Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến tính đơn điệu của hàm số

CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN
LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN XÉT
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

(chuyên đề gồm 106 trang)
ĐỀ CƯƠNG CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN TRONG CHƯƠNG HÀM SỐ
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tìm cực trị của hàm số
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tìm tiệm cận của hàm số
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình.
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số.
- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến phép biến đổi đồ thị

PHẦN A - CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN XÉT
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
PHẦN 1: Biết đặc điểm của hàm số y = f ( x )
Dạng toán 1. Các bài toán về tính đơn điệu của hàm ẩn bậc 2 (dành cho khối 10)


Câu 1:

Cho parabol ( P ) : y = f ( x ) = ax 2 + bx + c , a ≠ 0 biết: ( P ) đi qua M (4;3) , ( P ) cắt Ox tại
N (3;0) và Q sao cho ∆INQ có diện tích bằng 1 đồng thời hoành độ điểm Q nhỏ hơn 3

. Khi đó hàm số f ( 2 x − 1) đồng biến trên khoảng nào sau đây
1

A.  ; +∞  .

2


C. ( 5;7 ) .

B. ( 0; 2 ) .

D. ( −∞; 2 ) .

Lời giải
Chọn C
Vì ( P ) đi qua M (4;3) nên 3 = 16a + 4b + c (1)
Mặt khác ( P ) cắt Ox tại N (3;0) suy ra 0 = 9a + 3b + c (2), ( P ) cắt Ox tại Q nên

Q ( t ;0 ) , t < 3
b

t + 3 =− a
Theo định lý Viét ta có 
 3t = c

a
Ta có S ∆INQ =
Do IH = −

1
IH .NQ với H là hình chiếu của
2

∆ 

 b
I  − ; −  lên trục hoành
 2a 4a 

∆
1 ∆
, NQ= 3 − t nên S ∆INQ =1 ⇔ −
. ( 3 − t ) =1
4a
2 4a

( t + 3) − 3t = 2 ⇔ 3 − t 3 = 8 (3)
2
 b  c
⇔ (3 − t )   − =
⇔ (3 − t )
( )
a
4
a
a
 2a  a
2

2

Từ (1) và (2) ta có 7 a + b = 3 ⇔ b = 3 − 7 a suy ra t + 3 =−
Thay vào (3) ta có ( 3 − t ) =
3

3 − 7a
1 4−t
⇔ =
a
a
3

8(4 − t )
⇔ 3t 3 − 27t 2 + 73t − 49 = 0 ⇔ t = 1
3

Suy ra a =1 ⇒ b =−4 ⇒ c =3 .
Vậy ( P ) cần tìm là y = f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 .
Khi đó f ( 2 x − 1)=

( 2 x − 1)

2

− 4 ( 2 x − 1) + 3= 4 x 2 − 12 x + 8

3

Hàm số đồng biến trên khoảng  ; +∞  .
2


Câu 2:

Cho hai hàm số bậc =

hai y f=
( x), y g ( x) thỏa mãn f ( x) + 3 f (2 − x) = 4 x 2 − 10 x + 10 ;
số y f=
g (0)
= 9; g (1)
= 10; g (−1)
= 4 . Biết rằng hai đồ thi hàm=
( x), y g ( x) cắt nhau tại
hai điểm phân biệt là A, B . Đường thẳng d vuông góc với AB tạo với hai trục tọa độ
một tam giác có diện tích bằng 36. Hỏi điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d ?
A. M ( −2;1)

B. N ( −1;9 )

C. P (1; 4 )
Lời giải

D. Q ( 3;5 )


Chọn B
Gọi hàm số f ( x) = ax 2 + bx + c ta có f ( x) + 3 f (2 − x) = 4 x 2 − 10 x + 10
⇔ ax 2 + bx + c + 3  a (2 − x) 2 + b(2 − x) + c = 4 x 2 − 10 x + 10

=
a 1=
a 1


⇔ −2b − 12a =−10 ⇔ b =−1 ⇒ f ( x) =x 2 − x + 1 .

12a + 6b =
c 1
+ 4c 10 =


Gọi hàm số g ( x) = mx 2 + nx + p ta có g (0)
= 9; g (1)
= 10; g (−1)
= 4 ra hệ giải được
m=
−2; n =
3; p =⇒
9 g ( x) =
−2 x 2 + 3 x + 9 .
Khi đó tọa độ hai điểm A, B thỏa mãn hệ phương trình
2
2
 y = x − x + 1
2 y = 2 x − 2 x + 2
⇔
⇒ 3 y =x + 11


−2 x 2 + 3 x + 9
−2 x 2 + 3 x + 9
 y =
 y =

1
11

Do đó đường thẳng AB: y = x + ⇒ d : y =
−3 x + k . Đường thẳng d cắt hai trục tọa
3
3
1 k
k 
độ tại E ( 0; k ) ; F  ;0  . Diện tích tam giác OEF là k
6⇔k =
=
±6
2 3
3 

Vậy phương trình đường thẳng d là: d : y =
−3 x + 6, y =
-3 x - 6 . Chọn đáp án B
Câu 3:

Biết đồ thị hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) có điểm chung duy nhất với y = −2,5
và cắt đường thẳng y = 2 tại hai điểm có hoành độ lần lượt là −1 và 5 . Tính P = a + b + c
.
B. 0 .

A. 1 .

C. −1 .
Lời giải

D. −2 .

Chọn D
Gọi (P): y = ax 2 + bx + c, ( a ≠ 0 ) .
Ta có:
a − b + c =2
b =−4a
+) ( P ) đi qua hai điểm ( −1; 2 ) ; ( 5; 2 ) nên ta có 
⇔
25a + 5b + c = 2
 c = 2 − 5a
+) ( P ) có một điểm chung với đường thẳng y = −2,5 nên
−∆
b 2 − 4ac
1
=
−2,5 ⇔
=
2,5 ⇔ 16a 2 − 4a ( 2 − 5a ) =
10a ⇔ 36a 2 − 18a =
0⇔ a =.
4a
4a
2
1
Do đó: b =
−2; c =
− .
2

Dạng toán 2. Dạng toán có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số y = f ( x ) trong bài toán
không chứa tham số.

Câu 4:

Cho

hàm

số

y = f ( x)

liên

tục

trên



thỏa

mãn

f (1) < 0

và

 f ( x ) − x  f ( x )= x 6 + 3 x 4 + 2 x 2 , ∀x ∈ . Hàm số g=
( x ) f ( x ) + 2 x 2 đồng biến trên

khoảng

 1
B.  0;  .
 3

A. (1;3) .

1 
C.  ;1 .
3 
Lời giải

D. (1; +∞ ) .

Chọn C
Ta có  f ( x ) − x  f ( x ) = x 6 + 3 x 4 + 2 x 2 ⇔ ( f ( x ) ) − x. f ( x ) − x 6 − 3 x 4 − 2 x 2 = 0
2

Đặt t = f ( x ) ta được phương trình t 2 − x.t − x 6 − 3 x 4 − 2 x 2 =
0
Ta có ∆= x 2 − 4 ( − x 6 − 3 x 4 − 2 x 2 )= 4 x 6 + 12 x 4 + 9 x 2=

( 2x

3

+ 3x )

2

 x + 2 x3 + 3x
t
= x3 + 2 x
=
 f ( x=
) x3 + 2 x
2
Vậy 
.
Suy
ra

− x3 − x
 x − 2 x3 − 3x
 f ( x ) =
3
t
x
x
=
=
−
−

2

− x3 − x .
Do f (1) < 0 nên f ( x ) =
Ta có

g ( x ) =− x3 + 2 x 2 − x ⇒ g ' ( x ) =−3 x 2 + 4 x − 1 > 0 ⇔

Câu 5:

1
< x < 1.
3

Cho đa thức f ( x ) hệ số thực và thỏa điều kiện 2 f ( x ) + f (1 − x =
) x 2 , ∀x ∈ R. Hàm số

=
y 3 x. f ( x ) + x 2 + 4 x + 1 đồng biến trên
A. R \ {−1} .

B. (0; +∞) .

C. R .

D. (−∞;0) .

Lời giải
Chọn C
Từ giả thiết, thay x bởi x − 1 ta được 2 f (1 − x ) + f ( x ) = ( x − 1) .
2

2 f ( x ) + f (1 − x ) =
x2
Khi đó ta có 


→3 f =
( x ) x 2 + 2 x − 1.
2
2 f (1 − x ) + f ( x ) = x − 2 x + 1
Suy ra y = x3 + 3 x 2 + 3 x + 1 ⇒ y′ = 3 x 2 + 6 x + 3 ≥ 0, ∀x ∈ R . Nên hàm số đồng biến trên R .
Câu 6:

Cho hàm số

f ( x)

có đạo hàm liên tục trên

[ −1;1]

và thỏa

f (1) = 0 ,

1
+ 4 f ( x ) = 8 x 2 + 16 x − 8 . Hàm số g ( x =
) f ( x ) − x3 − 2 x + 3 đồng biến trên
3
khoảng nào?

( f ′ ( x ))

2

A. ( − 1; 2 ) .

B. ( 0;3 ) .

C. ( 0; 2 ) .

D. ( − 2; 2 ) .

Lời giải
Chọn C
Chọn f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) (lý do: vế phải là hàm đa thức bậc hai).

⇒ f ′( x) =
2ax + b .


Ta có:

( f ′ ( x ))

2

+ 4 f ( x ) = 8 x 2 + 16 x − 8 ⇔ ( 2ax + b ) + 4 ( ax 2 + bx + c ) = 8 x 2 + 16 x − 8
2

⇔ ( 4a 2 + 4a ) x 2 + ( 4ab + 4b ) x + b 2 + 4c = 8 x 2 + 16 x − 8

Đồng nhất 2 vế ta được:
 4a 2 + 4a =
8
a = 1



2 hoặc
16 ⇔ b =
4ab + 4b =
c = −3
b 2 + 4c =
−8



a = −2

b = −4 .
c = −6


1 , b = 2 và c = −3 .
Do f (1) = 0 ⇒ a + b + c = 0 ⇒ a =
x = 0
1
Vậy f ( x ) = x 2 + 2 x − 3 ⇒ g ( x ) =
0⇔
.
− x3 + x 2 ⇒ g ' ( x ) =
− x2 + 2x ⇒ g ' ( x ) =
3
x = 2
Ta có bảng biến thiên

x

−∞

g '( x)

−

0
0

+∞

2
0

+

−

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; 2 ) .
Câu 7:

Cho

hàm

g=
( x) f

(

số

y = f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d

có

đồ

thị

như

hình

bên.

Đặt

)

x 2 + x + 2 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

y

O

A. g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) .

4

2

x

B. g ( x ) đồng biến trên khoảng ( −1;0 ) .

 −1 
C. g ( x ) nghịch biến trên khoảng  ;0  . D. g ( x ) đồng biến trên khoảng ( −∞; −1) .
 2 
Lời giải

Chọn C
Hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d ; f ′ ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c , có đồ thị như hình vẽ.
Do đó x = 0 ⇒ d = 4 ; x = 2 ⇒ 8a + 4b + 2c + d = 0 ; f ′ ( 2 ) = 0 ⇒ 12a + 4b + c = 0 ;

f ′ ( 0 ) = 0 ⇒ c = 0 . Tìm được a =
1; b =
−3; c =
0; d =
4 và hàm số y =x 3 − 3 x 2 + 4 .


Ta có g=
( x) f
⇒ g ′ ( x=
)

(

) (

x2 + x + 2

x 2 + x + 2=

) − 3( x + x + 2) + 4
3

2

3
1
( 2 x + 1) x 2 + x + 2 − 3 ( 2 x + 1=) 3 ( 2 x + 1)  x 2 + x + 2 − 1 ;
2
2


1

x
=
−

2

g ′ ( x ) =0 ⇔  x =1 .
 x = −2



Bảng xét dấu của hàm y = g ( x ) :

x −∞

y′

y

−

−2

−1/ 2

0 + 0

+∞

−

7 7 − 10
8

+∞

1

0

+
+∞

4

4

 −1 
Vậy y = g ( x ) nghịch biến trên khoảng  ;0  .
 2 

Câu 8:

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  có f ( −2 ) < 0 . Đồ thị hàm số y = f ' ( x ) như hình
vẽ

Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số=
y

f (1 − x 2 ) nghịch biến trên ( −∞; −2 ) .

B. Hàm số=
y

f (1 − x 2 ) đồng biến trên ( −∞; −2 ) .

C. Hàm số=
y

f (1 − x 2 ) nghịch biến trên ( −1;0 ) .

D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là f ( −2 ) .
Lời giải
Chọn A
Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x )


Ta có f ( −2 ) < 0;1 − x 2 ≤ 1 ⇒ f (1 − x 2 ) < 0.∀x ∈ 

(
3) ∪(

t = 1 − x 2 ⇒ f ' ( t ) < 0 ⇒ t ∈ ( −2;1) ⇔ x ∈ − 3; 3

(

0 < f ' ( t ) ⇒ t ∈ ( −∞; −2 ) ⇔ x ∈ −∞; −
g ( x ) = f (1 − x 2 ) ⇒ g ' ( x ) =

f 2 (1 − x 2 ) =

)

3; +∞

)

−4 xf ( t ) f ' ( t )
f 2 (t )

Dạng toán 3. Dạng toán có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số y = f ( x ) trong bài toán
chứa tham số.
Câu 9:

Cho hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d , ( a, b, c, d ∈ , a ≠ 0 ) có đồ thị là ( C ) . Biết rằng
đồ thị ( C ) đi qua gốc tọa độ và có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) cho bởi hình vẽ
y
4

1
−1 O

1

x

Tính giá trị=
H f ( 4) − f ( 2) .
A. H = 58 .

B. H = 51 .

C. H = 45 .
Lời giải

D. H = 64 .

Chọn A
Do f ( x ) là hàm số bậc ba nên f ′ ( x ) là hàm số bậc hai.

Dựa vào đồ thị hàm số f ′ ( x ) thì f ′ ( x ) có dạng f ′ (=
x ) ax 2 + 1 với a > 0 . Đồ thị đi qua
điểm A (1; 4 ) nên a = 3 vậy f ′ (=
x ) 3x 2 + 1 .
Vậy H = f ( 4 ) − f ( 2 ) =

4

∫
2

f ′ ( x ) dx =

4

∫ ( 3x
2

2

+ 1) dx = 58 .


Câu 10: Cho hàm số f ( x ) = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + m , (với a, b, c, d , m ∈  ). Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ
thị như hình vẽ bên dưới:

Tập nghiệm của phương trình f =
( x ) 48ax + m có số phần tử là:
A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .
Lời giải

D. 4 .

Chọn B
Ta có f ′ ( x ) = 4ax3 + 3bx 2 + 2cx + d (1) .
Dựa vào đồ thị ta có f ′ ( x ) =a ( x − 1)( 4 x + 5 )( x + 3) = 4ax3 + 13ax 2 − 2ax − 15a ( 2 ) và a ≠ 0 .
Từ (1) và ( 2 ) suy ra b =

13
a , c = −a và d = −15a .
3

Khi đó:

f=
48ax
( x ) 48ax + m ⇔ ax 4 + bx3 + cx 2 + dx =
13


⇔ a  x 4 + x3 − x 2 − 63 x  =
0
3



x = 0
.
⇔ 3 x 4 + 13 x 3 − 3 x 2 − 189 x =
0⇔
x = 3
Vậy tập nghiệm của phương trình f =
( x ) 48ax + m là S = {0;3} .
Câu 11: Cho hàm số f ( x ) = x 4 + bx3 + cx 2 + dx + m , (với a, b, c, d , m ∈  ). Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ
thị như hình vẽ bên dưới:

Biết rằng phương trình f ( x=
) nx + m có 4 nghiệm phân biệt. Tìm số các giá trị nguyên
của n .


A. 15 .

B. 14 .

C. 3 .
Lời giải

D. 4 .

Chọn B
Ta có f ′ ( x ) = 4 x3 + 3bx 2 + 2cx + d (1) .
Dựa vào đồ thị ta có f ′ ( x ) =
( x − 1)( 4 x + 5)( x + 3) = 4 x3 + 13x 2 − 2 x − 15
Từ (1) và ( 2 ) suy ra b =

13
, c = −1 và d = −15 .
3

Khi đó:

f ( x=
nx
) nx + m ⇔ x 4 + bx3 + cx 2 + dx =
x = 0
13 3
2
⇔ x + x − x − 15 x = nx ⇔  3 13 2
 x + x − x − 15 =
3
n
3

4

(*)

Phương trình f ( x=
) nx + m có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 3
nghiệm phân biệt khác 0
Xét hàm số g ( x) = x 3 +

13 2
x − x − 15
3

 x = −3
26
g ( x) = 3x +
x −1 = 0 ⇔ 
x = 1
3
9

'

2

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt khác 0 biệt khi và chỉ
khi n ∈ {−1; −2;...; −14}
Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) , hàm số f ′ ( x ) = x3 + ax 2 + bx + c ( a, b, c ∈  ) có đồ thị như hình vẽ


Hàm số g ( x ) = f ( f ′ ( x ) ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (1; +∞ ) .

B. ( −∞; −2 ) .


3 3
D.  −
;
 .

 3 3 

C. ( −1;0 ) .
Lời giải

Chọn B

Vì các điểm ( −1;0 ) , ( 0;0 ) , (1;0 ) thuộc đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) nên ta có hệ:

b+c 0 =
−1 + a −=
a 0


⇔ b =−1 ⇒ f ′ ( x ) =x 3 − x ⇒ f '' ( x ) =3 x 2 − 1
c =0
1 + a +=
c 0
b+c 0 =



x ) f ( f ′ ( x )) ⇒ g′ ( =
x ) f ′ ( f ′ ( x ) ) . f '' ( x )
Ta có: g ( =
 x3 − x =
0
 3
x −x=
1

Xét g ′ ( x ) = 0 ⇔ g ′ ( x ) = f ′ ( f ' ( x ) ) . f ′′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x3 − x )( 3 x 2 − 1) = 0 ⇔  3
x − x =−1

3 x 2 − 1 =0

 x = ±1

x = 0
1,325
⇔  x =
 x = −1,325

x = ± 3

3

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ⇒ g ( x ) nghịch biến trên ( −∞; −2 )
Dạng toán 4. Biết đặc điểm của hàm số hoặc đồ thị, hoặc BBT hoặc đạo hàm của hàm f ( x ) , xét

(

)

sự biến thiên của
hàm y f=
=
f ( x ) ) ,... y f f ( f ... ( x ) ) trong bài toán
(ϕ ( x ) ) ; y f (=

không chứa tham số


Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên  và có đồ thị hàm f ′ ( x ) như hình vẽ dưới đây.
Hàm số g=
( x ) f ( x 2 − x ) đồng biến trên khoảng nào?

1 
A.  ;1 .
2 

B. (1; 2 ) .

1

C.  −1;  .
2

Lời giải

D. ( −∞; −1) .

Chọn C
g=
( x ) f ( x2 − x ) ⇒ g′ ( x ) =
( 2 x − 1) f ′ ( x 2 − x ) .

1

x=


1
2


x = 2
x = 0
 2 x − 1 =0
 2
⇔ x − x = 0 ⇔ x = 1 .
g′( x) = 0 ⇔ 
2
′

−
=
0
f
x
x
(
)
 2

−
=
x
x
2
 x = −1


x = 2



x > 2
Từ đồ thị f ′ ( x ) ta có f ′ ( x 2 − x ) > 0 ⇔ x 2 − x > 2 ⇔ 
,
 x < −1
Xét dấu g ′ ( x ) :

1

Từ bảng xét dấu ta có hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng  −1;  .
2


Câu 14: Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số=
y f (1 + x 2 )
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?


A.

(

)

(

3; +∞ .

)

(

B. − 3; −1 .

)

D. ( 0;1) .

C. 1; 3 .
Lời giải

Chọn C
x = 0
x = 0


′
2
2
Ta có y′ =  f (1 + x )  = 2 x. f ′ (1 + x ) ⇒ y′ =⇔
±1 .
0
2
x =
1 + x =⇔
2



4
1 + x =
x = ± 3
2

Mặt khác ta có
 − 3 < x < −1
.
f ′ (1 + x 2 ) < 0 ⇔ 2 < 1 + x 2 < 4 ⇔ 
1 < x < 3
Ta có bảng xét dấu:

(

)

Vậy hàm số=
y f (1 + x 2 ) nghịch biến trên khoảng 1; 3 .
Câu 15: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) =
x 2 ( x − 2028 )( x − 2023) . Khi đó hàm số
2

=
y g=
( x) f ( x 2 + 2019 ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. ( −2; 2 ) .

B. ( 0;3) .

C. ( −3;0 ) .

D. ( 2; +∞ ) .

Lời giải
Chọn C
Ta có
=
y g=
( x) f ( x 2 + 2019 ) ⇒ y′ = g ′ ( x) =

(x

2

+ 2019 )′ f ′ ( x 2 + 2019 ) = 2 x. f ′ ( x 2 + 2019 ) .

Mặt khác f ′ ( x ) =
x 2 ( x − 2028 )( x − 2023) . Nên suy ra:
2


y′ = g ′ ( x) = 2 x. f ′ ( x 2 + 2019 ) = 2 x. ( x 2 + 2019 ) ( x 2 + 2019 − 2038 )( x 2 + 2019 − 2023)
2

= 2 x. ( x 2 + 2019 ) ( x 2 − 9 )( x 2 − 4 )= 2 x. ( x 2 + 2019 ) ( x − 3)( x + 3)( x − 2 ) ( x + 2 )
2

2

2

y′ =
2 x. ( x 2 + 2019 ) ( x − 3)( x + 3)( x − 2 ) ( x + 2 )
2

2

2

2

2

2

.

 x = 0 (nghiem don)
 x = 3 (nghiem don)

=
0 ⇔ x =
−3 (nghiem don)

 x = 2 (nghiem boi 2)
 x = −2 (nghiem boi 2)

Ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số
=
y g=
( x) f ( x 2 + 2019 ) đồng biến trên khoảng ( −3;0 )
và ( 3; +∞ ) .
Câu 16: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  . Biết rằng hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ
bên dưới:

Hàm số
=
y f ( x 2 − 5 ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. ( −∞; −3) .

B. ( −5; −2 ) .

Chọn C
Xét hàm số
=
y f ( x 2 − 5)
Ta
có y′ 2 x. f ′ ( x 2 − 5 )
=

1 3
C.  ;  .
2 2
Lời giải

D. ( 2; +∞ ) .


=
 x 0=
x 0
 x = 0 (nghiem boi 3)
 2
 2
−
=
−
=
x
x
5
5
0

.
⇔ 2
⇔ x =
± 3
y′ =
0⇔ 2
 x − 5 =−2
 x =3
 x = ±2 2




 x 2 =
−5 3
=
x2 8
Ta lại có: khi x > 3 ⇒ f ′ ( x ) > 0 suy ra:
x 2 − 5 > 3 ⇒ x > 2 2 ⇒ f ′ ( x 2 − 5 ) > 0 ⇒ 2 x. f ′ ( x 2 − 5 ) > 0

Từ đó ta có bảng biến thiên:

Từ bảng xét dấu ta có hàm số đồng biến trên các khoảng

( −2

)(

)(

)

2; − 3 ; 0; 3 ; 2 2; +∞ .

1 3
Mà  ;  ⊂ 0; 3 .
2 2

(

)

Dạng toán 5. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc BBT hoặc đạo hàm của hàm f ( x ) , xét

(

)

sự biến thiên=
của hàm y f=
( f ( x ) ) ,... y f f ( f ... ( x ) ) trong bài toán chứa tham số.
Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên  . Biết đồ thị hàm số y = f ' ( x ) như hình vẽ.

Biết S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thoả mãn m ∈ ( −2019; 2019 ) sao
cho hàm số g =
( x ) f ( x − m ) đồng biến trên khoảng ( −2;0 ) . Số phần tử của tập S là
A. 2017 .

B. 2019 .

Chọn C

'( x) f '( x − m) .
Ta có g =

C. 2015 .
Lời giải

D. 2021 .


−1  x =

m −1
x − m =
Suy ra g ' ( x ) =
.
⇔
0⇔
x − m = 2
x = m + 2
Do đó từ đồ thị hàm số y = f ' ( x ) suy ra

g '( x) > 0 ⇔ f '( x − m) > 0 ⇔ x − m > 2 ⇔ x > m + 2 .
Hàm số g =
( x ) f ( x − m ) đồng biến trên khoảng ( −2;0 ) khi và chỉ khi

g ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( −2;0 ) ⇔ m + 2 ≤ −2 ⇔ m ≤ −4 .
Mà tham số m ∈ ( −2019; 2019 ) và là gía trị nguyên thoả mãn m ≤ −4 nên

m ∈ {−2018; −2017;...; −5; −4} . Vậy tập S có 2015 phần tử.
Câu 18: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x )= x 2 ( x + 2 ) ( x 2 + mx + 5 ) với ∀x ∈  . Số giá trị
nguyên âm của m để hàm số g ( =
x ) f ( x 2 + x − 2 ) đồng biến trên (1; +∞ ) là
A. 3 .

B. 4 .

C. 5 .
Lời giải

D. 7 .

Chọn B
Ta có g ′ ( x )=

( 2 x + 1) f ′ ( x 2 + x − 2 ) .

Hàm số đồng biến trên (1; +∞ ) khi ( 2 x + 1) f ′ ( x 2 + x − 2 ) ≥ 0 , ∀x ∈ (1; +∞ )
⇔ f ′ ( x 2 + x − 2 ) ≥ 0 , ∀x ∈ (1; +∞ )
2
2
⇔ ( x 2 + x − 2 ) ( x 2 + x ) ( x 2 + x − 2 ) + m ( x 2 + x − 2 ) + 5 ≥ 0 , ∀x ∈ (1; +∞ ) (1) .



Đặt t = x 2 + x − 2 với t > 0 , do x ∈ (1; +∞ ) .

(1) ⇒ t 2 ( t + 2 ) ( t 2 + mt + 5) ≥ 0 , ∀t > 0 ⇔ t 2 + mt + 5 ≥ 0 , ∀t > 0 ⇔ m ≥ −  t +


5
 , ∀t > 0
t

⇔ m ≥ −2 5 ≈ −4, 47 .

Do m nguyên âm nên m ∈ {−4; −3; −2; −1} .
Câu 19: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên  là f ′ ( x ) =
( x − 1)( x + 3) . Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m thuộc đoạn [ −10; 20] để hàm số y= f ( x 2 + 3 x − m ) đồng biến
trên khoảng ( 0; 2 ) .
A. 18 .

B. 17 .

C. 16 .
Lời giải

Chọn A

Ta có y′ = f ′ ( x 2 + 3 x − m ) =

( 2 x + 3) f ′ ( x 2 + 3 x − m ) .

Theo đề bài ta có: f ′ ( x ) =
( x − 1)( x + 3)

D. 20 .


 x < −3
suy ra f ′ ( x ) > 0 ⇔ 
và f ′ ( x ) < 0 ⇔ −3 < x < 1 .
x > 1
Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; 2 ) khi y′ ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; 2 )
⇔ ( 2 x + 3) f ′ ( x 2 + 3 x − m ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; 2 ) .

Do x ∈ ( 0; 2 ) nên 2 x + 3 > 0, ∀x ∈ ( 0; 2 ) . Do đó, ta có:
 x 2 + 3 x − m ≤ −3
 m ≥ x 2 + 3x + 3
y′ ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; 2 ) ⇔ f ′ ( x 2 + 3 x − m ) ≥ 0 ⇔  2
⇔

2
 x + 3x − m ≥ 1
 m ≤ x + 3x − 1

 m ≥ max ( x 2 + 3 x + 3)
 m ≥ 13
[0;2]
.
⇔
⇔
 m ≤ min x 2 + 3 x − 1
≤
−
m
1

(
)

[0;2]
Do m ∈ [ −10; 20] , m ∈  nên có 18 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu đề bài.
Dạng toán 6. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc đồ thị, hoặc đạo hàm của hàm f ( x ) , xét
sự biến thiên của
hàm y ln=
=
( f ( x ) ) , y e f ( x) ,sin f ( x ) , cos f ( x ) ... trong bài toán không
chứa tham số
Câu 20: Cho hàm số f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Hàm

số y e3 f ( 2− x )+1 + 3 f ( 2− x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
=
A. (1; + ∞ ) .

B. ( −1;3) .

C. ( −∞ ; − 2 ) .

D. ( −2;1) .

Lời giải
Chọn D

(

)

Ta có : y′ =
−3 f ′ ( 2 − x ) .e3 f ( 2− x )+1 − f ′ ( 2 − x ) .3 f ( 2− x ).ln 3 =
− f ′ ( 2 − x ) . 3e3 f ( 2− x )+1 + 3 f ( 2− x ).ln 3 .
 2 − x < −1
x > 3
y′ > 0 ⇔ − f ′ ( 2 − x ) > 0 ⇔ f ′ ( 2 − x ) < 0 ⇔ 
.
⇔
1 < 2 − x < 4
 −2 < x < 1
Câu 21: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên.

Hỏi hàm số
=
y g=
( x ) e2017 f ( x −2020)+ 2018 + π 2019 f ( x −2020) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. ( 2016; 2018 ) .

B. ( 2017; 2019 ) .

C. ( 2018; 2020 ) .

D. ( 2021; 2023) .

Lời giải
Chọn C
+) Xét hàm số
=
y g=
( x ) e2017 f ( x −2020)+ 2018 + π 2019 f ( x −2020) xác định và liên tục trên  .
Ta có
g '( x) =
2017 f ' ( x − 2020 ) e 2017 f ( x − 2020)+ 2018 + 2019 ln π f ' ( x − 2020 ) π 2019 f ( x − 2020)
g ' (=
x ) f ' ( x − 2020 )  2017e 2017 f ( x − 2020)+ 2018 + 2019π 2019 f ( x − 2020) ln π  , ∀x ∈ .
+) Do 2017e 2017 f ( x − 2020)+ 2018 + 2019π 2019 f ( x − 2020) ln π > 0, ∀x ∈  nên

g ' ( x ) < 0 ⇔ f ' ( x − 2020 ) < 0.
Hơn nữa từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) , ta thấy hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên mỗi
khoảng ( 0; 2 ) và ( 4; + ∞ ) , suy ra f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( 0; 2 ) ∪ ( 4; + ∞ ) .
0 < x − 2018 < 2
 2018 < x < 2020

Khi đó bất phương trình f ' ( x − 2020 ) < 0 ⇔ 
.
⇔
 x − 2018 > 4
 x > 2022
+) Vậy g ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( 2018; 2020 ) ∪ ( 2022; + ∞ ) . Khi đó hàm số y = g ( x ) nghịch biến
trên mỗi khoảng ( 2018; 2020 ) và ( 2022; + ∞ ) .
Câu 22: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên  và hàm f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

y

-1

Hàm số g ( x ) = 20182019− 2 f ( x )+ 2 f
A. ( −2;0 ) .

2

( x )− f 3 ( x )

B. ( 0;1) .

O

1

x

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
C. (1; 2 ) .

Lời giải

Chọn D

2

D. ( 2;3) .


− f ′ ( x ) . 3 f 2 ( x ) − 4 f ( x ) + 2  .2018
Xét g ′ ( x ) =

2019 − 2 f ( x ) + 2 f 2 ( x ) − f 3 ( x )

.ln 2018

 x = −1
x = 0
, trong đó x = 1 là nghiệm kép.
Có g ′ ( x ) =
0 ⇔ f ′( x) =
0⇔
x = 1

x = 2
Bảng xét dấu của g ′ ( x ) :

Từ bảng, suy ra hàm số nghịch biến trên ( 2;3) , do ( 2;3) ⊂ ( 2; +∞ ) .
Câu 23: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị y = f ' ( x ) như hình vẽ
sau

(

)

Hỏi đồ thị hàm =
số g ( x ) f e3 f ( x )+1 + 2 f ( x ) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. ( −∞; −5 ) .

−7 

B.  −3;  .
4 


C. ( −1; +∞ ) .

D. ( −3; −1) .

Lời giải
Chọn A
Ta có:

(
=
f ' ( x ) . ( 3.e

) (

g '( x) =

3 f ' ( x ) .e3 f ( x )+1 + 2 f ( x ). f ' ( x ) .ln 2 . f ' e3 f ( x )+1 + 2 f ( x )
3 f ( x ) +1

+2

f ( x)

) (

.ln 2 . f ' e3

f ( x ) +1

+2

f ( x)

)

ycbt ⇔ g ' ( x ) < 0. Mà ta thấy rằng:
3 f ( x ) +1
+ 2 f ( x ).ln 2 > 0
3.e3 f ( x )+1 + 2 f ( x ).ln 2 > 0 3.e
⇒

3 f ( x ) +1
3 f ( x ) +1
+ 2 f ( x) > 0
+ 2 f ( x) > 0
 e

 f ' e

(

)

)


x < −5


Suy ra g ' ( x ) < 0 ⇔ f ' ( x ) < 0 ⇔ 

−7  

x0 < x < −1 x0 ∈  −3;  

4 


Vậy hàm số g ( x ) nghịch biến trên ( −∞; −5 ) .

=
y f ′ ( x − 1) có đồ thị như hình vẽ.
Câu 24: Cho hàm số

Hàm số y = π 2 f ( x ) − 4 x đồng biến trên khoảng
A. ( −∞;0 ) .

B. ( −2;0 ) .

C. ( 0; +∞ ) .

D. ( −2;1) .

Lời giải
Chọn C

=
y f ′ ( x − 1) sang trái 1 đơn vị, ta được đồ thị hàm số
Tịnh tiến đồ thị hàm số
y = f ′ ( x ) như sau

Xét hàm số y = π 2 f ( x ) − 4 x . Tập xác định D =  .
=
y′ π 2 f ( x ) − 4 x ⋅ (2 f ′( x) − 4) ⋅ ln π

 x = −2
y′ =0 ⇔ f ′( x) =2 ⇔  x =0 .
 x = 1
Ta có bảng biến thiên như sau


Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) .
Dạng toán 7. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc đồ thị, hoặc đạo hàm của hàm f ( x ) , xét
sự biến thiên của
hàm y ln=
=
( f ( x ) ) , y e f ( x) ,sin f ( x ) , cos f ( x ) ... trong bài toán chứa

tham số
Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x − 1) ( x 2 − mx + 9 ) với mọi x ∈ . Có bao
2

nhiêu số nguyên dương m để hàm số g ( x ) = e f ( x ) đồngbiến trên khoảng ( 0; +∞ ) ?
A. 5.

B. 6.

C. 7.

D. 8.

Lời giải
Chọn B
Ta có g ′ ( x ) = f '( x).e f ( x ) .
Hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) khi và chỉ khi g ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ )

⇔ f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ x ( x − 1) ( x 2 − mx + 9 ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ )
2

x2 + 9
⇔m≤
, ∀x ∈ ( 0; +∞ )
x
9
⇔ m ≤ min h ( x ) với h ( x )= x + , ∀x ∈ (0; +∞) .
( 0;+∞ )
x

Ta có: h ( x )= x +

9
9
m∈ +
≥ 2 x. = 6, ∀x ∈ (0; +∞) nên m ≤ 6 
→ m ∈ {1; 2;3; 4;5;6} .
x
x

Câu 26: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Hàm số y = e
A. ( 4; +∞ )

f ( x ) − m2 + 2

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
B. ( −1; 4 ) .

C. (1; 2 ) .
Lời giải

Chọn C

1

D.  −∞;  .
2


Xét hàm =
số y g=
( x ) e f ( x )− m

2

Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) .e f ( x )− m

, e f ( x )−m

2

+2

+2

.
2

+2

> 0∀x ∈  .

 x = −1
g ′ ( x ) =0 ⇔ f ′ ( x ) =0 ⇔  x =0 .
 x = 4
Bảng biến thiên:

Vậy hàm =
số y g=
( x ) e f ( x )− m

2

+2

nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) ∪ ( 0; 4 ) .

Câu 27: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên

Và hàm số y = g ( x) có bảng biến thiên

Hàm
số y f ( x).g ( x ) + 2 x + 3 −
=
A. ( −2;1) .

1
chắc chắn đồng biến trên khoảng nào?
x+2

B. ( −1;1) .

 3 
C.  − ;1 .
 2 

D. (1; 4 ) .

Lời giải
Chọn B
Xét y f ( x).g ( x ) + 2 x + 3 −
=

1
.
x+2

 3 
Tập xác định: D =  − ;1 . Từ tập xác định loại được phương án A, D
 2 


Ta
có: y ' f '( x).g ( x ) + f ( x).g ' ( x ) +
=

2
1
+
> 0, ∀x ∈ ( −1;1) .
2
2x + 3 ( x + 2)

 3

Với phương án C, có g ' ( x ) < 0 trên  − ; −1 nên chưa kết luận được về dấu của hàm
 2


số cần xét.

Câu 28: Cho hàm số f ( x ) có đồ thị như hình vẽ

Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để phương trình
ef

3

( x )+ 2 f 2 ( x )−7 f ( x )+5


1 
m có nghiệm là
+ ln  f ( x ) +
=
f ( x ) 


A. 3 .

B. 4 .

D. 6 .

C. 5 .
Lời giải

Chọn B

Quan sát đồ thị ta thấy 1 ≤ f ( x ) ≤ 5, ∀x ∈  , đặt t = f ( x ) giả thiết trở thành
et

3

+ 2t 2 −7 t +5

 1
m.
+ ln  t +  =
 t

Xét hàm: g ( t ) = t 3 + 2t 2 − 7t + 5, t ∈ [1;5]

g ′ ( t ) =3t 2 + 4t − 7 ≥ 0 ∀ t ≥ 1 ⇒ g (1) ≤ g ( t ) ≤ g ( 5 ) ⇔ 1 ≤ g ( t ) ≤ 145 .
1
1
26
Mặt khác h ( t ) = t + , h′ ( t ) = 1 − 2 ≥ 0 ∀ t ∈ [1;5] ⇒ 2 ≤ h ( t ) ≤
.
t
t
5

Do đó hàm u=
( t ) et

3

+ 2t 2 −7 t +5

 1
+ ln  t +  đồng biến trên đoạn [1;5] .
 t

Suy ra: Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ e + ln 2 ≤ m ≤ e145 + ln
Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của m là 4 .
Câu 29: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

26
.
5


Hàm số y = e

f ( x ) − m2 + 2

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( 4; +∞ )

B. ( −1; 4 ) .

C. (1; 2 ) .

1

D.  −∞;  .
2



Lời giải
Chọn C
Xét hàm số
y g=
=
( x ) e f ( x )− m
g ′ ( x ) = f ′ ( x ) .e f ( x )− m

2

+2

2

+2

, e f ( x )−m

2

.

+2

> 0∀x ∈  .

 x = −1
g ′ ( x ) =0 ⇔ f ′ ( x ) =0 ⇔  x =0

 x = 4
Bảng biến thiên:

Vậy hàm số
=
y g=
( x ) e f ( x )− m

2

+2

nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) ∪ ( 0; 4 ) .

Dạng toán 8. Các dạng khác với các dạng đã đưa ra…
PHẦN 2: Biết biểu thức của hàm số y = f ' ( x )
Dạng toán 9. Biết biểu thức hàm số y = f ′ ( x ) xét tính đơn điệu của hàm số
=
y g=
( x ) f ( x ) + h ( x ) trong bài toán không chứa tham số.

Câu 30: Cho

hàm

số

y  g ( x)  f ( x) 
A. ;1

y  f  x

có

f '( x)  ( x  3)( x  4)( x  2) 2 ( x 1), x  .

x 4 5 x3

 4 x 2  4 x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
4
3
 3
B. 1; 2.
C. 3;5.
D. 0; .
 2 
Lời giải

Chọn A

Hàm

số


Ta có
g '( x)  f '( x)  x3  5 x 2  8 x  4  f '( x)  ( x 1)( x  2) 2  ( x 1)( x  2) 2 ( x 2  7 x  13).
 x 1
Khi đó g '( x)  0  
.

 x  2
Bảng xét dấu của hàm số g '( x) như sau

Vậy hàm số y  g ( x) nghịch biến trên (;1).

1
2
Câu 31: Cho hàm số y = f ( x ) có f ' ( x ) = x 2 ( x − 1) ( x − 3) . Hàm số g ( x ) = f ( x ) + x3 − 5 đồng
3
biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
 3+ 5 
B.  2;
.
2 


A. ( 0; 2 ) .

 3− 5 
; 2  .
C. 
 2

Lời giải

 3− 5 
D.  0;
.
2 


Chọn C

′ ( x ) f ′ ( x ) + x2 ,
Ta có: g=
g ′ ( x ) =⇔
x 2 ( x − 1)
0

2

− x2
( x − 3) =


x = 0

x = 0
x = 0
2
x=
⇔
⇔
⇔

 3
2
2
0
−1

( x − 1) ( x − 3) =

 x − 5x + 7 x − 2 =
x = 3 ± 5

2

Ta có bảng xét dấu của g ' ( x ) :

 3− 5 
; 2  thì hàm số y = g ( x ) đồng
Dựa vào bảng xét dấu g ' ( x ) ta thấy trên khoảng 
2


biến.
Câu 32: Cho hàm số

y = f ( x)

có đạo hàm

f '( x) =
( x − 1)( x + 2 ) , x   . Hàm số
2

y = g ( x) = f ( x) − 2 x 2 + 4 x đồng biến trên khoảng nào?
A. ( −4;0 )

B. ( −∞;0 ) .

C. ( −4;1) .
Lời giải

Chọn A

D. ( 0; +∞ ) .


g '( x) = f '( x) − 4 x + 4 =

( x − 1)( x + 2 )

2

− 4 ( x − 1) =

( x − 1) ( x 2 + 4 x ) , x  

x = 1
 x − 1 =0

g '( x) =0 ⇔  2
⇔  x =0
0
 x + 4x =
 x = −4
Bảng xét dấu

Kết luận: Hàm số y = g ( x) đồng biến trên khoảng ( −4;0 )

2
Câu 33: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và f ′ ( x ) = x ( x − 1)(4 − x)

Hàm số y = g ( x) = f ( x) + f (1 − x ) đồng biến trên khoảng
1

A.  −2; −  .
2


1 3
C.  ;  .
2 2
Lời giải

B. ( 0;1) .

D. (1; 2 ) .

Chọn D
Ta có g '( x=
)

f '( x) − f '(1 − x=
) x 2 ( x − 1)(4 − x) − (1 − x) 2 (− x)( x + 3)

g '( x) = x ( x − 1) [ x(4 − x) + ( x − 1)( x + 3) ] = x( x − 1)(6 x − 3)

x = 0


1
g '( x) =0 ⇔  x = .
2

x = 1


Ta có bảng biến thiên :

Dạng toán 10. Biết biểu thức hàm số y = f ′ ( x ) xét tính đơn điệu của hàm số
=
y g=
( x ) f ( x ) + h ( x ) trong bài toán chứa tham số.

Câu 34: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x − 1) ( x 2 + mx + 16 ) . Có
2

bao

nhiêu

g ( x) = f ( x) +

A. 2019 .

giá

trị

nguyên

của

tham

số

m ∈ [ −2019; 2019]

để

1 4 2 3 1 2
x − x + x + 2019 đồng biến trên khoảng ( 5; +∞ ) ?
4
3
2
B. 2021 .
C. 2028 .
D. 4038 .

Lời giải

hàm

số