Dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh lớp 8

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Bất đẳng thức là một nội dung thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi Toán ở
các lớp 8, 9, thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT.
Ở trường THCS, nội dung về bất đẳng thức được đưa vào lớp 8 trong “Chương IVBất phương trình bậc nhất một ẩn” với số tiết không nhiều (3 tiết). Tuy nhiên, học
sinh lớp 8 đã quen biết nhận định về so sánh số, dùng các dấu bất đẳng thức trong lý
thuyết và các bài tập khi học về tập hợp Q, học sinh đã ngầm sử dụng kiến thức về
bất đẳng thức, kể cả kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức khi giải các bài tập ở Hình
học lớp 7 về so sánh cạnh và góc trong tam giác. Do yêu cầu chương trình nên sách
giáo khoa Đại số 8 khơng đi sâu vào mơ tả chính xác khái niệm về bất đẳng thức và
chứng minh các bất đẳng thức phức tạp.
Thực tế, khi gặp một bài toán chứng minh bất đẳng thức, khơng ít học sinh lúng
túng, khơng biết xoay sở ra sao. Một điều đáng tiếc cho nhiều học sinh lớp 8, 9 là
các em rất vất vả trong việc giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Nhiều em
học sinh đã khổ tâm khi không làm được những bài toán ra trong lần kiểm tra hoặc
thi học sinh giỏi các cấp, trong điều kiện thời gian hạn chế. Tự kiểm điểm, các học
sinh ấy thấy rằng đã hết sức cố gắng học toán, tin tưởng là mình nắm vững các kiến
thức cơ bản về bất đẳng thức, đã hiểu các bài học trong sách giáo khoa, đã xoay bài
toán đủ mọi cách nhưng cuối cùng vẫn bế tắc khơng tìm ra lời giải. Về sau, xem
lời giải những bài tốn bế tắc ấy thì thấy rằng ở đây khơng có gì khó khăn lắm về
mặt ngun tắc vì sử dụng tồn những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức, bài giải
nhiều khi rất đơn giản nhưng chỉ do thiếu sót hoặc khơng nghĩ đến cách giải ấy.
Là giáo viên Toán, ai cũng thấy rằng: học sinh học thuộc bài, nắm được bài
trong sách giáo khoa là hồn tồn khơng đủ, mà phải biết vận dụng kiến thức, biết
hệ thống các phương pháp giải từng dạng toán và rèn luyện kỹ năng trong việc giải
Toán. Số các bài toán về chứng minh bất đẳng thức trong các sách bồi dưỡng, sách
tham khảo, báo Toán học tuổi trẻ, báo Tốn tuổi thơ….nhiều khơng kể xiết, mỗi bài
mỗi vẻ, thời gian dạy, hướng dẫn học sinh học tập lại hạn chế, do đó địi hỏi giáo
viên phải biết tổng hợp phân loại các dạng toán thường gặp, các phương pháp giải

tốn chứng minh bất đẳng thức; từ đó biết hướng dẫn học sinh rèn luyện phương
pháp suy nghĩ đúng đắn và biết đúc rút kinh nghiệm.
Trong quá trình học tốn và dạy tốn, tơi đã tổng hợp các phương pháp giải và
phân loại các dạng toán thường gặp về bất đẳng thức. Từ thực tế dạy học toán 8, 9
ở Trương THCS Quảng Thái, bản thân tôi đã đúc rút được một số kinh nghiệm
trong chuyên đề về bất đẳng thức. Trong khuôn khổ đề tài này, xin đưa ra một vài
kinh nghiệm mà tơi đã tích luỹ về chủ đề : “ Dạy học chứng minh bất đẳng thức
nhằm nâng cao chất lượng học tập mơn Tốn cho học sinh lớp 8 ”

NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI

1


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN

1.2.Mục đích nghiên cứu.
a. Đối với giáo viên:
Nâng cao trình độ chun mơn phục vụ cho q trình giảng dạy.
Làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức.
b. Đối với học sinh:
Giúp học sinh học tập mơn tốn nói chung và việc giải bài tập về chứng minh bất
đẳng thức nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao
năng lực học mơn tốn giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và
làm cơng cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến bất đẳng thức.
Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham khảo, giúp
học sinh tự giải được một số bài tập.
Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải tốn bất đẳng
thức trong q trình dạy học.
Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản và vận

dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập.
Thơng qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục đích của
việc học tốn và học tốt hơn tốn bất đẳng thức.
• Chuẩn bị cho học sinh một số kiến thức cơ bản về BĐT để học sinh có thề
giải được 1 số bài tốn cơ bản.
• Phát triển lịng say mê mơn học, mở rộng vốn hiểu biết của học sinh về tốn
học.
• Phát triển tư duy cho học sinh, nâng cao vốn kiến thức từ SGK
• Góp phần đào tạo học sinh có nguồn tri thức vững vàng.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
- Đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn 8 Trường THCS Quảng Thái, huyện Quảng Xương.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
Phương pháp quan sát.
Phương pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động (nghiên cứu kết quả học tập học sinh ).
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
Phương pháp thống kê toán học.
Phương pháp phân tích, tổng hợp.
1.5. Những điểm mới của SKKN:
-Bổ sung thêm 3 phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp trong các
đề thi học sinh giỏi là: Phương pháp đổi biến, Phương pháp sắp thứ tự các biến,
Phương pháp quy nạp tốn học, Phương pháp phân tích số hạng.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm :
- Bất đẳng thức là một kiến thức khó nhưng khơng thể thiếu trong vốn kiến thức
của học sinh phổ thông, nhất là học sinh khá giỏi 8,9 và thi vào lớp 10 THPT. Học
sinh vận dụng tốt phương pháp phù hợp để giải các bất đẳng thức, tiết kiệm được
thời gian nâng cao năng lực tư duy trên cơ sở đó đề tài nêu và giải quyết một số vấn
đề sau:
• Cơ sở lý thuyết của phương pháp chứng minh bất đẳng thức.

NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI

2


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN

• Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
• Những sai lầm thường gặp của học sinh lớp 8 khi giải toán chứng minh bất đẳng thức.
• Một số giải pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất
lượng dạy học mơn Tốn.
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm : Qua quan sát
tình hình học tập bất đẳng thức cũng như kiểm tra học sinh về phần này tôi thấy rằng,
đại đa số học sinh lúng túng khi đứng trước bài toán chứng minh bất đẳng thức. Cụ
thể nghiên cứu như sau:
Bảng khảo sát học sinh trước khi nghiên cứu đề tài
MỨC ĐỘ HIỂU BÀI CỦA HỌC SINH
Kiến thức nâng
LỚP
SĨ SỐ Kiến thức cơ bản
cao
SL
%
SL
%
Đội tuyển HSG toán 8
8
6
75
0

0
Nguyên nhân cơ bản: một số nguyên nhân dẫn đến mức độ nắm bắt kiến thức về
bất đẳng thức và vận dụng kiến thức về bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức
ở học sinh kém như sau:
+ Học sinh chưa nắm vững khái niệm, cũng như các tính chất của bất đẳng thức.
+ Chưa vận dụng linh hoạt lý thuyết về bất đẳng thức vào giải các bài tóan cụ thể.
+ Kinh nghiệm giải tốn bất đẳng thức cịn ít.
+ Hệ thống bài tập tự giải tự tích lũy của các em chưa nhiều.
+ Các em chưa phân loại được các dạng toán cùng phương pháp chứng minh.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
CHƯƠNG I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT
ĐẲNG THỨC
I. Định nghĩa bất đẳng thức
Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi một trong các dấu >, < , ≥; ≤ . Ta
có : A > B ⇔ A- B > 0
A ≥ B ⇔ A- B ≥ 0
* Trong bất đẳng thức A > B ( hoặc A < B, A ≥ B , A ≤ B), A gọi là vế trái, B gọi là
vế phải của bất đẳng thức .
* Các bất đẳng thức A > B và C > D gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều. Các bất
đẳng thức A > B và E < F gọi là hai bất đẳng thức trái chiều.
* Nếu ta có : A > B ⇒ C> D, ta nói bất đẳng thức C > D là hệ qủa của bất đẳng thức A > B.
* Nếu ta có A > B ⇔ C > D, ta nói hai bất đẳng thức A > B và C > D là hai bất
đẳng thức tương đương.
* A > B ( hoặc A < B ) là bất đẳng thức ngặt, A ≥ B ( hoặc A ≤ B ) là bất đẳng thức
không ngặt.
* A ≥ B là A > B hoặc A = B
* A ≠ B cũng là bất đẳng thức .
* Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẩn gọi là bất
đẳng thức kép . Ví dụ : A < B < C.
NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI

3


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN

Chú ý : Như bất cứ một mệnh đề nào, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai. Tuy
nhiên, người ta quy ước: Khi nói về một bất đẳng thức mà khơng chỉ rõ gì hơn thì
ta hiểu đó là một bất đẳng thức đúng. Do đó khi nói “ Chứng minh bất đẳng thức a
> b” thì ta hiểu là : “ Chứng minh rằng a > b là một bất đẳng thức đúng ”.
II . Các tính chất của bất đẳng thức
Tính chất 1 : a > b và b > c ⇒ a > c
Tính chất 2 : a > b ⇒ a + c > b + c
Hệ quả: a > b + c ⇔ a – c > b
Tính chất 3 : a > b và c > d ⇒ a + c > b + d
ac > bc nếu c > 0
Tính chất 4 : a > b ⇔
ac < bc nếu c < 0
Tính chất 5 : a > b > 0 và c > d > 0 ⇒ ac > bd
Tính chất 6 : a > b > 0, n nguyên dương ⇒ an > bn
Tính chất 7 : a > b > 0 , n nguyên dương ⇒ n a > n b
Hệ quả : a, b ≥ 0 và a2 ≥ b2 ⇔ a ≥ b ⇔ a > b
Tính chất 8 : a > b, ab > 0 ⇒

1 1
<
a b

Tính chất 9 : a > 1, m và n nguyên dương, m > n ⇒ am > an
0 < a < 1, m và n nguyên dương, m > n ⇒ am < an

III. Các hằng bất đẳng thức
1) a2 ≥ 0 . Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a = 0
2) – a2 ≤ 0 . Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a = 0
3) Các hằng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối
* a ≥ 0 . Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a = 0
* a ≥ a . Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a ≥ 0
* a + b ≤ a + b . Dấu “ = ” xảy ra ⇔ ab ≥ 0
* a − b ≥ a − b . Dấu “ = ” xảy ra ⇔ (a – b)b ≥ 0 ⇔ a ≥ b ≥ 0 hoặc a ≤ b ≤ 0
4) Một số bất đẳng thức khi giải tốn có thể sử dụng như một bổ đề, chẳng hạn:
* a2 + b2 ≥ 2ab . Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a = b
1 1
4
+ ≥
với a, b > 0 . Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a = b
a b a+b
2
 a+b
2
* 
÷ ≥ ab hay (a + b) ≥ 4ab . Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a = b.
2


a b
* + ≥ 2 với a,b > 0 . Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a = b.
b a
* ( a2 + b2)(x2 + y2) ≥ ( ax + by)2. Dấu “ = ” xảy ra ⇔ ax = by.

*

CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG
THỨC
Khi giải một bài toán, ta cần căn cứ vào đặc thù của bài tốn mà chọn phương
pháp thích hợp. Sau đây là một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà
tôi đã sử dụng hướng dẫn cho học sinh lớp 9 nắm vững để vận dụng giải các bài
NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI

4


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN

tốn chứng minh bất đẳng thức. Mỗi bài tốn chứng minh bất đẳng thức có thể
được giải bằng các phương pháp khác nhau, cũng có khi phải phối hợp nhiều
phương pháp.
I. Phương pháp dùng định nghĩa bất đẳng thức.
A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A ≥ B ta làm như sau:
* Lập hiệu số A - B
* Chứng tỏ A – B ≥ 0
* Kết luận : A ≥ B
B. Ví dụ :
1. Ví dụ 1 : Chứng minh các bất đẳng thức :


b) ( a+b+c)  + + ÷ ≥ 9 ; ( a, b, c >
a b c
1

a) a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2( a+b+c )



1

1



0)
Giải: Ta có : ( a2 + b2 + c2 + 3) – 2( a + b + c) = a 2 + b2 + c2 + 3 – 2a – 2b – 2c
= ( a2 -2a +1 ) + ( b2 – 2b +1 ) + ( c2 – 2c + 1 )
= (a – 1)2 + (b-1)2 + (c-1)2 ≥ 0
Do đó : a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2( a+b+c )
1 1 1
b) Ta có : ( a+b+c)  + + ÷ - 9
a

c

b

a a b
b c c
+ + +1+ + + +1− 9
b c a
c a b
a b
 b c
 a c


=  + − 2 ÷+  + − 2 ÷+  + − 2 ÷
b a
 c b
 c a

= 1+

a − b)
= (

2

( b − c)
+

2

( c − a)
+

2

≥ 0 ( với a, b ,c > 0)
ca
1 1 1
Do đó: ( a+b+c)  + + ÷ ≥ 9 với a, b, c > 0.
a b c
ab

bc

2. Ví dụ 2 : Chứng minh rằng : (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) ≥ -1
Giải: Xét hiệu: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-(-1) = (x2 – 5x + 4)(x2 – 5x + 6) +1
Đặt : x2 – 5x + 5 = y, ta có: ( y – 1)(y + 1) + 1 = y2 ≥ 0
Vậy (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) ≥ -1
II. Phương pháp dùng các phép biến đổi tương đương.
A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A ≥ B, ta dùng các tính chất của bất đẳng thức, biến đổi tương
đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết là đúng.
A ≥ B ⇔ A1 ≥ B1 ⇔ ….. ⇔ (*). Mà (*) đúng thì A ≥ B.
B. Ví dụ:
1 . Ví dụ 1: Chứng minh các bất đẳng thức
a) a + b ≥ a + b
Giải:

1

1

4

b) x + y ≥ x + y ( x, y > 0)

a) Ta có : a + b ≥ a + b ⇔

( a + b)

2

≥ ( a+b )

2

⇔ a2 + 2 a . b +b2 ≥ a2 + 2ab + b2
NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI

5


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN
⇔ a . b ≥ ab ⇔ ab ≥ ab ( bất đẳng thức đúng )

Vậy : a + b ≥ a + b

b) Vì x, y > 0 nên xy(x+y) > 0 . Do đó:

1 1
4
x+ y
4
+ ≥
⇔
≥
x y x+ y
xy
x+ y
2
⇔ (x + y) ≥ 4xy ⇔ ( x – y )2 – 4xy ≥ 0
⇔ ( x – y)2 ≥ 0 bất đẳng thức đúng.

1 1
4
Vậy : x + y ≥ x + y với x, y > 0

2. Ví dụ 2 : Cho các số dương a và b thoả mãn điều kiện a + b =1.
 1  1 
Chứng minh rằng : 1 + ÷1 + ÷ ≥ 9

 a  b 
 1  1 
Giải: Ta có : 1 + ÷1 + ÷ ≥ 9 (1)
 a  b 
a +1 b +1
⇔
.
≥ 9 ⇔ ab + a + b + 1 ≥ 9ab ( vì ab ≥ 0)
a
b
⇔ a + b + 1 ≥ 8ab ⇔ 2 ≥ 8ab ( vì a + b = 1 )
⇔ 1 ≥ 4ab ⇔ (a + b)2 ≥ 4ab ( vì a + b = 1 )
⇔ (a – b )2 ≥ 0 (2)

Bất đẳng thức (2) đúng, mà các phép biến đổi trên tương đương. Vậy bất đẳng thức
(1) được chứng minh.
C. Chú ý: Khi sử dụng phép biến đổi tương đương cần chú ý các biến đổi tương
đương có điều kiện, chẳng hạn:
a2 ≥ b2 ⇔ a ≥ b với a, b > 0
m > n ⇔ am > an với m, n nguyên dương , a > 1
Cần chỉ rõ các điều kiện ấy khi biến đổi tương đương.
III. Phương pháp dùng tính chất của bất đẳng thức.

A. Kiến thức cần nhớ:
Để chứng minh A ≥ B ta có thể dùng các tính chất của bất đẳng thức (xem phần
II, chương I)
B. Ví dụ:
1. Ví dụ 1 : Cho a + b > 1. Chứng minh rằng a4 + b4 >

1
8

Giải:
Ta có : a + b > 1 > 0
Bình phương hai vế : (a + b)2 > 1 ⇒ a2 + 2ab + b2 > 1
Mặt khác:
(a – b)2 ≥ 0 ⇒ a2 - 2ab + b2 ≥ 0
Cộng từng vế của (2) và (3) được :
2(a2 + b2) >1
a2 + b2 >

Suy ra :

Bình phương hai vế của (4) : a4 + 2a2b2 + b4 >
Mặt khác (a2 – b2)2 ≥ 0 ⇒ a4 - 2a2b2 + b4 ≥ 0
Cộng từng vế của (5) và (6) ta có : 2(a4 + b4) >
Suy ra : a4 + b4 >

1
4

1
2

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

1
4

1
8

NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI

6


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN

2. Ví dụ 2 : Chứng minh bất đẳng thức :

a2 b2 c 2 c b a
+ +
≥ + +
b2 c 2 a 2 b a c

Giải: Ta có : (x – y)2 ≥ 0 ⇒ x2 + y2 ≥ 2xy. Dấu “ = ” xảy ra ⇔ x = y
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

a 2 b2
a b
a
+ 2 ≥2 . =2
2
b c
b c
c

tương tự :

c
b2 c2
b c
b ⇒ a2 c2
+
≥
2
.
=
2.
+ 2 ≥2
2
2
2
c
a
c a
a
b

a
b

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên :
 a2 b2 c2 
 c b a  a 2 b2 c 2 c b a
2  2 + 2 + 2 ÷≥ 2  + + ÷ ⇒ 2 + 2 + 2 ≥ + +
⇒ (đpcm)
c
a 
a
b a c
b a c  b c
b
IV. Phương pháp làm trội :
A. Kiến thức cần nhớ:Để chứng minh A ≥ B nhiều khi ta phải chứng minh A ≥ C
với C ≥ B, từ đó ta có : A ≥ B, hoặc chứng minh D ≥ B với D ≤ A, từ đó ta có : A ≥
B
B. Ví dụ :
1. Ví dụ 1 : Chứng minh rằng :
1
1
1
1 1
+
+
+ ... +
>
với n ∈ N , n > 1
n +1 n + 2 n + 3

2n 2
1
1
1
=
Giải : Ta có : >
( vì 2n > n+1)
n n + n 2n
1
1
>
Tương tự :
n + 2 2n

…………
1
1
≥
2n 2n

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có:
1
1
1
1
1
1
1
1 1
+

+
+ ... +
+
>
+
+ ... +
= (đpcm)
n +1 n + 2 n + 3
2n − 1 2 n 2 n 2 n
2n 2
2. Ví dụ 2 : Chứng minh rằng :
1 1
1
n
+ 2 + ... + 2 >
( với n∈ N , n ≥ 1)
2
2 3
n
n +1
1 1
1
1
1
1
1
Giải
:
Ta có 1 + 22 + 32 + ... + n 2 > 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1)
1 1 1 1 1 1

1
1
1
n
= − + − + − + ... + −
= 1−
=
⇒ đpcm
1 2 2 3 3 4
n n +1
n +1 n +1
1+

=

V. Phương pháp phản chứng.
A.Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A ≥ B, ta giả sử A < B, từ đó lập luận để dẫn đến điều vơ lí.
Như vậy, ta đã dùng phương pháp phản chứng.
B.Ví dụ :
1.Ví dụ 1 : Cho a2+ b2 ≤ 2. Chứng minh rằng a+b ≤ 2
Giải: Giả sử a + b > 2, bình phương hai vế( hai vế đều dương), ta được:
a2 + 2ab + b2 > 4
(1)
2
2 ⇒ 2
2
2
2
Mặt khác ta có : 2ab ≤ a + b

a + b + 2ab ≤ 2(a + b )
Mà 2(a2 + b2) ≤ 4 (giả thiết), do đó : a2 + 2ab + b2 ≤ 4
(2)
NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI

7


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN

Mâu thuẩn với (1) . Vậy phải có : a + b ≤ 2
2. Ví dụ 2 : Chứng tỏ rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng:
a2 + 2bc ≥ 0, b2 + 2ac ≥ 0, c2 + 2ab ≥ 0
Giải: Giả sử các bất đẳng thức trên đều sai.
Thế thì, ta có : a2 + 2bc < 0, b2 + 2bc < 0, c2 + 2ab < 0
Suy ra : a2 + 2bc + b2 + 2ac + c2 + 2ab < 0
⇔ (a + b +c)2 < 0 ( vơ lí )
Do vậy điều giả sử các bất đẳng thức a 2 + 2bc ≥ 0, b2 + 2ac ≥ 0, c2 + 2ab ≥ 0
đều sai là khơng đúng.
Vậy phải có ít nhất một trong các bất đẳng thức trên là đúng (đpcm).
VI. Phương pháp vận dụng các bất đẳng thức cơ bản về phân số
A. Kiến thức cơ bản
Một số bài toán bất đẳng thức có dạng phân thức thường vận dụng các bài tốn
cơ bản về phân số. Ta có bài tốn cơ bản sau đây:
B.Ví dụ :
1.Ví dụ 1 : Với a, b, c > 0. Chứng minh rằng ;
a) Nếu a < b thì
Giải

a a+c

<
b b+c

b) Nếu a ≥ b thì

a) Nếu a < b thì ac < bc (c > 0)

⇒ ab + ac < ab + bc ⇒ a(b+c) < b(a+c) ⇒

a a+c
≥
b b+c

a a+c
<
b b+c

b) Chứng minh tương tự.
2.Ví dụ 2 : Với x, y, z > 0 . Chứng minh rằng:
1

4

1

a) xy ≥ ( x + y )2

1

4

b) x + y ≥ x + y
1

4

Giải: a) (x – y)2 ≥ 0 ⇒ (x-y)2 + 4xy ≥ 4xy ⇒ (x + y)2 ≥ 4xy ⇒ xy ≥ ( x + y) 2
b) Từ (a) ta có : ( x + y)2 ≥ 4xy ⇒

x+ y
4
1 1
4
≥
⇒ + ≥
xy
x+ y
x y x+ y

3.Ví dụ 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng :

a
b
c
+
+
<2
b+c c+a a +b

Giải:Ta có vì a, b, c là ba cạnh của tam giác nên a < b + c

a
a+a
a
2a
<
<
hay
(1)
b+c a+b+c
b+c a+b+c
b
2b
<
Tương tự ta có:
(2)
c+a a+b+c
c
2c
<
(3)
a+b a+b+c
a
b
c
2(a + b + c)
+
+
<

=2
Từ (1), (2), (3) ta có :
b+c c+a a +b
a+b+c
1
1
1
4.Ví dụ 4: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: 4a 2 + 4b 2 + 8ab ≥ (a + b)2

Theo bài tốn 1a) ta có :

Giải:

Vì a, b > 0 nên 4a2 + 4b2 > 0 và 8ab > 0

NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI

8


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN
1

1

4

4

1

Theo ví dụ 2b) ta có : 4a 2 + 4b2 + 8ab ≥ 4a 2 + 4b 2 + 8ab = 4(a + b)2 = (a + b)2 ⇒
(đpcm)
5.Ví dụ 5 :
1

1

1

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = ( x+y+z)  + + ÷ Với x,y,z >0
x y z



a
b+c
b
a+c
c
a+b
+
+
+
+
+
(a,b,c>0)
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của: B =
b+c
a

a+c
b
a+b
c
1 1 1
 x y x z  y z 
Giải: a) Ta có : A = ( x+y+z)  + + ÷ = 3 +  + ÷+  + ÷+  + ÷
x y z
 y x z z  z y
x y
Nhận thấy: y + x ≥ 2 ( với x,y >0 ) dấu bằng xảy ra khi x=y
 x y x z  y z
Tương tự ta có:  + ÷+  + ÷+  + ÷ ≥ 6
 y x z z  z y
⇒ A ≥ 9 Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 9 khi x=y=z

[1]

2)
a
b+c
b
a+c
c
a+b
a
b
c  b+c c +a a +b 
+
+

+
+
+
=(
+
+
+
+
÷+ 
÷
b+c
a
a+c
b
a+b
c
b+c a+c a+b   a
b
c 
b+c c+a a +b
a b a c  b c
+
+
Lại có:
=  + ÷+  + ÷+  + ÷ ≥ 6
a
b
c
b a c a c b
B=

(Tương tự câu a)
a

b a

c  b

c

Nên  + ÷+  + ÷+  + ÷ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 6 khi a=b=c (1)
b a c a c b
*Xét E =

a
b
c
+
+
b+c a+c a +b

Đặt x = a+b; y = b+c; z = c+a ( x,y,z >0)
1

1

1

Áp dung ( câu a ) ( x+y+z)  + + ÷ ≥ 9
x y z



a+b+c a+b+c a+b+c 9
a
b
c
9
+
+
≥
⇒
+1+
+1+
+1 ≥
Ta được: ⇒
b+c
c+a
a+b
2
b+c
a+c
a+b
2
a
b
c
3
⇒
+

+
≥
b+c a+c a+b 2
a
b
c
3
+
+
Nên E =
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
b+c a+c a +b
2
⇒
khi a+b = b+c = c+a
a=b=c (2)
a
b+c
b
a+c
c
a +b
+
+
+
+
+
Từ (1) và (2) ta có : B =
b+c
a

a+c
b
a+b
c
 a
 b +c c +a a +b  3
b
c
+
+
+
+
=
÷+ 
÷≥ + 6
b
c  2
 b+c a+c a+b   a
15
Vậy B đạt giá trị nhỏ nhất bằng
khi a=b=c
2
1
1
1
3
+
+
≥
6. Ví dụ 6 : Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng :

2a + b 2b + c 2c + a a + b + c
⇒
Giải: Ta có vì a, b, c > 0
2a + b > 0; 2b + c > 0; 2c + a > 0
NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI

9


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN
1

1

1

9

Áp dụng bất đẳng thức: x + y + z ≥ x + y + z ta có:
1
1
1
9
9
3
+
+
≥
=
=

⇒ (đpcm)
2a + b 2b + c 2c + a 2a + b + 2b + c + 2c + a 3(a + b + c) a + b + c

VII. Phương pháp vận dụng các bài toán về giá trị tuyệt đối.
A. Kiến thức cần nhớ:
Đối với một số bài tốn bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể vận
dụng các bài tốn về bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt dối sau:
Bài toán 1 : Chứng minh rằng :
a) a + b ≥ a + b .Dấu “ = ” xảy ra ⇔ ab ≥ 0
b) a − b ≤ a − b .Dấu “ = ” xảy ra ⇔ b(a-b) ≥ 0
Bài toán 2: Chứng minh rằng nếu x, y khác 0 thì.
x
y
x y
+ ≥ + ≥ 2 .Dấu “ = ” xảy ra ⇔
y x
y x

x = ±y

Từ đó suy ra nếu m, n > 0 thì ta có:
m n
1
1) + ≥ 2
2) m + ≥ 2
m
n m
Dùng phương pháp biến đổi tương đương ta dễ dàng chứng minh được các bài
toán trên. Khi cần dùng đến các bài toán này, ta phải chứng minh rổi mới vận
dụng.

B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1: Chứng minh rằng: x + y + z ≤ x + y + z
Giải : Từ bài tốn 1a) ta có : x + y + z ≤ x + y + z ≤ x + y + z
Chú ý : Từ kết quả trên ta có bài toán tổng quát sau:
Chứng minh rằng: a1 + a2 + a3 + ... + an −1 + an ≤ a1 + a2 + a3 + ... + an −1 + an
2. Ví dụ 2 : Cho a, b ≠ 0. Chứng minh rằng
a 2 b2
a b
+ 2 − 3  + ÷+ 4 ≥ 0
2
b
a
b a
a b
Giải: Đặt x = + , ta có : x ≥ 2 ( theo bài tốn 2 ) Ta có :
b a
2
2
2
 a 2 b2
 a b
a b
a b
a b
a b
+ 2 − 3  + ÷+ 4 =  2 + 2 + 2 ÷− 3  + ÷+ 2 =  + ÷ − 3  + ÷+ 2
2
b
a
a

b a
b a
b a
b
 b a
= x 2 − 3 x + 2 = x 2 − 2 x − x + 2 = x ( x − 2 ) − ( x − 2 ) = ( x − 2 ) ( x − 1) ≥ 0
 x ≤ −2

⇒ (x-2) và (x-1) cùng dấu
Vì x ≥ 2 ⇔ 
 x ≥ −2
a 2 b2
a b
+ 2 − 3  + ÷+ 4 ≥ 0
2
b
a
b a
3. Ví dụ 3 : Cho a ≤ 1, a − c ≤ 2004, b − 1 ≤ 2005 . Chứng minh rằng: ab − c ≤ 4009
Giải: Vì : a ≤ 1, b − 1 ≤ 2005 ⇒ a . b − 1 ≤ 1.2005 ⇒ ab − a ≤ 2005 mà a − c ≤ 2004
⇒ ( x − 2 ) ( x − 1) ≥ 0 . Do đó:

Suy ra : ab − a + a − c ≤ 4009

NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI

10


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN

Theo bài tốn 1, ta có : ab − a = ( ab − c ) + ( a − c ) ≤ ab − a + a − c
Vậy : ab − c ≤ 4009
VIII. Phương pháp vận dụng bất đẳng thức liên hệ giữa tổng bình phương,
bình phương của tổng, tích hai số.
A. Kiến thức cần nhớ:
Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể vận dụng các bất đẳng thức
liên hệ giữa tổng bình phương, bình phương của tổng, tích hai số:
1) 2(x2+y2) ≥ (x+y)2 ≥ 4xy
2) 3(x2+y2+z2) ≥ (x+y+z)2 ≥ 3(xy+yz+xz)
Chú ý: Khi cần dùng đến các bài toán này, ta phải chứng minh rồi mới vận
dụng.
B. Ví dụ:
1. Ví dụ 1: Cho x, y > 0 thoả mãn x + y ≥ 1. Chứng minh rằng: x4+y4 ≥
Giải:

1
8

Áp dụng bài tốn 1 ta có :
2

( x + y) 2 


2
2 2
⇒
2
x

+
y
(
)


1 (đpcm)

4
4
x +y ≥
≥
≥
2
2
8
4
4
4
2. Ví dụ 2 : Chứng minh rằng: a + b + c ≥ abc ( a + b + c )

Giải : Áp dụng bài tốn 2 ta có :
a 4 + b 4 + c 4 ≥ a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ ( ab ) ( bc ) + ( bc ) ( ca ) + ( ab ) ( ca )
⇒ a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc ( a + b + c )
IX. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức riêng.
A. Kiến thức cần nhớ - phương pháp.
Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức đưa được về dạng X ≥ Y, trong đó X
= A1A2….An và Y = B1B2…Bn hoặc X = A1+A2+…+An và Y =B1+B2+…+Bn với
Ai, Bi (i = 1, n ) là đa thức, phân thức mà các biểu thức A i, Bi có cùng chung quy
luật. Dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức riêng A1 ≥ B1 , từ đó suy ra Ai ≥ Bi

B. Ví dụ:
a2 b2 c2
1.Ví dụ 1 : Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng:
+ + ≥ a+b+c
b
c a
Giải:

Ta chứng minh bất đẳng thức riêng :

a2
≥ 2a − b ⇔ a 2 ≥ 2ab − b 2 ( vì b>0)
b
2
⇔ ( a − b ) ≥ 0 bất đẳng thức ln đúng

Ta có :

Do đó ta có :

a2
≥ 2a − b
b

a2
≥ 2a − b
b
⇔ a 2 − 2ab + b 2 ≥ 0

Tương tự ta có :

b2
c2
≥ 2b − c ;
≥ 2c − a
c
a

a 2 b2 c 2
Suy ra :
+ + ≥ 2a − b + 2b − c + 2c − a = a + b + c
b
c a
NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI

11


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN

a 2 b2 c 2
Vậy :
+ + ≥ a + b + c ⇒ (đpcm)
b
c a
2. Ví dụ 2 : Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng:
a3
b3
c3
a+b+c

+
+
≥
2
2
2
2
2
2
a + b + ab b + c + bc c + a + ca
3

Giải: Chứng minh bất đẳng thức riêng :
Ta có (1)

a3
2a − b
≥
2
2
a + b + ab
3

(1)

⇔ 3a 3 ≥ ( 2a − b ) ( a 2 + b 2 + ab ) ⇔ 3a 3 ≥ 2a 3 + 2ab 2 + 2a 2b − a 2b − b3 − ab 2
⇔ a 3 + b3 − a 2b − ab 2 ≥ 0 ⇔ ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) − ab ( a + b ) ≥ 0
⇔ ( a + b ) ( a − b ) ≥ 0 , bất đẳng thức luôn đúng
2

a3
2a − b
≥
2
2
a + b + ab
3
3
b
2b − c
≥
2
2
b + c + bc
3
3
c
2c − a
≥
2
2
c + a + ca
3

Do đó ta có :
Tương tự ta có :

(1)
(2)
(3)

Từ (1), (2), (3) ta có đpcm.

3. Ví dụ 2 : Cho các số a, b, c > 0 và a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng:
1
1
1
+ 2
+ 2
≥9
a + 2bc b + 2ac c + 2ab

[2]

2

(Trích đề thi hsg toán 8 huyện Quảng Xương năm học 2017-2018)
Giải: Đặt x = a2+ 2bc ; y = b2 + 2ac và z = c2 + 2ab
Ta có : x + y + z = (a+b+c)2 ≤ 1
1

1

x

y

y

z



Xét: A = ( x+y+z)  + + ÷ = 3 +  + ÷+  + ÷+  + ÷
x y z
y x
z z
z y
1

x

z

 



 

x y
Áp dụng bđt phụ: y + x ≥ 2 ( với x,y >0 ) dấu bằng xảy ra khi x=y
 x y x z  y z
Tương tự ta có:  + ÷+  + ÷+  + ÷ ≥ 6
 y x z z  z y
1
Suy ra: A ≥ 3+6 =9. Dấu bằng xảy ra khi: x = y = z =
3

X. Phương pháp xét từng khoảng giá trị của biến.

A. Kiến thức cần nhớ:
Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức nhiều khi việc xét từng khoảng giá trị
của biến giúp ta tìm được lời giải dễ dàng hơn.
B. Ví dụ:
1.Ví dụ 1: Chứng minh rằng : x8 - x7 + x2 - x + 1>0
Giải : Gọi A là vế trái của bất đẳng thức :
Cách 1 : - Nếu x ≥ 1 thì ta viết A dưới dạng: x7(x-1)+x2(x-1)+1
Do x ≥ 1 nên A > 0
- Nếu x < 1 thì viết A dưới dạng : x8 + x2(1-x5) + (1 - x)
NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI

12


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN

Do x< 1 nên 1 – x5 >0, do đó : A > 0
Cách 2: A = x7(x-1)- (x-1) + x2 = (x-1)(x7 - 1) +x2
- Nếu x ≥ 1 thì x7 ≥ 1, do đó (x-1)(x7-1) ≥ 0, cịn x2 >0 nên A > 0
- Nếu x < 1 thì x7 < 1, do đó (x-1)(x7-1) > 0, cịn x2≥ 0 nên A >0
2. Ví dụ 2 : Cho ba số a, b, c thoả mãn : a + b + c ≥ abc
Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 ≥ abc
Giải : Xét hai trường hợp:
1) a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ 1 . Ta có a2 + b2 + c2 ≥ a + b + c ≥ abc
2) Trong ba số a , b , c có ít nhất một số nhỏ hơn 1. Khơng mất tính tổng quát, giả
sử c <1 Ta có : a2 + b2 + c2 ≥ a2 + b2 ≥ 2 ab ≥ abc ≥ abc
XI. Phương pháp đổi biến
A. Kiến thức cần nhớ.
Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức ta có thể đổi biến rồi từ đó dẫn về bài
tốn quen thuộc đã biết cách giải.

Chú ý : Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức dạng:
A
A1 A2
+
+ ... + n ≥ α (α là hằng số , A1, A2, …., An, B1, B2,…, Bn là các đa thức nhiều
B1 B2
Bn

biến và cùng bậc), ta có thể chọn cách đổi biến m1=B1, m2=B2, m3 = B3…mn = Bn,
rồi biểu diễn A1, A2, …An theo m1, m2,…, mn sẽ đưa về bài toán quen thuộc sau:
Chứng minh rằng nếu x, y > 0 thì

x y
+ ≥2
y x

B. Ví dụ:
1. Ví dụ 1 : Chứng minh rằng (x + 2003)4 + (x+2005)4 ≥ 2
Giải : Đặt x + 2004 = y ta có:
(x + 2003)4 + (x+2005)4 = (y - 1)4 + (y + 1)4
= y4 - 4y3 + 6y2 - 4y + 1 + y4 + 4y3 + 6y2 + 4y + 1= 2y4 + 12y2 + 2 ≥ 2
Chú ý : Ta có thể chứng minh tổng quát : (x = a)4 + (x + b)4 ≥
đặt : x = a +

b+c
2

2
2
2

2. Ví dụ 2 : Cho a + b + c =1. Chứng minh rằng : a + b + c ≥

( a − b) 4
bằng cách
8

1
3

1
1
1
Đặt : a = + x, b = + y, c = + z
3
3
3
Do : a + b + c =1 nên x + y + z = 0 ta có:
Giải :

2

2

2

1 2
1 2
1
 1
 1

 1 2
a + b + c =  + x ÷ +  + y ÷ +  + z ÷ = + x + x2 + + y + y2 + + z + z 2
9 3
9 3
3
 3
 3
 9 3
1 2
1
1
= + ( x + y + z ) + x2 + y2 + z2 = + x2 + y 2 + z 2 ≥
3 3
3
3
2

2

2

Dấu “ = ” xảy ra ⇔ x = y = z = 0 ⇔ a = b = c =

1
3

NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI

13

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN

3.Ví dụ3 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
a
b
c
+
+
≥3
b +c −a a +c −b a +b −c

Giải: Đặt : x = b + c – a, y = a + c – b, z = a + b – c
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên : x, y, z > 0
Suy ra: a =

y+z
x+z
x+ y
,b =
,c =
2
2
2

Do đó ta có :
 y z
 x z
y+z x+z x+ y 1  x y


+
+
=  6 +  + − 2 ÷+  + − 2 ÷+  + − 2 ÷
2x
2y
2z
2  y x

 z y
 z x
2
2
2
y − z)
z − x)  1
(
(
1  ( x − y)
≥ 6 +
+
+
 ≥ .6 = 3
2 
xy
yz
zx  2

XII. Phương pháp sắp thứ tự các biến.
A. Kiến thức cần nhớ.
- Một số bài toán bất đẳng thức mà trong đó giả thiết và bất đẳng thức cần chứng

minh khơng thay đổi vai trị các biến. Chúng ta có thể sắp xếp các biến để phát hiện
thêm tính chất của biến, giúp tìm đến lời giải dễ dàng hơn.
Lưu ý rằng:
1) Các biến tham gia trong bài toán nếu hốn vị vịng quanh mà giả thiết và bất
đẳng thức cần chứng minh khơng thay đổi thì có thể xem một biến nào đó là
lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
2) Các biến tham gia trong bài tốn có vai trị như nhau, nghĩa là nếu hoán vị
tuỳ ý mà giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh khơng đổi thì có thể sắp
xếp trật tự các biến ( theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần)
B. Ví dụ:
Ví dụ: Cho a, b, c thoả mãn : 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Chứng minh rằng :
a
b
c
+
+
≤2
bc + 1 ca + 1 ab + 1

Giải:Vai trò của a, b, c như nhau, khơng mất tính tổng qt, giả sử :
0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1 Ta có ab + 1 ≤ ac + 1, ab + 1 ≤ bc +1
a
b
c
a
b
c
+
+
≤

+
+
Dođó: bc + 1 ca + 1 ab + 1 ab + 1 ab + 1 ab + 1
a
b
c
a +b+c
+
+
≤
bc + 1 ca + 1 ab + 1
ab + 1

⇒

(1)

Ta có : (1-a)(1-b) ≥ 0
⇒ a + b ≤ ab + 1 ≤ 2ab + 1. Do c ≤ 1 nên a + b + c ≤ 2ab + 1 + 1 ≤ 2(ab + 1)
Do đó :

a + b + c 2(ab + 1)
≤
=2
ab + 1
ab + 1

Từ (1) và (2) suy ra :

(2)

a
b
c
+
+
≤ 2 ⇒ đpcm
bc + 1 ca + 1 ab + 1

XIII. Phương pháp quy nạp tốn học.

NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI

14


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN

A. Kiến thức cần nhớ
Một số bài toán bất đẳng thức cần chứng minh đúng với mọi n ≥ 1 ( n ∈ N) ta có
thể vận dụng phương pháp qui nạp tốn học
Các bước chứng minh theo phương pháp qui nạp :
1. Kiểm tra bất đẳng thức đúng khi n = 1
2. Giả sử bất đẳng thức đúng khi n = k . Chứng minh bất đẳng thức đúng khi n
= k+1
3. Kết luận bất đẳng thức đúng với mọi n nguyên dương.
B. Ví dụ :
1. Ví dụ 1 : Chứng minh rằng 2n+2 > 2n + 5 với mọi n nguyên dương.
Giải: Với n = 1 ta có : 21+2 > 2.1 + 5 ⇔ 8 > 7 bất đẳng thức đúng.
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là 2 k + 2 > 2k + 5, ta cần chứng minh bất

đẳng thức đúng khi n = k + 1 .
Ta có : 2(k+1)+2 = 2k + 3 = 2.2k + 2 > 2.(2k+5) = 4k + 10 > 2k + 2 +4 = 2( k+1) +5
Vậy bất đẳng thức : 2n+2 > 2n + 5 đúng với mọi n nguyên dương.
2. Ví dụ 2 : Cho a, b > 0 . Chứng minh rằng :
n

a n + bn
 a +b 
với mọi n nguyên dương.

÷ ≤
2
 2 
1
1
1
 a+b a +b
≤
Giải: Với n = 1 ta có 
hiển nhiên đúng.
÷
2
 2 
k

ak + bk
 a +b
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là: 
÷ ≤
2

 2 

Ta có :
k +1

 a +b

÷
 2 

k
k
k
a +b a +b
a + b a k + b k a k +1 + ab k + a k b + b k +1 a k +1 + b k +1 ( a − b ) ( a − b )
=
.
=
=
−

÷ ≤
2  2 
2
2
4
2
4

Mà : (a - b) và (ak - bk) cùng dấu nên (a - b).(ak - bk) ≥ 0

k +1

 a +b 
Do đó: 
÷
 2 

n

a k +1 + b k +1
a n + bn
 a +b 
≤
Vậy bất đẳng thức 
đúng với mọi n
÷ ≤
2
2
 2 

nguyên dương.
XIV. Phương pháp phân tích số hạng.
A. Kiến thức cần nhớ.
Một số bài toán bất đẳng thức mà ta có thể đưa về bất đẳng thức mà một hoặc hai
vế có dạng : f(1) + f(2) + ….+ f(n), khi đó ta có thể dùng phương pháp sai phân
hữư hạn: Ta tìm hàm F(k) thoả mãn hệ thức F(k+1) – F(k) = f(k). Từ đó dễ dàng
thấy rằng:
f(1) + f(2) + ….+ f(n) = F(2) – F(1) + F(3) – F(2) +…+F(n+1)-F(n) = F(n+1) – F(1)
từ đó giúp ta giải dễ dàng hơn.
B. Ví dụ :

1

1

1

1. Ví dụ 1 : Chứng minh rằng : 1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) < 1

NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI

15


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN

Giải : Các số hạng của tổng ở vế trái bất đẳng thức cần chứng minh đều có dạng :
1
1
(k + 1) − k 1
1
=
= −
.
Ta
có
:
k (k + 1)
k ( k + 1)
k (k + 1)
k k +1

1
1
1
1 1 1 1
1
1
1
Do đó : 1.2 + 2.3 + ... + n( n + 1) = 1 − 2 + 2 − 3 + ... + n − n + 1 = 1 − n + 1 < 1 ⇒ đpcm

3 5
7
2. Ví dụ 2 : Chứng minh rằng : 4 + 36 + 144 + ... +

2n + 1
n ( n + 1)
2

2

<1

Giải: Các số hạng của tổng ở vế trái bất đẳng thức cần chứng minh đều có dạng:
2k + 1
ta có:
k (k + 1) 2
2

Do đó:

2k + 1

1
1
= 2−
2
k (k + 1)
k
(k + 1) 2
2

3 5
7
2n + 1
+ +
+ ... + 2
=
2
4 36 144
n ( n + 1)
1 1 1 1
1
1
1
− 2 + 2 − 2 + ... + 2 −
= 1−
<1
2
2
1 2 2 3
n ( n + 1)
( n + 1) 2

CHƯƠNG III: MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH LỚP 8
KHI GIẢI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.
I) Những sai lầm thường gặp .
1) Trừ từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều.
a > b và c > d ⇒ a – c > b – d
2) Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà khơng có giả thiết các vế không
âm:
a > b và c > d ⇒ ac > bd
3) Bình phương hai vế của bất đẳng thức mà khơng có giả thiết hai vế khơng âm :
a > b ⇒ a2 > b2
4) Khử mẫu khi chưa biết dấu của biểu thức dưới mẫu.
a
> c ⇒ a > b.c
b

5) Nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức khi chưa có giả thiết hai vế cùng
dấu.

1
a

a>b⇒ <

1
b

6) Thừa nhận xm > xn với m, n nguyên dương mà m > n khi chưa biết điều kiện của
x.
Ngoài những sai lầm thường gặp trên, qua dạy học chứng minh bất đẳng thức cho

học sinh lớp 8 THCS ta còn gặp nhiều những sai lầm khác, chẳng hạn:
- Các sai lầm về chiến lược: đưa ra các kết luận sai, q trình giải khơng trọn vẹn.
- Các sai lầm về hình thức.
- Các sai lầm về cơng thức : vận dụng sai các cơng thức tốn học, các hằng đẳng
thức đáng nhớ.
- Các sai lầm về khái niệm: khơng hiểu chính xác các liên từ “ khi”, “ chỉ khi”.
- Các sai lầm về ký hiệu : “ ⇔”; “⇒”; “{ ” ; “[”,...
- Các sai lầm về tính tốn.
….
NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI

16


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN

II) Những ngun nhân dẫn đến những sai lầm của học sinh khi giải toán
chứng minh bất đẳng thức.
1) Cịn một số em học tốn kém.
2) Học sinh chưa nắm vững các định nghĩa, các khái niệm, các tính chất của bất
đẳng thức, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức, kinh nghiệm giải
các bài tốn chứng minh bất đẳng thức cịn ít.
3) Học sinh chưa đọc kỹ đề bài, chưa hiểu rõ bài toán đã vội lao vào làm ngay.
4) Những thiếu sót của học sinh chung quy lại là do lỗi của người thầy trong
phương pháp dạy học của mình, giáo viên cịn chủ quan, chưa đào sâu kiến
thức cơ bản, chưa hệ thống cho mình được các phương pháp và kinh nghiệm
giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức.
CHƯƠNG IV: MỘT SỐ GIẢI PHÁP DẠY HỌC CHỨNG MINH BẤT
ĐẲNG THỨC NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG HỌC TẬP MƠN
TỐN CHO HỌC SINH LỚP 8 .

a. Về nhận thức, tư tưởng .
Việc nâng cao chất lượng trí dục cho học sinh nói chung, việc nâng cao chất
lượng học tập bộ mơn Tốn nói riêng và nhất là việc phát hiện, bồi dưỡng học
sinh khá giỏi Toán là vấn đề cấp bách, là việc làm thường xuyên và liên tục.
Lớp học sinh hôm nay chính là những chủ nhân trong tương lai. Nếu các em
khơng được chăm sóc, bồi dưỡng để nâng cao chất lượng học tập bộ mơn thì sẽ
là một thiệt thịi lớn cho các em và cho xã hội.
Để đáp ứng được yêu cầu ngày càng cao của xã hội, thì yếu tố người thầy
đóng vai trị then chốt để có những trị giỏi. Đó là người thầy có phẩm chất tốt,
có năng lực sư phạm, năng lực chun mơn. Đó là những người thầy có trách
nhiệm, nhiệt tình, say mê với cơng việc, thương u học sinh. Người thầy phải
có kiến thức sâu rộng, có phương pháp giảng dạy tốt, là người thầy biết động
viên, gây hứng thú say mê học tập cho học sinh, người thầy biết đánh thức tiềm
năng đang tiềm ẩn trong trò.
Bất đẳng thức là một trong những nội dung thường gặp trong các đề thi ở lớp 8,
lớp 9, và thi vào lớp 10 THPT, có rất nhiều ứng dụng trong giải nhiều dạng, loại
tốn khác nhau, mà số tiết dạy ở lớp 8 theo phân phối chương trình lại chỉ có 3
tiết. Nếu người thầy không tổ chức hướng dẫn các em đầu tư thêm về thời gian,
đưa ra những biện pháp bồi dưỡng thích hợp thì sẽ rất khó cho học sinh trong
việc nắm bắt và làm được dạng tốn này.
b. Cơng tác tổ chức, cơ sở vật chất kỹ thuật phục vụ cho dạy học.
b.1)Tổ chức lớp học bồi dưỡng:
Việc các em học chính khố là quan trọng, xong việc tổ chức ngoại khố là
cần thiết vì rằng ở lớp có nhiều đối tượng học sinh mà đa số các em có học lực
trung bình, một số cịn yếu, số khá giỏi ít. Nếu giáo viên mở rộng quá hoặc đưa
ra các bài tốn khó thì sẽ làm đa số các em ngày càng chán học. Vì vậy ngồi
học chương trình đại trà, cần có thêm thời gian bồi dưỡng chuyên đề “ Chứng
minh bất đẳng thức ”, và trong quá trình dạy học các chuyên đề khác hoặc ôn
tập, giáo viên ln có ý thức xen kẽ thời gian đưa ra các dạng tốn, các bài tốn
NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI

17


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN

chứng minh bất đẳng thức để học sinh luyện tập, rèn luyện kỹ năng giải toán,
nắm vững các phương pháp chứng minh.
b.2) Cơ sở vật chất kỹ thuật phục vụ dạy và học
a) Phòng học: lên kế hoạch bố trí phịng học ổn định, bảo đảm các lớp được học
bồi dưỡng đều đặn.
b) Sưu tầm, in ấn tài liệu: xây dựng thành các tư liệu riêng dành cho bồi dưỡng
học sinh khá giỏi, soạn thành bài soạn riêng từ đó hướng dẫn học sinh học tập.
b.3) Đổi mới phương pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức.
Trong quá trình dạy học chủ đề chứng minh bất đẳng thức thực hiện tốt một số
biện pháp sau:
- Tổ chức dạy học qua giờ học phân hoá: Dựa trên các trình độ giỏi, khá, trung
bình, yếu mà giáo viên giao cho học sinh làm những nhiệm vụ tương ứng vừa
sức với đối tượng học sinh.
- Giao bài tập cá biệt: Căn cứ vào nội dung kiến thức của bài, căn cứ vào đặc
điểm của học sinh để giao bài tập, yêu cầu học sinh thực hiện những tình
huống cụ thể trong bài tập.
- Chủ đề “ Chứng minh bất đẳng thức “ là một trong các chủ đề mơn Tốn 8,
giáo viên đưa cho các em tự chọn. Xây dựng thành các chủ đề phương pháp
nhỏ để học sinh dễ tiếp cận và nắm được cách giải.
- Tạo cho học sinh thói quen tìm kiếm và phát hiện những dấu hiệu bản chất
của tư duy sáng tạo như: tìm hiểu kỹ giả thiết và kết luận của bài toán.
- Thường xuyên ra đề để các em tự học ở nhà: Đối với bài tốn khó hoặc mới
lạ giáo viên hướng dẫn thêm để các em về nhà tiếp tục suy nghĩ và có thể làm
được. Giáo viên kiểm tra chấm chữa tỉ mỉ để các em có thể rút ra được những

sai lầm có thể mắc phải trong quá trình giải bài tập.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
a. Kết quả đạt được .
Dạy học chứng minh bất đẳng thức là một nội dung không thể thiếu trong công
tác bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn và thi vào lớp 10 THPT. Do đó để học sinh làm
được tốt chủ đề này cần có một tài liệu tham khảo tốt, phù hợp với học sinh, hướng
dẫn học sinh với chủ đề “ Chứng minh bất đẳng thức đại số ” học sinh đã bước đầu
có sự tiến bộ, thể hiện rõ nhất ở một số mặt sau đây:
• Biết phân tích một cách chu đáo để xây dựng được cách giải một bài toán chứng
minh bất đẳng thức .
• Nắm được các phương pháp chứng minh bất đẳng thức, tránh được những sai
lầm thường gặp trong chứng minh bất đẳng thức .
• Nhiều em biết vận dụng linh hoạt các phương pháp trong chứng minh một bất
đẳng thức . Điều quan trọng hơn đó là : suy luận tốn của học sinh có hệ thống,
lơgíc và chặt chẽ, khả năng tư duy, tìm tịi độc lập được phát huy.
• Tạo nền móng vững chắc cho các em tiếp thu kiến thức lớp 9, thuận lợi cho việc
bổ sung và hoàn thiện các phương pháp chứng minh bất đẳng thức, giúp các em
tự tin, giành được kết quả cao trong học tập.
Bảng khảo sát học sinh sau khi nghiên cứu đề tài
NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI

18


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN

SĨ
SỐ

LỚP
Đội tuyển HSG tốn 8

8

MỨC ĐỘ HIỂU BÀI CỦA HỌC SINH
Kiến thức cơ bản Kiến thức nâng cao
SL
%
SL
%
8
100
8
100

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận:
Sau khi thực nghiệm đề tài “ Dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao
chất lượng học tập mơn Tốn cho học sinh lớp 8 ” tại Trường THCS Quảng Thái
thì kết quả cho thấy :
Học sinh biết được càng nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức thì khi
giải các loại bài tập liên quan đến việc chứng minh bất đẳng thức có nhiều hướng
suy nghĩ nên dễ tìm ra cách giải, qua đó cũng phát triển được tư duy và nâng cao
được năng lực sáng tạo.
Bất đẳng thức là một chuyên đề khó , phức tạp, phong phú với nhiều phương pháp
giải nhưng học sinh thường gặp phải khi giải toán.Để học sinh chọn lựa được
phương pháp phù hợp thì cần phải nghiên cứu và đầu tư thời gian nhiều.
Trong phạm vi của đề tài, với khả năng có hạn, chắc chắn đề tài này cịn có những
hạn chế và thiết sót. Rất mong được sự góp ý chân thành của các thầy, cơ giáo để

đề tài hồn thiện và có tác dụng hơn.
3.2. Đề xuất, kiến nghị.
Nhà trường nên tạo điều kiện cho Giáo viên mở lớp bồi dưỡng học sinh khá, giỏi,
phụ đạo cho học sinh yếu để các em có khả năng tìm hiểu sâu kiến thức.
Nên có các chuyên đề tự chọn để giáo viên và học sinh có thể trao đổi các vấn đề
một cách cởi mở, từ đó có thể rút ra các phương pháp phù hợp với từng đối tượng
học sinh.
XÁC NHẬN
CỦA HIỆU TRƯỞNG

Quảng Xương, ngày 11 tháng 4 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.
Người viết

ĐỖ ĐÌNH CHIẾN

NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI

19


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN

MỤC LỤC
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài .
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu

1.5. Những điểm mới của SKKN
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Chương I : Cơ sở lý thuyết của phương pháp chứng minh bất đẳng thức .
I. Định nghĩa bất đẳng thức .
II. Các tính chất của bất đẳng thức .
III. Các hằng bất đẳng thức .
Chương II: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức .
I. Phương pháp dùng định nghĩa bất đẳng thức
II. Phương pháp dùng các phép biến đổi tương đương
III .Phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức
IV. Phương pháp làm trội.
V. Phương pháp phản chứng.
VI. Phương pháp vận dụng các bất đẳng thức cơ bản về phân số.
VII. Phương pháp vận dụng các bài toán cơ bản về giá trị tuyệt đối
VII. Phương pháp vận dụng các bất đẳng thức liên hệ giữa tổng bình
phương.
IX. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức riêng.
X. Phương pháp xét từng khoảng giá trị của biến.
XI. Phương pháp đổi biến
XII. Phương pháp sắp thứ tự các biến
XIII. Phương pháp quy nạp tốn học
XIX. Phương pháp phân tích số hạng
Chương III: Những sai lầm thường gặp của học sinh lớp 8 khi chứng minh
bất đẳng thức .
Chương IV: Một số giải pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng
cao chất lượng học tập mơn Tốn cho học sinh lớp 8
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với

bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận.
3.2. Kiến nghị.

1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
4
5
6
7
5
5
6
7
8
8
10
11

NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI

20

12
13
13
14
15
16
17
18
19
20
20
20


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Đề thi hsg toán 8 huyện Quảng Xương năm học 2015-2016
[2] Đề thi hsg toán 8 huyện Quảng Xương năm học 2017-2018
TT Tài liệu
Nhà xuất bản
1
Sách giáo khoa Toán 8 (tập1)
Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.
2
Sách bài tập Toán 8 (tập1)
Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.

3
Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8
Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.
4
Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8 đại số
Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.
5
Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 8
Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.
6
Nâng cao và phát triển toán 8
Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.
7
Các dạng toán và phương pháp giải toán 8
Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.

NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI

21


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả:
Chức vụ và đơn vị cơng tác:

ĐỖ ĐÌNH CHIẾN
Trường THCS Quảng Thái

TT Tên đề tài SKKN
1.
2.

3.

Một số phương pháp giải các
bài toán về tỉ lệ thức
Dạy học chứng minh bất đẳng
thức nhằm nâng cao chất lượng
học tập mơn tốn cho học sinh
lớp 8 .
Rèn kỹ năng phân tích đa thức
thành nhân tử nhằm nâng cao
chất lượng học sinh giỏi mơn
Tốn 8

Kết quả
Cấp đánh giá xếp
Năm học
đánh giá
loại
đánh giá
xếp loại
xếp loại
Phòng GD&ĐT huyện
Quảng Xương

C

2014

Phòng GD&ĐT huyện
Quảng Xương

B

2015

Phòng GD&ĐT huyện
Quảng Xương

B

2017

NGƯỜI THỰC HIỆN: ĐỖ ĐÌNH CHIẾN – GV TRƯỜNG THCS QUẢNG THÁI

22