Điều kiện cực trị và tính chính quy của các nhân tử Lagrange cho bài toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic

BỘ GIÁO DỤC
VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

Trịnh Duy Bình

ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY
CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN
ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU SEMILINEAR ELLIPTIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – 2019


BỘ GIÁO DỤC
VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

Trịnh Duy Bình

ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY
CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN
ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU SEMILINEAR ELLIPTIC

Chuyên ngành:
Mã số:

Toán ứng dụng
8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Bùi Trọng Kiên.

Hà Nội – 2019


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn "Điều kiện cực trị và tính chính quy của các
nhân tử Lagrange cho bài toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic" là
công trình nghiên cứu của tôi. Mọi kết quả nghiên cứu trước đó của các tác giả
khác được trích dẫn cụ thể. Nội dung luận văn chưa từng được công bố trong
bất kỳ công trình nghiên cứu nào. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam
đoan trên.
Hà Nội, ngày 1 tháng 4 năm 2019
Người cam đoan

Trịnh Duy Bình


LỜI CẢM ƠN

Sau quá trình học tập và nghiên cứu tại Khoa Toán học, Học viện Khoa học
và Công nghệ, đến nay luận văn đã được hoàn thành. Trước tiên, tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Bùi Trọng Kiên. Thầy là người đã tận
hình hướng dẫn, giúp đỡ tôi vượt qua nhiều khó khăn trong quá trình học tập và
nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong seminar Điều khiển
tối ưu - Viện Toán học đã nhiệt tình góp ý, giúp đỡ tôi trong thời gian thực hiện
đề tài. Tôi xin cảm ơn Trung tâm đào tạo sau đại học - Viện Toán học và phòng
Đào tạo - Học viện Khoa học và Công nghệ đã luôn tạo điều kiện thuận lợi cho
tôi trong quá trình học cao học tại học viện.
Hơn nữa, tôi xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể bạn bè, gia đình tôi, những người
đã sát cánh bên tôi trong quãng thời gian qua.
Trịnh Duy Bình


1

Mục lục
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT . . . . . . . . . .
MỞ ĐẦU
1

3

ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CHO MỘT LỚP BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN
TỐI ƯU TRỪU TƯỢNG
1.1

5

MỘT SỐ CÔNG CỤ VÀ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH BIẾN

PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

1.3

1.4

5

ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ BẬC HAI CHO BÀI TOÁN QUY HOẠCH
TOÁN HỌC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2

7

ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI
ƯU TRỪU TƯỢNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Một số kết quả về nghiệm của phương trình elliptic . . . . . . .

9

ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN
TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU SEMILINEAR ELLIPTIC

2.1

MỘT SỐ GIẢ THIẾT VÀ KẾT QUẢ VỀ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH SEMILINEAR ELLIPTIC

2.2

11

. . . . . . 11

ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ BẬC MỘT, BẬC HAI VÀ TÍNH
CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE . . . . . . . 13

2.3
3

ĐIỀU KIỆN ĐỦ CỰC TRỊ BẬC HAI . . . . . . . . . . . . . . 21

KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

27


2

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
h.k.n

hầu khắp nơi

R

tập hợp các số thực

cone(M )

hình nón sinh bởi tập M

int(M ), M

lần lượt là phần trong và bao đóng của tập M

BX (x, r)

hình cầu mở tâm x, bán kính r trong không gian X

|.|

giá trị tuyệt đối của một số, độ đo Lebesgue của một tập,
chuẩn của véc tơ, chuẩn của ma trận (trong từng trường
m

n

hợp cụ thể), |X| =
i=1 j=1

. p, .

2,2

a2ij với X = (aij ) ∈ Rm×n

lần lượt là chuẩn trong không gian Lp (Ω) và W 2,2 (Ω),
với 1 ≤ p ≤ ∞

f, x

phiếm hàm tuyến tính f tác động vào véc tơ x

f∗

toán tử tuyến tính liên hợp của f (nếu không có thông
tin giải thích khác)

X∗
xk

không gian đối ngẫu của không gian X

x

xk hội tụ yếu đến x

D(y,u) f (x, y¯, u¯), lần lượt là đạo hàm cấp một và cấp hai của f theo hai
2
D(y,u)
f (x, y¯, u¯) biến y, u tại (¯
y , u¯)

3

MỞ ĐẦU
Lý thuyết điều khiển tối ưu có nhiều ứng dụng trong kinh tế, cơ học và khoa
học vũ trụ. Lý thuyết này đã phát triển rực rỡ vào những năm 1960 của thế kỉ
trước khi mà hai nguyên lý cơ bản là nguyên lý cực đại Pontryagin và nguyên
lý Bellman được ra đời. Ngày nay điều khiển tối ưu đã phát triển thành nhiều
nhánh khác nhau như điều khiển tối ưu với phương trình vi phân thường, điều
khiển tối ưu với phương trình đạo hàm riêng, điều khiển tối ưu đa mục tiêu. Gần
đây bài toán điều khiển tối ưu với phương trình đạo hàm riêng được nhiều nhà
toán học quan tâm. Trong luận văn này, chúng ta sẽ quan tâm nghiên cứu các
bài toán điều khiển tối ưu được cho bởi các phương trình semilinear elliptic sau
đây.
Cho Ω là tập mở, bị chặn trong RN với N = 2, 3 và biên ∂Ω thuộc lớp C 2 .
Ta xét bài toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic:

L(x, y(x), u(x)dx → min,

J(y, u) =

(1)

Ω

Ay = f (x, y, u) trong Ω,

y = 0 trên ∂Ω,

a(x) ≤ g(x, y(x), u(x)) ≤ b(x) h.k.n x ∈ Ω.

(2)
(3)

Trong đó A được định nghĩa bởi:
N

Ay = −

Di (aij (x)yxj (x)).
i,j=1

Các ánh xạ L, f, g : Ω× R × R → R là các hàm Carathéodory và a, b ∈ L∞ (Ω).
Việc thiết lập các điều kiện cực trị bậc nhất và bậc hai cho bài toán điều khiển
tối ưu semilinear elliptic cho đến nay vẫn là một vấn đề thời sự, được quan tâm
bởi nhiều các nhà toán học (như trong các tài liệu tham khảo từ [2] đến [7]).
Đối với lớp các bài toán điều khiển tối ưu này, biến điều khiển thường thuộc
không gian Lp (Ω) với 1 ≤ p < ∞ hoặc L∞ (Ω) và việc thiết lập các điều kiện
tối ưu phụ thuộc vào không gian chứa biến điều khiển. Khi u ∈ Lp (Ω) với

1 ≤ p < ∞, chúng ta có thể nhận thấy sự tồn tại của các nhân tử Lagrange


4

chính quy cho các bài toán điều khiển tối ưu là dễ dàng có được. Trong trường
hợp này, các nhân tử Lagrange thuộc không gian Lq (Ω) là không gian đối ngẫu
của Lp (Ω). Tuy nhiên trong trường hợp u ∈ Lp (Ω) với 1 ≤ p < ∞, hàm chi
phí J cũng như các hàm f, g khó có thể khả vi theo biến u trong không gian

Lp (Ω). Để khắc phục khó khăn này, chúng ta có thể giả thiết rằng u ∈ L∞ (Ω).
Nhưng trong trường hợp này, các nhân tử Lagrange là các độ đo mà không còn
là các hàm số. Điều đó dẫn tới vấn đề phải nghiên cứu tính chính quy của các
nhân tử Lagrange, đó là việc tìm các điều kiện làm cho nhân tử Lagrange thuộc
không gian Lp (Ω). Vấn đề này đã được nghiên cứu gần đây bởi một số các nhà
toán học (như [6] và [7]). Đặc biệt, trong tài liệu [7], bằng việc sử dụng Định lý
Yosida-Hewitt, A.R¨osch và F. Tr¨oltzsch chứng minh rằng, dưới một số các điều
kiện nhất định, các nhân tử Lagrange thuộc vào không gian Lp (Ω).
Mục tiêu của luận văn này là xây dựng các điều kiện cực trị và nghiên cứu
tính chính quy của các nhân tử Lagrange. Cụ thể là chúng ta đưa ra các điều
kiện, tiêu chuẩn, mà dưới đó, các nhân tử Lagrange trong các điều kiện tối ưu
của bài toán (1)-(3) thuộc vào không gian Lp (Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞.
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm hai chương chính. Chương 1
trình bày một số kiến thức và các sự kiện liên quan đến giải tích biến phân, các
bài toán quy hoạch và phương trình elliptic. Chương 2 trình bày kết quả cơ bản
của luận văn về sự tồn tại và tính chính quy của các nhân tử Lagrange trong các
điều kiện tối ưu bậc hai của bài toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic. Nội
dung của luận văn được viết dựa trên công trình của tác giả và các cộng sự về
hướng nghiên cứu này. Bài báo hiện đã được gửi đăng.


5

CHƯƠNG 1
ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CHO MỘT LỚP BÀI TOÁN ĐIỀU
KHIỂN TỐI ƯU TRỪU TƯỢNG

1.1

MỘT SỐ CÔNG CỤ VÀ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH
BIẾN PHÂN

Trong mục này, ta luôn giả thiết X là không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.1. Cho M ⊂ X , x
¯ ∈ M . Một véc tơ v thuộc X được gọi là
một véc tơ tiếp tuyến của M tại x
¯ nếu tồn tại các dãy {tk }k∈N , {vk }k∈N sao
cho tk → 0+ , vk → v, k → ∞ thỏa mãn x
¯ + tk vk ∈ M .
Ta ký hiệu T (M, x
¯) là tập các véc tơ tiếp tuyến v của M . T (M, x¯) được gọi là
nón tiếp tuyến hay nón Bouligand.
Mệnh đề 1.1.1. [8] T (M, x
¯) là nón đóng và T (M, x¯) ⊂ cone(M − x¯).
Định nghĩa 1.1.2. Với M ⊂ X , ta định nghĩa

T b (M, x¯) := {v ∈ X|∀tk → 0; ∃vk → v : x¯ + tk vk ∈ M, ∀k ∈ N}.
Ta gọi T b (M, x
¯) là nón tiếp tuyến trung gian hay nón kề của tập M tại điểm x¯.
Mệnh đề 1.1.2. [8]
(i) T b (M, x
¯) là nón đóng.
(ii) Nếu M là tập lồi, thì T b (M, x
¯) là tập lồi và T b (M, x¯) = cone(M − x¯).
Nhận xét 1.1.1. (i) T b (M, x
¯) ⊂ T (M, x¯).
(ii) Khi M là tập lồi, ta có: T b (M, x
¯) = T (M, x¯) = cone(M − x¯).
Ví dụ sau đây cho thấy T b (M, x

¯) = T (M, x¯).


6

Ví dụ 1.1.1. Cho X = R, M = { 21i : i = 1, 2, ...}, với x
¯ ∈ M , ta có:

T (M, x¯) = R+ ,

T b (M, x¯) = {0}.

Định nghĩa 1.1.3. Với M ⊂ X, x
¯ ∈ M, h ∈ X , ta định nghĩa:
(i) T 2b (M, x
¯, h) := {v ∈ X|∀tk → 0+ ; ∃vk → v : x¯ + tk h + 21 t2k vk ∈

M, ∀k ∈ N},
(ii) T 2 (M, x
¯, h) := {v ∈ X|∃tk → 0+ , ∃vk → v : x¯ + tk h + 12 t2k vk ∈

M, ∀k ∈ N},
ta gọi T 2b (M, x
¯, h) và T 2 (M, x¯, h) lần lượt là tập tiếp tuyến trung gian bậc
hai và tập tiếp tuyến bậc hai của M theo phương h.
Nhận xét 1.1.2. (i) T 2b (M, x
¯, h) và T 2 (M, x¯, h) là các tập đóng, và:

T 2b (M, x¯, h) ⊂ T 2 (M, x¯, h),
T 2b (M, x¯, 0) = T b (M, x¯),

T 2 (M, x¯, 0) = T (M, x¯).
(ii) Nếu M là tập lồi thì T 2b (M, x
¯, h) là tập lồi, nhưng T 2 (M, x¯, h) có thể
không lồi (ví dụ có thể xem trong tài liệu tham khảo [9]).
Định nghĩa 1.1.4. Cho M ⊂ X , M lồi, ta định nghĩa nón pháp tuyến của M
tại x
¯ là tập

N (M, x¯) := {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , x − x¯ ≤ 0, ∀x ∈ M },
hoặc tương đương với

N (M, x¯) = {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , h ≤ 0, ∀h ∈ T (M, x¯)}.


7

1.2

ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ BẬC HAI CHO BÀI TOÁN QUY
HOẠCH TOÁN HỌC

Cho Z, E là các không gian Banach với các không gian đối ngẫu lần lượt là

Z ∗ , E ∗ , ta xét bài toán

f (z) → min,
(P1 )
G(z) ∈ Q;
với f : Z → R, G : Z → E, Q ⊂ E , Q là tập lồi, đóng. Ta đặt

Φ = {z ∈ Z|G(z) ∈ Q}.
Định nghĩa 1.2.1. Ta gọi z¯ ∈ Φ là nghiệm địa phương của bài toán (P1 ) nếu
tồn tại > 0 sao cho với mọi z ∈ BZ (¯
z , ) ∩ Φ, f (z) − f (¯
z ) ≥ 0.
Định nghĩa 1.2.2. Mỗi véc tơ z¯ ∈ Φ được gọi là thỏa mãn điều kiện chính quy
Robinson nếu

0 ∈ int(∇G(¯
z )BZ − (Q − G(¯
z )) ∩ BE ),

(1.1)

với BZ , BE lần lượt là hình cầu đơn vị trong Z và E .
Định lý 1.2.1. [10] Điều kiện (1.1) tương đương với điều kiện sau

E = ∇G(¯
z )Z − cone(Q − G(¯
z )).

(1.2)

Chú ý: (1.2) xảy ra khi ∇G(¯
z ) là toàn ánh.
Định lý 1.2.2. [10] Chúng ta sẽ ký hiệu Λ1 (¯
z ) là tập các nhân tử Lagrange của
bài toán (P1 ), cụ thể là Λ1 (¯
z ) = {e∗ ∈ E ∗ |∇f (¯
z ) + ∇G(¯

z )∗ e∗ = 0, e∗ ∈

N (Q, G(¯
z ))}. Giả sử z¯ thỏa mãn điều kiện chính quy Robinson, khi đó Λ1 (¯
z)
khác rỗng, bị chặn và compact theo topo τ (E ∗ , E), với τ (E ∗ , E) là topo yếu*
trên E ∗ .
Định nghĩa 1.2.3. Ta định nghĩa một số nón tới hạn như sau:

C1 (¯
z ) := {d ∈ Z|∇f (¯
z )d ≤ 0, ∇G(¯
z )d ∈ T (Q, G(¯
z ))},
C01 (¯
z ) := {d ∈ Z|∇f (¯
z )d ≤ 0, ∇G(¯
z )d ∈ cone(Q − G(¯
z ))},
z ).
C1∗ (¯
z ) := C01 (¯


8

Bài toán (P1 ) có hàm Lagrange: L1 (z, e∗ ) = f (z) + e∗ G(z). Ta có điều kiện
cần cực trị bậc hai cho bài toán (P1 ) như sau:
Định lý 1.2.3. [10] Giả sử z¯ là nghiệm địa phương của bài toán (P1 ). Khi đó,
với mỗi d ∈ C1∗ (¯

z ), tồn tại e∗ ∈ E ∗ sao cho điều kiện sau được thỏa mãn:

∇2zz L1 (¯
z , e∗ ) ≥ 0.
Chứng minh. Kết luận của định lý được suy ra từ Định lý 3.5 trong [10] cho
trường hợp một mục tiêu m = 1.

1.3

ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN
TỐI ƯU TRỪU TƯỢNG

Cho E0 , E, Y và U là các không gian Banach và Q là tập con lồi, đóng, khác
rỗng của E . Ta đặt Z := Y × U và giả sử rằng

I : Y × U → R,
F : Y × U → E0 ,
G:Y ×U →E
là các ánh xạ cho trước. Ta xét bài toán điều khiển tối ưu với biến điều khiển

u ∈ U và biến trạng thái y ∈ Y :



I(y, u) → min,


(P2 ) F (y, u) = 0,




G(y, u) ∈ Q.
Ta ký hiệu Φ là tập chấp nhận được của bài toán (P2 ) và ta đặt:

D := {(y, u) ∈ Z|F (y, u) = 0}.
Với z0 = (y0 , u0 ) ∈ Φ cố định, ta ký hiệu Λ2 (z0 ) là tập hợp các nhân tử

(v ∗ , e∗ ) ∈ E0∗ × E ∗ thỏa mãn các điều kiện sau:
∇z L2 (z0 , v ∗ , e∗ ) = 0,

e∗ ∈ N (Q, G(z0 ));


9

ở đó L2 (z, v ∗ , e∗ ) là hàm Lagrange của bài toán (P2 ) được cho bởi:

L2 (z, v ∗ , e∗ ) = I(z) + v ∗ , F (z) + e∗ , G(z) .
Ta ký hiệu:

C02 (z0 ) := {d ∈ Z|∇I(z0 )d ≤ 0, ∇F (z0 )d = 0,
∇G(z0 )d ∈ cone(Q − G(z0 ))},
C2 (z0 ) := C02 (z0 ).
Định lý sau cho ta điều kiện cần cực trị bậc hai của bài toán (P2 ):
Định lý 1.3.1. Giả sử z0 ∈ Φ và các giả thiết sau được thỏa mãn:
(ii) Tồn tại các số dương r1 , r1 sao cho các ánh xạ I(., .), F (., .) và G(., .) khả
vi liên tục Fréchet cấp hai trên BY (y0 , r1 ) × BU (u0 , r1 ).
(ii) Ánh xạ Fy (z0 ) là song ánh.
(iii) E = ∇G(z0 )(T (D, z0 )) − cone(Q − G(z0 )).
Nếu z0 là nghiệm địa phương của bài toán (P2 ), thì với mỗi d ∈ C2 (z0 ), tồn tại

(v ∗ , e∗ ) ∈ Λ2 (z0 ) sao cho
∇2zz L(z0 , v ∗ , e∗ )(d, d) = Izz (z0 )d, d + v ∗ Fzz (z0 )d, d
+ e∗ Gzz (z0 )d, d ≥ 0.
Chứng minh. Kết luận của định lý được suy ra từ Định lý 4.1 trong [10] cho
trường hợp một mục tiêu m = 1.

1.4

Một số kết quả về nghiệm của phương trình elliptic

Xét bài toán


Lu = f trong Ω,
u = 0 trên ∂Ω;

(1.3)


10

¯ → R là ẩn hàm cần tìm. Hàm
ở đó Ω là tập con mở, bị chặn của Rn và u : Ω
f : Ω → R cho trước và L là toán tử có dạng như sau
n

Lu = −

n

(aij uxi )xj +
i,j=1

bi (x)uxi + c(x)u,

(1.4)

i=1

với aij , bi , c (i, j = 1, ..., n) là các hàm cho trước.
Ta đưa ra một số các giả thiết như sau:
H1) aij = aji (i, j = 1, ..., n).
H2) aij , bi , c ∈ L∞ (Ω) (i, j = 1, ..., n), f ∈ L2 (Ω).
Định nghĩa 1.4.1. Ta nói toán tử L là elliptic nếu tồn tại một số λ > 0 sao cho
n

aij (x)ξi ξj ≥ λ|ξ|2 ,
i,j=1

với h.k.n x ∈ Ω và mọi ξ ∈ Rn .
Định nghĩa 1.4.2.

i, Ta gọi dạng bậc hai B[., .] sinh bởi toán tử L định nghĩa

bởi (1.4) được cho bởi công thức sau
n

n

B[u, v] =

aij uxi vxj +
Ω i,j=1

bi uxi v + cuvdx,
i=1

với u, v ∈ H01 (Ω).
ii, Ta nói u ∈ H01 (Ω) là nghiệm (hoặc nghiệm yếu) của bài toán (1.3) nếu

B[u, v] = f, v ,
với mọi v ∈ H01 (Ω).
Định lý sau nói về tính duy nhất nghiệm của phương trình (1.3)
Định lý 1.4.1. [11] Giả sử có một số γ ≥ 0, với mỗi µ ≥ γ và hàm f ∈ L2 (Ω),
phương trình sau có nghiệm duy nhất u ∈ H01 (Ω):

Lu + µu = f trong Ω,
u = 0 trên ∂Ω.

(1.5)


11

CHƯƠNG 2
ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC
NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN
TỐI ƯU SEMILINEAR ELLIPTIC

2.1

MỘT SỐ GIẢ THIẾT VÀ KẾT QUẢ VỀ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH SEMILINEAR ELLIPTIC

Cho Ω là tập mở, bị chặn trong RN với N = 2, 3 và biên ∂Ω thuộc lớp C 2 .
Trong cả chương này, ta xét bài toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic với biến
điều khiển u ∈ L∞ (Ω) và biến trạng thái tương ứng y ∈ W 2,2 (Ω) ∩ W01,2 (Ω):

L(x, y(x), u(x)dx → min,

J(y, u) =

(2.1)

Ω

Ay = f (x, y, u) trong Ω,

y = 0 trên ∂Ω,

a(x) ≤ g(x, y, u) ≤ b(x) h.k.n x ∈ Ω;

(2.2)
(2.3)

với a(x), b(x) ∈ L∞ (Ω) và toán tử A định nghĩa bởi
N

Ay = −

Di (aij (x)yxj (x)).
i,j=1

Từ Định nghĩa 1.4.2, ta định nghĩa nghiệm của phương trình (2.2) như sau:
Định nghĩa 2.1.1. Ta nói y ∈ H01 (Ω) là nghiệm (hoặc nghiệm yếu) của phương
trình (2.2) nếu

B[y, v] :=

aij (x)yxj (x)vxi (x)dx = f, v ,
Ω

với mọi v ∈ H01 (Ω).


12

Ta đặt:

Y := W01,2 (Ω) ∩ W 2,2 (Ω),

U := L∞ (Ω),

Z := Y × U

và

Q∞ = {v ∈ L∞ (Ω)|a(x) ≤ v(x) ≤ b(x)}.
Ta ký hiệu Φ là tập chấp nhận được của bài toán (2.1)-(2.3):

Φ := {(y, u) ∈ Y × U |(y, u) thỏa mãn (2.2) − (2.3)}.
Ta ký hiệu ϕ : Ω × R × R → R thay thế cho L, f và g . Với mỗi (¯
y , u¯) cố định
trong Φ, ta ký hiệu ϕ[x], ϕy [x], ϕu [x], ϕyu [x] và ϕuu [x] lần lượt thay thế cho

ϕ(x, y¯(x),u¯(x)), ϕy (x, y¯(x), u¯(x)), ϕu (x, y¯(x), u¯(x)), ϕyu (x, y¯(x), u¯(x)),
ϕuu (x, y¯(x), u¯(x)).
Ta đưa ra một số các giả thiết như sau:

¯ , aij = aji và tồn tại một số λ > 0 sao cho:
(A1) Các hàm aij ∈ C 1 (Ω)
N

N

|ξi |2

aij (x)ξi ξj ≥ λ
i,j=1

∀x ∈ Ω, (ξ1 , ξ2 , ..., ξN ) ∈ RN .

i=1

(A2) fy (x, y, u) ≤ 0

∀(x, y, u) ∈ Ω × R × R.

(A3) ϕ(x, ., .) thuộc lớp C 2 thỏa mãn |ϕ(x, 0, 0)| và |D(y,u) ϕ(x, 0, 0)| bị chặn,

và với mỗi M > 0, tồn tại kϕM > 0 sao cho

|ϕ(x, y1 , u1 ) − ϕ(x, y2 , u2 )| + |D(y,u) ϕ(x, y1 , u1 ) − D(y,u) ϕ(x, y2 , u2 )|
2
2
+ |D(y,u)
ϕ(x, y1 , u1 ) − D(y,u)
ϕ(x, y2 , u2 )| ≤ kϕM (|y1 − y2 | + |u1 − u2 |),

với mọi x ∈ Ω, yi , ui ∈ R, thỏa mãn |yi | ≤ M, |ui | ≤ M , i = 1, 2.
(A4) Tồn tại hằng số γ > 0 sao cho:

|gu (x, y¯(x), u¯(x))| > γ
và

− fy [x] +

fu [x]gy [x]
≥ 0,
gu [x]

h.k.n x ∈ Ω

h.k.n x ∈ Ω.

(2.4)

(2.5)

13

Trước khi trình bày các nội dung tiếp theo, ta có các nhận xét sau về các giả thiết
trên. Giả thiết (A1) và (A2) đảm bảo cho phương trình (2.2) có nghiệm duy nhất

y ∈ W01,2 (Ω) ∩ W 2,2 (Ω) với mỗi u ∈ L∞ (Ω). Giả thiết (A3) đảm bảo cho hàm
mục tiêu J , các hàm fˆ và gˆ khả vi trên (W 1,2 (Ω) ∩ W 2,2 (Ω)) × L∞ (Ω), với fˆ
0

và gˆ định nghĩa bởi:

fˆ(y, u)(x) = f (x, y(x), u(x)), gˆ(y, u)(x) = g(x, y(x), u(x)).

(2.6)

Giả thiết (A4) là giả thiết quan trọng trong chứng minh tính chính quy của
các nhân tử Lagrange. Bên cạnh đó, điều kiện (2.5) đảm bảo cho điều kiện chính
quy Robinson được thỏa mãn. Sau đây là một số các ví dụ về các hàm f và g
thỏa mãn giả thiết (A4):
Ví dụ 2.1.1. Các hàm f và g có các công thức như sau thỏa mãn giả thiết (A4):

f (x, y, u) = −y 3 + u3 ,
f (x, y, u) = −yu2 ,

g(x, y, u) = u

g(x, y, u) = u3 − u2 + 2u

f (x, y, u) = x2 u2 ,

g(x, y, u) = ψ(x) + y 2 u3 + u

với ψ là làm liên tục trên Ω
Bổ đề sau đây nói về tính duy nhất nghiệm của phương trình (2.2), ta có thể
tìm thấy chứng minh của bổ đề trong [5] và [3].
Bổ đề 2.1.1. Giả sử rằng các hàm aij và f thỏa mãn các điều kiện (A1) và (A2).
Với mỗi u ∈ L∞ (Ω), phương trình (2.2) có nghiệm duy nhất y ∈ W01,2 (Ω) ∩

W 2,2 (Ω). Hơn nữa, tồn tại hằng số C2 > 0 sao cho:
y

2.2

∞

+ y

2,2

≤ C2 ,

∀u ∈ L∞ (Ω).

ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ BẬC MỘT, BẬC HAI VÀ
TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE

Định nghĩa 2.2.1. (i) Một cặp (¯
y , u¯) ∈ Φ được gọi là nghiệm địa phương của
bài toán (2.1)-(2.3) nếu tồn tại một số
mãn y − y¯

2,2

+ u − u¯

∞

> 0 sao cho nếu (y, u) ∈ Φ thỏa

< thì J(y, u) ≥ J(¯
y , u¯).


14

(ii) Một cặp (¯
y , u¯) ∈ Φ được gọi là nghiệm mạnh địa phương của bài toán
(2.1)-(2.3) nếu tồn tại một số > 0 và α > 0 sao cho nếu (y, u) ∈ Φ thỏa
mãn y − y¯

2,2

+ u − u¯

∞

< thì J(y, u) ≥ J(¯
y , u¯) + α u − u¯ 22 .

Ta ký hiệu C0 [(¯

y , u¯)] là tập hợp của các cặp (y, u) ∈ Y × U thỏa mãn các
điều kiện sau:
(c1 ) ∇J(¯
y , u¯), (y, u) =

Ω (Ly [x]y(x)

+ Lu [x]u(x))dx ≤ 0,

(c2 ) Ay = fy [.]y + fu [.]u,
(c3 ) gy [.]y + gu [.]u ∈ cone(Q∞ − g[.]).
Ta gọi bao đóng của C0 [(¯
y , u¯)] trong Y × U là tập hợp các phương tới hạn của
bài toán (2.1)-(2.3) và ký hiệu là C[(¯
y , u¯)].
Định nghĩa 2.2.2. Một phiếm hàm tuyến tính liên tục e∗ ∈ L∞ (Ω)∗ được gọi
là biểu diễn được bằng một hàm trong không gian L1 (Ω) nếu tồn tại một hàm

φ ∈ L1 (Ω) sao cho:
e∗ , v =

φ(x)v(x)dx ∀v ∈ L∞ (Ω).
Ω

Với B ⊂ Ω, ta ký hiệu χB là hàm đặc trưng của B :

1 với x ∈ B,
χB (x) =
0 với x ∈
/ B.

Bổ đề sau đây đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh tính chính quy
của các nhân tử Lagrange.
Bổ đề 2.2.1 ([12], Mệnh đề 5, Chương 8). Một phiếm hàm tuyến tính liên tục

e∗ ∈ L∞ (Ω)∗ biểu diễn được bằng một hàm trong không gian L1 (Ω) khi và chỉ
khi với mọi dãy {∆k } các tập con đo được của Ω, |∆k | → 0, ta có e∗∆k → 0
khi k → ∞. Ở đây e∗∆k định nghĩa bởi:

e∗∆k , v = e∗ , χ∆k v

∀v ∈ L∞ (Ω).


15

Sau đây là kết quả quan trọng của luận văn về điều kiện cần cực trị:
Định lý 2.2.1. Giả sử (¯
y , u¯) ∈ Φ là nghiệm địa phương của bài toán (2.1)(2.3) và các giả thiết (A1)-(A4) được thỏa mãn. Khi đó tồn tại các hàm ϑ ∈

W01,2 (Ω) ∩ W 2,2 (Ω) và e ∈ L2 (Ω) sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) (Phương trình liên hợp)

A∗ ϑ − fy [.]ϑ = −Ly [.] − gy [.]e trong Ω, ϑ = 0 trên ∂Ω; (2.7)
(ii) (Điều kiện dừng theo u)

Lu [.] − fu [.]ϑ + gu [.]e = 0 h.k.n;

(2.8)

(iii) (Điều kiện bù)

g[x] = max (a(x), min(e(x) + g[x], b(x)))

h.k.n x ∈ Ω;

(2.9)

(iv) (Điều kiện không âm bậc hai)

(Lyy [x]y(x)2 + 2Lyu [x]y(x)u(x) + Luu [x]u(x)2 )dx
Ω

ϑ(x)(fyy (x)y(x)2 + 2fyu [x]y(x)u(x) + fuu [x]u(x)2 )dx

−
Ω

e(x)(gyy [x]y(x)2 + 2gyu [x]y(x)u(x) + guu [x]u(x)2 )dx ≥ 0

+
Ω

với mọi (y, u) ∈ C[(¯
y , u¯)]. Hơn nữa ta có e ∈ L∞ (Ω).
Chứng minh. Ta chia chứng minh ra thành các bước:
Bước 1. Đưa bài toán về bài toán điều khiển tối ưu trừu tượng.
Ta ký hiệu E0 = L2 (Ω), E = L∞ (Ω) và ta định nghĩa một số ánh xạ:

F : Y × U → E0 ,
G : Y × U → E,

F (y, u) = Ay − fˆ(y, u);
G(y, u) = gˆ(y, u);

với fˆ, gˆ định nghĩa bởi (2.6). Ta đặt:

D = {(y, u) ∈ Y × U |F (y, u) = 0}.

(2.10)


16

Khi đó (¯
y , u¯) là nghiệm địa phương của bài toán:

J(y, u) → min

(2.11)

thỏa mãn

F (y, u) = 0,

(2.12)

G(y, u) ∈ Q∞ .

(2.13)

Bên cạnh đó, C[(¯
y , u¯)] là bao đóng của C0 [(¯
y , u¯)] trong Y × U và C0 là tập hợp
của các cặp (y, u) ∈ Y × U sao cho các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

y , u¯), (y, u) ≤ 0;
(c1 ) ∇J(¯
(c2 ) ∇F (¯
y , u¯), (y, u) = 0;

y , u¯), (y, u) ∈ cone(Q∞ − G(¯
y , u¯));
(c3 ) ∇G(¯
Bài toán (2.11)-(2.13) có hàm Lagrange được cho bởi:

L(y, u, v ∗ , e∗ ) := J(y, u) + v ∗ , F (y, u) + e∗ , G(y, u) ,

(2.14)

ở đó v ∗ ∈ E0∗ và e ∈ E ∗ với E0∗ = L2 (Ω) và E ∗ = L∞ (Ω)∗ lần lượt là không
gian đối ngẫu của E0 và E . Bổ đề sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.3.1.
Bổ đề 2.2.2. Giả sử (¯
y , u¯) là nghiệm địa phương của bài toán (2.11)-(2.13) và
các giả thiết sau được thỏa mãn:
(H1) J, F và G thuộc lớp C 2 trong lân cận của (¯
y , u¯).
(H2) Ánh xạ Fy (y, u) là song ánh.
(H3) Điều kiện chính quy Robinson được thỏa mãn:

E = ∇G(¯

y , u¯)(T (D, (¯
y , u¯))) − cone(Q∞ − G(¯
y , u¯)).
Thì với mỗi phương tới hạn d = (y, u) ∈ C[(¯
y , u¯)], tồn tại các véc tơ ϑ ∈ E0∗
và e∗ ∈ E ∗ sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:


17

(i) (Phương trình liên hợp)

Jy (¯
y , u¯) + Fy (¯
y , u¯)∗ ϑ + Gy (¯
y , u¯)∗ e∗ = 0;

(2.15)

(ii) (Điều kiện dừng theo u)

Ju (¯
y , u¯) + Fu (¯
y , u¯)∗ ϑ + Gu (¯
y , u¯)∗ e∗ = 0;

(2.16)

e∗ ∈ N (Q∞ , G(¯
y , u¯));

(2.17)

(iii) (Điều kiện bù )

(iv) (Điều kiện không âm bậc hai)
2
D(y,u)
L(¯
y , u¯, ϑ, e∗ )[(y, u), (y, u)] ≥ 0.

(2.18)

Bước 2. Suy ra các điều kiện cần cực trị.
Ta kiểm tra các giả thiết (H1)-(H3) của Bổ đề 2.2.2. Từ giả thiết (A3), ta có
thể chỉ ra rằng J, F và G thuộc lớp C 2 trong lân cận của (¯
y , u¯). Ta có:

∇J(¯
y , u¯) = (Ly [.], Lu [.]),

(2.19)

Fy (¯
y , u¯) = A − fy [.],

(2.20)

Fu (¯
y , u¯) = −fu [.],

Gy (¯
y , u¯) = gy [.], Gu (¯
y , u¯) = gu [.],

(2.21)

và
2
D(y,u)
L(y, u, ϑ, e∗ )

=

Lyy [.] − ϑfyy [.] + e∗ gyy [.] Lyu [.] − ϑfyu [.] + e∗ gyu [.]
Luy [.] − ϑfuy [.] + e∗ guy [.] Luu [.] − ϑfuu [.] + e∗ guu [.]
(2.22)

do đó (H1) thỏa mãn. Ta kiểm tra (H2 ). Ta lấy bất kỳ u ∈ E0 = L2 (Ω) và xét
phương trình:

Ay − fy (x, y¯(x), u¯(x))y = u trong Ω, y = 0 trên ∂Ω.

(2.23)

Bởi (A2), ta có −fy (x, y¯(x), u
¯(x)) ≥ 0 h.k.n x ∈ Ω. Theo định lý Lax-Milram,
phương trình (2.23) có duy nhất nghiệm y ∈ W01,2 (Ω). Áp dụng [Định lý 4, mục

,

18

6.3, [11]] về tính chính quy của nghiệm của phương trình elliptic trên miền có
biên thuộc lớp C 2 , ta có y ∈ W 2,2 (Ω). Do đó, y ∈ Y là nghiệm duy nhất của
phương trình:

Fy (¯
y , u¯)y = u.
Vậy (H2) thỏa mãn. Cuối cùng, ta kiểm tra giả thiết (H3). Vì Fy (y, u) là song
ánh, nên ∇F (¯
y , u¯) là toàn ánh. Bởi [[13], Bổ đề 2.2], ta có:

T (D, (¯
y , u¯)) = {(y, u) ∈ Y × U |Fy (¯
y , u¯)y + Fu (¯
y , u¯)u = 0}
= {(y, u) ∈ Y × U |Ay − fy [.]y = fu [.]u}.
Vì vậy, để kiểm tra giả thiết (H3), ta sẽ chỉ ra rằng, với mọi e ∈ E , tồn tại

(y, u) ∈ T (D, (¯
y , u¯)) sao cho:
e = gy [.]y + gu [.]u.
Xét phương trình:

Ay + (−fy [x] +

fu [x]
fu [x]gy [x]

)y =
e.
gu [x]
gu [x]

(2.24)

Từ giả thiết (A4), áp dụng Định lý Lax-Milgram và [Định lý 4, mục 6.3, [11]],
phương trình (2.24) có nghiệm duy nhất y ∈ Y . Ta viết lại phương trình (2.24)
về dạng:

Ay − fy [x]y = fu [x]
Bằng cách đặt u =

e−gy [x]y
gu [x] ,

e − gy [x]y
.
gu [x]

ta có:

Ay − fy [x]y = fu [x]u,

e = gy [x]y + gu [x]u.

Do đó (H3) thỏa mãn. Chúng ta đã chứng minh tất cả các giả thiết của Bổ đề
2.2.2 được thỏa mãn. Vì vậy, với mỗi d = (y, u) ∈ C[(¯
y , u¯)], tồn tại các véc tơ

ϑ ∈ L2 (Ω) và e∗ ∈ L∞ (Ω)∗ thỏa mãn các điều kiện (i)-(iv) của Bổ đề 2.2.2.
Chú ý rằng e∗ là độ đo có dấu, hữu hạn cộng tính trên Ω. Các điều kiện (2.15)
và (2.16) có thể viết lại thành:

A∗ ϑ − fy [.]ϑ = −Ly [.] − gy [.]∗ e∗

(2.25)


19

và

gu [.]∗ e∗ = −Lu [.] + fu [.]ϑ,

(2.26)

ở đó A∗ là toán tử liên hợp của A.
Bước 3. Chứng minh tính chính quy của các nhân tử Lagrange.
Lấy v ∈ L∞ (Ω) bất kỳ, bởi (2.4), tồn tại u ∈ L∞ (Ω) sao cho v = gu [.]u, kết
hợp với (2.26) ta có:

| e∗ , v | = | e∗ , gu [.]u | = | gu [.]∗ e∗ , u |
≤ | Lu [.], u | + | fu [.]ϑ, u |
=

Lu [x]u(x)dx +
Ω

=

Lu [x]
Ω

1
≤
γ

fu [x]ϑ(x)u(x)dx
Ω

v(x)
dx +
gu [x]

fu [x]ϑ(x)
Ω

v(x)
dx
gu [x]

(|Lu [x]| + |fu [x]ϑ(x)|)|v(x)|dx.
Ω

Với ∆k là một dãy tập con đo được của Ω, |∆k | → 0 khi k → ∞. Từ kết quả
trên và định nghĩa của e∗∆k , ta có:

1

(|Lu [x]| + |fu [x]ϑ(x)|)χ∆k (x)|v(x)|dx
γ Ω
1
v ∞
(|Lu [x]| + |fu [x]ϑ(x)|)dx.
≤
γ
∆k

| e∗∆k , v | = | e∗ , χ∆k v | ≤

Ta suy ra:

e∗∆k ≤

1
γ

(|Lu [x]| + |fu [x]ϑ(x)|)dx.
∆k

Vì |Lu [x]| + |fu [x]ϑ(x)| ∈ L2 (Ω) nên

1
γ

∆k (|Lu [x]| + |fu [x]ϑ(x)|)dx
∗

→ 0 khi

k → ∞ và vì vậy, e∗∆k → 0 khi k → ∞. Theo Bổ đề 2.2.2, e có thể biểu
diễn bằng một hàm e ∈ L1 (Ω). Từ (2.26), ta có:

gu [x]e(x) = −Lu [x] + fu [x]ϑ(x) h.k.n x ∈ Ω.

(2.27)

Từ (2.27) và điều kiện |gu [x]| ≥ γ , ta suy ra e ∈ L2 (Ω). Vì vậy từ (2.25), ta có:

A∗ ϑ − fy [.]ϑ = −Ly [.] − gy [.]e.

(2.28)


20

Ta định nghĩa ánh xạ Q : Ω → 2R bởi Q(x) = [a(x), b(x)]. Từ (2.17) và áp
dụng [Hệ quả 4, [14]], ta có:

e ∈ N (Q∞ , g[.]) ∩ L1 (Ω) = {θ ∈ L1 (Ω)|θ(x) ∈ N (Q(x), g[x])
h.k.n x ∈ Ω}.

(2.29)

Do đó

e(x), η − g[x] ≤ 0 ∀η ∈ Q(x),
hay

(e(x) + g[x]) − g[x], η − g[x] ≤ 0 ∀η ∈ Q(x).
Theo [Định lý 5.2, [15]] g[x] = PQ(x) (e(x) + g[x]) là hình chiếu của (e(x) +

g[x]) lên Q(x). Ta suy ra khẳng định (iii) của Định lý 2.2.1.
Ta chứng minh ϑ ∈ Y . Ta nhắc lại rằng: A : D(A) ⊂ L2 (Ω) → L2 (Ω) là toán
tử xác định trù mật với D(A) = Y và A∗ : D(A∗ ) ⊂ L2 (Ω) → L2 (Ω) là ánh
xạ liên hợp của A. Theo định nghĩa của A∗ , ta có:

D(A∗ ) = {v ∈ L2 (Ω)|∃v ∗ ∈ L2 (Ω), Ay, v = y, v ∗ }.
Từ (2.28), ta có ϑ ∈ D(A∗ ). Ta chứng minh rằng D(A∗ ) = D(A) = Y . Thật
vậy, ta có A là ánh xạ tuyến tính đối xứng. Do đó:

Ay, y˜ = y, A˜
y

∀y, y˜ ∈ D(A).

(2.30)

Do đó D(A) ⊂ D(A∗ ). Ta chứng minh rằng D(A∗ ) ⊆ D(A). Lấy ϑ ∈ D(A∗ ),
theo định nghĩa của D(A∗ ), tồn tại h1 ∈ L2 (Ω) sao cho Ay, ϑ = y, h1 với
mọi y ∈ D(A). Vì h1 ∈ L2 (Ω), theo [Định lý 4,[11]], tồn tại y1 ∈ Y = D(A)
sao cho Ay1 = h1 . Tương tự, lấy bất kỳ h ∈ L2 (Ω), tồn tại y ∈ D(A) sao cho

Ay = h, kết hợp với (2.30) ta có:
h, ϑ − y1 = Ay, ϑ − Ay, y1 = y, h1 − y, Ay1
= y, h1 − y, h1 = 0.

(2.31)

Vì ở (2.31), ta lấy h ∈ L2 (Ω) bất kỳ. Do đó ϑ = y1 ∈ D(A). Vậy D(A∗ ) ⊆

D(A). Ta suy ra D(A∗ ) = D(A), do đó ϑ ∈ Y = W 2,2 (Ω) ∩ W01,2 (Ω).


21

Theo Định lý Rellich-Kondrachov (Định lý 6.2 trong [16]), ta có phép nhúng
¯ , ta có ϑ ∈ C(Ω)
¯ . Kết hợp với (2.27) và giả thiết (A4), ta
W 2,2 (Ω) → C(Ω)
suy ra e ∈ L∞ (Ω).
Bước 4. Chứng minh tính duy nhất của (ϑ, e).
Giả sử rằng với mỗi phương tới hạn d ∈ C[(¯
y , u¯)], có hai cặp (ϑ1 , e1 ) và

(ϑ2 , e2 ) sao cho các khẳng định (i) và (ii) của Định lý 2.2.1 được thỏa mãn.
Khi đó ta có:

A(ϑ1 − ϑ2 ) − fy [.](ϑ1 − ϑ2 ) = gy [.](e1 − e2 )

(2.32)

và

−fu [.](ϑ1 − ϑ2 ) + gu [.](e1 − e2 ) = 0.
Do đó e1 − e2 =

fu [.](ϑ1 − ϑ2 )
. Thế e1 − e2 vào (2.32), ta có:

gu [.]

A(ϑ1 − ϑ2 ) + (−fy [.] +

gy [.]fu [.]
)(ϑ1 − ϑ2 ) = 0.
gu [.]

(2.33)

gy [.]fu [.]
≥ 0. Lấy tích vô hướng hai vế của (2.33) và
gu [.]
sử dụng giả thiết (A1), ta thu được λ ϑ1 − ϑ2 22 ≤ 0. Do đó ϑ1 = ϑ2 và ta suy

Từ (A4) ta có −fy [.] +
ra e1 = e2 .

Cuối cùng, từ tính duy nhất của (ϑ, e), ta thu được từ (2.18) rằng:
2
D(y,u)
L(¯
y , u¯, ϑ, e)[(y, u), (y, u)] ≥ 0 ∀(y, u) ∈ C[(¯
y , u¯)].

(2.34)

Từ (2.34) và (2.22), ta thu được khẳng định (iv) của Định lý 2.2.1. Định lý 2.2.1
được chứng minh.

2.3

ĐIỀU KIỆN ĐỦ CỰC TRỊ BẬC HAI

Để xây dựng điều kiện đủ cực trị bậc hai, trước tiên, ta cần phải mở rộng nón
tới hạn. Ta ký hiệu C [(¯
y , u¯)] là tập các phương tới hạn d = (y, u) ∈ Y × L2 (Ω)
thỏa mãn các điều kiện sau: