4a  0  
a  4
Vậy có 2 giá trị a.
Câu 37. Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên   ?  
x
2x 1
A.  y  x . 
B.  y 
. 
C.  y  sin x . 
D.  y  2
. 

x 1
x 1
Lời giải:  
bí kíp: Các hàm số khơng liên tục trên   là các hàm phân thức với mẫu bằng 0 có nghiệm 
lim f  x   f 1  lim

Trường THPT Hai Bà Trưng – Huế 

                      

                        Trang 14/81 


 mx  n  2    khi   x  1
Câu 38. Cho hàm số  f  x   
 liên tục trên   . Tính  m 2  n 2 . 
2mnx  3 khi   x  1
A. 1. 
B. 2 . 
C. 3 . 
D. 4 . 
Lời giải:  
Để hàm số  f  x   liên tục trên    thì  
2

2

lim f  x   lim f  x   lim  mx  n   lim  2mnx  3   m  n   2mn  3

x 1

x 1

2

x 1

2

x 1

2

 

2

 m  2mn  n  2mn  3  m  n  3.
 x 2  ax  b
khi x  1

Câu 39. Gọi  a , b  là hai số thực để hàm số  f  x    x  1
 liên tục trên   . Tính  a  b . 

khi x  1
2ax  1
A.  0 . 
B.  1 . 
C.  5 . 
D.  7 . 

Lời giải:  
Để hàm số  f  x   liên tục trên   thì 

x 2  ax  b
 2ax  1  
  lim f  x   f 1  lim
x 1
x 1
x 1
x 1
 0  1  a  b  0 nghiệm còn lại là x = b (đl Viet) 
suy ra x = 1 là nghiệm của tử  x 2  ax  b 
 
 x  1 x  b   2a  1
x 2  ax  b
lim f  x   f 1  lim
 2a  1  lim
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
vậy 
 
1  a  b  0
a  3


 a b  7
1  b  2a  1 b  4

 
bí kíp: MTCT 580 VN
đối với phân thức ta lấy đạo hàm tử tại x =1 và chia cho đạo hàm mẫu tại x=1, 
cịn đa thức thay  x =1. 
0
lưu ý hàm phân thức có tử và mẫu chung 1 nghiệm (dạng   ) 
0

x

2

 ax  b 

 x  1

x 1



2a
 2  a  2a  1  a  3
1

x 1

 

1  a  b  0  b  4
a b  7

 
Câu 40. Cho hàm số  f  x   xác định trên   a; b  . Tìm mệnh đề đúng.
A. Nếu hàm số  f  x   liên tục trên   a; b   và  f  a  f  b   0  thì phương trình  f  x   0  khơng có 
nghiệm trong khoảng   a; b  . 
B. Nếu  f  a  f  b   0  thì phương trình  f  x   0  có ít nhất một nghiệm trong khoảng   a; b  . 
C. Nếu hàm số  f  x   liên tục, tăng trên   a; b   và  f  a  f  b   0  thì phương trình  f  x   0  khơng 
có nghiệm trong khoảng   a; b  . 
D. Nếu phương trình  f  x   0  có nghiệm trong khoảng   a; b   thì hàm số  f  x   liên tục trên   a; b  . 
Lời giải:  
định lý sgk 

Trường THPT Hai Bà Trưng – Huế 

                      

                        Trang 15/81 


Câu 41. Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng   0;1
A. 2 x 2  3 x  4  0 . 

5

B.   x  1  x 7  2  0 . C. 3 x 4  4 x 2  5  0 .  D. 3 x 2017  8 x  4  0 . 

Lời giải:  
thay  x  0, x  1  vào các đáp án A,B,C,D. 
biểu thức nào cho kết quả trái dấu ( 1 kết quả âm và 1 kết quả dương) đó là đáp án. 

Câu 42. Cho phương trình  2 x 4  5 x 2  x  1  0 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? 

A.  1  có nghiệm trong khoảng   1;1 . 

B.  1  chỉ có một nghiệm trong khoảng   2;1 . 

C.  1  có ít nhất hai nghiệm trong  1; 2  . 

D.  1  khơng có nghiệm trong khoảng   2;0  . 

Lời giải:  dùng công cụ Table
MTCT CASIO -580VN là Mode 8
kiểm tra các vùng đổi dấu
Tự luận
Đặt  f  x   2 x 4  5 x 2  x  1  

f  1  1, f  0   1
f  1 f  0   0  x0   1;0  , f  x0   0

Trường THPT Hai Bà Trưng – Huế 

 

                      

                        Trang 16/81 


Câu 43. Cho  phương  trình   m 2  3  x  1  x 2  4   x 3  3  0  1 ,  với  m   là  tham  số.  Khẳng  định  nào  sau 
đây về phương trình  1  là khẳng định đúng? 
A. 1 có đúng  4  nghiệm phân biệt. 

B. 1  vơ nghiệm. 

C. 1  có ít nhất  2  nghiệm phân biệt. 

D. 1  có đúng một nghiệm. 

Lời giải:  
Bí kíp:
chọn các giá trị x sao cho biểu thức khơng cịn phụ thuộc m ( hoặc biểu thức có m xác định 1 loaik 
dấu) 
x 1
0
 m2  3  x  1  x 2  4 
x 2
x 1 P  2
 
P   x  3 x  2  P  5  
x  2  P  11
! số nghiệm của 1 phương trình nhỏ hơn hoặc bằng bậc của phương trình 
Tự luận
Đặt f  x    m 2  3  x  1  x 2  4   x 3  3  
chẳng hạn

3

ta có

4
3
 1 

lim f  x   lim  m 2  3  x  1  x 2  4   x 3  3  lim x3  m 2  3  1   1  2   1  3 
x 
x 
x 
x 
 x  x 

 lim x 3  m 2  3  1    0
x 

f  2   11  0
f  2   5  0

 


4
3
 1 
lim f  x   lim  m 2  3  x  1  x 2  4   x 3  3  lim x3  m 2  3  1   1  2   1  3 
x 
x 
x 
x 
 x  x 

 lim x 3  m 2  3  1    0
x 

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.

MTCT CASIO -580VN
giá trị cực đại . giá trí cực tiểu > 0 thì pt có 1 nghiệm
giá trị cực đại . giá trí cực tiểu = 0 thì pt có 2 nghiệm
giá trị cực đại . giá trí cực tiểu < 0 thì pt có 3 nghiệm
cho m =y =1,  x =100 

kết quả 
 
 
dùng Calc 100  suy ra f  x   3 x 3  4 x 2  16 x  19   
   

Mode 9 chọn 2 chọn 3 nhập    
 
sau đó bấm = liên tiếp 

               

 

           

 

kết luận: 3 nghiệm. hihi. lợi hại quá 
 
Trường THPT Hai Bà Trưng – Huế 

                      

                        Trang 17/81 


Câu 44. Tìm tất cả các giá trị thực của  m  để phương trình  m  x 2019  1  x  2 
A. m  1  
B. m    
C. m  0  
Lời giải:  
Bí kíp : pt bậc lẻ ln có nghiệm
2020
m  x 2019  1  x  2   2 x  3  0  bậc 4039 nên ln có nghiệm. 

2020

 2 x  3  0  vơ nghiệm.
D. Khơng có giá trị  m  

Tự luận
2020
Đặt f  x   m  x 2019  1  x  2   2 x  3  
ta có f 1  1  0, f  2   1  0, f 1 . f  2   0  x0  1; 2  , f  x0   0.
Vậy pt ln có nghiệm.
------------------------

. CHỦ ĐỀ 2. ĐẠO HÀM
Câu 45. Cho  y  x 3  1 . Gọi  x  là số gia của đối số tại  x  và  y  là số gia tương ứng của hàm số, tính 
A. 3 x 2  3 x.x  x3 . 
Lời giải:  

y

. 
x

B. 3 x 2  3 x.x  x 2 .  C. 3 x 2  3 x.x  x 2 .  D.  3 x 2  3 x.x  x3 . 
3

3
2
2
y f  x  x   f  x   x  x   1   x  1 x  3x  3xx  x 



 3x 2  3 xx  x 2  
x
x
x
x
2
Câu 46. Số gia   y  của hàm số  y  x  2 x  5  tại điểm  x0  1  là 
2

A.    x   2 x  5 . 

2

B.    x   2 x . 

2

C.    x   4 x . 

2

D.    x   4 x . 

Lời giải:  
2
2
 y  f   x  1  f 1    x  1  2   x  1  5  12  2.1  5     x   4 x  
Câu 47. Cho hàm số  y  f  x   có đạo hàm thỏa mãn  f   6   2.  Giá trị của biểu thức  lim
x6

1
. 
3
f  x  f 6
 f   6   2.  
Lời giải: theo định nghĩa đạo hàm    lim
x6
x6
 
 x 2  1, x  1
Câu 48. Cho hàm số  y  f  x   
 Mệnh đề sai là  
x  1.
 2 x,
A.  f  1  2 .
B.  f  1  .
C.  f   0   2.

A. 12.  

B. 2 . 

C.

D.

f  x  f 6
 bằng 
x6

1
. 
2

D.  f   2   4.  

Lời giải:  
 x 2  1, x  1
2 x  1
y  f  x  
 f ' x  
x  1.
2, x  1.  
 2 x,
f ' 1   f ' 1    2

nên tồn tại đạo hàm tại x =1.

Trường THPT Hai Bà Trưng – Huế 

                      

                        Trang 18/81 


ax 2  bx  1 khi
Câu 49. Cho hàm số  f  x   
khi
ax  b  1
A.  T  4 . 
B.  T  0 . 
Lời giải:  
ax 2  bx  1 khi x  0
f  x  
khi x  0
ax  b  1

x0
x0

. Biết  f  x   có đạo hàm tại  x  0 . Tính  T  a  2b . 
C.  T  6 . 

D.  T  4 . 

lim f  x   lim f  x   f  0   1  b  1  b  2

x 0

x0

2

ax  bx  1 khi
f  x  
khi
ax  b  1

2ax  b khi
 f  x  
x0
khi
a

x0

x0
x0

 

f '  0   f '  0   a  b
a  b  2
T  a  2b  6  
Câu 50. Đạo hàm của hàm số  y  2 x 5  4 x 3  x 2  là
A. y   10 x 4  3 x 2  2 x .  B. y   5 x 4  12 x 2  2 x .C. y   10 x 4  12 x 2  2 x .D. y   10 x 4  12 x 2  2 x . 
Lời giải:  

y  2 x5  4 x3  x 2  y   10 x 4  12 x 2  2 x  
 
 
2x 1
Câu 51. Cho hàm số  f  x  
 xác định trên   \ 1 . Đạo hàm của hàm số  f  x   là
x 1
1
2
1
3
A.  f   x  
. 
B.  f   x  
.  C.  f   x  
.  D.  f   x  
. 
2
2
2
2
 x  1
 x  1
 x  1
 x  1
'

ad  bc
 ax  b 
Lời giải: nhắc lại công thức đạo hàm nhanh  

  
 
2
 cx  d   cx  d 
f  x 

2x 1
3
 f  x 
 
2
x 1
 x  1

MTCT CASIO -580VN

 

và nhân với bình phương mẫu 
 
dùng Calc 100 kết quả     
 
 

      vậy tử = 3. 

2 x2  2 x  3
. 
x2  x  3
6x  3

B.
. 
2
2


3
x
x



Câu 52. Tính đạo hàm của hàm số  y 
A. 2 

3
. 
x  x3
2

C.

3

x

2

 x  3

2

. 

D.

x 3
. 
x  x3
2

Lời giải:  
2 x2  2 x  3
6x  3
 
y 2
 y' 
2
2
x  x3
x

x

3


MTCT CASIO -580VN

tương tự 

    
kết quả Calc 100 là : 603 suy ra tử = 6x+3 
Trường THPT Hai Bà Trưng – Huế 

                      

                        Trang 19/81 


 
Câu 53. Cho hàm số  f  x   x  x  1 x  2  x  3 x  4  . Tính  f   0  .
A. 42 . 
Lời giải:  

f   0   lim

B. 24 . 

f  x   f  0

 lim

C. 24 . 

D. 0 . 

x  x  1 x  2  x  3 x  4 

x 0
x 0

x
dạng này tổng quát
f  x    x  0  x  1 x  2  x  3 x  4  ...  x  n 
x0

n

f '  0    1 .n !
f ' 1   1

n 1

  1 .  2  ...(4)  4!  24  

 

.n !

 
 
 
ứng dụng đạo hàm giải 2 câu trong đề Trấn Biên - ĐN
Câu 38(TB-ĐN) Cho  f  x  

x
 . Tính f '  0  .
 x  1 x  2  ...  x  2018

Lời giải:

f   0   lim

f  x   f 0

x
0
 x  1 x  2  ...  x  2018

 lim
x 0
 
x 0
x0
1
1
1
 lim


x  0  x  1 x  2  ...  x  2018 
 1 .  2  ...  2018  2018!
 
x0

Câu 40(TB-ĐN) Cho lim
x 1

Dạng

x 2018  x  2 a

 . Tính  a 2  b 2   
x 2017  x  2 b

0
dùng MTCT 580 VN như sau
0

qy[^2018$+[p2$1= 

 

a  2019  

qy[^2017$+[p2$1= 
 

 

 

b  2018  

Suy ra: a 2  b2  4037

Trường THPT Hai Bà Trưng – Huế 

                      

                        Trang 20/81 

 2 x 2  3x  5  ax 2  bx  c
Câu 54. Cho  
. Tính  S  a  b  c .  
 
2
x 3
 x  3


A.  S  0 .
B.  S  12 . 
C.  S  6 .
Lời giải:  
tự luận
 2 x 2  3x  5  2 x 2  12 x  4 ax 2  bx  c

 a  2, b  12, c  4.  

 
2
2
x 3
 x  3
 x  3



D.  S  18 . 

MTCT CASIO -580VN

 
Calc 100 phân tích 1/88/04 thì tử =  2 x 2  12 x  4  a  2, b  12, c  4   
S  a  b  c  2  12  4  18  
ax  b
a
 3  2 x 
Câu 55. Biết  
. Tính  E  .
 
b
 4 x  1   4 x  1 4 x  1
A. E  1 . 
B. E  4 . 
C. E  2 . 
D. E  4 . 
Lời giải:  
4 3  2x 
2 4 x  1 

8 x  8
 3  2x 
2 4 x  1  4  4 x  1  4  3  2 x  

 
2  4 x  1 4 x  1
2  4 x  1 4 x  1  
 4 x  1
 4x 1 

ax  b
4 x  4

 a  4, b  4
 4 x  1 4 x  1  4 x  1 4 x  1
a
E   1  
b



Câu 56. Tính đạo hàm của hàm số  y   x  2  x 2  1 .
A. y  

2 x2  2 x  1
x2 1

. 

B. y  

2 x2  2 x  1
x2  1

.  C. y  

2 x2  2 x  1
x2  1

.  D. y  

2 x2  2 x  1
x2  1

. 

Lời giải:  

y   x  2  x 2  1  y 

2 x2  2 x  1

 
x2  1
Câu 57. Hàm số nào sau đây khơng có đạo hàm trên   ?  
B.  y  x 2  4 x  5 .  C.  y  sin x . 

A.  y  x  1 . 

D.  y  2  cos x . 

Lời giải:  
các hàm giá trị tuyệt đối khơng có đạo hàm tại nghiệm của nó. 
 x  1  khix  1
y  x 1  
1  x   khix  1  
f ' 1   1  f ' 1   1





3

Câu 58. Tính đạo hàm của hàm số  y  x 2  x  1  tại điểm  x  1 . 
A.  27 . 
Lời giải:  



B.  27 . 



y '  3 x2  x 1
y '  1  81
 

2

C.  81 . 

D.  81 . 

 2 x  1  

Trường THPT Hai Bà Trưng – Huế 

                      

                        Trang 21/81 


m 3
x   m  2  x 2  x  2 .  Để  đạo  hàm  f   x    bằng  bình  phương  của  một  nhị 
3
thức bậc nhất thì giá trị  m  là 
A. 1  hoặc 1 . 
B. 1  hoặc  4 . 
C. 4  hoặc  4 . 
D. Khơng có giá trị nào. 
Lời giải:  
m
f  x   x3   m  2  x 2  x  2
3
 
2
f   x   mx  2  m  2  x  1

Câu 59. Cho  hàm  số  f  x  

Để đạo hàm  f   x   bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất thì    0   
m  1
2
  
  4  m  2   4m  0  
m  4
 
Câu 60. Tìm tất cả các giá trị của tham số  m  để hàm số  y  x 3   m  1 x 2  2 x  m3  có  y '  0, x  . 

A.   1  2 6; 1  2 6  .B.  1  2 6;1  2 6  . C.   1  6; 1  6  . D.  1  6;1  6  . 
Lời giải:  
y  x 3   m  1 x 2  2 x  m3

y '  3 x 2  2  m  1 x  2  0, x  

 

3  0
a  0


 m 2  2m  5  0  1  6  m  1  6
2
0


4
1
4.3.2
0
m





 
 
1

Câu 61. Cho hàm số  f  x    x 3  4 x 2  7 x  11 . Tập nghiệm của bất phương trình  f   x   0  là
3
A.  1;7 . 
B.   ;1   7;   .  C.   7; 1 . 
D.   1;7 . 
Lời giải:  
1
f  x    x3  4 x 2  7 x  11
3
 
2
f   x    x  8x  7  0  1  x  7
 
Câu 62. Cho hàm số  f  x   5 x 2  14 x  9 . Tập hợp các giá trị của  x  để  f   x   0  là 
7

A.  ;  . 
5


7 9
B.  ;  . 
5 5

 7
C.  1;  . 
 5

7


D.  ;   . 
5


Lời giải:  

 9
f  x   5 x 2  14 x  9, D  1; 
 5
 
10 x  14
9
7
f  x 
0  x 
5
5
2 5 x 2  14 x  9
 
 
 
 
 
 
 
 
Trường THPT Hai Bà Trưng – Huế 

                      

                        Trang 22/81 


Câu 63. Biết hàm số  f  x   f  2 x   có đạo hàm bằng  18  tại  x  1  và đạo hàm bằng  1000  tại  x  2 . Tính đạo 
hàm của hàm số  f  x   f  4 x   tại  x  1 . 
A. 2018 . 
B. 1982 . 

C. 2018 . 

D. 1018 . 

Lời giải:  
 f  x   f  2 x   '  f '  x   2 f '  2 x 

x  1  f ' 1  2 f '  2   18
x  2  f '  2   2 f '  4   1000

 

 f ' 1  4 f '  4   2018
 f  x   f  4 x   '  f '  x   4 f '  4 x 
Vậy  
 
x  1  f ' 1  4 f '  4   2018
 
 
Câu 64. Cho hàm số  f  x   x  2  và  g  x   x 2  2 x  3 . Đạo hàm của hàm số  y  g  f  x    tại  x  1  bằng 
A.  4 . 

C.  3 . 

B.  1. 

D.  2 . 

Lời giải:  
cách 1:  y '   g  f  x    '  f '  x  .g '  f  x    
 f 1  3
 
f  x  x  2  
 f '  x   1  f ' 1  1
g  x   x2  2x  3  g ' x   2x  2
 
g '  3  4
Đạo hàm của hàm số  y  g  f  x    tại  x  1  ta có f ' 1 . g '  f 1   f ' 1 . g '  3  1.4  4  
cách 2:
y  g  f  x   f 2  x   2 f  x   3
2

  x  2  2  x  2  3  x2  2x  3
y '  2x  2
y ' 1  4
 
Câu 65. Cho hàm số  y  f  x   có đạo hàm với mọi  x    và thỏa  f  2 x   4 cos x. f  x   2 x . Tính  f   0  . 
A. 1 .

B.



2

.

C. 2 .

D. 0 . 

Lời giải:  
 f  2 x   '   4 cos x. f  x   2 x  '

 2 f '  2 x   4sin xf  x   4 cos x. f '  x   2  
x  0  2 f '  0  0  4 f '  0  2  f '  0   1
 
 
 
 
 
 

Trường THPT Hai Bà Trưng – Huế 

                      

                        Trang 23/81 


Câu 66. Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y 
A. 10 . 

B.

9
.  
5

3  4x
 tại điểm có tung độ  y  1  là  
x2
5
5
C.  .  
D. . 
9
9

Lời giải:  
3  4x
1
 1  x   
y
x2
3
5
 3  4x 
y'
 
' 
2
 x  2   x  2

5
9
1
  
Hệ số góc tiếp tuyến  là  y '   
2
5
 3 1

  2
3

x 1
Câu 67. Cho đường cong   C   có phương trình  y 
. Gọi  M  là giao điểm của   C   với trục tung. Tiếp 
x 1
tuyến của   C   tại  M  có phương trình là 
A. y  2 x  1 . 
Lời giải:  

B. y  2 x  1 . 

  M  là giao điểm của   C  y 
y'

2

 x  1

2

C. y  2 x  1 . 

D. y  x  2 . 

x 1
 với trục tung nên  xM  0, yM  1   
x 1

 y '  0   2 .    Tiếp tuyến của   C   tại  M  có phương trình là y  2 x  1  

Câu 68. Phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y  x 4  3x 2  1  tại các điểm có tung độ bằng  5  là 
B. y  20 x  35  và  y  20 x  35 . 
A. y  20 x  35 . 
C. y  20 x  35  và  y  20 x  35 . 
D. y  20 x  35 . 
Lời giải:  
y  x 4  3 x 2  1  5  x 4  3 x 2  4  0  x  2
 
y '  4 x3  6 x
Phương trình các tiếp tuyến là  y  20 x  35  và  y  20 x  35 . 
 
Câu 69. Cho hàm số  y  x 4  6 x 2  3 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm  A  có hồnh độ  x  1  cắt đồ thị 
hàm số tại điểm  B  ( B  khác  A ). Tọa độ điểm  B  là
A.  B  3; 24  . 
B.  B  1; 8  . 
C.  B  3; 24  . 
D.  B  0; 3  . 
Lời giải:  

y  x 4  6 x2  3
 
y '  4 x 3  12 x
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm  A  có hồnh độ  x  1  là 
y  y ' 1 x  1  y 1  8  x  1   8   8 x  
phương trình hồnh độ giao điểm 8 x  x 4  6 x 2  3  x 4  6 x 2  8 x  3  0  

chọn 4 

MTCT CASIO -580VN

 

    

nhập hệ số ta có
 
Tọa độ điểm  B  là  B  3; 24 

Trường THPT Hai Bà Trưng – Huế 

 

                      

                        Trang 24/81 


 
Câu 70. Cho hàm số  y  cos x  m sin 2 x  C   ( m  là tham số). Tìm tất cả các giá trị  m  để tiếp tuyến của   C   

tại điểm có hồnh độ  x   ,  x 
A.  m  



 song song hoặc trùng nhau. 
3
2 3
B.  m  
. 
C.  m  3 . 
3

3
. 
6

D.  m  2 3 . 

 
Lời giải:  
 
y '   cos x  m sin 2 x  '  sinx  2m.cos2x  
 

Để tiếp tuyến của   C   tại điểm có hồnh độ  x   ,  x 


3

 song song hoặc trùng nhau thì 

3
3
 
 1 
y '     y '    2m  
 
 2m.    m  
2
6
3
 2 
 
 
Câu 71. Hình  bên  là đồ thị của  hàm  số  y  f  x  . Biết rằng tại các điểm  A ,  B ,  C  đồ thị  hàm số có tiếp 
tuyến được thể hiện trên hình vẽ bên dưới. 
y
B

C

A

xC

O xA

xB x

 

Mệnh đề nào dưới đây đúng? 
A. f   xC   f   x A   f   xB  . 

B. f   xB   f   x A   f   xC  . 

C. f   x A   f   xC   f   xB  . 

D. f   x A   f   xB   f   xC  . 

Lời giải:  
Hệ số góc của tiếp tuyến dương khi đường thẳng đi qua góc phân tư thứ nhât và thứ ba. 
Hệ số góc của tiếp tuyến âm khi đường thẳng đi qua góc phân tư thứ hai và thứ tư. 
Từ đồ thị đề cho ta có  f   xB   0  f   x A   f   xC   
 
x 1
Câu 72. Trên  đồ  thị   C  : y 
  có  bao  nhiêu  điểm  M   mà  tiếp  tuyến  với   C    tại  M   song  song  với 
x2
đường thẳng  d : x  y  1 . 
A. 0 . 
B. 1 . 
C. 2 . 
D. 4 . 
Lời giải:  
 
d : x  y  1  y  x 1 
x 1
1

 y'
 0, x  2  
C  : y 
2
x2
 x  2
 

tiếp tuyến với   C   tại  M  song song với đường thẳng  d : x  y  1 thì 

x 1
2
 
  x  2  1  
 x  2
x  3
khi  x  1  y  0  tiếp tuyến là  y   x  1  d  (loại) 
y '  1 

1

2

khi  x  3  y  2  tiếp tuyến là  y    x  3  2   x  5   / / d  (thỏa) 
 
Lưu ý: cẩm thận khi gặp loại này vì chủ quan nghĩ rằng có 2 nghiệm sẽ có 2 tiếp tuyến //d. 
Trường THPT Hai Bà Trưng – Huế 

                      

                        Trang 25/81