Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến tiệm cận của hàm số

Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến tiệm cận của hàm số
Phần 1: Biết đồ thị hàm số y = f ( x )
Dạng 1: Biết đồ thị của hàm số y = f ( x ) , tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số y = f ( x ) , trong bài toán không chứa tham số.
Câu 1.

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu
đường tiệm cận?

A. 4 .

B. 2 .

C. 1 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn A
Từ đồ thị hàm số ta thấy:
lim f ( x ) = −1 nên đường thẳng y = −1 là một đường tiệm cận ngang.

x →−∞

lim f ( x ) = 1 nên đường thẳng y = 1 là một đường tiệm cận ngang.

x →+∞

Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = ±1 .
Tương tự
lim f ( x ) = +∞ và lim− f ( x ) = −∞ nên đường thẳng x = −2 là đường tiệm cận

x →−2+

x →−2

đứng.
lim f ( x ) = +∞ và và lim+ f ( x ) = −∞ nên đường thẳng x = −2 là đường tiệm cận

x → 2−

x→2

đứng.
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = ±2 .


Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.
Câu 1.

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình đường tiệm cận đứng
và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

A. Tiệm cận đứng x = 1 , tiệm cận ngang y = 2 .
B. Tiệm cận đứng x = −1 , tiệm cận ngang y = 2 .
C. Tiệm cận đứng x = 1 , tiệm cận ngang y = −2 .
D. Tiệm cận đứng x = −1 , tiệm cận ngang y = −2 .
Lời giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị ta có
lim

x →( −1)

−

f ( x ) = +∞ và lim

x → ( −1)

+

f ( x ) = +∞ nên đường thẳng x = −1 là tiệm cận

đứng của đồ thị hàm số y = f ( x ) .
lim f ( x ) = 2 và lim f ( x ) = 2 nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ
x →−∞

x→+ ∞

thị hàm số y = f ( x ) .
Câu 2.

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình đường tiệm cận đứng
và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là


A. Tiệm cận đứng x = −2 , tiệm cận ngang y = 1 .
B. Tiệm cận đứng x = 2 , tiệm cận ngang y = −1 .
C. Tiệm cận đứng x = 1 , tiệm cận ngang y = −2 .
D. Tiệm cận đứng x = −1 , tiệm cận ngang y = 2 .

Lời giải
Chọn A
Dựa vào đồ thị ta có
lim − f ( x ) = +∞ và lim + f ( x ) = −∞ nên đường thẳng x = −2 là tiệm cận đứng

x →( −2 )

x →( −2 )

của đồ thị hàm số y = f ( x ) .
+) lim f ( x ) = 1 và lim f ( x ) = 1 nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang đứng
x →−∞

x →+∞

của đồ thị hàm số y = f ( x ) .
Câu 3.

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là


A. 1.

B. 2 .

C. 3 .

D. 0 .

Lời giải

Chọn B

Từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) ta có lim f ( x ) = 1 nên đường thẳng y = 1 là
x →+∞

đường tiệm cận ngang.
Tương tự lim f ( x ) = −1 nên đường thẳng y = −1 là đường tiệm cận ngang.
x →−∞

Vậy đồ thị hàm số y = f ( x ) có 2 đường tiệm cận ngang.
Câu 4.

Cho hàm số y = f ( x ) . Có đồ thị như hình vẽ.

Đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 1.

B. 2 .

Lời giải

C. 3 .

D. 4 .

Chọn D
Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị của hàm số ta có

lim + f ( x ) = +∞ và lim − f ( x ) = −∞ nên đường thẳng x = −1 là đường tiệm cận
x →( −1)

x →( −1)

đứng.
lim f ( x ) = +∞ và lim− f ( x ) = −∞ nên đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng.

x →1+

x →1

lim f ( x ) = +∞ và và lim− f ( x ) = −∞ nên đường thẳng x = −2 là đường tiệm cận

x → 2+

x→2

đứng.
Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận đứng là x = ±1 và x = 2 .
Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.
lim f ( x ) = 1 và lim f ( x ) = 1 nên đường thẳng y = 1 là một đường tiệm cận

x →−∞

ngang.

x →+∞

Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là y = 1 .
Câu 5.

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) là
A. 4 .

B. 3 .

C. 2 .

D. 6 .

Lời giải

Chọn A
Dựa vào đồ thị của hàm số y = f ( x ) ta có:

1
1
nên đường thẳng y = − là một đường tiệm cận ngang của đồ thị
x →−∞
2
2
hàm số y = f ( x ) .
lim f ( x ) = −

1
1

nên đường thẳng y = là một đường tiệm cận ngang của đồ thị
x →+∞
2
2
hàm số y = f ( x ) .

lim f ( x ) =

1
⇒ Đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai đường tiệm cận ngang là y = ± .
2
lim − f ( x ) = −∞ và

 1
x → − 
 2

lim + f ( x ) = +∞ nên đường thẳng x = −

 1
x → − 
 2

cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x ) .

1
là đường tiệm
2

lim − f ( x ) = −∞ và lim + f ( x ) = +∞ nên đường thẳng x =

1
x → 
2

1
x → 
2

1
là đường tiệm cận
2

đứng của đồ thị hàm số y = f ( x ) .
⇒ Đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai đường tiệm cận đứng là x = ±

1
2

Vậy đồ thị hàm số y = f ( x ) có tất cả 4 đường tiệm cận.
Câu 6.

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) là:
A. 4 .

B. 3 .

C. 2 .

D. 1 .

Lời giải

Chọn B
Dựa vào đồ thị của hàm số y = f ( x ) ta có:

lim f ( x ) = 1 nên đường thẳng y = 1 là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm

x →−∞

số y = f ( x ) .
lim f ( x ) = 3 nên đường thẳng y = 3 là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm

x →+∞

số y = f ( x ) .


lim f ( x ) = +∞ và lim+ f ( x ) = +∞ suy ra đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của

x → 0−

x →0

đồ thị hàm số y = f ( x ) .
Vậy đồ thị hàm số y = f ( x ) có tất cả 3 đường tiệm cận.
Câu 7.

Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) như hình vẽ dưới đây:

Tổng số tiệm cận của đồ thị hàm số là:
A. 1.

B. 2.

Chọn B
Dựa vào đồ thị hàm số ta có

C. 3.

D. 4

Lời giải

lim y = 1 nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang y = 1 và lim± y = +∞ nên đồ thị

x →±∞

x →1

hàm số có 1 tiệm cận đứng x = 1 . Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.
Câu 8.

Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) có hình vẽ dưới đây.

Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số là:
A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .


Lời giải
Chọn C
Ta có: lim f ( x ) = 2 nên đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là y = 2
x →±∞

Lại thấy: lim+ f ( x ) = +∞ và lim− f ( x ) = +∞ nên đồ thị hàm số có 2 đường tiệm
x →−1

x →1

cận ngang là x =
−1; x =
1
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận
Câu 9.

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

Gọi a là số đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Giá trị của biểu thức a 2 + a bằng
A. 6 .
B. 12 .
C. 20 .

D. 30 .
Lời giải

Chọn B
Dựa vào đồ thị ta có
lim
=
f ( x ) lim
=
f ( x)

x →−∞

x →+∞

1
1
. Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = .
2
2

lim+ f ( x ) = +∞ , lim− f ( x ) = −∞ Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x =

x→

1
2

x→

1
2

lim+ f ( x ) = −∞ , lim− f ( x ) = +∞ suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

x →−

1
2

x= −

x →−

1
2

1
2

1
2


Đồ thị hàm số có 3 tiệm cận ⇒ a =
3.
Vậy a 2 + a =
12
Câu 10. Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị là đường cong hình bên dưới.
y

4

2

-1

Đồ thị hàm số

A. 1 .

O

( x − 1) ( x 2 − 1)
g ( x) = 2
f ( x) − 2 f ( x)

x

1

có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Lời giải

Chọn D

 f ( x ) = 0 (1)
Ta xét mẫu số: f 2 ( x ) − 2 f ( x ) =
.
0⇔
 f ( x ) = 2 ( 2 )
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:
y
4

2

-1

y=2

O

1

x


+) Phương trình (1) có nghiệm x1 = a < −1 (nghiệm đơn) và x2 = 1 (nghiệm kép)
⇒ f ( x) =
( x − a )( x − 1) .
2

+) Phương trình ( 2 ) có nghiệm x3 =b ∈ ( a ; − 1) , x4 = 0 và x5= c > 1

⇒ f ( x) − 2 =

Do đó

( x − b) x ( x − c) .

( x − 1) ( x 2 − 1)
g ( x) =
f ( x )  f ( x ) − 2 

( x − 1) ( x + 1)
x +1
.
=
2
( x − a )( x − 1) . ( x − b ) x ( x − c ) ( x − a )( x − b ) x ( x − c )
2

⇒ đồ thị hàm số y = g ( x ) có 4 đường tiệm cận đứng.

Câu 11. Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên.

Đồ thị hàm
A. 2 .
Chọn C

(x
y=

2

+ 4 x + 3) x 2 + x

x  f 2 ( x ) − 2 f ( x ) 
B. 3 .

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
C. 4 .
Lời giải

D. 6 .


Ta thấy phương trình bậc ba f ( x = 2 ) có 3 nghiệm phân biệt là x1 = c < −3 ,

x2 = b . với −3 < b < −1 và x3 = −1 .

Và phương trình bậc ba f ( x ) = 0 có nghiệm kép x = −3 và nghiệm đơn x = a
với −1 < a < 0 .
Do lim f ( x ) = −∞ và lim f ( x ) = +∞ nên không mất tính tổng quát, ta giả sử
x →−∞

x →+∞

2

f ( x ) = 0 ⇔ − ( x + 3) ( x − a ) = 0 và f ( x ) = 2 ⇔ − ( x − c ) ( x − b ) ( x + 1) = 0 .
x + 4 x + 3) x + x ( x + 1)( x + 3) x ( x + 1)
(=
2

Ta có: y
=

2

x  f 2 ( x ) − 2 f ( x ) 

Khi đó: lim+ y = lim+
x →0

x →0

lim+ y = lim+

x →−3

x →−3

x. f ( x ) .  f ( x ) − 2 

( x + 1)( x + 3) x + 1 =
x . f ( x ) .  f ( x ) − 2 

+∞ .

( x + 1) x ( x + 1)
=
− x ( x + 3)( x − a ) .  f ( x ) − 2 

−∞ .

lim+ y = lim+

( x + 1)( x + 3) x ( x + 1)
=
− x. f ( x )( x − c )( x − b )( x + 1)

+∞ .

lim+ y = lim+

( x + 1)( x + 3) x ( x + 1)
=
− x. f ( x )( x − c )( x − b )( x + 1)

+∞ .

x →c

x →b

lim− y
=
x →−1

x →c

x →b

.

( x + 3) x ( x + 1)
lim
0.
=
−
x →−1 − x. f ( x )( x − c )( x − b )

lim y không tồn tại.

x →−1+

Vậy đồ thị hàm số

(x
y=

2

+ 4 x + 3) x 2 + x

x  f 2 ( x ) − 2 f ( x ) 

có 4 đường tiệm cận đứng là x = 0 ;

x = −3 ; x = c ; x = b .
Dạng 2: Biết đồ thị của hàm số y = f ( x ) , tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số y = f ( x ) , trong bài toán chứa tham số.

Câu 1.

Cho hàm số y = f ( x )

có đồ thị như hình vẽ. Tìm m để đồ thị hàm số

y f ( x − m ) có tiệm cận đứng là trục Oy ?
=

A. 0 .

B. −1 .

C. 2 .

D. 1 .

Lời giải

Chọn D
Đồ thị hàm số y = f ( x ) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1 .

Tịnh tiến theo véc tơ v = ( m ;0 ) thì:
Đồ thị hàm số y = f ( x ) biến thành đồ thị hàm số=
y f ( x − m) .
Tiệm cận x = −1 của đồ thị hàm số y = f ( x ) biến thành tiệm cận x =−1 + m của
đồ thị hàm số=
y f ( x − m) .
Đồ thị hàm số=

y f ( x − m ) có tiệm cận đứng là trục Oy ⇔ −1 + m = 0 ⇔ m = 1
Câu 2.

ax + b
, a , b , c ∈  có đồ thị như hình bên.
x+c
Giá trị của P = a + b + c bằng

Cho hàm số
=
y f=
( x)


A. 2 .

B. 1.

Chọn B

Lời giải

C. 3.

D. −1.

 x ≠ −c
Điền kiện: 
ac − b ≠ 0
Hàm số y = f ( x ) có tiệm cận đứng: x = − c ; tiệm cận ngang: y = a

Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) ta nhận xét được:
m > 0
• 
⇔ m >1
1 − m < 0
b
=
−2 ⇒ b =−2c
c
• Tiệm cận đứng: x = 1 − m ; tiệm cận ngang: y = m

• Khi x =
0⇒ y =
−2 ⇒

c= m − 1
 −c = 1 − m
Suy ra: 
⇔
⇒ b =−2c =−2m + 2 (thỏa điều kiện)
a = m
a = m
Nên: P = a + b + c = m − 2m + 2 + m − 1 = 1
Câu 3.

Cho hàm số y =

( 2m − 1) x − 3
x−m

có đồ thị như hình dưới đây

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tâm đối xứng của đồ thị hàm số
nằm trong đường tròn tâm gốc tọa độ O bán kính bằng
A. 40 .
38 .
Chọn C

B. 0 .

C. 1 .
Lời giải

2019 ?
D.


Từ dạng đồ thị của hàm số ta suy ra
−m ( 2m − 1) + 3
3
y′
=
> 0 ⇒ −m ( 2m − 1) + 3 > 0 ⇔ −1 < m < .
2
2
( x − m)
Khi đó dễ thấy đồ thị có hai đường tiệm cận là x = m , =
y 2m − 1 .
Vậy tâm đối xứng là điểm I ( m ; 2m − 1) .
Từ đồ thị và giả thiết kèm theo ta có :

1

m > 2
 y= 2m − 1 > 0


.
⇔ m > 0
 x= m > 0
−19 ≤ m ≤ 20 m ∈ 

)
(
OI < 2019


Kết hợp với điều kiện trên ta suy ra m = 1 .
Câu 4.

nx + 1
; ( mn ≠ 1) xác định trên R \ {−1} , liên tục trên từng
x+m
khoảng xác định và có đồ thị như hình vẽ bên:
Cho hàm số y = f ( x ) =

Tính tổng m + n ?
A. m + n =
1.

B. m + n =−1 .

Chọn C

C. m + n =
3.

D. m + n =−3 .

Lời giải

nx + 1
; ( mn ≠ 1) có hai đường tiệm cận x =
−m =
−1 ;
x+m
y =n =2 ⇒ m =1 ; n = 2 ⇒ m + n = 3

Đồ thị hàm số y = f ( x ) =

Dạng 3: Biết đồ thị của hàm số y = f ( x ) , tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số y = g ( x ) , trong bài toán không chứa tham số.
Câu 1.

Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d ( a , b , c , d ∈  ) có đồ thị như hình vẽ
dưới đây.


Hỏi đồ thị hàm số g ( x )
A. 3.
6.

Chọn A

(x
=

2

− 3x + 2 ) x − 1

x  f 2 ( x ) − f ( x ) 
B. 4.

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
C. 5.

D.

Lời giải

x = 0

Xét phương trình: x  f 2 ( x ) − f ( x )  =
0 ⇔  f ( x) =
0
 f x =1
 ( )
+) Từ điều kiện x ≥ 1 ⇒ x =
0 không là tiệm cận đứng.
=
 x a ( a < 1)

+) Từ đồ thị ⇒ phương trình f ( x )= 0 ⇔ 
x = 2
•
•

x = a không là tiệm cận đứng.
x = 2 là nghiệm kép và tử số có một nghiệm x = 2 ⇒ x = 2 là một đường
tiệm cận đứng.

x = 1

+) Từ đồ thị ⇒ phương trình f ( x ) =1 ⇔  x = b (1 < b < 2 )
x c c > 2
=
(
)


•
•

x = 1 không là tiệm cận đứng (vì tử số có một nghiệm nghiệm x = 1 )
x = b , x = c là hai đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số g ( x ) có 3 đường tiệm cận đứng.
Câu 2.

Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d ( a , b , c , d ∈  ) có đồ thị như hình vẽ
dưới đây.

Hỏi đồ thị hàm số g ( x ) =
tiệm cận ngang?
A. 2.
5.

1
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và
f ( 4 − x2 ) − 3

B. 3.

C. 4.

D.

Lời giải

Chọn C

4 − x2 =
x = ± 6
−2
Từ đồ thị ta có f ( 4 − x 2 ) − 3 =
⇔
3⇔
0 ⇔ f ( 4 − x2 ) =

2
4

x = 0
4 − x =
⇒ đồ thị hàm số g ( x ) có ba đường tiệm cận đứng.

0 là đường tiệm cận ngang của
Lại có lim f ( 4 − x 2 ) = −∞ ⇒ lim g ( x ) =
0⇒y=
x →±∞

x →±∞

đồ thị.
Vậy đồ thị hàm số g ( x ) có bốn đường tiệm cận.
Câu 3.

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số như hình vẽ


Hỏi đồ thị hàm số g ( x ) =
A. 3 .

x
có bao nhiêu tiệm cận đứng ?
( x + 1)  f ( x ) − f ( x )
2

B. 0 .

C. 1 .

D. 2 .

Lời giải

Chọn A

 x ≥ 0
(1)
Hàm số xác định ⇔  2
.
 f ( x ) − f ( x ) ≠ 0

 x = −1
Xét ( x + 1)  f 2 ( x ) − f ( x )  =
0⇔ 2
0
 f ( x) − f ( x) =
 f ( x) = 0
.
⇔ f 2 ( x) − f ( x) =
0⇔
 f ( x ) = 1
* Với f ( x ) = 0 :
Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt x3 < x2 < 0 < x1 .
Từ điều kiện (1) thì phương trình f ( x ) = 0 có 1 nghiệm x = x1 .
* Với f (1) = 1 :
Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt x6 < x5 =0 < x4 .
Từ điều kiện (1) thì phương trình f ( x ) = 1 có 2 nghiệm x = x5 và x = x4 và cả 2
nghiệm này đều khác x1 .
0 có 3 nghiệm phân biệt.

Suy ra phương trình ( x + 1)  f 2 ( x ) − f ( x )  =
Vậy đồ thị hàm số g ( x ) =
Câu 4.

x
có 3 tiệm cận đứng.
( x + 1)  f ( x ) − f ( x ) 
2

Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ


Hỏi đồ thị hàm số g ( x ) =
đứng?
A. 5 .

(x

2

− 2x) 1− x

( x − 3)  f 2 ( x ) + 3 f ( x )

B. 4 .

Chọn D
Điều kiện hàm số có nghĩa

có bao nhiêu đường tiệm cận

C. 6 .

D. 3 .

Lời giải

 x ≤ 1 (*)
1 − x ≥ 0
⇔


2
 2

( x − 3)  f ( x ) + 3 f ( x )  ≠ 0
( x − 3)  f ( x ) + 3 f ( x )  ≠ 0

x = 3

0 ⇔  f ( x) =
Xét phương trình ( x − 3)  f 2 ( x ) + 3 f ( x )  =
0
 f x = −3
 ( )
Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) suy ra f ( x ) = 0 có 3 nghiệm −1 < x1 < x2 < 1 < x3
f ( x ) = −3 có hai nghiệm x4 < 1 và x5 = 2

0 có nghiệm
Kết hợp với điều kiện (*) phương trình ( x − 3)  f 2 ( x ) + 3 f ( x )  =

x1 , x2 , x5 .

Và x1 , x2 , x5 không là nghiệm của tử nên hàm số g ( x ) có 3 đường tiệm cận
đứng.
Câu 5.

Cho
hàm
số
bậc
ba
3
2
y = f ( x ) = ax + bx + cx + d có đồ thị là
đường cong như hình bên. Đồ thị hàm số
g ( x)

(x
=

2

+ 4 x + 3) x 2 + x

2
x ( f ( x ) ) − 2 f ( x ) 


đường tiệm cận
A. 4 .

B. 5 .

có bao nhiêu

C. 6 .
Lời giải

D. 3 .


Chọn B
 x > 0
x ≠ 0


  x ≤ −1
2
Điều kiện:  x + x ≥ 0
⇔

 f ( x ) ≠ 0
2
  f ( x )  − 2 f ( x ) ≠ 0
 f ( x ) ≠ 2
 
Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta thấy phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm x = −3 (bội
2), và nghiệm x = x0 ; x0 ∈ ( −1;0 ) nên : f ( x ) =a ( x + 3) ( x − x0 )
2

Đường thẳng y = 2 cắt đồ thị y = f ( x ) tại ba điểm phân biệt có hoành độ x = −1 ;

x = x1 ; x1 ∈ ( −3; − 1) ; x = x2 ; ( x2 < −3) . Nên f ( x ) − 2= a ( x + 1)( x − x1 )( x − x2 ) .
Do đó: g ( x )
=

x + 4 x + 3) x + x ( x
(=
2

2

2
x ( f ( x ) ) − 2 f ( x ) 



2

+ 4 x + 3) x 2 + x

x. f ( x )  f ( x ) − 2 

x + 1)( x + 3) x 2 + x
(
=
2
x.a ( x + 3) . ( x − x0 ) .a ( x + 1)( x − x1 )( x − x2 )
Ta có: lim+ g ( x ) = lim+ =
x →0

x →0

a

2

x2 + x
.
a 2 x ( x + 3)( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 )

x +1
= +∞ nên x = 0 là
x ( x + 3)( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 )

một đường tiệm cận đứng của đồ thị y = g ( x )
+)Các đường thẳng x = −3 ; x = x1 ; x = x2 đều là các đường tiệm cận đứng của đồ
thị hàm số y = g ( x )
Do đó đồ thị y = g ( x ) có 4 đường tiệm cận đứng.
+) Hàm số y = g ( x ) xác định trên một khoảng vô hạn và bậc của tử nhỏ hơn bậc
của mẫu nên đồ thị y = f ( x ) có một đường tiệm cận ngang y = 0 .
Vậy đồ thị hàm số y = g ( x ) có 5 đường tiệm cận.
Câu 6.

Cho hàm bậc ba y = f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d . Đồ thị y = f ( x ) như hình vẽ. Tìm
số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số y =

x4 − 4 x2 + 3
.
( x − 1) ( f 2 ( x ) − 2 f ( x ) )

A. 4 .

B. 5 .

C. 2 .

D. 3 .

Lời giải

Chọn A
f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d
Dựa vào đồ thị của y = f ( x ) , ta có

f

f

f
f


4
( −1) =
( 0) = 2
⇔
(1) = 0
( 2) = 4

Do đó f ( x ) = x3 − 3 x + 2 =

−a + b − c + d =4

d = 2
⇔

0
a + b + c + d =
8a + 4b + 2c + d =
4

( x − 1) ( x + 2 )
2

x4 − 4 x2 + 3
Xét hàm số y =
=
( x − 1) ( f 2 ( x ) − 2 f ( x ) )
=

a = 1
b = 0


c = −3
d = 2

(x

2

− 1)( x 2 − 3)

( x − 1) . f ( x ) . ( f ( x ) − 2 )

( x 2 − 1)( x 2 − 3)
=
2
( x − 1) . ( x − 1) . ( x + 2 ) .x. ( x 2 − 3)

( x + 1)
2
( x − 1) . ( x + 2 ) .x

Hàm số có các đường tiệm cận đứng là x = 0 ; x = 1 ; x = −2 và đường tiệm cận
ngang y = 0 .
Câu 7.

Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ.


Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số: g ( x ) =
A. 4 .

B. 3 .

Chọn C

Lời giải

x
f ( x) + 2

C. 2 .

D. 1 .

=
 x a ( a < −2 )

Từ đồ thị ta có: f ( x ) + 2 =
0 ⇔ f ( x) =
−2 ⇔  x= b ( −2 < b < 0 )
x c c > 0
=
(
)

Kết hợp với điều kiện có nghĩa của

x suy ra đồ thị hàm số g ( x ) có 1 tiệm cận

đứng=
x c ( c > 0) .
Hàm số g ( x ) =

x
có bậc của tử bé hơn bậc của mẫu (Hàm số có bậc tử là
f ( x) + 2

1
còn bậc mẫu là 3 ) suy ra đồ thị hàm số g ( x ) có 1 tiệm cận ngang là y = 0 .
2
Vậy đồ thị hàm số g ( x ) =
Câu 8.

x
có hai đường tiệm cận.
f ( x) + 2

Cho hàm số bậc bốn f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ bên dưới:


Hỏi đồ thị hàm số y =
A. 4.
Chọn A
Xét phương trình

(x

2

− 4 )( x 2 + 2 x )
2

 f ( x )  + 2 f ( x ) − 3

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

B. 5.

C. 3.

D. 2.

Lời giải

 f ( x) = 1
 x= 0; x= x1 < −2; x= x2 > 2
f 2 ( x) + 2 f ( x) − 3 = 0 ⇔ 
⇔
−2; x =
2
 f ( x ) = −3
x =
Trong đó nghiệm x = 0 , x = −2 , x = 2 đều có bội 2 và
=
x x1 ( x1 < −2 ) ;

=
x x2 ( x2 > 2 ) là nghiệm đơn (bội 1).

So sánh bội nghiệm ở mẫu và bội nghiệm ở tử thì thấy đồ thị có các TCĐ là x = 0 ;
x = 2 ; x = x1 ; x = x2
Câu 9.

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ sau:


Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số g ( x ) =

A. 2.

B. 3.

C. 4.

2
2
= −
3. ( −1) − 2
5

lim=
g ( x)

2
= 2
3.1 − 2

x →−∞

x →+∞

D. 5.

Lời giải

Chọn B
Dựa vào đồ thị hàm số ta có:
lim g ( x ) =

2
3 f ( x) − 2

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận ngang.
2
Xét phương trình 3 f ( x ) − 2 = 0 ⇔ f ( x ) =
3
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: phương trình f ( x ) =

2
có duy nhất một nghiệm.
3

Vậy hàm số có 3 đường tiệm cận.
Dạng 4: Biết đồ thị của hàm số y = f ( x ) , tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số y = g ( x ) , trong bài toán chứa tham số.
Câu 1.

Cho hàm số f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ.

y
2

x

1
-1

Số các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số g ( x ) =

2020x
có
f ( x )  f ( x ) − m 

tổng số 9 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là
A. 2 .

B. 1 .

C. 4 .

D. 3 .


Lời giải

Chọn B
Ta có g ( x ) là hàm phân thức hữu tỷ với bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu nên
lim g ( x ) = 0 , do đó đồ thị hàm số g ( x ) luôn có một tiệm cận ngang là y = 0 .

x →±∞

x
=

x=
Phương trình f ( x )= 0 ⇔ 
x=


 x=

x1 ; − 2 < x1 < −1
x2 ∈ ( −1;0 )
x3 ∈ ( 0;1)

.

x4 ∈ (1; 2 )

Ta thấy phương trình f ( x ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt đều khác 0 nên x = x1 ,
x = x2 , x = x3 , x = x4 là 4 tiệm cận đứng đồ thị hàm số g ( x ) .
Vậy để đồ thị hàm số g ( x ) có đúng 9 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng thì
phương trình f ( x ) = m phải có đúng 4 nghiệm phân biệt khác 0 và khác với 4
−1 < m < 2
nghiệm xi i = 1, 4 ⇔ 
mà m ∈  nên m = 1 .
m ≠ 0

(

Câu 2.

)

Cho hàm số f ( x=
) x 2 − 2 x có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị m để đồ
thị hàm số g ( x ) =

f ( x)

có số tiệm cận là số lẻ.
f ( x + m)

A. m ≠ 2 và m ≠ 0 .

B. m ≠ −2 và m ≠ 0 .

C. m ≠ 0 .

D. m ≠ ±2 .

Chọn D
Ta có:

Lời giải

f ( x)
x2 − 2 x
=
f ( x + m ) ( x + m )2 − 2 ( x + m )


x2 − 2 x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 .

( x + m)
Vì lim

x →±∞

2

− 2 ( x + m ) =0 ⇔ x =−m ∨ x =2 − m .

f ( x)
f ( x)
luôn có 1 tiệm cận
= 1 , ∀m ∈ * nên hàm số g ( x ) =
f ( x + m)
f ( x + m)

ngang là y = 1 .
Với m = 0 , ta có
g ( x) =

f ( x)
= 1 , ∀x ∈  \ {0; 2} . Suy ra đồ thị hàm số
f ( x + m)

f ( x)
không có tiệm cận đứng.
f ( x + m)

Do vậy với m = 0 , đồ thị hàm số g ( x ) =
f ( x)
Với m = 2 ,=
ta có
f ( x + m)

f ( x)
có 1 tiệm cận.

f ( x + m)

x ( x − 2)
x2 − 2 x
có tập xác định là
=
2
( x + 2) − 2 ( x + 2) x ( x + 2)

=
D  \ {−2;0} .
Có lim

x →−2

lim
x →0

f ( x)
x ( x − 2)
= lim
= ∞,
2
x
→−
f ( x + m)
x ( x + 2)

f ( x)
x ( x − 2)

x−2
= lim
= lim
= −1 .
f ( x + m ) x →0 x ( x + 2 ) x →0 x + 2

Do đó đồ thị hàm số

f ( x)
có 2 tiệm cận (1 tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang).
f ( x + m)

f ( x)
Với m = −2=
, ta có
f ( x + m)

x2 − 2 x
=
2
( x − 2) − 2 ( x − 2)

x ( x − 2)
, có tập xác định
( x − 2 )( x − 4 )

D =  \ {2; 4} .

Có lim
x→2

lim
x→4

f ( x)
x ( x − 2)
x
= lim
= lim
= −1 ,
f ( x + m ) x →2 ( x − 2 )( x − 4 ) x →2 x − 4

f ( x)
x ( x − 2)
= lim
= ∞.
f ( x + m ) x →4 ( x − 2 )( x − 4 )

Do đó đồ thị hàm số

f ( x)
có 2 tiệm cận (1 tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang).
f ( x + m)