ôn tập TOÁN CAO cấp

trang 1

́
Toán cao câp

TÀI LIỆU ÔN TẬP

Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501



́
Toán cao câp

trang 2

MỤC LỤC TÓM TẮT
Contents
LỜ I NÓ I ĐẦU ............................................................................................................................................... 3
CHƯƠNG 1: MA TRẬN_ĐỊNH THỨC_HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH_INPUT-OUTPUT.......................... 4
MA TRẬ N ĐI ̣NH THỨ C ......................................................................................................................................... 4
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ........................................................................................................................ 6
INPUT_OUTPUT ................................................................................................................................................... 7
BÀI TẬP TỔNG HỢP: ............................................................................................................................................ 7
CHƯƠNG 2: LIM_HÀM LIÊN TỤC_MỘT VÀI ỨNG DỤNG KINH TẾ............................................................ 10
QUY TẮC L’ HOSPITAL ........................................................................................................................................ 10
MỘT VÀI ỨNG DỤNG KINH TẾ ................................................................................................................... 10
BÀ I TẬ P TỔNG HỢ P ........................................................................................................................................... 12
CHƯƠNG 3: HÀM NHIỀU BIẾN ................................................................................................................. 13
ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HỢP ...................................................................................................................... 13
CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN................................................................................................................................. 13

CỰC TRỊ RÀNG BUỘC ......................................................................................................................................... 15
CHƯƠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ..................................................................................................... 17
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁ CH BIẾN................................................................................................................ 17
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TI ́NH CẤP 1 ................................................................................................... 17
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 ................................................................................................... 18
BÀ I TẬ P VẬ N DỤ NG ........................................................................................................................................... 19
TÀ I LIỆU THAM KHẢ O ............................................................................................................................... 21

Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501



trang 3

́
Toán cao câp

LỜ I NÓ I ĐẦU
Xin chào mọi người, mình là Nguyễn Phước Hưng IBC13-K43 đại diện nhóm thực hiện khóa
học này. Lời đầu tiên mình xin gửi lời cám ơn đến tất cả các bạn đã ủng hộ khóa Tổng ôn toán
cao cấp. Trong tâ ̣p tài liê ̣u này, mình đã tóm tắt toàn bộ kiến thức cũng như các bài tập tình
huống vận dụng. Minh hi vọng tài liệu này sẽ giúp ích được cho bạn, từ đó có thể giúp ba ̣n ôn
tâ ̣p đa ̣t kế t quả cao.
Trong quá trình biên soạn, do kiến thức còn hạn hẹp và thời gian thực hiện không được nhiều
nên tài liệu không tránh khỏi nhiều sai sót hạn chế nhỏ về giọng nói, cách quay, độ phân giải
khi up lên, …. Mặc dù đã cố gắng thiết kế tính toán một cách chi tiết mạch lạc, các thông số đôi
khi còn mang tính lý thuyết chưa thực tế. Mình mong có sự góp ý và sửa chữa để “quyển sách
tự chế” này có tính khả thi và hiệu quả hơn, sẽ giúp được nhiều hơn cho các khóa sau UEH.
Mọi ý kiến đóng góp, các bạn vui lòng gửi về:
😊😊😊😊😊

Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501



trang 4

́
Toán cao câp

CHƯƠNG 1: MA TRẬN_ĐỊNH THỨC_HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN
TÍNH_INPUT-OUTPUT
MA TRẬN ĐI ̣NH THỨ C
1. Ma trận là gì?
1 2 3
A= (4 5 6) a12= ?
7 8 9

a23=?

a33=?

2. Ma trận đơn vị In?
1 0
I3=(0 1
0 0

1 0
I2=(
)

0 1

0
0)
1

3. Ma trận chuyển vị?
1
AT= (2
3

1 2 3
A=(
)
4 5 6

4
5)
6

4. Ma trận bậc thang?
2 0 5
A=(0 0 2
0 0 0

1
3)
2

B=(

0 2
0 0

1 0
)
7 1

→A, B là ma trận bậc thang.
2 0
C=(0 0
0 0

5
0)
2

0 1 0
D=(0 2 0)
0 0 3

→C, D không phải là ma trận bậc thang.
5. Hạng của ma trận ?
1 2 1 5
A=(−1 3 0 7)
3 1 2 9

1 2
B=(2 3
3 5

3
4)
7

Hãy tính hạng của ma trận A và B ?

Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501



trang 5

́
Toán cao câp

6. Cộng hai ma trận ?
1 2
2 1
A=(
) B=(
)
2 1
1 2

Vậy A+B = (

)

7. Nhân hai ma trận ?

1 2 −2
1 2
A=(2 1 −3) B=(2 −1). Vậy A.B=(
3 1 1
1 1

)

Phương pháp nhân hai ma trận bằng CASIO ?
8. Định thức?
1 4
).
1 5
1 2
B=( 2 3
−1 3
1 3
1 4
C=(
2 5
1 5

Bậc 2

Vậy |𝐴| =

A=(

Bậc 3

Bậc 4

−2
1)
2
3 2
5 3
)
4 1
7 6

Vậy |𝐵| =

Vậy |𝐶| =

Tìm m để định thức dưới đây có giá trị bằng 0
𝑚
1 2
A=(−1 3 1)
2 −1 1

→m= ?

Tìm m để định thức sau có giá trị bằng 0
1
2
B=(
2
1

2
1
2
1 −1 1
) →m= ?
1
1 −1
−1 2
𝑚

9. Ma trận nghịch đảo?
𝟏

A-1=|𝑨|.A*
1 2
A=(
)
−1 1

Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501



trang 6

́
Toán cao câp

1 −2 2
B=(2 −3 6)

1 1 7
Ví du ̣ 1: Tìm X biết
2 1
2 5
a. (
).X=(
)
3 4
5 2
1 2 −3
1
b. (3 2 −4).X=(10
2 −1 0
10

−3 0
2 7)
7 8

1
1 
m −5


1
m − 5  . A không khả đảo khi và chỉ khi:
Ví du ̣ 2: Cho ma trận A=  1
 1
m−5
1 


A. m=3

B.m≠3  m≠6

C.m=3

 m=6

D. m=6

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Ví dụ:
1. Giải hệ phương trình sau

2.
a.
b.
c.
3.

𝑥−𝑦+𝑧=6
{2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 5

𝑚𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑚
Cho hệ phương trình tuyến tính sau A={2𝑥 + (𝑚 + 1)𝑦 + (𝑚 + 1)𝑧 = 𝑚 + 1
𝑥 + 𝑦 + 𝑚𝑧 = 1
Với giá trị nào của m thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất?
Với giá trị nào của m thì hệ đã cho có vô số nghiệm?

Với giá trị nào của m thì hệ đã cho vô nghiệm?
x + y − z = 1

Cho hệ phương trình tuyến tính: 2 x + 3 y + z = 2
2 x + y + mz = 2

Phát biểu nào sau đây là sai?
A.Tồn tại m để hệ có nghiệm duy nhất

B.Tồn tại m để hệ có vô số nghiệm

C. Tồn tại m để hệ có nghiêm

D. Tồn tại m để hệ vô nghiệm

𝑥 − 𝑦 − 𝑚𝑧 = 2
4. Cho hệ phương trình { 2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 𝑚
𝑚𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = −1

Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501



trang 7

́
Toán cao câp

a. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
b. Tìm m để hệ có vô số nghiệm và tìm nghiệm tổng quát trong trường hợp đó.

−2 1 3
5. Cho ma trận A = ( 2
𝑚 4). Với giá trị nào của M thì ma trận 𝐴3 . 𝐴𝑇 có hạng bé hơn
−1 −3 1
3?
A. 48
B.38
C.46
D.Không tồn tại m

INPUT_OUTPUT
Yêu cầu chương này bạn phải giải thích được ý nghĩa kinh tế của một hệ số nào đó trong ma
trận đề cho (nhớ câu‘ vào hàng ra cột’ ).
Thuộc công thức X= (In-A)-1.D (trong đó X thường là mức sản lượng đầu ra của các ngành)
Ví dụ

a.
b.
c.
d.

0.3 0.1 0.1
A=(0.1 0.2 0.3)
0.2 0.3 0.2
Giải thích ý nghĩa kinh tế của hệ số a12 ; a13 ; a01 trong ma trận A.
Biết sản lượng của ngành 2 là 150, hãy tính giá trị của sản lượng nguyên liệu mà các ngành
cung cấp cho nó.
Hệ số a03 bằng bao nhiêu? Từ đó hãy tính ngành mở phải đóng góp bao nhiêu cho ngành 3
khi giá trị sản lượng ngành 3 là 1000.
70

Tìm mức sản lượng của 3 ngành nếu ngành mở D=(100)
30

Chú ý: Trong trường hơ ̣p dưới đây, khi đề bài chưa cho ta mô hiǹ h input-output, ta phải tự
thiế t lâ ̣p mô hiǹ h I-O, vì đây là dữ kiê ̣n thực tế , trong khi đó các hê ̣ số 𝑎𝑖𝑗 là những hê ̣ số bé
hơn 1.
Ví dụ: Cho ma trận đầu vào-đầu ra
𝑇ℎé𝑝
𝑇ℎ𝑎𝑛
𝐾ℎá𝑐
200

𝑇ℎé𝑝
200
400
600

𝑇ℎ𝑎𝑛
500
200
800

𝑁ℎ𝑢 𝑐ầ𝑢 𝑐𝑢ố𝑖
500
900
−

1

𝑎11 = 200+400+600=6, ta tiń h tương tự với các hê ̣ số khác.

Hãy tìm tổng giá trị chi phí mà ngành mở cung cấp cho các ngành.

BÀI TẬP TỔNG HỢP:
1. Cho A là ma trận vuông cấp 6 với det(A)=3 và B=2A.Tính det(B)
A.2781

B.2178

C.2187

D.1278

Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501



trang 8

́
Toán cao câp

2. Cho A là ma trận vuông cấp 3 có det(A)=2. Tính det(3AT)
A.27

B.54

C.63

D.72
7

10

3. Cho A, B là các ma trận vuông cùng cấp và khả nghịch, giả sử C= (9 𝐴)( 7 𝐵 𝑇 ). 𝐾ℎ𝑖 đó
10

B.C-1= 9 (B-1)TA-1

10

9

D.C-1=10A-1(B-1)T

A.C-1= 9 A-1(B-1)T

9

C.C-1=10A-1(B-1)T

4. Cho A là ma trận vuông cấp 4 khả nghịch với định thức của ma trận phụ hợp -216.Khi đó
A.det(A)=6

B.det(A)=-6

C.det(A)=36

D.det(A)=-36

5. Cho A là ma trận vuông cấp 5 khả nghịch với det(A)=5. Khi đó định thức của ma trận phụ

hợp là:
A.125

B.625

C.3125

D.25

1
1 3
2
6. Cho A=(
)
B=( ) C=( ). Gọi M là ma trận vuông cấp 2 thỏa mãn
3
2 1
1
5
−10
MA=(
). Khi đó :
−10
5
−10
−5
A.MB=(
)
B.MC=( )
17

1
5 −5
C.M=(
)
D.Tất cả các câu đều đúng.
4 −7
2 3
7. Cho A=(
). Ma trân nghịch đảo của B=A-5𝐴𝑇 + 𝐼2 𝑠ẽ 𝑙à:
3 2
1
1
1
1 −7 −12
7 12
7 −12
7
−12
A.95 (
)
B.95 (
)
C.95 (
) D.95 (
)
12 7
12
7
−12
7

12
7
8. Cho A, B là các ma trận vuông cấp 4 có det(A)=2, det(B)=2 và (𝐴𝐵)−1 =
1
. 𝐶. 𝑇í𝑛ℎ det(𝐶) :
det(𝐴𝐵)
A.32

B.64

C.128

D.256

1 2
4
6
) B=( ) C=( )Gọi X1, X2 lần lượt là nghiệm của hệ AX=B và
4 9
5
3
AX=C. Khi đó 2X1+3X2 là

9. Cho các ma trận A=(

A.(

180
)
90

−90
)
180

B.(

−85
)
196

C.(

1
2
10. Với giá trị nào của m thì A suy biến với A=(
3
3

2
1
𝑚
3

196
)
−85

D.(

−1 0
0
3
)
−5 −3
−1 1

Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501



trang 9

́
Toán cao câp

B.m≠ 9

A.m=9
1
1
11. Cho ma trận C=(
2
1
A.0

3
4
5
5

3
5
4
7

B.1

1
2
12. Cho ma trận A=(
3
𝑑
A.det(A)=abcd

2
3
) Vậy |𝐶| = ?
1
6
C.2

0
0
𝑐
0

2
𝑏
4

0

D.m≠ 3

C.m=3

D.3

𝑎
0
). Khi đó:
5
0

B.det(A)=2abcd

C.det(A)=1

𝑚
1
13. Tìm m để định thức sau có giá trị bằng 0: A=(−1 3
2 −1
7

9

A.4

11

B.4

D.det(A)=0

2
1)
1

13

C. 4

D. 4

14.Cho A, B là hai ma trận vuông cấp 5. Giả sử dòng 2 của A bằng 0 và cột 3 của B bằng 0, Đặt
C=AB, khi đó ta có :
A.dòng 2 và cột 2 của C bằng 0

B.dòng 3 và cột 3 của C bằng 0

C.dòng 2 và cột 3 của C bằng 0

D.A.dòng 3 và cột 2 của C bằng 0

15.Trong mô hình mở input-output gồm hai ngành kinh tế, biết ma trận hệ số đầu vào là :
0.1 0.2
A=(
) khi yêu cầu của đầu cuối với hai ngành là (60,60) thì mức sản lượng đầu ra của
0.3 0.4
hai ngành là:

A(100,150)

B.(120,150)

C.(150,120)

D.(100,100)

17.Trong mô hình mở input-output gồm ba ngành kinh tế (ngành 1,2,3), biết ma trận hệ số đầu
vào là :
0.3 0.1 0.1
A=(0.1 0.2 0.3)
0.2 0.3 0.2
Biết sản lượng của ngành 2 là 150, hãy tính tổng sản lượng nguyên liệu mà ngành 1 và ngành 3
cung cấp cho ngành 2:
A.45

B.60

C.80

D.100

18.Cho A=(aij)n*n là ma trận có aij=0 với ∀i>j và thỏa mãn AT+2A=In.Phát biểu nào sau đây sai
A.AT=A

B.det(A)=3n

C.A+2AT=In

1

D.det(A)=3𝑛

Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501



trang 10

́
Toán cao câp

CHƯƠNG 2: LIM_HÀM LIÊN TỤC_MỘT VÀI ỨNG DỤNG KINH TẾ
QUY TẮC L’ HOSPITAL

𝐥𝐢𝐦

𝒇(𝒙)

𝒙→𝒂 𝒈(𝒙)

= 𝐥𝐢𝐦

𝒇′(𝒙)

(thường được áp dụng nếu

𝒙→𝒂 𝒈′(𝒙)

𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)

0

∞

0

∞

𝑐ó 𝑑ạ𝑛𝑔 ;

)

Có 3 dạng thường gặp :
a. Nhận ra ngay : lim

ln(1+𝑥)

𝑥→0

lim

𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠𝑥

lim

𝑥→0 ln(1+𝑥 2 )

𝑥→1

lim𝜋

𝑥

𝑥→

1−2𝑐𝑜𝑠𝑥
𝜋−3𝑥

3

𝑥 2 −1+𝑙𝑛𝑥
𝑒 𝑥 −𝑒

b. Ngụy trang cần phải thực hiện phép biến đổi để đưa về dạng a :
1
1
lim(
−
)
𝑥→0 𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑡𝑎𝑛𝑥
lim + 𝑥𝑙𝑛𝑥
𝑥→→0

c. Dạng hàm mũ :
𝑥

1

1

1

lim ( )𝑥

lim ( )𝑥−2

𝑥→0+ 2

lim (𝑒 𝑥 + 𝑥)𝑥

𝑥→0+ 𝑥

𝑥→0

MỘT VÀI ỨNG DỤNG KINH TẾ
𝚫𝒚

𝒅𝒚

Chỉ cần nhớ: nếu ∆x≈0 thì 𝚫𝒙 ≈ 𝒅𝒙

𝒅𝒚

 ∆y ≈ 𝒅𝒙 . ∆𝒙

a) Tỉ số sự thay đổi của giá bán so với sản lượng :

Cho biết p=100-q2 là hàm cầu về sản phẩm của một nhà sản xuất (q là mức sản lượng). Tìm tỉ
số sự thay đổi của p theo q. Giá bán sẽ thay đổi như thế nào khi q=5 ?
b) Tỉ số sự thay đổi lượng người ghi danh :
Một nhà xã hội học đang nghiên cứu các chương trình được đề nghĩ để hỗ trợ giáo dục cho các
em mầm non trong một thành phố. Họ tin rằng cứ sau x năm kể từ lúc chương trình bắt đầu
thực hiện thì sẽ có f(x) ngàn trẻ em mẫu giáo ghi danh, trong đó :

Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501



trang 11

́
Toán cao câp

f(x)=24x-2x2 ( 0≤ 𝑥 ≤ 12)
Hãy tính tỉ số của sự thay đổi của lượng ghi danh sau ba năm kể từ khi chương trình bắt đầu.
c) Hàm chi phí của một nhà sản xuất c=f(q) :
Tỉ số sự thay đổi của c đối với q gọi là chi phí biên
Ví dụ : cho hàm c=0.1q2+3. Tính chi phí biên khi mức sản lượng là 50 và cho biết ý nghĩa kinh
tế của giá trị tính được.
𝒄

Chi phí trung bình: 𝒄̅=𝒒
Ví dụ: Cho hàm chi phí trung bình của một xí nghiệp là 𝑐̅=0.008q2-q+60+

3500
𝑞

với q là mức sản

lượng. Tính chi phí biên tại mức sản lượng q=30.
d) Doanh thu biên r=f(q)
Tỉ số sự thay đổi của doanh thu đối với mức sản lượng gọi là doanh thu biên
Ví dụ: Cho hàm r=2q2.Tính doanh thu biên khi mức sản lượng là 10 và cho biết ý nghĩa kinh tế
của giá trị tính được.
Ví dụ: Hàm cầu của một xí nghiệp sản xuất độc quyền có dạng
Q=540-𝑘 2 P – 2kP.
Biết rằng nếu giá tăng thêm 2 đơn vị thì lượng cầu giảm đi 6 đơn vị. Doanh thu của xí nghiệp
đạt cực đại tại mức sản lượng:
A.360

B.270

C.450

D.90

a. Hàm tiêu dùng(MPC):
Hàm tiêu dùng C=f(I) biểu thị mối quan hệ tổng thu nhập quốc gia I với tổng tiêu dùng quốc gia
C.Xu hướng tiêu dùng biên(MPC) được hiểu là tỉ số của sự thay đổi của tổng tiêu dùng đối với
tổng thu nhập.
MPC=𝒅𝑪
𝒅𝑰
b. Hàm tiết kiệm: MPS=1-MPC
Ví du ̣:

Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501

trang 12

́
Toán cao câp

1. Cho hàm tiêu dùng C=

9√𝐼+0.8√𝐼 3 −0.3𝐼
√𝐼

với I là tổng thu nhập quốc gia. Tại I=25, giá trị của

xu hương tiết kiệm biên là:
A.0.77

B.0.23

C.0.64

D.0.36

2. Một hãng sản suất có hàm cầu là Q=130-10P.Khi giá bán P=9 thì doanh thu là bao nhiêu?
Tính độ co giãn của cầu theo giá tại mức giá này và cho nhận xét.

BÀ I TẬP TỔNG HỢ P
1. Tính lim

(𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥−3)(𝑥−4)(𝑥−5)

(5𝑥−1)5

𝑛→∞

1

1

A.5

1

B.125

2. Tính lim

1

C.625

D.3125

(2𝑥−5)20 (3𝑥−2)30

𝑛→∞

2

A.(3)30

(2𝑥+1)50
3

B.(2)30

3. Hàm liên tục tại điểm x0 
𝑒 𝑚𝑥 −𝑐𝑜𝑠𝑥

4. Cho f(x)= {

D. Cả ba đáp án đều sai.

C.1
lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 )

𝑥→𝑥0

𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≠ 0
.Tìm giá trị của m để f liên tục tại x= 0.
𝑚 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 0
𝑥

2

A.m=1 B.m=-1

C.m=2 D.m= -2
5

√1+2𝑥 7 −1

ln(1+3𝑥 7 )

𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≠ 0

. Để 𝑓 𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐 𝑡ạ𝑖 𝑥 = 0 𝑡ℎì:
(𝑝ℎâ𝑛 𝑠ố 𝑡ố𝑖 𝑔𝑖ả𝑛) 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 0
𝑏

5. Cho hàm f(x)={𝑎
A.a-b=13

B.a+b=17

6. Cho hàm số y=30-4x-x2. Tính A=x.
−10

A.

3

B.

−70
9

C.a.b=15
𝑑(𝑙𝑛𝑦)
𝑑𝑥

D.a+2b=3

𝑘ℎ𝑖 𝑦 = 9

C. A và b đều sai

D.A và B đều đúng

7. Cho hàm f thỏa mãn f(6)=1 ; f’(6)=-2 và hàm g(x) thỏa mãn g(x)=
A.-20

B.-10

C.10

𝑑[𝑥 2 𝑓(3𝑥)]
𝑑𝑥

. 𝑇í𝑛ℎ 𝑔(2)

D.20

𝑚𝑒 3𝑥 𝑘ℎ𝑖 𝑥 > 0 có đạo hàm tại 0
8. Tìm các giá trị m và n để hàm số f(x)={ 1 +
2
−2𝑥 + 𝑥 + 𝑛 𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≤ 0

Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501

trang 13

́
Toán cao câp
𝑒 2𝑥 −1−ln(1+2𝑥)

𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≠ 0 . 𝑇í𝑛ℎ 𝑓 ′ (0)
4 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 0

9. Cho hàm f(x)={
1

A.2

𝑥2

−1

−4

B. 6

C. 3

D.4

CHƯƠNG 3: HÀM NHIỀU BIẾN
Cho hàm z = 𝑥 3 𝑦- 2𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥𝑦 3 . Tính 𝑧′𝑥 ,𝑧′𝑦 và các đạo hàm riêng cấp 2
của z

Ví du ̣: Cho hàm u=3x2z2-4xy3z2.Tính 𝑢′′′ xyz(1,2,3)
ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HỢP
2

Ví du ̣: Cho hàm z= cos (x+2y) , x=2𝑡 + 𝑡 + 1, y= 𝑡
Tính

3
2

𝑑𝑧
𝑑𝑡

CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN

− Điều kiện cần của cực trị: Nếu hàm số z=f(x,y) đạt cực trị tại (a,b) và f
có các đạo hàm riêng tại (a,b) thì 𝑓𝑥′ (𝑎, 𝑏)=0 và 𝑓𝑦′ (𝑎, 𝑏)=0.
− Điểm (a,b) được gọi là điểm dừng cả hàm z=f(x,y)
− Điều kiện đủ của cực trị cho hàm z=f(x,y) có đạo hàm riêng cấp 2 liên
tục tại mọi điểm (x,y) gần điểm dừng (a,b). Xét ma trận Hesse
′′
𝑓𝑥𝑥
(𝑎, 𝑏)
H(a,b)= ( ′′
𝑓𝑦𝑥 (𝑎, 𝑏)

′′
𝑓𝑥𝑦
(𝑎, 𝑏)
)

′′
𝑓𝑦𝑦
(𝑎, 𝑏)

Và đặt 𝑯𝟏 = 𝒇′′𝒙𝒙 (𝒂, 𝒃) và 𝑯𝟐 =|𝐇(𝐚, 𝐛)|. Khi đó, ta có:
− Nếu 𝐻1 < 0 và 𝐻2 > 0 thì đạt cực đại tại (a,b)
− Nếu 𝐻1 > 0 và 𝐻2 > 0 thì đạt cực tiểu tại (a,b)
− Nếu 𝐻2 <0 thì f không đạt cực trị tại (a,b) (ta nói a,b là điểm yên ngựa
của f)
Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501



trang 14

́
Toán cao câp

− Nếu 𝐻2 =0 thì ta chưa thể kết luận được gì về cực trị tại (a,b) mà cần
phải xét thêm.
Ví dụ: Tìm cực tri ̣của các hàm số sau
z= -𝑥 2 − 2𝑦 2 + 4𝑥+1
z=𝑥 3 + 𝑦 3 − 3𝑥𝑦
z= x +

𝑦2
4𝑥

1

+ +2
𝑦

Ví du ̣:
𝑦2 1

1. Cho f(x,y)=x+ + +2.Số điểm dừng của f :
4𝑥 𝑦

A.1

B.2

C.3

D.4

2. Cho hàm z=x2-2x+y2. Hãy chọn khẳng định đúng
A. z đạt cực đại tại M (1;0)

B. z đạt cực tiểu tại M(1; 0)

C. z có một cực đại và một cực tiểu

D. z không có cực trị

3. Cho hàm z=x2-2xy+1.Hãy chọn khẳng định đúng
A. z đạt cực đại tại O (0;0)

B. z không có cực trị

C. z đạt cực tiểu tại O (0;0)

D. Các khẳng định trên sai.

4. Cho hàm f(x, y)=x+y+

27
𝑥𝑦

A. Hàm f đạt cực đại tại M (-3,-3) B. Hàm f đạt cực tiểu tại M (-3,-3)
C. Hàm f đạt cực tiểu tại M (3,3)

D. Hàm f đạt cực tiểu tại M (3,3)

5. Xét hàm f(x,y) =x𝑦 2 (1 − 𝑥 − 𝑦) và điểm M(0,1). Chọn kết luận đúng
A.Hàm f đạt cực tiểu tại M

B. Hàm f đạt cực đại tại M

C. M là điểm dừng nhưng không phải cực trị của f
Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501



trang 15

́
Toán cao câp

D. M không phải là điểm dừng của hàm f
6. Cho biết M(1,1) và N(0,2) là hai trong số các điểm dừng của hàm số
f(x,y)=3x2y+y3-3x2.Phát biểu nào sau đây là sai
A.f đạt cực đại tại M, cực tiểu tại N
cực đại tại N

B.f đạt cực tiểu tại M,

C.f không đạt cực trị tại M, đạt cực đại tại N
trị tại M, đạt cực tiểu tại N.

D.f không đạt cực

CỰC TRỊ RÀNG BUỘC

Xét bài toán tìm cực trị của hàm z= f(x,y) với ràng buộc 𝒈 (x,y) = 𝒈𝟎
Xây dựng hàm Lagrange :
L(x,y,z) = f(x,y) +ʎ(𝑔0 − 𝑔(𝑥, 𝑦)
Ma trận Hesse bao
𝐿′′xʎ
𝐿′′𝑦ʎ )
𝐿′′ʎʎ

𝐿′′𝑥𝑥
𝐻 = (𝐿′′𝑦𝑥
𝐿′′ʎx

𝐿′′𝑥𝑦
𝐿′′𝑦𝑦
𝐿′′ʎy

𝐿′′𝑥𝑥
𝐻1 = | ′′
𝐿ʎx

𝐿′′xʎ
| và 𝐻2 = |𝐻|
𝐿′′ʎʎ

Khi đó, ta có:
− Nếu 𝐻1 < 0 và 𝐻2 > 0 tại (a,b,ʎ0 ) thì f đạt cực đại với ráng buộc g(x,y)
= 𝑔0 tại (a,b)
− Nếu 𝐻1 < 0 và 𝐻2 < 0 tại (a,b,ʎ0 ) thì f đạt cực tiểu với ràng buộc g(x,y)
= 𝑔0 tại (a,b)
Ví dụ:
1

1. Tìm cực trị của hàm z= x3-3x+y với điều kiện –x2+y=1.Hãy chọn khẳng
3
định đúng:
Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501



trang 16

́
Toán cao câp

A. z đạt cực đại tại M(-3,10) và N(1,2)

B. z đạt cực tiểu tại M(-3,10) và N(1,2)
C. z đạt cực đại tại M(-3,10) và cực tiểu tại N(1,2)
D.Các khẳng định trên đều sai
2. Tìm cực trị của hàm z=x2+y2 với điều kiện x2-3x+y2-4y=0
3. Tìm cực trị của hàm f(x,y)=2x+3y thỏa điều kiện 3x2+2y2=210
4. Tìm cực trị của hàm z=exy với điều kiện x2+y2=8 (với x,y>0)
Chú ý: Vi phân cấp 1 và cấp 2
− dz = 𝑓𝑥′ dx 𝑓𝑦′ dy
′′
′′
′′
− 𝑑2 𝑧 = 𝑓𝑥𝑥
𝑑𝑥 2 + 𝑓𝑥𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑓𝑦𝑦
d𝑦 2

Ví du ̣:
1.Cho hàm z = 4𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 3 − 3𝑥𝑦. Tính dz và 𝑑2 𝑧
2.Vi phân cấp hai của hàm hai biến z=x2y3 là
A.d2z=2y3dx2+12xy2dxdy+6x2dy2
B.d2z=2y3dx2-12xy2dxdy+6x2ydy2
C.d2z=y3dx2+6x2ydy2
D.Đáp án khác
3.Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến z=3x3+4xy2-2y3
A.d2z=18xdx2+16ydxdy+(8x-12y)dy2
B.d2z=18xdx2+8ydxdy+(8x-12y)dy2
C.d2z=18xdx2+16ydxdy+(8x-6y)dy2
D.d2z=9xdx2+16ydxdy+(8x-12y)dy2

Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501

trang 17

́
Toán cao câp

CHƯƠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Phương trình vi phân là một phương trình có dạng:
F(x,y,y’,y’’,…,yn)=0
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁ CH BIẾN

Da ̣ng f(x)dx = f(y)dy
Phương pháp giải : Lấy tích phân 2 vế
Ví dụ (3x2-x+1) dx=sinydy
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TINH CẤP 1

Dạng y’ + P(x).y = Q(x)

(1)

Phương pháp giải
Bước 1: Tính 𝒆∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙
Bước 2: Nhân cả 2 vế của (1) cho 𝒆∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙
Bước 3: “Gom tất cả vào đạo hàm”
Bước 4: “Phá dấu phẩy”
Ví dụ:
𝑦

a. y’ - = 𝑥 2
𝑥

2

b. y’+2xy=x𝑒 −𝑥
c. y’ – y.sin x = sin x. cos x
𝑦
d. Giả sử y = f(x) là nghiệm của PTVP y’ + = 0 thỏa điều kiện f(𝜋) = 1.
𝑥

𝜋

Khi đó f(- ) có giá trị là?
2

A. 0

B. -2

D. đáp án khác

C. 2

e. Giả sử y = f(x) là nghiệm của PTVP y’ -

𝑥𝑦
3+𝑥 2

= 0 𝑡ℎỏ𝑎 f(1)=2.Khi đó giá

trị của f(2) có giá trị là
Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501



trang 18

́
Toán cao câp

A.√3

B.√5

D.Đáp án khác

C.2

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2

Dạng tổng quát y’’+ay’+by=f(x)

(1)

Phương pháp giải:
Bước 1:Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất Y(x)
Xét phương trình thuần nhất y’’+ay’+by=0
Phương trình đặc trưng:

(2)

k2+ak+b=0 (giải ra k)

TH 1: có hai nghiệm thực k1≠k2:nghiệm tổng quát của (2) là
Y(x)=C1𝒆𝒌𝟏 𝒙 + C2𝒆𝒌𝟐 𝒙

(với C1 và C2 là hai hằng số bất kỳ)

TH 2: có nghiệm kép k0: nghiệm tổng quát của (2) là
Y(x)= 𝒆𝒌𝟎𝒙 (C1+C2x)
TH 3: có hai nghiệm phức k=𝜶 ± 𝒊𝜷 nghiệm tổng quát của (2) là
Y(x)=𝒆𝜶𝒙 [𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬(𝜷𝒙) + 𝑪𝟐 𝐬𝐢𝐧(𝜷𝒙)]
Bước 2: Tìm nghiệm riêng của phương trình (1) tùy thuộc vào vế phải f(x)
có một trong các dạng đặc biệt sau đây:
TH 1: f(x) = 𝑒 𝛼𝑥 . 𝑃𝑛 (𝑥) với α là hằng số và 𝑃𝑛 (𝑥) là đa thức bậc n của x.
a. Nếu α không phải là nghiệm của phtr đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng
dạng
y0(x) = 𝒆𝜶𝒙 .𝑸𝒏 (𝒙)
b. Nếu α là nghiệm đơn của phtr đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng
y0(x) = 𝐱. 𝐞𝛂𝐱 . 𝐐𝐧 (𝐱)
c. Nếu α là nghiệm kép của phtr đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng
y0(x) = 𝐱 𝟐 . 𝐞𝛂𝐱 . 𝐐𝐧 (𝐱)
Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501



trang 19

́

Toán cao câp

TH 2: f(x) = eαx [Pn (x). cos(βx) + Q m (x). sin(βx)].
a. Nếu α±iβ không là nghiệm của phtr đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng
dạng
y0(x) = 𝐞𝛂𝐱 [𝐑(𝐱). 𝐜𝐨𝐬(𝛃𝐱) + 𝐒(𝐱). 𝐬𝐢𝐧(𝛃𝐱)].
b. Nếu α±iβ là nghiệm của phtr đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng
y0(x) = 𝐱. 𝐞𝛂𝐱 [𝐑(𝐱). 𝐜𝐨𝐬(𝛃𝐱) + 𝐒(𝐱). 𝐬𝐢𝐧(𝛃𝐱)].
+ Bước 3. Kết luận nghiệm tổng quát của phtr (1) là:
y(x) = Y(x) + y0(x).
BÀ I TẬP VẬN DỤ NG

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
a.

y” - 4y’ + 3y=0
y” +6y’ +9y=0
y” – 3y’ + 2y= 1+x
y’’-2y’+y=x+1
y” + y’ = 5sin 2x
y” -4y’+3y= = 𝑒 𝑥 (2x-1)
y” -5y’ +4y = (6x-5)𝑒 𝑥 (1)
Giải (1)

b. Tìm nghiệm riêng của (1) thỏa y(0) = 1, y’(0) = -2
8. y” – 2y’ = 2 co𝑠 2 x
9. y” – 5y’ = 2𝑒 𝑥 -1
10. y’’-4y’+5y=e-x
BÀI TẬP TRẮC NGHIÊ ̣M
1.Xét phương trình vi phân y’’-4y’+4y=𝑒 2𝑥 (3𝑥 + 1). Phương trình này có
một nghiệm riêng có dạng
A.u(x)=e2x(ax3+bx2)

B.u(x)=e2x(ax2+bx)

C.u(x)=e2x(ax2+bx+c)

D.Cả ba câu trên đều sai.
𝑦

2.Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phâN y’+2 =0
𝑥

A.y=

𝐶
𝑥2

B.y=

2𝐶
𝑥3

C.y=

𝐶
𝑥

D.y=

−𝐶
𝑋

Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501



trang 20

́
Toán cao câp

3.Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y’cos2x+y=0
A.y=Cxe-cosx

B.y=Cx+esinx

C.y=Cetanx

D.y=Ce-tanx

4.Gọi nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y’-y=1 là Y(x). Chọn kết
luận đúng
[A] lim 𝑌(𝑥) = ∞

𝑥→ −∞

[B] lim 𝑌(𝑥) = 0
𝑥→ −∞

[C] lim 𝑌(𝑥) = 1
𝑥→ −∞

[D] lim 𝑌(𝑥) = −1
𝑥→ −∞

5. Gỉa sử y=y(x) là nghiệm của phương trình vi phân y’-y=ex+1 thỏa y(0)= 1. Khẳng định nào sau đây là sai
A.y(1)>0B.y’(0)=1 C. lim 𝑦(𝑥 ) = 0

D. lim 𝑦(𝑥 ) = + ∞

𝑛→−∞

𝑛→∞

6. Nghiệm riêng của phương trình vi phân y’’-5y’= x𝑒𝑥 − 1 có dạng :
A.u(x)=a𝑒𝑥 + 𝑏𝑥

B.u(x)=a𝑒𝑥 + 𝑏

C.u(x)=ax𝑒𝑥 + 𝑏 + 𝑐𝑥

D.(ax+b)𝑒𝑥 + 𝑐𝑥

Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501

TOÁ N CAO CẤP

Trang 21

Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y’’+y’-6y=x2𝑒−2𝑥 có dạng:
A.y=(ax2+bx+c)𝑒−2𝑥

B.y=x.(ax2+bx+c)𝑒−2𝑥

C.y=ax2.𝑒−2𝑥

D.Đáp án khác

TÀ I LIỆU THAM KHẢ O
Giáo trình toán cao cấ p dành cho kinh tế và quản tri ̣
Bài tập toán cao cấ p dành cho kinh tế và quản tri ̣
Như vậy chúng ta đã hoàn thành toàn bộ khóa Tổng ôn Toán cao cấ p. Mình chúc ba ̣n có những
trải nghiê ̣m thú vi ̣cùng khóa ho ̣c và đa ̣t đươ ̣c kế t quá cao trong kì thi sắ p tới! Cảm ơn bạn đã
ủng hộ Hưng trong thời gian qua!
Trân tro ̣ng,
Nguyễn Phước Hưng

Nguyen Phuoc Hung 0888.462.501