Hướng dẫn học sinh lớp 7 tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Tìm hiểu nội dung kiến thức liên quan
2.3.2. Xây dựng hệ thống bài tập giúp học sinh độc lập suy nghĩ
và sáng tạo trong cách giải khi sử dụng kiến thức đã học.
2.3.2.1. Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức là đa thức.
2.3.2.2. Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức dạng phân số
2.3.2.3. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu
thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
2.3.2.4. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu
thức chứa căn bậc hai.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHI
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị
TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Mở đầu.
1.1. Lí do chọn đề tài.
1

Trang

2
2
3
3
3
4
4
5
6
6
6
7
10
12
15
17
17
17
18
19


Hội nghị lần thứ 8 Ban chấp hành trung ương Đảng khóa XI đã ban hành
Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 về "đổi mới căn bản toàn diện giáo
dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện
kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế". Mục tiêu
cơ bản của giáo dục nói chung, của nhà trường nói riêng là đào tạo và xây dựng
thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện có đầy đủ
phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ đáp ứng yêu cầu thực tế hiện nay. Để thực
hiện được mục tiêu đó, trước hết chúng ta phải biết áp dụng phương pháp dạy

học hiện đại kết hợp với những phương pháp dạy học truyền thống để bồi dưỡng
cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề, rèn luyện
thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương
pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, tăng cường và dành
thời gian tự học và tự nghiên cứu cho học sinh. Đồng thời bản thân mỗi giáo
viên cũng phải tìm ra phương pháp mới, khắc phục lối truyền thụ một chiều,
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của mỗi học sinh trong các
môn học. Thông qua các môn học, học sinh được phát triển toàn diện về năng
lực trí tuệ, tư duy lôgic, phẩm chất đạo đức, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, có óc
phán đoán, phân tích tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, hình thành nhân
cách. Một trong những môn học mang lại hiệu quả dạy học cao đó là toán học.
Quá trình dạy học ở trường THCS , việc bồi dưỡng kiến thức và phát triển
tư duy cho học sinh là những nhiệm vụ trọng tâm của người giáo viên. Vì lí do
thời lượng chương trình và phải đáp ứng một cách đại trà về kiến thức cho học
sinh nên chương trình sách giáo khoa mới chỉ đáp ứng một phần kiến thức.
Chính điều này đã hạn chế sự phát triển tư duy của những em học sinh khá
giỏi.Vì vậy, trong quá trình dạy học, người giáo viên phải quan tâm đến hai vấn
đề là đáp ứng kiến thức đại trà và phát triển tư duy cho học sinh khá giỏi. Thông
thường, các em học sinh chỉ mới có khả năng giải quyết trực tiếp bài toán mà
chưa có khả năng nhìn nhận bài toán đó từ những góc độ khác nhau, mới giải
quyết vấn đề một cách rời rạc mà chưa có khả năng xâu chuỗi chúng lại với
nhau thành một mảng kiến thức lớn. Chính vì thế, việc rèn luyện và phát triển tư
duy khái quát hóa, tương tự hóa là hết sức cần thiết đối với học sinh.Việc làm
này giúp các em tích lũy được nhiều kiến thức phong phú, khả năng nhìn nhận
và phát hiện vấn đề nhanh, giải quyết vấn đề có tính logic và hệ thống cao.
Trong chương trinh toán lớp 7, dạng toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của một biểu thức là một nội dung của chương trình toán, được áp dụng nhiều
vào giải các bài tập. Dạng toán này cũng là một công cụ hữu ích cho học sinh
trong quá trình luyện tập, hình thành các kĩ năng, kĩ xảo về sau này ở các lớp

2


học cao hơn như: Chứng minh các biểu thức luôn âm, luôn dương, chứng minh
phương trình vô nghiệm, ...
Bản thân tôi là giáo viên dạy môn toán, qua nhiều năm dạy tôi thấy học
sinh sau khi học vẫn còn lúng túng khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu
thức, nhất là với đối tượng học sinh lớp 7, khi mà các em mới làm quen với biểu
thức đại số cũng như những công cụ về kiến thức giúp các em xử lí loại toán này
còn hạn chế.
Để giúp học sinh tự học, tự định hướng được một số cách giải khi gặp các
bài toán phải dùng đến tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cua biểu thức, tôi đã chọn
viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: Hướng dẫn học sinh lớp 7 tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Bản thân tôi luôn cố gắng đúc rút, xâu chuỗi các kiến thức thu nhận được
thành một chủ đề với mong muốn có thể giải quyết được một lớp các bài toán
điển hình về tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của một biểu thức trong khuôn khổ
kiến thức lớp 7. Cụ thể là nhằm mục đích nâng cao chất lượng và hiệu quả của
việc dạy học phần kiến thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu
thức, trao đổi với giáo viên cùng bộ môn về phương pháp giải và những ứng
dụng của định lí, giúp học sinh có thể lĩnh hội một cách sâu sắc, triệt để nhất,
hình thành kĩ năng, kĩ xảo, phát triển tư duy cho học sinh và giúp các em có
thêm kiến thức trang bị cho những lớp học cao hơn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Trong đề tài này, tôi đưa ra một số nội dung kiến thức toán học mà học
sinh lớp 7 có thể vận dụng vào việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu
thức. Bên cạnh đó hệ thống lại các dạng bài tập có liên quan, gồm:
- Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức dạng đa thức.
- Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức dạng phân số.

- Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị
tuyệt đối.
- Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn
bậc hai.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp tiếp cận vấn đề: Thông qua việc giảng dạy thực tế, tiếp
xúc, trao đổi với nhiều học sinh, từ đó tôi đưa ra được lượng kiến thức để học
sinh dễ tiếp cận nhất.
- Phương pháp phân tích, tổng hợp: Trước khi đi vào cách giải cụ thể, tôi
thường đưa ra những phân tích về loại bài tập đó. Từ đó có thể khái quát hay
tổng hợp lại phương pháp giải.
3


- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Tôi sử dụng nhiều nguồn tài liệu của
các tác giả có uy tín cũng như sử dụng đề thi vào trung học phổ thông ở những
năm học trước.
- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Tôi thường xuyên khảo sát mức độ
tiếp thu kiến thức của học sinh thông qua các bài tập nhanh. Kết quả thu nhận
được giúp tôi điều chỉnh lượng kiến thức cũng như phương pháp truyền đạt tới
các em sao cho hiệu quả cao nhất.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Quy luật của quá trình nhận thức từ trực quan sinh động đến tư duy trừu
tượng.Song quá trình nhận thức đó đạt hiệu quả cao hay không, có bền vững hay
không còn phụ thuộc vào tính tích cực,chủ động sáng tạo của chủ thể.
Đặc điểm của lứa tuổi thiếu niên là đang có xu hướng vươn lên làm người
lớn, muốn tự mình tìm hiểu, khám phá trong quá trình nhận thức.Ở lứa tuổi học
sinh trung học cơ sở có điều kiện thuận lợi cho khả năng tự điều chỉnh hoạt động
học tập và tự sẵn sàng tham gia vào các hoạt động khác nhau .Tuy nhiên nhược

điểm của các em là chưa biết cách thực hiện nguyện vọng của mình, chưa nắm
được các phương thức thực hiện các hình thức học tập mới.Vì vậy cần có sự
hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của các thầy cô.
Trong lý luận về phương pháp dạy học cho thấy: Trong môn toán sự thống
nhất giữa điều khiển của thầy và hoạt động học tập của trò có thể thực hiện được
bằng cách quán triệt quan điểm hoạt động, thực hiện dạy học toán trong hoạt
động và bằng hoạt động. Dạy học theo phương pháp mới phải làm cho học sinh
chủ động nghĩ nhiều hơn, làm nhiều hơn, tham gia nhiều hơn trong quá trình
chiếm lĩnh tri thức toán học.
Dạy học toán thông qua kiến thức phải dạy cho học sinh phương pháp tư
duy. Quan điểm này cho rằng dạy toán là phải dạy suy nghĩ, dạy bộ óc của học
sinh thành thạo các thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái
quát hoá ...Trong đó phân tích tổng hợp có vai trò trung tâm. Phải cung cấp cho
học sinh có thể tự tìm tòi, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoán
đượccác kết quả, tìm được hướng giải quyết một bài toán,hướng chứng minh
một định lý…
Hình thành và phát triển tư duy tích cực độc lập sáng tạo trong dạy học
toán cho học sinh là một quá trình lâu dài, thông qua từng tiết học, thông qua
nhiều năm học, thông qua tất cả các khâu của quá trình dạy học trong nội khoá
cũng như ngoại khoá.
Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng cao, tính
logic đồng thời môn toán còn là bộ môn công cụ hỗ trợ cho các môn học khác.
4


Với phân môn đại số là bộ môn khoa học rèn luyện cho học sinh khả năng tính
toán, suy luận logic, phát triển tư duy sáng tạo. Nâng cao được năng lực tư duy,
tính độc lập, tính sáng tạo, linh hoạt trong cách tìm lời giải bài tập càng có ý
nghĩa quan trọng. Việc bồi dưỡng học sinh không đơn thuần chỉ cung cấp cho
các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm càng nhiều

bài tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả năng sáng tạo. Đối với
phân môn đại số càng phải biết rèn luyện năng lực tư duy trừu tượng và phán
đoán logic.
Trong thực tiễn dạy học, các bài tập tính toán, suy diễn, chứng minh
thường chiếm số lượng rất lớn.Hơn nữa, do đặc thù bộ môn, những bài tập dạng
này lại tập trung nhiều trong phân môn đại số.
Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số
luôn có một vị trí xứng đáng trong chương trình dạy và học toán ở trường trung
học cơ sở.Các bài toán này rất phong phú đa dạng, đòi hỏi vận dụng nhiều kiến
thức, vận dụng một cách hợp lí, nhiều khi khá độc đáo.Vì vậy, các bài toán tìm
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số thường xuyên xuất hiện
trong sách giáo khoa, sách nâng cao của các khối lớp.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Bản thân sau nhiều năm giảng dạy môn toán có rút ra nhận xét là khi gặp
các vấn đề toán có cùng bản chất nhưng phát biểu ở dạng khác thì học sinh
thường tỏ ra lúng túng và bếtắc.
Chủ đề tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số, tôi thấy đã
có nhiều tác giả đề cập, nhưng đa phần là nêu ra cả một hệ thống kiến thức của
chương trình toán trung học cơ sở.Có không nhiều tài liệu chỉ đi sâu vào một
khối lớp, nhất là khối lớp dưới như lớp 7.
Làm thế nào để học sinh hiểu rõ bản chất của loại toán trên, vận dụng kiến
thức nào để giải, phương hướng chung để giải loại toán này như thế nào? Giải
quyết vấn đề này không phải dễ dàng.
Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức là phần kiến thức
tương đối khó và rộng đối với các em, đặc biệt là khi vận dụng vào giải quyết
các bài tập ở mức độ tư duy cao hơn.Việc vận dụng ngay những lý thuyết đã
được học trong sách giáo khoa vào giải bài tập đôi khi còn khó khăn nên sự sáng
tạo khi vận dụng vào các bài tập có nội dung mở rộng, nâng cao nằm ngoài khả
năng của học sinh là điều không tránh khỏi. Tôi đơn cử ví dụ:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= x + x + 1

Khi chưa thực hiện chuyên đề này, tôi cho học sinh làm thì thấy kết quả
như sau: Lúc đầu khoảng 50% số học sinh trong lớp không xác định được dùng
5


kiến thức gì để giải, khoảng 45% số học sinh sử dụng tính chất của giá trị tuyệt
đối của một số và giải như sau:
Vì x ≥ 0, ∀x
x + 1 ≥ 0, ∀x

Nên A ≥ 0, ∀x . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 0.
Rõ ràng đây là một lời giải hoàn toàn sai, sai cả về kết quả của bài toán,
cả về việc các em chưa biết chỉ ra khi nào giá trị biểu thức đạt được dấu "=".
Sau đó tôi nghiên cứu hướng dẫn học sinh theo chuyên đề này thì khoảng
85% số học sinh trong lớp đã xác định được hướng giải quyết bài toán và có
khoảng 65% các em làm được. Ngoài ra các em còn có khả năng áp dụng vào
giải một số bài tập yêu cầu cao hơn.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Tìm hiểu nội dung kiến thức liên quan:
- Một biểu thức có thể đạt giá trị lớn nhất (Max), giá trị nhỏ nhất (Min),
hoặc đạt cả giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, hoặc không có giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất.
Chẳng hạn, xét biểu thức B=2x2. Biểu thức này có giá trị bằng 0 khi x=0,
có giá trị dương khi x ≠ 0. Biểu thức này không có giá trị lớn nhất.
Thật vậy, giả sử B có giá trị lớn nhất là k tại giá trị x 1.Suy ra B cũng bằng
k tại giá trị x2 là số đối của x1.Giả sử x1>0, ta chọn giá trị x3>x1>0. Khi đó
2x32>2x12 mà 2x12=k nên 2x32>k, trái với giả sử k là giá trị lớn nhất.
*) Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức A, ta làm như sau:
+) Chứng tỏ rằng A ≤ k (với k là hằng số)
+) Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu "="

+) Kết luận giá trị nhỏ nhất (thường viết Min A) với dấu "=" xảy ra.
*) Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức A, ta làm như sau:
+) Chứng tỏ rằng A ≥ k (với k là hằng số)
+) Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu "="
+) Kết luận giá trị lớn nhất (thường viết Max A) với dấu "=" xảy ra.
Nếu chỉ chứng minh được yêu cầu thứ nhất thì chưa đủ để kết luận về
GTLN, GTNN của biểu thức đó.
2.3.2. Xây dựng hệ thống bài tập giúp học sinh độc lập suy nghĩ và sáng
tạo trong cách giải khi sử dụng kiến thức đã học.
Để hình thành kĩ năng tìm GTLN, GTNN của biểu thức, trước hết ta cần
củng cố và bổ sung kiến thức cho học sinh, như:
+ Giá trị tuyệt đối của một số, gồm:
A ≥ 0, ∀A , dấu bằng khi A=0;
6


A = −A

với mọi A

A ≥ A, dấu "=" khi A ≥ 0
A + B ≥ A + B , dấu bằng khi AB ≥ 0.
− A ≤ A ≤ A , dấu "=" khi A=0.

+ Lũy thừa bậc chẵn của một biểu thức:
A2n ≥ 0, với mọi A và n ∈ N.Dấu "=" khi A=0
-A2n ≤ 0, với mọi A và n ∈ N. Dấu "=" khi A=0
+ Căn bậc hai của một số không âm: A ≥ 0 (A ≥ 0)
1

1

1

1

+ Phân số: Nếu A ≥ B>0 (hoặc 02.3.2.1. Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức là đa thức.
Phân tích: Ở dạng toán này, thường thì ta làm xuất hiện lũy thừa bậc chẵn
của biểu thức và đánh giá. Sau đây là một số dạng bài tập điển hình:
Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A=2(x-1)2-1
Giải: Ta có: (x-1)2 ≥ 0, với mọi x ⇒ 2(x-1)2 ≥ 0 ⇒ A=2(x-1)2-1 ≥ -1
Dấu "=" xảy ra khi x-1=0 ⇒ x=1
Vậy Min A=-1 khi x=1.
Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1
2

B=2019- (3-2y)4
1
Giải: Ta có: (3-2y)4 ≥ 0, với mọi y ⇒ - (3-2y)4 ≤ 0 ⇒
2

1
2

B=2019- (3-2y)4 ≤ 2019
3
Dấu "=" xảy ra khi 3-2y=0 ⇒ y =

2

3

Vậy Max A=2019 khi y = 2 .
Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2

C=2-(2-x) -5(4y+3)

2

2
2
Giải: Ta có: -(2-x) -5(4y+3) ≤ 0, với mọi x,y
2
2
⇒
C=2-(2-x) -5(4y+3) ≤ 2

x = 2
2 − x = 0

⇒
Dấu "=" khi 
−3
4 y + 3 = 0  y =

4

Vậy Min C=2 khi x=2, y=

−3
4

7


Bài tập 4:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
D=(x2+3)4
Nhận xét: Ở dạng bài tập này, học sinh thường mắc sai lầm là đánh giá
(x2+3)4 ≥ 0 và vội vàng kết luận giá trị nhỏ nhất là 0, hoặc là chỉ ra không xảy
ra trường hợp dấu "=" (do x2+3=0 vô lí).
Giải: Ta có: x2 ≥ 0, với mọi x ⇒ x2+3 ≥ 3 ⇒ D=(x2+3)4 ≥ 34=81
Dấu "=" khi x=0
Vậy Min D=81 khi x=0
Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
E=(2x-3y)2-(6y-4x)2-(y+1)4
Nhận xét: Khi gặp loại bài tập này, nhiều học sinh sẽ lúng túng vì việc đánh giá
dẫn đến các biểu thức được đánh giá ngược chiều nhau, chẳng hạn như:
(2x-3y)2 ≥ 0
2
-(6y-4x) ≤ 0
4
-(y+1) ≤ 0

Với cách đánh giá này thì chưa thể kết luận được về giá trị lớn nhất của E.
2

2

Giải: Ta có: E=(2x-3y) -[-2(2x-3y)] -(y+1)
2

2

E=(2x-3y) -4(2x-3y) -(y+1)
2

E=-3(2x-3y) -(y+1)

4

4

4

2
Vì -3(2x-3y) ≤ 0, với mọi x, y
2
-(y+1) ≤ 0, với mọi y
2
4
E=-3(2x-3y) -(y+1) ≤ 0

nên

−3

2 x − 3 y = 0  x =

2
Dấu "=" khi  y + 1 = 0 ⇒ 

 y = −1
−3
Vậy Max E=0 khi x= , y=-1
2

Bài tập 6:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
F=(x-2)2+x2
[1]
Nhận xét: Rõ ràng nếu đánh giá (x-1) 2 ≥ 0, x2 ≥ 0, với mọi x ⇒ F ≥ 0, nhưng dấu
x = 0

x = 0

"=" không xảy ra (do  x − 1 = 0 ⇒  x = 1 , vô lí). Đây cũng là một cách làm sai.


Giải: Ta có:
2

2

2

F=(x-2)(x-2)+x =x(x-2)-2(x-2)+x =x -2x-2x+4+x
2

=(2x -2x)-(2x-2)+2=2x(x-1)-2(x-1)+2

2

=(x-1)(2x-2)+2=2(x-1) +2
8

2


2
2
Vì 2(x-1) ≥ 0, với mọi x nên F=2(x-1) +2 ≥ 2

Dấu "=" khi x-1=0 ⇒ x=1
Vậy Min F=2 khi x=1
Bài tập 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2

G=x +2x+2
Nhận xét: Trong bài tập này, nếu đánh giá hạng tử 2x ≥ 0 khi x ≥ 0, 2x ≤ 0 khi
2
x ≤ 0, còn x ≥ 0 với mọi x. Do đó cũng chưa kết luận được về GTNN của G. Ta

cần biến đổi tương tự bài tập 6.
Giải: Ta có:
2

G=(x +x)+(x+1)+1=x(x+1)+(x+1)+1
2

=(x+1) +1

2
2
Vì (x+1) ≥ 0, với mọi x nên G=(x+1) +1 ≥ 1

Dấu "=" khi x+1=0 ⇒ x=-1
Vậy Min G=1 khi x=-1.
Bài tập 8: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
H=6x-25-3x

2

Giải: Ta có:
2

H=(-3x +3x)+(3x-3)-22=-3x(x-1)+3(x-1)-22
2

=(x-1)(-3x+3)-22=-3(x-1) -22
2
2
Vì -3(x-1) ≤ 0, với mọi x nên H==-3(x-1) -22 ≤ -22

Dấu "=" khi x=1
Vậy Min H=-22 khi x=1.
Bài tập tham khảo:
Bài tập 1:Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a. I=9(2x+1)2-71
b. J=6(4x-5)2+(2-y)4+7(3-2z)2
c. K=(6x2+ 5 )2+2014
d. L=x4+3x2+2

e. M=12(x+3y)2-(3x+9y)2-3+(y+1)100
Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a. N=15-(y-5)2
b. O=-2(4-2x)4-(5y-25)6+2019
c. P=-10-(x-5)2+(y+3)2-(3z+7)2-(12+4y)4
d. Q=20-5x2-15x
9


2.3.2.2. Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức dạng phân số
Phân tích: Để làm được dạng toán này, cần nắm rõ cách tìm GTLN,
GTNN của biểu thức dạng đa thức (đã trình bày ở mục 2.3.2.1). Ngoài ra còn có
những dạng bài tập tìm GTLN, GTNN kèm theo điều kiện. Sau đây là một số
dạng bài tập:
Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2

A= 3(2 x − 1) 2 + 2
1

1

Giải: Ta có: 3(2x-1)2+2 ≥ 2 ⇒ 3(2 x − 1) 2 + 2 ≤ 2
⇒ A=

2
1
≤ ×2 = 1
2
3(2 x − 1) + 2 2

Dấu "=" khi 2x-1=0 ⇒ x=

1
2

Vậy Max A=1 khi x=

1
2

Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
6057

B= −3 − ( y + 2) 2
1

1

Giải: Ta có: -3-(y+2)2 ≤ -3 −3 − ( y + 2)2 ≥ −3
⇒ B=

6057
6057
≥
= −2019
2
−3 − ( y + 2)
−3

Dấu "=" khi y=-2
Vậy Min B=-2019 khi y=-2.
Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
C=

x2 + 8
x2 + 2

[2]

Nhận xét: Trong bài tập này, ở cả tử số và mẫu số đều có chứa biến nên nếu
đánh giá x2+8 ≥ 8, x2+2 ≥ 2 thì chưa thể có kết luận về giá trị lớn nhất của C.
Giải: Ta có:
x2 + 2 + 6
6
= 1+ 2
C= 2
x +2
x +2
6
6
6
≤ = 3 nên C=1+ 2
≤ 1+ 3 = 4
Vì 2
x +2 2
x +2

Vậy Max C=4 khi x=0.
Bài tập 4: Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau có giá trị lớn nhất:

1

D= 7 − x

[3]
10


Nhận xét: Chiều của 7-x thay đổi khi cho x nhận các giá trị nguyên khác nhau
nên ta làm như sau:
Giải:
- Xét x>7 thì 7-x<0 ⇒ D<0 (1)
- Xét x<7 thì 7-x>0 ⇒ D>0. Phân số D có tử và mẫu đều dương, tử không
đổi nên D lớn nhất khi mẫu 7-x nhỏ nhất. Suy ra 7-x=1 ⇒ x=6. Khi đó D=1 (2)
So sánh (1) và (2) ta thấy GTLN của D bằng 1 khi x=6
Vậy Max D=1 khi x=6.
Bài tập 5: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất:
E=

1
x−4

Giải:
- Xét x>4 thì x-4>0 ⇒ E>0 (1)
- Xét x<4 thì x-4<0 ⇒ E<0. Vì E nhận giá trị âm nên E nhỏ nhất khi đối
1

1

số của nó là 4 − x lớn nhất.Phân số 4 − x có tử và mẫu đều dương, tử không đổi

1
1
nên 4 − x lớn nhất khi mẫu 4-x nhỏ nhất. Suy ra 4-x=1 ⇒ x=3. Khi đó 4 − x =1

⇒ E=-1 (2)

So sánh (1) và (2) ta thấy GTNN của E bằng -1 khi x=3.
Vậy Min E=-1 khi x=3.
E≥

1
= −1 . Dấu "=" khi x-4=-1 ⇒ x=3
−1

Vậy Min E=-1 khi x=3.
Bài tập 6:Tìm giá trị nguyên cua x để biểu thức sau có giá trị lớn nhất:
14 − x

F= 4 − x
Giải: Ta có:

4 − x + 10

F= 4 − x

=1+

10
4− x

10

F lớn nhất khi 4 − x lớn nhất
10

- Xét x>4 thì 4 − x <0 (1)
10

10

- Xét x<4 thì 4 − x >0. Phân số 4 − x có tử và mẫu đều dương, tử không
đổi nên có giá trị khi mẫu nhỏ nhất ⇒ 4-x là số nguyên dương nhỏ nhất
11


10
⇒ 4-x=1 ⇒ x=3. Khi đó:
=10 (2).
4− x
10
So sánh (1) và (2) ta thấy 4 − x lớn nhất bằng 10.

Vậy Max F=11 khi x=3.
Bài tập tham khảo:
Bài tập 1: Tìm số nguyên x để:
13
17 − x
3
b. Biểu thức H đạt giá trị nhỏ nhất, với H=
x−7

40 − 3x
c. Biểu thức I đạt giá trị lớn nhất, với I=
13 − x
20 − x
d. Biểu thức J đạt giá trị nhỏ nhất, với J=
x − 12

a. Biểu thức G đạt giá trị lớn nhất, với G=

[4]
Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2019

K= 4( x + y )2 + ( y − 1)10 + 3
Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
−8 + 6 x 2 + 9 y 2
L= 2
2x + 3 y2 +1

2.3.2.3. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa
dấu giá trị tuyệt đối
Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A= 4 x − 8 +2019
Giải: Ta có: 4 x − 8 ≥ 0, với mọi x ⇒ A= 4 x − 8 +2019 ≥ 2019
Dấu "=" khi 4x-8=0 ⇒ x=2
Vậy Min A=2019 khi x=2.
Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
B=-2 x − 5 +7
Giải: Ta có: x − 5 ≥ 0, với mọi x ⇒ -2 x − 5 ≤ 0 ⇒
Dấu "=" khi x-5=0 ⇒ x=5

Vậy Max B =7 khi x=5.
Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
C= 2 x − 1 + 3 y − 4 − 9

Giải: Ta có: 2 x − 1 ≥ 0 , với mọi x
y 2 − 4 ≥ 0, với mọi y

12

B=-2 x − 5 +7 ≤ 7


⇒

2
C= 2 x − 1 + 3 y − 4 − 9 ≥ -9

1

2 x − 1 = 0
x =
Dấu "=" khi  y 2 − 4 = 0 ⇒  2

 y = ±2
1
Vậy Min C=-9 khi x= 2 , y= ± 2.

Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
D=-3(x-y) - y − z - z − 1

Nhận xét: Dạng bài tập này là sự kết hợp của biểu thức là đa thức với biểu thức
chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ta vẫn sử dụng các tính chất của chúng.
Giải: Ta có: -3(x-y)2 ≤ 0, với mọi x, y
2

- y − z ≤ 0, với mọi y, z
- z − 1 ≤ 0, với mọi z
⇒

2
D=-3(x-y) - y − z - z − 1 ≤ 0

x − y = 0

Dấu "=" khi  y − z = 0 ⇒ x = y = z = 1
z −1 = 0


Vậy Max D=0 khi x=y=z=1.
Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
E= x + x + 1
Nhận xét: Như đã phân tích ở phần đầu của đề tài, nếu như sử dụng tính
chất x ≥ 0 với mọi x, x + 1 ≥ 0 với mọi x, suy ra E ≥ 0 thì trường hợp để cho dấu
"=" xảy ra không tồn tại. Ta có thể làm theo hai phương án sau:
Giải:
Cách 1: Ta có bảng xét dấu:
x
x+1

-

-1
-

- Xét x ≤ -1, ta được:

0

0
+

+
+

E=-x-x-1=-2x-1
Vì x ≤ -1 nên -2x ≥ 2 ⇒ -2x-1 ≥ 2-1=1 (1)
(Dấu "=" khi x=-1)
- Xét -1E=-x+x+1=1

(2)

- Xét 013


E=x+x+1=2x+1
Vì x>0 nên 2x+1>1

(3)

So sánh (1), (2), và (3) ta có giá trị nhỏ nhất của E bằng 1. Dấu "=" khi
-1 ≤ x ≤ 0
Vậy Min E=1 khi -1 ≤ x ≤ 0.
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức: A + B ≥ A + B , dấu bằng khi AB ≥ 0.
Ta có: x + x + 1 = x + − x − 1 ≥ x − x − 1 = 1
Dấu "=" khi x(-x-1) ≥ 0 ⇒ x(x+1) ≤ 0 ⇒ -1 ≤ x ≤ 0
Vậy Min E=1 khi -1 ≤ x ≤ 0.
Bài tập 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
F= x − 2018 + x − 2019 + x − 2020 + 2017
Nhận xét: Khi mà số lượng biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối trong biểu thức
đã cho nhiểu, nếu lập bảng xét dấu và xét từng khoảng giá trị (theo cách 1 ở
trên) thì phải xét tương đối nhiều trường hợp rất mất thời gian. Do vậy chúng ta
thường thiên về cách làm 2.
Giải: Ta có:
x − 2018 + x − 2019 + x − 2020 + 2017 = x − 2018 + 2020 − x + x − 2019 + 2017
≥ x − 2018 + 2020 − x + x − 2019 + 2017 = 2 + x − 2019 + 2017 = 2019 + x − 2019
≥ 2019 + 0 = 2019
( x − 2018)(2020 − x) ≥ 0 2018 ≤ x ≤ 2020
⇒
⇒ x = 2019
Dấu "=" khi  x − 2019 = 0

 x = 2019

Vậy Min F=2019 khi x=2019.
Lưu ý: Khi áp dụng bất đẳng thức A + B ≥ A + B , ta cần lựa chọn cặp biểu thức
phù hợp để dấu "=" được xảy ra, cần thiết thì đổi dấu biểu thức trong dấu giá
trị tuyệt đối.
Bài tập 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2

G= x − 3 + 4
Nhận xét: Biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nằm ở mẫu của một phân số nên
cần kết hợp với cách làm ở mục 2.3.2.2 .
Giải: Ta có: x − 3 +4 ≥ 4, với mọi x
⇒

2

2

1

G= x − 3 + 4 ≤ =
4 2

Dấu "=" khi x-3=0 ⇒ x=3
1

Vậy Max G= 2 khi x=3.
14


Bài tập 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
6

H= x − 3 với x là số nguyên.

[5]

Giải:
- Xét x > 3 thì H>0
- Xét x < 3 thì H<0. Do x∈ Z nên x ∈ {0; 1; 2}
+ Nếu x =0 thì H=-2
+ Nếu x =1 thì H=-3
+ Nếu x =2 thì H=-6
So sánh các giá trị của H ta có giá trị nhỏ nhất của H bằng -6 khi x= ± 2
Vậy Min H=-6 khi x= ± 2.
Bài tập 9: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
x+2

I= x với x là số nguyên.

[6]

Giải: Ta có: x >0, với mọi x ≠ 0.
- Xét x+2 ≤ 0( hay x ≤ -2) thì I ≤ 0
- Xét x=-1 thì I=1
x+2

2

- Xét x ≥ 1: Khi đó I= x = 1 + x
2

2

Ta thấy I lớn nhất khi x lớn nhất. Vì x nguyên dương nên x lớn
nhất khi x nhỏ nhất ⇒ x=1 ⇒ I=3.

So sánh các giá trị của I ta suy ra giá trị lớn nhất của I bằng 3 khi x=1
Vậy Max I=3 khi x=1.
Bài tập tham khảo:
Bài tập 1:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
a. K=2 3x − 2 − 1
b. L=x2+3 y − 2 -1
c. M=x+ x
d. N= x − 1 + x − 2 + x − 3 + x − 4
e. O= 7 x − 5 y + 2 z − 3 y + xy + yz + zx − 2000
Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a. P=15- x + 2 -(x+2y)2
71

b. Q= x + ( y − 1)2 + 5
15


c. R=x- x
2.3.2.4. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa
căn bậc hai.
Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A= x +1
[7]
Nhận xét: Khi làm những bài toán có chứa dấu căn bậc hai cần chú ý đến điều
kiện tồn tại căn bậc hai.
Giải: Ta có: x ≥ 0, với mọi x ≥ 0
⇒ A=

x +1 ≥ 1, với mọi x ≥ 0

Dấu "=" khi x=0
Vậy Min A=1 khi x=0.
Bài tập 2:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
B=8-2 x 2 − 1
Giải: Ta có: x 2 − 1 ≥ 0, với mọi x -1 ≥ 0 (hay x ≤ -1 hoặc x ≥ 1)
2

⇒

B=8-2 x 2 − 1 ≤ 8 với x ≤ -1 hoặc x ≥ 1

Dấu "=" khi x= ± 1
Vậy Max B=8 khi x= ± 1.
Bài tập 3:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
3

C= x − 1 + 1
⇒
⇒

x − 1 +1 ≥ 1, với mọi x ≥ 1
3

C= x − 1 + 1 ≤ 3, với mọi x ≥ 1

Dấu "=" khi x=1.
Vậy Max C=3 khi x=1.
Bài tập 4:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
D=x+ x
Giải: Để x tồn tại thì x ≥ 0

Khi đó:

D=x+ x ≥ 0

Dấu "=" khi x=0
Vậy Min D=0 khi x=0
Lưu ý: Khi làm bài tập này cần tránh sai lầm sau đây:

16


1
1
1 1
1 1
1 1

D = x + x = ( x 2 + . x ) + ( . x + ) − = x .  x + ÷+ .( x + ) −
2
2
4 4
2 2
2 4

1
1 1
1
1 −1
= ( x + )( x + ) − = ( x + ) 2 − ≥
2

2 4
2
4 4
1
Với cách biến đổi này thì dấu "=" xảy ra khi x = − 2 , vô lí.

Bài tập tham khảo:
Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a. E= x − 1 + y + 2 − 56
b. F=(5x+3) +4 6 − 7 y +2 z 4 + 3 -3
2

c. G=9-

25
6x2 + 5

Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a. H=10- 2 2 − 4x
b. I=

1 − x + 3 1 − y + 10
6 1− y + 2 1− x

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Sau khi ý tưởng của đề tài này được thực hiện, tôi thấy thu được nhiều kết
quả khả quan:
Đối với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường: Tôi cảm thấy mình đã có cái
nhìn sâu sắc và xuyên suốt hơn về các dạng toán cực trị lớp 7. Thấy được lợi ích

của nó khi cho học sinh áp dụng vào giải bài tập và làm bài kiểm tra, bài thi.
Bản thân cũng đã tạo cho mình một giáo trình riêng để có thể giảng dạy học
sinh. Bên cạnh đó, đồng nghiệp cũng có thể sử dụng để tham khảo kiến thức,
phương pháp một cách có hiệu quả.
Đối với hoạt động giáo dục:
- Xây dựng niềm tin cho học sinh về việc có thể giải quyết một loại bài tập
mà đa phần học sinh ban đầu cảm thấy sợ và nghĩ rằng đây là một loại toán khó
mình không thể làm được.
- Từ việc giải quyết được lớp các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của biểu thức, học sinh có cơ hội tiếp cận với các loại toán khó khác ở các
lớp học cao hơn như: chứng minh bất đẳng thức.
- Tạo cho học sinh có thói quen giải một bài toán cực trị với các bước làm
cụ thể đã nêu.
- Rèn luyện tính linh hoạt khi vận dụng các kiến thức liên quan vào giải
toán, làm phong phú và đa dạng hoá các bài tập có liên quan, càng tăng thêm ý
17


nghĩa về loại toán này. Ngoài ra, khai thác triệt để, sâu sắc, phong phú một nội
dung toán học nói chung về phương diện ứng dụng vào các bài tập đã tạo ra một
hệ thống các bài tập phong phú, hấp dẫn học sinh, giúp cho việc rèn luyện kĩ
năng của các em được vững chắc hơn.
3. Kết luận, kiến nghị.
3.1. Kết luận.
Trên đây là những nội dung tôi đã nghiên cứu và biên soạn trước hết nhằm
củng cố và sắp xếp có hệ thống các kiến thức cơ bản về dạng toán "Tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức" với một số dạng tiêu biểu thường
gặp trong chương trình đại số 7, với mục đích bồi dưỡng thêm kiến thức cho các
em học sinh khá giỏi về một dạng toán nâng cao thường gặp trong các đề thi.
Xét trên khía cạnh hệ thống kiến thức chương trình toán THCS thì đây là một

vấn đề lớn, đòi hỏi người học phải có tính sáng tạo, có tư duy tốt và kỹ năng vận
dụng lý thuyết một cách linh hoạt. Chính vì lẽ đó, trong quá trình giảng dạy,
người giáo viên cần:
- Chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng từng thể loại bài tập cụ thể để học sinh
hiểu sâu bản chất và cách vận dụng.
- Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú trong học tập, tôn trọng
những suy nghĩ, ý kiến sáng tạo của các em.
- Cần thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết quả học tập, bổ sung thiếu sót
kịp thời, dạy sâu, dạy chắc và kết hợp nhuần nhuyễn, logic giữa các bài toán
khác nhau.
3.2. Kiến nghị.
Trong nhiều năm qua, nhà trường đã nhận được sự quan tâm chỉ đạo sát sao
và chăm lo về mọi mặt đặc biệt là công tác chuyên môn. Song để thành công
hơn và hoàn thành tốt được nhiệm vụ thì tôi xin đề xuất với ngành một số vấn đề
sau: Thường xuyên tổ chức hội thảo, tập huấn về những chuyên đề, đặc biệt là
nhưững chuyên đề về: Đổi mới PPDH môn Toán; Nâng cao chất lượng bồi
dưỡng học sinh giỏi môn Toán; Để góp phần đổi mới phương pháp giáo dục thì
việc đi tìm chân lý toán học không chỉ dừng ở chân lý mà cái quan trọng phải
thấy được giá trị của chân lý đó, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học theo
hướng phát huy tích cực của học sinh. Mặc dù đã cố gắng, xong chắc hẳn không
tránh khỏi những sai sót trong nội dung và hình thức, rất mong nhận được ý
kiến đóng góp để chuyên đề của tôi thêm hoàn thiện.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

18


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Nâng cao và phát triển toán 7

(Vũ Hữu Bình - NXB Giáo dục)
[2]. Nâng cao và phát triển toán 7
(Vũ Hữu Bình - NXB Giáo dục)
[3]. Nâng cao và phát triển toán 7
(Vũ Hữu Bình - NXB Giáo dục)
[4]. Tài liệu chuyên Toán trung học cơ sở
(Vũ Hữu Bình (chủ biên))
[5]. Nâng cao và phát triển toán 7
(Vũ Hữu Bình - NXB Giáo dục)
[6]. Nâng cao và phát triển toán 7
(Vũ Hữu Bình - NXB Giáo dục)
[7]. Nâng cao và phát triển toán 7
(Vũ Hữu Bình - NXB Giáo dục)
………………….

19


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Quảng Xương, ngày 15 tháng 04 năm 2019
ĐƠN VI
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.
Người thực hiện

Nguyễn Ngọc Duyên

20

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Nguyễn Ngọc Duyên
Chức vụ và đơn vị công tác: Trường THCS Nguyễn Du

TT

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá
xếp loại
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh; Tỉnh...)

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B, hoặc C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

1.

Nguyên tắc Dirichlet và một

Cấp tỉnh

B

2005

2.

số bài toán ứng dụng.
Phương pháp giải phương

Cấp huyện

C

2010

3.

trình nghiệm nguyên
Ứng dụng nguyên lí Dirichlet

Cấp huyện

B

2012

4.

trong chứng minh hình học

Giúp học sinh lớp 7 học tốt

Cấp tỉnh

B

2014

5.

định lí Pytago
Vận dụng định lí Vi-et để giải Cấp tỉnh

C

2017

một số bài toán về bất đẳng
thức.
----------------------------------------------------

21