Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
PHẦN A: MỞ ĐẦU

Năm học 2013 – 2014

1. TÊN ĐỀ TÀI:

Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
2. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Toán học là môn khoa học nó có vai trò khá quan trọng
trong việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh. Toán học giúp chúng ta có cái
nhìn tổng quát hơn, suy luận chặt chẽ lô gíc. Học tốt môn toán giúp các em học
tốt các môn học khác. Do đó mỗi em học sinh cần học phải học tập tốt bộ môn
toán.
Đại số là môn học mới đối với học sinh lớp 7. Các em còn có nhiều bỡ
ngỡ, Giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau được vận dụng rất nhiều
trong chương trình đại số lớp 7, hay gặp trong các vòng thi Violimpic toán trên
mạng và thi học sinh giỏi toán hàng năm. Dạng toán này rất đa dạng đòi hỏi
người học phải có tư duy sáng tạo, phân tích tổng hợp và biết vận dụng kiến
thức đã học mới có thể giải được.
Để giúp học sinh làm tốt dạng toán: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
Đặc biệt là trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 7, nên tôi đã
mạnh dạn trình bày một đề tài mang tính kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh lớp
7 giải một số bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”.
3. PHẠM VI VÀ THỜI GIAN THỰC HIỆN:

- Đề tài này được áp dụng trong việc giảng dạy môn toán, cho học sinh lớp
7 và bồi dưỡng học sinh giỏi năm học 2013 – 2014.
- Thời gian thực hiện 20 tiết trong đó có 3 tiết kiểm tra.
B. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:
1. KHẢO SÁT THỰC TẾ:

- Học sinh lớp 7A do tôi dạy toán gồm 33 em, nhìn chung các em ngoan, có
ý thức học tập, nhưng do sống ở nông thôn, điều kiện kinh tế chưa khá, bên cạnh
đó một số gia đình chưa quan tâm đúng mức tới việc học tập của các em, các em
có ít sách tham khảo, thời gian học còn ít. Do vậy số học sinh giỏi môn toán còn
hạn chế.
- Qua giảng dạy một số tiết ở học kì I, tôi nhận thấy đa số các em học sinh
hiểu bài, nắm vững kiến thức cơ bản và biết vận dụng các kiến thức đó vào làm
được hầu hết các bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập. Nhưng với đối tượng
học sinh khá, giỏi thì không chỉ dừng lại ở đó, mà còn phải làm được các dạng
bài tập mở rộng và nâng cao.
- Thực tế tôi thấy học sinh chưa có phương pháp giải bài tập áp dụng tính
chất dãy tỉ số bằng nhau ở dạng khó. Khi gặp các bài toán ở dạng này các em
thường lúng túng và không biết cách làm.
2. SỐ LIỆU ĐIỀU TRA TRƯỚC KHI THỰC HIỆN:

Qua thực tế kiểm tra tôi nhận thấy số học sinh biết cách giải các bài tập
nâng cao ở dạng này rất thấp chỉ khoảng 9%. Trước tình hình học sinh như trên
tôi đã có kế hoạch xây dựng một chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài
tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”.

Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội

1


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 – 2014

3. NHỮNG BIỆN PHÁP THỰC HIỆN:

Qua kinh nghiệm giảng dạy và được sự giúp đỡ của đồng nghiệp, thông qua
một số tư liệu tham khảo nhắc lại một số cơ sở lý thuyết và giải quyết một số bài
tập ở một số dạng, nhằm giúp các em thấy được sự bổ ích và đạt được kết quả
tốt khi học chuyên đề này.
Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
theo các dạng chính sau:
- Dạng I: Tìm các giá trị của biến trong các tỉ lệ thức.
- Dạng II: Chia tỉ lệ.
- Dạng III: Chứng minh tỉ lệ thức.

Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội

2


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Dạng I: Tìm các giá trị của biến trong các tỉ lệ thức.
* Tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

Năm học 2013 – 2014

a c a +c a −c
= =
=
b d b+d b−d
a c e a ± c ± e ma ± nc ± pe
=
- Tính chất mở rộng: = = =
b d f b ± d ± f mb ± nd ± pf

- Tính chất: Ta luôn có

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Ví dụ 1: Tìm x, y biết.

x y
= và x + y = 20
2 3
Giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x y x + y x + y 20
= =
=
=
=4
2 3 2+3
5
5
x
⇒ = 4 ⇒ x = 2.4 ⇒ x = 8
2
y
= 4 ⇒ y = 3.4 ⇒ y = 12
3
Vậy: x = 8 ; y = 12 .

Ví dụ 2: Tìm x, y biết.

x : ( −3) = y : 5 và y − x = 24

Phân tích đề bài: Ta phải viết tỉ lệ thức dưới dạng dãy tỉ số bằng nhau.
Giải:
Từ: x : ( −3) = y : 5 ⇒

x
y
y x
=
⇒
=
5 −3
−3 5

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

y x y − x 24
= =
=
= −3
−3 5 −3 − 5 −8
x
⇒ = −3 ⇒ x = 5. ( −3) ⇒ x = −15
5
y
= −3 ⇒ y = −3. ( −3) ⇒ y = 9
−3
Vậy: x = −15 ; y = 9 .
x y
z

= =
Ví dụ 3: Tìm x, y, z biết.
và x + y − z = 10
8 12 15

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x y
z
x + y − z 10
= = =
= =2
8 12 15 8 + 12 − 15 5

Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội

3


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 – 2014

⇒ x = 8.2 = 16
y = 12.2 = 24
z = 15.2 = 30
Vậy: x = 16 ; y = 24 ; z = 30 .
Nhận xét: Ơ ví dụ 1 và ví dụ 3 ta áp dụng ngay được tính chất dãy tỉ số bằng
nhau. Trong thực tế nhiều bài tập phải qua quá trình biến đổi mới có thể đưa
được về dạng để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Sau đây là một số

dạng và cách biến đổi.
Ví dụ 4: Tìm x, y, z biết.

x y z
= = và. 2 x + 3 y + z = 34
2 3 4

Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến
đổi dãy tỉ số sao cho hệ số của x, y, z ở các tử của dãy tỉ số bằng hệ số của x, y,
z trong đẳng thức, bằng cách áp dụng tính chất cơ bản của phân số. Cụ thể nhân
cả tử và mẫu của tỉ số

x
y
với 2 và nhân cả tử và mẫu của tỉ số
với 3 rồi áp
2
3

dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x, y. z.
Giải:
Ta có:

x y z 2x 3 y z
= = =
=
=
2 3 4 4 12 4

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 x 3 y z 2 x + 3 y + z 34
=
= =
=
=2
4
9 4
4+9+4
17
x
⇒ = 2 ⇒ x = 2.2 ⇒ x = 4
2
y
= 2 ⇒ y = 3.2 ⇒ y = 6
3
z
= 2 ⇒ z = 4.2 ⇒ z = 8
4

Vậy: x = 4 ; y = 6 ; z = 8 .
x −1 y − 2 z − 3
=
=
Ví dụ 5: Tìm x, y, z biết.
và x − 2 y + 3 z = 14 .
2
3
4
Phân tích đề bài: Cách làm giống ví dụ 4

Giải:
x − 1 y − 2 z − 3 x − 1 2 y − 4 3z − 9
=
=
=
=
=
Ta có:
2
3
4
2
6
12
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x − 1 2 y − 4 3z − 9 x − 1 − 2 y + 4 + 3z − 9
=
=
=
2
6
12
2 − 6 + 12
x − 2 y + 3z − 6 14 − 6
=
=
=1
8
8
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội

4


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 – 2014

x −1
= 1 ⇒ x −1 = 2 ⇒ x = 3
2
y−2
⇒
=1⇒ y − 2 = 3 ⇒ y = 5
3
z −3
⇒
= 1⇒ z − 3 = 4 ⇒ z = 7
4
Vậy: x = 3 ; y = 5 ; z = 7
Nhận xét: Ở bài này ta còn có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ 6: Tìm x, y biết. 7 x = 9 y và 10 x − 8 y = 68
Phân tích đề bài: Ta viết đẳng thức 7 x = 9 y về dạng dãy tỉ số bằng nhau sau đó
vận dụng cách làm ở ví 4.
Giải:
⇒

Từ: 7 x = 9 y ⇒

x y 10 x 8 y

= =
=
9 7 90 56

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
10 x 8 y 10 x − 8 y 68
=
=
=
=2
90 56 90 − 56 34

x
= 2 ⇒ x = 9.2 ⇒ x = 18
9
y
= 2 ⇒ y = 7.2 ⇒ y = 14
7
Vậy: x = 18 ; y = 14 .
Ví dụ 7: Tìm x, y, z biết. 2 x = 3 y = 4 z và x + y + z = 169 .
Phân tích đề bài: Ta đưa dãy đẳng thức 2 x = 3 y = 4 z về dạng dãy tỉ số bằng
⇒

nhau sao cho hệ số của x, y, z trong dãy tỉ số bằng nhau bằng bằng 1.
Cách làm chia các tích cho 12 [ vì: BCNN ( 2;3; 4 ) = 12 ] sau đó làm như ví dụ
3
Giải:
2x 3 y 4z x y z
=
=

= = =
Từ: 2 x = 3 y = 4 z ⇒
12 12 12 6 4 3
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x y z x + y + z 169
= = =
=
= 13
6 4 3 6 + 4 + 3 13

⇒

x
= 13 ⇒ x = 6.13 ⇒ x = 78
6
y
= 13 ⇒ y = 4.13 ⇒ y = 52
4
z
= 13 ⇒ z = 3.13 ⇒ z = 39
3

Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội

5


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Năm học 2013 – 2014
Vậy: x = 78 ; y = 52 ; z = 39 .

x y
= và x. y = 112
Ví dụ 8: Tìm x, y biết.
4 7
Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến
đổi dãy tỉ số bằng nhau làm xuất hiện tích x.y bằng cách lập luận để chứng tỏ
x y
x ≠ 0 rồi nhân hai vế của hai tỉ số = với x. Thay x. y = 112 vào rồi tính.
4 7
Giải:
x y
Vì x. y = 112 ⇒ x ≠ 0 Nhân cả hai vế của = với x ta được:
4 7
2
x
xy 112
=
=
= 16
4
7
7
x2
⇒
= 16 ⇒ x 2 = 4.16 ⇒ x 2 = 64 ⇒ x = ±8
4
112
⇒ y = −14
Nếu x = −8 ⇒ −8. y = 112 ⇒ y =
−8

112
⇒ y = 14
Nếu x = 8 ⇒ 8 y = 112 ⇒ y =
8
Vậy: x = −8 ; y = −14 hoặc x = 8 ; y = 14
Nhận xét: Ở bài này ta còn có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
x y y z
Ví dụ 9: Tìm x, y, z biết. = ; = và x − 2 y + 3 z = 19
2 3 2 3
x y y z
Phân tích đề bài: Đưa hai dãy tỉ số = ; = về một dãy ba tỉ số bằng
2 3 2 3
nhau bằng cách biến đổi y ở hai dãy tỉ số về cùng mẫu sau đó làm giống ví dụ 4
Giải:
x y
x y
= ⇒ = 
x y z x 2 y 3z
2 3
4 6
=
⇒ = = = =
y z
y z  4 6 9 4 12 27
= ⇒ =
2 3
6 9 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x 2 y 3z x − 2 y + 3z 19
=

=
=
=
=1
4 12 27 4 − 12 + 27 19
x
⇒ = 1 ⇒ x = 4.1 = 4
4
y
= 1 ⇒ y = 6.1 ⇒ y = 6
6
z
= 1 ⇒ z = 9.1 ⇒ z = 9
9
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội

6


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 – 2014

Vậy: x = 4 ; y = 6 ; z = 9
x y z
Ví dụ 10: Tìm x, y, z biết. = = và 2 x 2 + 2 y 2 − 3 z 2 = −100 .
3 4 5
Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến
đổi dãy tỉ số bằng nhau làm xuất hiện x 2 ; y 2 ; z 2 bằng cách bình phương các tỉ số
sau đó làm giống ví dụ 4.

Giải:
x y z
x 2 y 2 z 2 2 x 2 2 y 2 3z 2
Từ: = = ⇒
=
=
=
=
=
3 4 5
9 16 25 18
32
75
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 x 2 2 y 2 3 z 2 2 x 2 + 2 y 2 − 3 z 2 −100
=
=
=
=
=4
18
32
75
18 + 32 − 75
−25
⇒ x 2 = 9.4 = 36 ⇒ x = ±6
y 2 = 16.4 = 64 ⇒ y = ±8

z 2 = 25.4 = 100 ⇒ z = ±10
x y z

Từ = = ⇒ x, y, z cùng dấu
3 4 5
Vậy: x = −6; y = −8; z = −10 Hoặc x = 6; y = 8; z = 10
x y
x z
= (1) và x 3 + y 3 + z 3 = −1009
Ví dụ 11: Tìm x, y, z biết. = ;
2 3
4 9
x y
x z
= ;
=
Phân tích đề bài: Đưa hai dãy tỉ số
về một dãy ba tỉ số bằng
2 3
4 9
nhau giống ví dụ 8 rồi lập phương các tỉ số để xuất hiện x 3 ; y 3 ; z 3 sau đó áp
dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x, y, z.
Giải:
x y
x y
= ⇒ =
Ta có:
2 3
4 6
x y z
x3
y3
z3

⇒ = = ⇒
=
=
4 6 9
64 216 729
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x3
y3
z3
x3 + y 3 + z 3
−1009
=
=
=
=
= −1
64 216 729 64 + 216 + 729 1009
⇒ x 3 = 64. ( −1) = −64 ⇒ x = −4
y 3 = 216. ( −1) = −216 ⇒ y = −6

z 3 = 729. ( −1) = −729 ⇒ z = −9
Vậy: x = −4 ; y = −6 và z = −9

Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội

7


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 – 2014

a b c
= = và a + b + c ≠ 0 ; a = 2012 . Tính: b, c.
b c a
Phân tích đề bài: Vì a + b + c ≠ 0 ta áp dụng ngay tính chất dãy tỉ số bằng
nhau để tìm giá trị của dãy tỉ số này rồi từ đó tìm ra giá trị của a, b, c.
Giải:
Vì a + b + c ≠ 0
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Ví dụ 12: Cho

a b c a +b +c
= = =
=1
b c a b+c+a

Mà a = 2012 ⇒ b = 2012
b = 2012 ⇒ c = 2012
Vậy: a = b = c = 2012
a
b
c
=
=
Ví dụ 13: Cho ba tỉ số bằng nhau
khi a + b + c = 0 .
b+c a+c a+b
Tính giá trị mỗi tỉ số đó.
Phân tích đề bài: Vì a + b + c = 0 nên không thể áp dụng tính chất dãy tỉ số

bằng nhau với ba tỉ số. Ta chỉ có thể áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau với
hai tỉ số.
Giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a
b
a −b
=
=
= −1 và:
b+c a +c b−c

b
c
b−c
=
=
= −1
a +c a +b c −b

Vậy mỗi tỉ số đã cho bằng có giá trị bằng -1
Ví dụ 14: Tìm x biết.
2x + 1 3 y − 2 2 x + 3 y −1
( 1)
=
=
5
7
6x

Phân tích đề bài: Ta nhận thấy tử số của tỉ số thứ ba bằng tổng hai tử số của hai
tỉ số đầu do đó, áp dung tính chất dãy tỉ số bằng nhau của hai tỉ số đầu để tìm x.
Giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 x + 1 3 y − 2 2 x + 3 y −1
=
=
( 2)
5
7
12
Từ ( 1) và ( 2 ) ⇒ 6 x = 12
⇒x=2

Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội

8


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Năm học 2013 – 2014
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm x, y biết.
x y
x
y
=
a) = và x − y = 30
b)
và 2 x − y = 34

6 9
19 21
x y
c) = và x. y = 180
d) x : y = 4 : 5 và x. y = 5
4 5
x y
x y
e) = và x 2 . y 2 = 4
f) = và x 4 . y 4 = 16
2 4
2 4
x 5
g) = và 2 x 2 − 3 y 2 = 92
h) 3x = 2 y và x 2 + y 2 = 208
y 3
Bài 2: Tìm x, y, z biết.
x y z
= = và x + y + z = 9
a)
2 3 4
x y z
b) = = và x − 3 y + 4 z = 62
4 3 9
x y z
= =
c)
và 5 x + y − 2 z = 28
10 6 21
2x 3 y 4z

=
=
d)
và x + y + z = 49
3
4
5
x 9 y 7
e) = ; = và x − y + z = −15
y 7 z 3
x y z
f) = =
và x. y.z = 810
2 3 5
x y z
g) = =
và x. y.z = −1680
5 6 10
x y z
h) = = và x 2 − y 2 + 2 z 2 = 108
2 3 4
Bài 3: Tìm x, y, z biết.
x 7 y 5
a) = ; =
và 2 x + 5 y − 2 z = 100
y 20 z 8
x −1 y − 2 z − 3
=
=
b)

và 2 x + 3 y − z = 50
2
3
4
12 x − 15 y 20 z − 12 x 15 y − 20 z
=
=
c)
và x + y + z = 48
7
9
11
1+ 2 y 1+ 4 y 1+ 6 y
=
=
.
18
24
6x
Bài 5: Tìm các số t1 , t2 ,....., t9 biết.
t −9
t1 − 1 t2 − 2 t3 − 3
=
=
= ........ = 9
và t1 + t2 + ..... + t9 = 90
9
8
7
1

Bài 4: Tìm x biết.

Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội

9


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Dạng II: Chia tỉ lệ.
I - Chú ý:

Năm học 2013 – 2014

1) x, y, z tỉ lệ thuận với a, b, c ⇔ x : y : z = a : b : c ( Hay
2) x, y, z tỉ lệ nghịch với a, b, c ⇔ x : y : z =

x y z
= = )
a b c

1 1 1
: : ( Hay ax = by = cz )
a b c

II – Bài tập:
Ví dụ 1: Chu vi của hình chữ nhật bằng 28 dm. Tính độ dài mỗi cạnh, biết rằng
chúng tỉ lệ với 3; 4.
Phân tích đề bài: Trong hình chữ nhật có hai kích thước là chiều dài và chiều
rộng (còn được gọi là hai cạnh của hình chữ nhật) chiều rộng thì ngắn hơn chiều

dài. Hai cạnh của chúng tỉ lệ với 3; 4 vậy cạnh ngắn tỉ lệ với 3 còn cạnh dài tỉ lệ
với 4.
Nếu gọi hai cạnh của hình chữ nhật là a và b ( 0 < a < b ) . Vì hai cạnh hình
a b
chữ nhật ti lệ với 3 và 4 nên ta có: = .
3 4
Chu vi hình chữ nhật là 2 ( a + b ) nên ta có: 2 ( a + b ) = 28 ⇒ a + b = 14
Như vậy ta đã đưa bài toán về dạng bài áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Giải:
Gọi hai cạnh của hình chữ nhật là a và b ( 0 < a < b )
Theo bài ra ta có:

a b
=
và 2 ( a + b ) = 28
3 4

Từ 2 ( a + b ) = 28 ⇒ a + b = 24
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b a + b 14
= =
= =2
3 4 3+ 4 7
⇒ a = 3.2 = 6 ; ⇒ b = 4.2 = 8
Vậy độ dài hai cạnh hình chữ nhật là 6cm và 8cm.
µ ,C
µ lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có số đo các góc µA, B
tính số đo các góc của tam giác ABC.
µ ,C

µ lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3.
Phân tích đề bài: Ở bài này cho các góc µA, B
µ ,C
µ là số đo ba góc cần tìm.
Vậy ta lấy luôn µA, B
µ µ µ
µ ,C
µ lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3 nên ta có: A = B = C
Vì số đo các góc µA, B
1 2 3
µ
µ
µ
Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam ta có: A + B + C = 1800
Giải:
µ ,C
µ
Gọi ba góc trong và góc ngoài của tam giác ABC lần lượt là: µA, B

(0

Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội

0

µ ,C
µ < 1800
< µA, B

)

10


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Theo bài ra ta có:

Năm học 2013 – 2014

µA B
µ C
µ
µ +C
µ = 1800
và µA + B
= =
1 2 3

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

µA B
µ C
µ µA + B
µ +C
µ 1800
= = =
=
= 300
1 2 3
1+ 2 + 3
6

0
0
µ
µ
µ = 3.300 = 900
⇒ A = 1.30 = 30 ; B = 2.300 = 600 ; C

µ ,C
µ của tam giác ABC lần lượt là: 300 ;600 ;900
Vậy số đo ba góc µA, B
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có các góc A, B, C tỉ lệ với 7: 5: 3. Các góc ngoài
tương ứng tỉ lệ với các số nào.
µ ,C
µ .
Phân tích đề bài: Nếu gọi ba góc của tam giác ABC lần lượt là: µA, B
µ µ µ
µ ,C
µ tỉ lệ với 7: 5: 3 nên ta có A = B = C
Vì ba góc µA, B
7

5

3
µ +C
µ = 1800
Tổng ba góc của một tam giác bằng 180 nên ta có: µA + B
0

Từ đó ta tìm được số đo các góc của tam giác,

Mà tổng của góc ngoài và góc trong tại một đỉnh của tam giác bù nhau.
Giải:
µ ,C
µ và
Gọi ba góc trong và góc ngoài của tam giác ABC lần lượt là: µA, B

(

µ ,C
µ < 1800
µA1 ; B
µ 1; C
µ 00 < µA, B
1

Theo bài ra ta có:

µA B
µ C
µ
µ +C
µ = 1800 .
và µA + B
= =
7 5 3

)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

µA B
µ C
µ µA + B
µ +C
µ 1800
= = =
=
= 120
7 5 3
7+5+3
15
0
0
0
⇒ µA = 7.120 = 840 ⇒ µA1 = 180 − 84 = 96

µ = 1800 − 600 = 1200
µ = 5.120 = 600 ⇒ B
B
1
µ = 1800 − 360 = 1440
µ = 3.120 = 360 ⇒ C
C
1
0
0
µ :C
µ = 96 :120 :1440 = 4 : 5 : 6
⇒ µA : B
1

1

1

Vậy các góc ngoài tương ứng tỉ lệ với: 4 : 5 : 6 .
Ví dụ 4: Có 16 tờ giấy bạc loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng, trị giá
mỗi loại tiền trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ.
Phân tích đề bài:
Gọi số tờ tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là a, b, c
Vì giá trị mỗi loại tiền đều bằng nhau nên ta có: 2000a = 5000b = 10000c
Có 16 tờ giấy bạc các loại nên: a + b + c = 16
Giải:
Gọi số tờ tiền của loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là a, b, c
Theo bài ra ta có: 2000a = 5000b = 10000c và a + b + c = 16

Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội

11


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 – 2014

a b c
= =
5 2 1
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b c a + b + c 16

= = =
= =2
5 2 1 5 + 2 +1 8
⇒ a = 5.2 = 10 ; b = 2.2 = 4 c = 1.2 = 2
Vậy số tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng, 10000 đồng lần lượt là 10 tờ, 4 tờ và
2 tờ.
Ví dụ 5: Ba đội công nhân I, II, III phải vận chuyển tổng cộng 1530 kg hàng từ
kho theo thứ tự đến ba địa điểm cách kho 1500m, 2000m, 3000m. Hãy phân
chia số hàng cho mỗi đội sao cho khối lượng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách
cần chuyển.
Phân tích đề bài: Vì phân chia số hàng cho mỗi đội sao cho khối lượng hàng tỉ
lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển nên ta có: 1500a = 2000b = 3000c
Tổng số hàng cần chuyển đến ba kho là 1530 nên ta có: a + b + c = 1530 .
Giải:
Gọi số lượng hàng chuyển tới ba kho lần lượt là a, b, c ( a, b, c > 0 ) .
Theo bài ra ta có: 1500a = 2000b = 3000c và a + b + c = 1530
a b c
Từ: 1500a = 2000b = 3000c ⇒ = =
4 3 2
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b c a + b + c 1530
= = =
=
= 170
4 3 2 4+3+ 2
9
⇒ a = 4.170 = 680 ;
b = 3.170 = 510 ;
c = 2.170 = 340
Vậy số hàng cần chuyển tới ba kho A, B, C lần lượt là: 680 tạ, 510 tạ, 340 tạ.

Ví dụ 5: Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2: 3: 4. Hỏi ba chiều cao
tương ứng ba cạnh đó tỉ lệ với số nào.
Phân tích đề bài: Nếu gọi ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó là: h1 , h2 , h2 .
Vì cạnh và chiều cao tương ứng của một tam giác là hai đại lượng tỉ lệ
Từ: 2000a = 5000b = 10000c ⇒

nghịch nên ta có 2h1 = 3h2 = 4h3 ⇒
Giải:

h1 h2 h3
⇒ h1 : h2 : h3 = 6 : 4 : 3
= =
6 4 3

Gọi ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó là: h1 , h2 , h3 . ( h1 , h2 , h3
Theo bài ra ta có: 2h1 = 3h2 = 4h3 ⇒
⇒

> 0)

h1 h2 h3
= =
6 4 3

h1 : h2 : h3 = 6 : 4 : 3

Vậy ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó của tam giác tỉ lệ với 6 : 4 : 3 .

Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội

12


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Năm học 2013 – 2014
Ví dụ 6: Một lớp học có 35 em, sau khảo sát chất lượng số học sinh được xếp
thành ba loại: Giỏi, khá và trung bình. Số học sinh giỏi và khá tỉ lệ với 2 và 3, số
học sinh khá và trung bình tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh mỗi loại.
Phân tích đề bài: Nếu gọi số học sinh giỏi, khá, trung bình của lớp đó lần lượt
*
là: a, b, c a, b, c ∈ N

(

)

Vì số học sinh giỏi và khá tỉ lệ với 2 và 3 nên ta có:

a b
=
2 3

Số học sinh khá và trung bình tỉ lệ với 4 và 5 nên ta có:

b c
= .
4 5

Lớp học có 35 em nên ta có: a + b + c = 35
Giải:

*
Gọi số học sinh giỏi, Khá trung bình của lớp đó lần lượt là: a, b, c ( a, b, c ∈ N )
a b
b c
=
Theo bài ra ta có: = ;
và a + b + c = 35
2 3
4 5
a b
a b 
= ⇒ =
c
2 3
8 12  a b
=
⇒ =
b c
b
c
8 12 15
= ⇒
= 
4 5 12 15 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b
c
a+b+c
35
= = =

=
=1
8 12 15 8 + 12 + 15 35
⇒ a = 8.1 = 8 ; b = 12.1 = 12 ; c = 15.1 = 15
Vậy số học sinh giỏi, khá, trung bình của lớp đó lần lượt là: 8 em, 12 em, 15 em.
Ví dụ 7: Độ dài các cạnh góc vuông của một tam giac vuông tỉ lệ với 8: 15,
cạnh huyền dài 51cm. Tính độ dài hai cạnh góc vuông.
Phân tích đề bài:
Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là: a, b
a b
Vì hai cạnh tỉ lệ với 8: 15 nên ta có: =
8 15
Áp dụng định lí Pi – Ta – Go vào tam giác vuông đó ta được: a 2 + b 2 = 512
Giải:
Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là: a, b
a b
Theo bài ra ta có: =
và a 2 + b 2 = 512 (Định lí Pi – Ta – Go)
8 15
a b
a2
b2
2
2
2
2
2
Từ a + b = 51
⇒ a + b = 2601 và = ⇒ =
8 15

64 225
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a2
b2
a 2 + b 2 2601
=
=
=
=9
64 225
289
289
⇒ a 2 = 64.9 = 576 ⇒ a = 24 ; b 2 = 225.9 = 2025 ⇒ b = 45 .

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là: 24cm, 45cm.
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội

13


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Năm học 2013 – 2014
Ví dụ 8: Hai xe ô tô cùng khởi hành từ hai địa điểm A và B. Xe thứ nhất đi
quãng đường AB hết 4 giờ 15 phút. Xe thứ hai đi quãng đường BA hết 3 giờ 45
phút. Đến chỗ gặp nhau, xe thứ hai đi được quãng đường dài hơn quãng đường
xe thứ nhất đã đi là 20 km. Tính quãng đường AB.
Phân tích đề bài:
Gọi vận tốc, thời gian, quãng đường của xe đi từ A đến B là v1 ; t1 và s1
Thì vận tốc, thời gian và quãng đường của xe đi từ B về A là v2 ; t2 và

s2

3
15
1
17
Ta có 4 giờ 15 phút = 4 h = h và 4 giờ 45 phút = 3 h = h
4
4
4
4
Trên cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ
nghịch.
15
v t
4 = 15
Từ tỉ số thời gian ta tìm được tỉ số vận tôc của hai xe là: 1 = 2 = 17
v2 t1
17
4

Với cùng thời gian (Từ lúc xuất phát đến chỗ gặp nhau) vận tốc và quãng
s
s
đường là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có: 1 = 2 Và s2 − s1 = 20 .
15 17
3
15
1
17

Giải: 4 giờ 15 phút = 4 h = h ;
4 giờ 45 phút = 3 h = h
4
4
4
4
Gọi vận tốc, thời gian và quãng đường của xe đi từ A đến B là v1 ; t1 và s1
Thì vận tốc, thời gian và quãng đường của xe đi từ B về A là v2 ; t2 và s2
Trên cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ
15
v1 t2
15
= = 4 =
nghịch. Ta có:
v2 t1 17 17
4

Với cùng thời gian (Từ lúc xuất phát đến chỗ gặp nhau) vận tốc và quãng
đường là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
s1 s2 s1 s2 s2 − s1 20
=
= 10
Ta có: = = = =
v1 v2 15 17 17 − 15 2
⇒ s1 = 15.10 = 150 ; s2 = 17.10 = 170
Quãng đường AB là: 150 + 170 = 320 (km)
Đ/S: 320km
1
Ví dụ 9: Ba kho A, B, C chứa một số gạo. Người ta nhập vào kho A thêm
số

7
1
2
gạo của kho đó, xuất ở kho B đi số gạo của kho đó, xuất ở kho C đi
số gạo
7
9
của kho đó. Khi đó số gạo của ba kho bằng nhau. Tính số gạo ở mỗi kho lúc
đầu, biết rằng kho B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ gạo.
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội

14


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Năm học 2013 – 2014
Phân tích đề bài: Gọi số gạo ở ba kho lúc đầu lần lượt là a, b, c
1
1
8a
Số gạo ở kho A sau khi thêm
số gạo của kho A là: a + a =
.
7
7
7
1
8b
1
Số gạo ở kho B sau khi xuất số gạo của kho B là: b − b =

.
9
9
9
2
5c
2
Số gạo ở kho C sau khi xuất
số gạo của kho C là: c − c =
7
7
7
Vì sau khi thêm vào kho A và xuất ở kho B và kho C thì số gạo của ba kho
8a 8b 5c
=
=
bằng nhau nên ta có:
7
9
7
Lúc đầu kho B nhiều hơn kho A là 20 tạ nên ta có: b − a = 20
Giải:
Gọi số gạo ở ba kho lúc đầu lần lượt là a, b, c ( a, b, c > 0 ) .

1
8a
Số gạo ở kho A sau khi thêm là: a + a =
.
7
7

1
8b
Số gạo ở kho B sau khi xuất là: b − b =
.
9
9
2
5c
Số gạo ở kho C sau khi xuất là: c − c =
7
7
8a 8b 5c
=
=
Theo bài ra ta có:
và b − a = 20
7
9
7
8a 8b 5c
a
b
c
=
= ⇒
=
=
Từ
7
9

7
35 45 56
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a
b
c
b−a
20
=
=
=
=
=2
35 45 56 45 − 35 10
⇒ a = 35.2 = 70 ;
b = 45.2 = 90 ;
c = 56.2 = 112

Vậy: số gạo ở mỗi kho lúc đầu lần lượt là 70 kg, 90 kg và 112 kg.
Ví dụ 10: Ba xí nghiệp cùng xây dựng chung một cái cầu hết 38 triệu đồng. Xí
nghiệp I có 40 xe ở cách cầu 1,5km, xí nghiệp II có 20 xe ở cách cầu 3km, xí
nghiệp III có 30 xe ở cách cầu 1km. Hỏi mỗi xí nghiệp phải trả cho việc xây
dựng cầu bao nhiêu tiền, biết rằng số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ
nghịch với khoảng cách từ xí nghiệp đến cầu.
Phân tích đề bài: Gọi số tiền phải góp của ba xí nghiệp lần lượt là: a, b, c
Vì số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ xí
40 20 30
: :
nghiệp đến cầu nên ta có: a : b : c =
1,5 3 1

Tổng số tiền mà ba xí nghiệp cần đóng là 38 triệu nên ta có: a + b + c = 38
Giải:
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội

15


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 – 2014

Gọi số tiền phải góp của ba xí nghiệp lần lượt là: a, b, c ( a, b, c > 0 )
Theo bài ra ta có:
40 20 30
a :b :c =
: :
và a + b + c = 38
1,5 3 1
40 20 30
a b c
: : = 8: 2:9 ⇒ = =
Từ a : b : c =
1,5 3 1
8 2 9
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b c a + b + c 38
= = =
=
=2
8 2 9 8 + 2 + 9 19

⇒ a = 8.2 = 16 ; b = 2.2 = 4 ; c = 9.2 = 18
Ba xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng cầu lần lượt là: 16 triệu đồng, 4 triệu
đồng bà 18 triệu đồng.
25
Ví dụ11 : Tổng ba phân số tối giản bằng 5
các tử của chúng tỉ lệ nghịch với
63
20: 4: 5. Các mẫu của chúng tỉ lệ thuận với 1: 3 : 7. Tìm ba phân số đó.
Phân tích đề bài: Gọi ba phân số cần tìm lần lượt là: a, b, c.
Vì tử của ba phân số tỉ lệ nghịch với 20: 4: 5 và mẫu của chúng tỉ lệ thuận với
1 1 1
1: 3 : 7 nên ba phân số đó tỉ lệ với
a : b : c = 20 : 4 : 5
1 3 7
25
25
Tổng ba phân số đó bằng 5
nên ta có: a + b + c = 5 .
63
63
Giải:
Gọi ba phân số cần tìm lần lượt là: a, b, c.
1 1 1
25
Theo bài ra ta có:
và a + b + c = 5
20
5
4
a:b:c =

: :
63
1 3 7
1 1 1
1 1 1
Từ:
a : b : c = 20 : 4 : 5 ⇒ a : b : c =
: :
1 3 7
20 12 35
a
b
c
⇒ 20a = 12b = 35c ⇒
=
=
21 35 12
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
25
5
a
b
c
a+b+c
5
=
=
=
= 63 =
21 35 12 21 + 35 + 12

68
63
5 25
5 20
5 5
⇒ a = 21. = ; b = 35. =
; c = 12.
=
63 3
63 21
63 9
5 25 20
Vậy ba phân số cần tìm lần lượt là: ;
;
.
3 9 21
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội

16


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Năm học 2013 – 2014
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi là 64m. Tính độ dài mỗi cạnh biết
rằng chúng tỉ lệ với 3 và 5.
Bài 2: Tính chiều dài ba cạnh của một tam giác có chu vi là 30m và ba cạnh tỉ lệ
với 4: 5: 6.
Bài 3: Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ
lệ với 1: 2: 3.

Bài 4: Năm lớp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E nhận chăm sóc vườn trường có diện tích
300m 2 . Lớp 7A nhận 15% diện tích vườn, lớp 7B nhận

1
diện tích còn lại. Diện
5

tích còn lại của vườn sau khi hai lớp trên nhận được đem chia cho ba lớp 7C,
7D, 7E tỉ lệ với

1 1 5
: : . Tính diện tích vườn giao cho mỗi lớp.
2 4 16

Bài 5: Ba công nhân được thưởng 100000 đồng, số tiền thưởng phân chia tỉ lệ
với mức sản xuất của mỗi người. Biết mức sản xuất của người thứ nhất so với
mức sản xuất của người thứ hai bằng 5: 3, mức sản xuất của người thứ ba bằng
25% tổng số mức sản xuất của hai người kia. Tính số tiền mỗi người được
thưởng.
Bài 6: Có ba gói tiền gói thứ nhất gồm toàn tờ 500 đồng, gói thứ hai gồm toàn
2000 đồng, gói thứ ba gồm toàn tờ 5000 đồng. Biết rằng tổng số tờ giấy bạc của
ba gói là 540 tờ và số tiền ở các gói bằng nhau.
Bài 7: Cho tam giác ABC có các đường cao ha , hb , hc tỉ lệ thuận với 2; 3; 4.
Chu vi tam giác ABC bằng 13. Tính độ dài cạnh lớn nhất của tam giác ABC.
Bài 8: Ba tổ công nhân có mức sản xuất tỉ lệ với 5; 4; 3. Tổ I tăng năng xuất
10%, tổ II tăng năng xuất 20%, tổ III tăng năng xuất 10%. Do đó trong cùng một
thời gian, tổ I làm được nhiều hơn tổ II là 7 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi tổ
làm được trong thời gian đó.
Bài 9: Tìm ba số tự nhiên biết rằng BCNN của chúng bằng 3150, tỉ số của số
thứ nhất và số thứ hai là 5: 9, tỉ số của số thứ nhất và số thứ ba là 10: 7.

Bài 10: Số tự nhiên M được chia thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5; 2; 4. Tổng các
bình phương của ba phần đó là 9512. Tìm A.
Bài 11: Số tự nhiên A được chia thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5; 2; 4. Biết tổng
các bình phương của ba phần đó là 564. Tìm A.
Bài 12: Chia số A thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5; 2; 4. Tổng các lập phương
của ba số đó là 9512. Tìm A.
3
Bài 13: Tìm ba phân số, biết rằng tổng của chúng bằng 3 , các tử của chúng tỉ
70
lệ với 3: 4: 5, các mẫu của chúng tỉ lệ với 5: 1: 2.
Một số M được chia làm 3 phần sao cho phần thứ nhất và phần thứ hai tỉ lệ
thuận với 4 và 5; phần thứ hai và phần thứ ba tỉ lệ nghịch với 5 và 3. Biết phần
thứ ba hơn phần thứ hai là 10. Tìm số M.
Bài 14: Ba máy xay, xay được 350 tấn thóc. Số ngày làm việc của ba máy tỉ lệ
với 3: 4: 5, số giờ làm việc của ba máy tỉ lệ với 6: 7: 8, công xuất các máy tỉ lệ
nghịch với 5: 4:3. Hỏi mỗi máy xay được bao nhiêu tấn thóc.
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội

17


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Năm học 2013 – 2014
Dạng III: Dạng chứng minh tỉ lệ thức.
Có nhiều phương pháp chứng minh tỉ lệ thức. Sau đây là một số cách
chứng minh tỉ lệ thức áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

a c
= với b, c, d ≠ 0 . Và c ≠ −d
b d

a+b c+d
=
Chứng minh rằng:
b
d

Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức

Phân tích đề bài: Quan sát tỉ lệ thức phải chứng minh, dùng phương pháp phân
tích suy luân ngược để tìm ra hướng chứng minh. Khi chứng minh ta chứng
minh theo chiều xuôi. Khi chứng minh chú y điều kiện có nghĩa của tỉ lệ thức.
Có:

a c
a b
a+b b
a+b c+d
= ⇐ Cần CM: = ⇐ Cần CM:
= ⇐ để CM:
=
b d
c d
c+d d
b
d

Giải:

a c
a b a +b

= ⇒ = =
b d
c d c+d
b a+b
c+d a+b
⇒ =
⇒
=
d c+d
d
b
a+b c+d
=
hay:
(đpcm)
b
d
a c
Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức = với b, c, d ≠ 0 . Và a ≠ −b; c ≠ − d
b d
a
c
=
Chứng minh rằng:
a+b c+d
a c
a b
a a +b
a
c

= ⇐ = ⇐ =
⇐
=
Phân tích đề bài:
b d
c d
c c+d
a+b c+d
Từ

Giải:

a c
a b a +b
= ⇒ = =
b d
c d c+d
a a+b
a
c
⇒ =
⇒
=
(đpcm)
c c+d
a+b c+d
a+b c+d
=
Ví dụ 3: Cho
( a, b, c, d ≠ 0 và a ≠ b, c ≠ ± d ).

a−b c−d
a c
Chứng minh rằng = .
b d
Từ:

Phân tích đề bài:

a+b c+d
a +b a −b
a b
a c
=
⇐
=
⇐ = ⇐ =
a−b c−d
c+d c−d
c d
b d

Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội

18


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Giải:

Năm học 2013 – 2014

a+b c+d
a +b a −b
=
⇒
=
a−b c−d
c+d c−d
a b
a c
⇒ = ⇒ =
(đpcm)
c d
b d
a c
Ví dụ 4: Cho tỉ lệ thức = . với a, b, c, d ≠ 0
b d
ac a 2 + c 2
Chứng minh:
=
bd b 2 + d 2
Từ:

Phân tích đề bài:

2

2

a c

a c a  c 
ac a 2 c 2
ac a 2 + c 2
= ⇐ . = ÷ = ÷ ⇐
= 2 = 2⇐
= 2
b d
b d b d 
bd b
d
bd b + d 2
Giải:
2

2

a c
a c a  c 
ac a 2 c 2
Từ: = ⇒ . =  ÷ =  ÷ ⇒
=
=
b d
b d b d 
bd b 2 d 2
a2 c2 a2 + c2
Mà: 2 = 2 = 2
(2)
b
d

b +d2
ac a 2 + c 2
Từ (1) và (2) ⇒
(đpcm)
=
bd b 2 + d 2
a c
Ví dụ 5: Cho tỉ lệ thức = . với a, b, c, d ≠ 0 và c ≠ d
b d

( a − b)
2
(c−d)
2

Chứng minh:

=

(1)

ab
cd

Phân tích đề bài:

a c
a b a −b
a b  a −b 
ab ( a − b )

= ⇐ = =
⇐ . =
=
÷ ⇐
b d
c d c−d
c d c−d 
cd ( c − d ) 2
2

Giải:
Từ:

2

a c
a b a −b
= ⇒ = =
b d
c d c−d

a b  a −c 
ab ( a − c )
⇒ . =
=
÷ ⇒
c d b−d 
cd ( b − d ) 2
2

( a − b)
2
(c−d)
2

Hay

=

2

ab
(đpcm)
cd
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội

19


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Ví dụ 6: Cho tỉ lệ thức

a c
= . với a, b, c, d ≠ 0 và c ≠ −d
b d

( a + b)
2014
(c+d)
2014

Chứng minh:

Năm học 2013 – 2014

a 2014 + b 2014
= 2014
c + d 2014

Phân tích đề bài:
2014

a c
a b a +b  a +b 
= ⇐ = =
⇐
÷
b d
c d c+d
c+d 

( a + b)
⇐
2014
(c+d)
2014

2014

a

= ÷
c

2014

b
= ÷
d 

a + b)
(
a 2014 b 2014
a 2014 + b 2014
= 2014 = 2014 ⇐
= 2014
2014
c
d
c + d 2014
(c+d)
2014

Giải:
2014

a c
a b a +b
a
Từ: = ⇒ = =
⇒ ÷

b d
c d c+d
c

a 2014 b 2014 ( a + b )
⇒ 2014 = 2014 =
2014
c
d
(c+d)

2014

b
= ÷
d 

2014

 a +b 
=
÷
c+d 

2014

(1)

a 2014 b 2014 a 2014 + b 2014
Mà: 2014 = 2014 = 2014

c
d
c + d 2014

( a + b)
2014
(c+d)
2014

Từ (1) và (2)

(2)

a 2014 + b 2014
= 2014
(đpcm)
c + d 2014

a c
= với a, b, c ≠ 0
c b
a a2 + c2
Chứng minh rằng: = 2
b b +d2

Ví dụ 7: Cho

Phân tích đề bài:

2

2

a c
a c a c
a a2 c2
a a2 + c2
= ⇐ . = ÷ = ÷ ⇐ = 2 = 2 ⇐ = 2
c b
c b  c  b
b c
b
b c + b2
Giải:
2

2

a c
a c a c
Từ: = ⇒ . =  ÷ =  ÷
c b
c b  c  b
a a2 c2
⇒ . = 2 = 2 (1)
b c
b
a2 c2 a2 + c 2 a 2 + c2
Mà: 2 = 2 = 2
(2)

=
c
b
c + b2 b 2 + c 2
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội

20


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 – 2014

a a2 + c2
Từ (1) và (2) ⇒ = 2
(đpcm)
2
b b +c
a c
Ví dụ 8: Cho = với a, b, c ≠ 0
c b
b − a b2 − a2
Chứng minh rằng:
= 2 2
a
a +c
Phân tích đề bài:
2

Giải:

2

a c
a c a c
a a2 c2
a a2 + c2
= ⇐ . = ÷ = ÷ ⇐ = 2 = 2 ⇐ = 2
c b
c b  c  b
b c
b
b c + b2
b c2 + b2
b − a b2 − a 2
⇐ = 2 2⇐
= 2 2
a a +c
a
a +c
Áp dụng kết quả của phần a ta có:

a c
a a2 + c2
b b2 + c2
= ⇒ = 2 2⇒ = 2 2
c b
b b +c
a a +c
2

2
b
b +c
⇒ −1 = 2 2 −1
a
a +c
b a b2 + c2 a2 + c2
⇒ − = 2 2− 2 2
a a a +c a +c
b − a b2 + c2 − a 2 − c2
⇒
=
a
a2 + c2
b − a b2 − a 2
(đpcm).
⇒
= 2 2
a
a +c
5
5
a c
Ví dụ 9: Cho tỉ lệ thức = với a, b, c, d ≠ 0 và a ≠ ± b; c ≠ ± d ≠ 0 .
b d
3
3
3a + 5b 3c + 5d
=
Chứng minh các tỉ lệ thức sau:

3a − 5b 3c − 5d

Phân tích đề bài:

a c
a b
3a 5b 3a + 5b 3a − 5b
3a + 5b 3c + 5d
= ⇐ = ⇐
=
=
=
⇐
=
b d
c d
3c 5d 3c + 5d 3c − 5d
3a − 5b 3c − 5d

Giải:

Từ:

a c
a b
3a 5b 3a + 5b
= ⇒ = ⇒
=
=
b d

c d
3c 5d 3c + 5d

(1)

Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội

21


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 – 2014

3a 5b 3a − 5b
=
=
(2)
3c 5d 3c − 5d
3a + 5b 3c − 5d
=
Từ (1) và (2) ⇒
3c + 5d 3c − 5d
3a + 5b 3c + 5d
⇒
=
(đpcm).
3c − 5d 3c − 5d
a c
Ví dụ 10: Cho tỉ lệ thức = với a, b, c, d ≠ 0 và

b d
7 a 2 + 5ac 7a 2 + 5bd
Chứng minh:
=
7b 2 − 5ac 7b 2 − 5bd
Mà:

Phân tích đề bài:

2

Giải:

a c
a 2 ac
7a 2 5ac
a a c
= ⇐ ÷ = . ⇐ 2 =
⇐ 2 =
b d
b
b
d
b
bd
7b
5bd
 
7a 2 + 5ac 7 a 2 − 5ac
7 a 2 + 5ac 7b 2 + 5bd

⇐ cm 2
=
⇐ 2
=
7b + 5bd 7b 2 − 5bd
7a − 5ac 7b 2 − 5bd
2

2
a c
a 2 ac
a a c a
Từ: = ⇒  ÷ = . = 2 ⇒ 2 =
b d
b
bd
b b d b
7 a 2 5ac 7 a 2 + 5ac
(1)
⇒ 2 =
=
7b
5bd 7b 2 + 5bd
7 a 2 5ac 7 a 2 − 5ac
Ta có:
(2)
=
=
7b 2 5bd 7b 2 − 5bd
7 a 2 + 5ac 7a 2 − 5ac

Từ (1) và (2) ⇒ 2
=
7b + 5bd 7b 2 − 5bd
7 a 2 + 5ac 7b 2 + 5bd
(đpcm).
⇒ 2
=
7 a − 5ac 7b 2 − 5bd

Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội

22


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Bài tập áp dụng:

Năm học 2013 – 2014

a c
= ≠ ±1 với a, b, c, d ≠ 0 . Chứng minh rằng:
b d
a+b c+d
a
c
a −b c −d
=
=
=
a)

b)
c)
b
d
a
c
a −b c −d

Bài 1: Cho tỉ lệ thức

a +2 b+3
a b
=
=
với a ≠ 2; b ≠ 3 . Chứng minh rằng
a −2 b−3
2 3
Bài 3: Cho a + d = b + c và a 2 + d 2 = b 2 + c 2 ( b, d ≠ 0 ) .
Chứng minh rằng bốn số a, b, c, d lập thành tỉ lệ thức.
Bài 2: Cho tỉ lệ thức:

Bài 4: Cho tỉ lệ thức

a c
= Chứng minh các tỉ lệ thức sau (với giả thiết các tỉ
b d

số đều có nghĩa).

( a + b)

2
(c+d)
2

a)

a2 + b2
= 2
c + d2

b)

2a + 5b 2c + 5
=
3a − 4b 3c − 4d

2005a − 2006b 2005c − 2006d
2012a − 2013b 2012c − 2013d
=
=
d)
2013a + 2014b 2013c + 2014d
2006c + 2007 d 2006a + 2007b
Bài 5: Cho b 2 = ac ; c 2 = bd với b, c, d ≠ 0 ; b + c ≠ d ; b3 + c 3 ≠ d 3
c)

3

a 3 + b3 − c 3  a + b − c 
Chứng minh rằng: 3

=
÷
b + c3 − d 3  b + c − a 
Bài 6: Cho

a
b
c
=
=
.
2012 2013 2014

Chứng minh rằng: 4 ( a − b ) ( b − c ) = ( c − a )
a
a
a1 a2 a3
=
=
= ........ = 8 = 9
Bài 7: Cho dãy tỉ số bằng nhau
a2 a3 a4
a9 a1
và a1 + a2 + ....... + a9 ≠ 0 . Chứng minh rằng: a1 = a2 = a3 = ....... = a9
2

Bài 8: Chứng minh rằng nếu a ( y + z ) = b ( z + x ) = c ( x + y ) , trong đó a, b, c
khác nhau và khác 0. Thì:

y−z

z−x
x− y
=
=
.
a ( b − c) b ( c − a) c ( a − b)

a 2 + b 2 ab
Bài 9: Cho 2
với a, b, c, d ≠ 0 ; c ≠ ± d .
=
c + d 2 cd
a c
a d
CMR hoặc = hoặc =
b c
b d

a b c
ax 2 + bx + c
= =
Bài 10: Cho p =
. Chứng minh rằng nếu
thì giá trị
a1 b1 c1
a1 x + b1 x + c1
của P không phụ thuộc vào x.

Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội

23


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Năm học 2013 – 2014
C. KẾT QUẢ THỰC HIỆN CÓ SO SÁNH ĐỐI CHỨNG:
Với phương pháp dạy học theo các chuyên đề, đặc biệt là chuyên đề
“Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”.
Các em không những không còn sợ dạng toán này mà còn rất thích làm bài tập
dạng này.
Trước khi thực hiên đề tài
Số lượng

Sau khi thực hiên đề tài

Tỉ lệ %

Số lượng

Tỉ lệ %

Giỏi

3

9%

8

24%

Khá

5

15%

12

36%

TB

10

30%

13

40%

Như vậy
thực hiện đề tài 46%
kết quả học sinh 0nắm được phương
Dưới
TB sau khi 15
0% pháp
giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và áp dụng làm bài kiểm tra rất
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1. Nâng cao và phát triển toán 7.

2. Nâng cao và các chuyên đề đại số 7.
3. Bài tập nâng cao và các chuyên đề toán 7.
4. Bồi dưỡng toán 7.
5. Các chuyên đề bồi dưỡng HSG toán 7.
E. NHỮNG KIẾN NGHỊ SAU QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:
Phòng giáo dục cần tổ chức một chuyên đề hướng dẫn làm sáng kiến kinh
nghiệm giới thiệu những sáng kiến kinh nghiệm hay để giáo viên có dịp trao đổi
bàn bạc và học tập ở đồng nghiệp.
Trên đây là một số kinh nghiệm trong việc dạy học sinh lớp 7 giải bài toán
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, mong hội đồng khoa học góp ý kiến bổ
xung cho đề tài được tốt hơn.
Xin chân thành cảm ơn !

NHẬN XÉT CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Mỹ Hưng, ngày 15 tháng 3 năm 2014
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm của
mình viết, không sao chép nội dung của người khác
Tác giả:

Đinh Thị Mai Hoa.

Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội

24


Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 – 2014

Ý KIẾN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI
CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CƠ SỞ
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG
(kí tên đóng dấu)

Ý KIẾN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI
CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRÊN
…………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
…………………

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG
(kí tên đóng dấu)

Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội

25