Hướng dẫn học sinh chứng minh một bài toán hình học

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập-Tự do-Hạnh phúc
Vồ Dơi, ngày 15 tháng 9 năm 2016
BÁO CÁO SÁNG KIẾN
- Tên sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh chứng minh một bài toán hình học”.
- Họ và tên: Bùi Văn Huy
- Đơn vị công tác: Trường THCS Vồ Dơi.
- Thời gian đã được triển khai thực hiện: Từ ngày: 01/8/2014 đến ngày:
12/9/2016.
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Tên sáng kiến
“Hướng dẫn học sinh chứng minh một bài toán hình học”.
2. Sự cần thiết, mục đích của việc thực hiện sáng kiến.
Trong quá trình dạy học môn Toán ở trường Trung học cơ sở, việc chứng
minh một bài toán là rất khó, việc dạy học sinh chứng minh bài toán hình học là
vấn đề càng khó hơn đây là vấn đề khá trừu tượng đối với học sinh. Đồng thời,
việc hướng dẫn học sinh thực hiện cũng khá phức tạp. Chính vì lẽ đó, thực trạng
giảng dạy cho thấy, nếu chúng ta khảo sát ở các em học sinh bằng cách lấy ngẫu
nhiên một lớp học (khoảng 35 em) và ra một đề kiểm tra về dạng chứng minh một
bài toán hình học, ta sẽ thấy không quá 10 em làm hoàn thành bài toán ấy.
Thực ra, việc chứng minh một bài toán hình học có nhiều bài toán không có
cách giải một cách tường minh. Đối với những bài toán ấy, giáo viên chỉ có thể
hướng dẫn cho học sinh cách suy nghĩ, tìm tòi lời giải. Đây là cơ sở để giáo viên
trang bị dần cho học sinh một số tri thức, phương pháp nhằm rèn luyện và phát
triển ở học sinh năng lực tư duy lô gic. Giáo viên phải biết đặt ra cho học sinh
đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng và
trong chừng mực nào đó các em sử dụng khéo léo và linh hoạt lược đồ chứng minh
một bài toán hình học. Thể hiện kinh nghiệm và năng lực sư phạm của người giáo
viên trong quá trình giảng dạy. Đây là kinh nghiệm chứ không phải bằng chỉ dẫn
có tính chất thuật toán. Tiếp thu những kinh nghiệm này, mỗi giáo viên chúng ta có
thể thực hiện khác nhau cả về cách thức lẫn thời gian để đi đến kết quả và có thể

không đi đến kết quả. Điều đó nói lên tính chất khó khăn, phức tạp của việc truyền
đạt phương pháp và kinh nghiệm dạy toán chứ không phải phủ nhận vai trò quan
trọng của việc này. Không có một phương pháp tổng quát nào để giải cho mọi bài
toán, chúng ta chỉ có thể thông qua dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần
truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm để tiến tới nghệ thuật trong việc
suy nghĩ, tìm tòi cách chứng minh một bài toán hình học. Trong quá trình giảng
dạy, tôi xin mạnh dạn đưa ra khía cạnh nhỏ về phương pháp dạy học chứng minh
1


một bài toán hình học để giúp học sinh cải thiện năng lực chứng minh của mình,
đồng thời phát triển nó ở một mức độ nhất định.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN:
Để hướng dẫn học sinh chứng minh một bài toán hình học, chúng ta nên
thực hiện theo trình tự các bước sau:
1. Tìm hiểu nội dung của bài toán:
Để giải được một bài toán nói chung cũng như chứng minh một bài toán
hình học nói riêng, trước hết phải hiểu đề bài và có hứng thú chứng minh bài toán
ấy. Chúng ta dễ dàng nhận thấy các em sự thụ động và thiếu tự tin ở những dạng
toán “chứng minh”. Điều này cũng dễ hiểu vì khi đọc đề bài, các em không hiểu
bài toán nói gì và yêu cầu thực hiện điều gì. Vì thế, giáo viên cần hết sức chú ý
khâu quan trọng này và tìm cách gợi động cơ, kích thích trí tò mò, hứng thú ở học
sinh, giúp các em hiểu vấn đề phải chứng minh và cần thiết chứng minh. Đối với
bước này, ta có thể tiến hành như sau:
- Cho ít nhất hai học sinh đọc đề, cả lớp theo dõi.
- Cho cả lớp nhẩm thầm đề bài trong ít phút và tự xác định cách vẽ hình. Tự
đặt và trả lời các câu sau trong tư duy:
+ Hình vẽ cần vẽ cái gì trước, cái gì sau?
+ Cách xác định các điểm của đề (nếu có).
+ Cách vẽ góc, đoạn (nếu có).

2. Rèn kĩ năng vẽ hình và tóm tắt bài toán:
a. Hình vẽ:
Sau khi đã đọc kĩ bài toán, tưởng tượng một cách khái quát và sơ bộ một
hình phát thảo có chứa đựng các dữ kiện trong đề bài, giáo viên vừa hướng dẫn,
vừa thực hiện các thao tác vẽ hình cho học sinh nắm. Khi vẽ hình cần lưu ý các
điểm sau đây:
- Hình vẽ phải mang tính tổng quát, không nên vẽ hình trong những trường
hợp đặc biệt. Ở khía cạnh này học sinh thường không chú ý và hay mắc phải sai
lầm nên giáo viên phải nhắc nhở để tránh tình trạng ngộ nhận khi chứng minh.
Chẳng hạn: Đối với các đoạn thẳng không nên vẽ bằng nhau, đối với các tam giác
không nên vẽ cân hay vuông . . . nếu như bài toán không đòi hỏi.
- Hình vẽ phải rõ ràng, dễ nhìn thấy những quan hệ (song song, cắt nhau,
vuông góc . . .) và tính chất hình học (đường trung trực, phân giác, tam giác cân,
tam giác vuông . . .) mà bài toán đã cho. Có những trường hợp phải khéo léo lựa
chọn trình tự vẽ các yếu tố trong bài.
- Ngoài ra, để làm nổi bậc vai trò khác nhau của các đường, các hình, trong
hình vẽ có thể vẽ bằng nét đậm, nét nhạt, nét liền, nét đứt hoặc dùng màu khác
nhau . . . Điều này cũng quyết định đến việc quan sát hình vẽ của học sinh rất

2


nhiều. Giáo viên cần lưu ý học vẽ hình to, rõ ràng để tập cho các em quan sát hình
tốt hơn.
- Luôn yêu cầu học sinh thao tác nhanh nhưng cẩn thận, chính xác, thể hiện
gần đúng các quan hệ về độ lớn của các góc và các đoạn thẳng trong đề bài.
� bằng 1200 ”; giáo viên có thể hướng dẫn
Ví dụ: “Vẽ tia phân giác của xOy
học sinh như sau:
�

�
Dùng thước đo góc vẽ xOy
= 1200. Vẽ tia phân giác của xOy
theo một
trong các cách sau:

* Cách 1: Dùng thước đo góc (hình 1)
x

z

O

600
y

* Cách 2: Dùng thước hai mặt (hình 2)
x

z

O

y

* Cách 3: Dùng compa (hình 3)
x

z

O

y

b. Ký hiệu:
- Thông qua hình đã vẽ, giáo viên tập cho học sinh tóm tắt đề bài bằng cách
ghi giả thiết, kết luận. Lưu ý học sinh: “Việc ghi giả thiết, kết luận là chúng ta đã
mã hóa ngôn ngữ bằng kí hiệu” nên phải sử dụng kí hiệu một cách chính xác
trong phạm vi cho phép, không nên sử dụng một cách tùy tiện. Việc ký hiệu giúp
chúng ta nhìn bài toán một cách tổng quát hơn. Mặt khác, tạo điều kiện cho các em
liên tưởng đến thứ tự và sự tương quan giữa các đối tượng.

3


- Khi nghiên cứu đề toán, nhiều trường hợp ta phải chọn kí hiệu và đưa kí
hiệu vào một cách thích hợp. Dùng kí hiệu toán học có thể ghi lại các đối tượng và
mối liên quan giữa chúng trong bài toán một cách ngắn gọn, dễ nhớ, dễ quan sát.
Cách kí hiệu thích hợp có thể nhanh chóng giúp chúng ta hiểu được bài toán.
“Thời gian dành để chọn kí hiệu sẽ được trả công rất hậu bởi thời gian tiết kiệm
được nhằm tránh khỏi mọi sự do dự và lẫn lộn”
- Khi đã chọn các ký hiệu cần chú ý:
+ Mỗi ký hiệu có nội dung dễ nhớ, tránh nhầm lẫn hoặc hiểu nước đôi.
+ Thứ tự các ký hiệu và quan hệ giữa chúng phải giúp ta liên tưởng
đến kí tự và quan hệ giữa các đại lượng tương ứng.
+ Không dùng một ký hiệu để chỉ hai đối tượng khác nhau. Các ký
hiệu cùng loại để chỉ các đối tượng cùng loại. Chẳng hạn: Với ∆ABC: A, B, C chỉ
các đỉnh; a, b, c chỉ các cạnh tương ứng đối diện với các đỉnh A, B, C; h a, hb, hc chỉ
các đường cao tương ứng với các cạnh a, b, c . . . Hoặc ký hiệu ∆ABC = ∆DEF
tương ứng với quan hệ các cạnh AB = DE, BC = EF, AC = DF; . . .

3. Xây dựng chương trình giải:
Tiếp theo giáo viên đi vào phân tích bài toán: Cái gì đã cho, cái gì chưa
biết, có mối quan hệ nào giữa điều phải chứng minh với các yếu tố đã cho trong giả
thiết. Điều này nhằm gạt sang một bên những cái không bản chất, chỉ giữ lại những
quan hệ hình học trong đề bài để có thể nhận dạng được bài toán.
Ở bước này, giáo viên phải chú ý chia nhỏ bài toán cần chứng minh thành
nhiều bước đơn giản hơn và phải huy động được toàn bộ kiến thức (định nghĩa,
định lý, tính chất, . . .) có liên quan đến những khái niệm, những quan hệ trong đề
bài rồi lựa chọn trong số đó những kiến thức gần gũi hơn cả với dữ kiện bài toán.
Mò mẫm, dự đoán, thử xét một vài khả năng kể cả trường hợp đặc biệt, liên hệ một
bài toán tương tự hoặc một bài toán đã chứng minh trước đó (tính kế thừa trong
toán học), . . .
a. Dựa vào các bài toán đã giải:
Có thể có nhiều bài toán liên quan tới bài toán đang xét. Do đó, cần thiết
phải nhớ lại một bài toán đã được giải gần giống với bài toán đang xét để lợi dụng
vào phương pháp giải, kinh nghiệm, . . .
b. Biến đổi bài toán:
Tạo ra những mối quan hệ mới, khả năng mới dẫn đến liên hệ lại kiến thức
liên quan đến bài toán.
c. Biến đổi bài toán thành bài toán đơn giản hơn:
Điều này chủ yếu dựa vào kinh nghiệm: “Một bài toán khó thường tạo ra
từ sự kết hợp của bài toán đơn giản hơn”. Cho nên, để giải bài toán cần thiết phải
phân tích bài toán đang xét thành những bài toán nhỏ dễ giải.

4


d. Có thể mò mẫm, dự đoán kết quả bằng cách thử một số trường hợp đặc
biệt, tổng quát dẫn đến lời giải bài toán đang xét. Chẳng hạn với bài toán chứng
minh bằng phương pháp quy nạp.

e. Sử dụng phương pháp đặt vấn đề bằng hệ thống câu hỏi:
- Gặp bài toán này lần nào chưa? Đã gặp ở một dạng khác? Có bài toán nào
liên quan? Có thể sử dụng định lý nào để giải?
- Sử dụng phương pháp nào để giải? Cần đưa thêm yếu tố phụ? . . .
f. Phân tích bài toán bằng sơ đồ  Giải quyết ngược lại:
Khó khăn lớn nhất của học sinh trong bài toán hình học là các em không có
khả năng xâu kết các chi tiết trong bài toán. Từ đó, làm cho các em hoàn toàn mất
phương hướng trong việc xây dựng chương trình giải (không biết bắt đầu từ đâu,
giải quyết bằng công cụ nào? . . .)
Như vậy, phân tích bài toán bằng sơ đồ một mặt hướng dẫn học sinh khai
thác sự kiện, mặt khác học sinh có thể xác định rõ cách thức, trình tự giải quyết bài
toán cũng như các em có thể xác định được cần phải sử dụng nội dung kiến thức
nào để giải quyết bài toán.
Vậy phân tích các bài toán bằng sơ đồ là như thế nào? Có thể minh họa
bằng sơ đồ sau:
D
B
E
A
F

C

G

Ví dụ 1: Cho ∆ABC vuông ở A, đường cao AH. Chứng minh rằng:
AB2 = BC. BH
* Phân tích: AB2 = BC. BH  AB.AB = BC. BH 
A

 ∆ABC  ∆HBA
C

H

AB BH

BC AB
� = H
� = 1v
A

� chung
B

B

� = H
� = 1v và B
�
Và khi thực hiện tiến hành từ dữ kiện bài toán đã cho: A
chung để kết luận các vấn đề liên quan.

Ngoài ra, đối với những bài toán nhiều nội dung kiến thức (có kiến thức
không áp dụng được) thì bằng phương pháp nêu trên, học sinh cũng dễ dàng loại
5


bỏ những phương pháp không phù hợp bằng việc đối chiếu với dữ kiện bài tập đã
cho.

Ví dụ 2: ChoAhình vẽ, tìm AH?
AH2 = BH.CH
AH
C

5
H

AB.AC = BC.AH (loại)

1 B

1
1
1


(loại)
2
2
AH
AB AC2

Ví dụ 3: Cho ∆ABC vuông ở A, đường cao AH. Chứng minh rằng:
AH2 = BH. CH
* Sơ đồ: AH2 = BH. CH  AH.AH = BH. CH 
A

 ∆ABB  ∆CHA
C

H

AH CH

BH AH
� = H
� = 1v
A
� chung
B

B

4. Trình bày lời giải:
Sau khi đã phác thảo được sơ đồ chứng minh bài toán, giáo viên sẽ trình
bày lời giải ra bảng và lưu ý học sinh: Trong sơ đồ, yếu tố nào thể hiện trước là
điều phải chứng minh (thông thường chúng ta đi theo con đường này). Do đó, ta
phải trình bày từ dưới lên.
Lúc này, thời gian cho phép, giáo viên chỉ ghi những bước chứng minh
chính ra bảng phụ rồi cho một em lên thực hiện, tất cả các em còn lại làm vào
phiếu bài tập có sẵn hướng dẫn. Điều này góp phần tạo điều kiện cho hoạt động
trên lớp được diễn ra đồng loạt.
Cuối cùng, giáo viên tập cho học sinh thói quen kiểm tra lời giải bài toán
bằng cách nhắc lại cách chứng minh bài toán trên nhằm khắc sâu kiến thức ở học
sinh. Ngoài ra, trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần khuyến khích học sinh
chứng minh theo nhiều cách, mỗi cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó
của dữ kiện. Vì vậy, việc tìm được nhiều cách giải là rèn luyện cho học sinh cách
nhìn nhận vấn đề theo nhiều khía cạnh. Điều đó rất bổ ích trong việc phát triển
năng lực tư duy của học sinh. Mặt khác, chứng minh theo nhiều cách sẽ giúp học

sinh lựa chọn được cách chứng minh ngắn nhất và hay nhất. Sau đó, giáo viên liên
hệ bài toán với thực tế (nếu có).
5. Kiểm tra, nghiên cứu lời giải:
Công việc này giúp học sinh:
- Phát hiện thiếu xót, nhầm lẫn  sửa chữa.
- Có thể tìm thấy một giải pháp khác tốt hơn.
- Làm phong phú hơn kinh nghiệm giải toán cho học sinh.
6


III. ĐÁNH GIÁ VỀ TÍNH MỚI, TÍNH HIỆU QUẢ VÀ KHẢ THI, PHẠM VI
ÁP DỤNG
1. Tính mới:
Sáng kiến lần đầu được áp dụng và đem lại hiệu quả tại trường THCS Vồ Dơi.
Sáng kiến không trùng với nội dung của các sáng kiến đã được công nhận
trước đó.
2. Tính hiệu quả và khả thi:
Qua quá trình giảng dạy, đứng lớp sau khi tôi thực hiện theo đã nêu tôi thấy
kết quả học sinh mình giảng dạy đối với việc giải toán hình học ngày càng đạt kết
quả cao hơn; Sau những năm giảng dạy cuối năm học, khi tổng kết tôi nhận thấy
kết quả tương đối khả quan.
* Năm học: 2014 - 2015 học sinh chứng minh được toán hình học trên 60%.
* Năm học: 2015- 2016 học sinh chứng minh được toán hình học 65%.
Học sinh học tập chăm chỉ, hứng thú yêu thích học toán hình học ngày càng
nhiều hơn.
3. Phạm vi áp dụng:
Đã triển khai thực hiện ở trường Trung học cơ sở Vồ Dơi, ấp Vồ Dơi xã Trần
Hợi hyện Trần Văn Thời.
IV. KẾT LUẬN
Đây là báo cáo sáng kiến tôi đã bỏ ra nhiều công sức để nghiên cứu tổng hợp

lại, đã áp dụng đạt hiệu quả ở trường Trung học cơ sở Vồ Dơi.
Tuy là kinh nghiệm, nhưng là của cá nhân nên không tránh khỏi thiếu sót rất
mong được sự góp ý của đồng nghiệp và của các cấp lãnh đạo để giúp tôi có những
nhìn nhận tốt hơn trong thời gian tới.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

N
Người báo cáo

ĐƠN VỊ TRỰC TIẾP

Bùi Văn Huy

7