Giáo án dạy thêm toán lớp 7 học kì 2

D¹y thªm to¸n 7 häc kú II
Trường THCS ...........

N¨m häc:2011-2012

Kế hoạch dạy thêm
Môn toán lớp 7
Học kỳ II năm học 2011 – 2012

STT

Buổi

Số
tiết

1
2

1
2

3
3

Ôn về các trường hợp bằng nhau của Tam giác.
Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch, tỉ lệ

3

thuận.

Ôn về các trường hợp bằng nhau của Tam giác

3

(tiếp)
Ôn định lý Pitago - trường hợp bằng nhau của

3

hai tam giác vuông.
Quan hệ giữa các yếu tố của tam giác. Các

3

đường đồng quy trong tam giác.
Quan hệ góc và cạnh đối diện trong một tam

3

4
5
6

3

4
5
6

Ngày dạy

Tên bài dạy

7

7

3

giác.
Ôn về biểu thức đại số.

8

8

3

Ôn về các đường đồng quy của tam giác.

9

9

3

Ôn về cộng trừ đa thức một biến.

10

10

3

Ôn về các đường đồng quy của tam giác (tiếp)

11

11

3

Ôn về đa thức, nhiệm của một đa thức.

12

12

3

Ôn về các đường đồng quy của tam giác (tiếp)

13

13

3

Ôn tập chương: Biểu thức đại số.
Ôn tập chương 3 hình học “Quan hệ giữa các

14

14

3

15

15

3

yếu tố của tam giác. Các đường đồng quy của
tam giác”.
Ôn tập học kỳ II.
Vân Đồn, ngày 15 tháng 12 năm 2011
Giáo viên dạy

1

Điều
chỉnh


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

Ngày soạn: 20/01/2012

Ngày dạy:
Buổi 1. ÔN VỀ CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC
I. MỤC TIÊU:
- Ôn luyện trường hợp bằng nhau thứ nhất của hai tam giác. Trường hợp cạnh - cạnh cạnh và cạnh - góc - cạnh.
- Vẽ và chứng minh 2 tam giác bằng nhau, suy ra cạnh hoặc góc bằng nhau.
- Rèn kỹ năng vẽ hình, suy luận, trình bày.
II. TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:
1. Tổ chức lớp ( 1’ )
7A :
7B :
2. Bài mới ( 114’ )
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY VÀ TRÒ

GHI BẢNG

? Nêu các bước vẽ một tam giác khi biết ba
cạnh?

I. Kiến thức cơ bản:
1. Vẽ một tam giác biết ba cạnh:

? Phát biểu trường hợp bằng nhau cạnh cạnh - cạnh của hai tam giác?

2. Trường hợp bằng nhau c - c - c:
3. Vẽ một tam giác biết hai cạnh và góc xen giữa:
4. Trường hợp bằng nhau c - g - c:
5. Trường hợp bằng nhau đặc biệt của tam giác
vuông:
II. Bài tập:
1.Bài tập 1: Cho hình vẽ sau. Chứng minh:

a, ABD = CDB
A
B

GV đưa ra hình vẽ bài tập 1.

b,
? Để chứng minh ABD = CDB ta làm

ADB = DBC

D

như thế nào?

Giải

HS lên bảng trình bày.

a, Xét ABD và CDB có:

C

AB = CD (gt)
AD = BC (gt)
DB chung
ABD = CDB (c.c.c)
b, Ta có: ABD =

CDB (chứng minh trên)

ADB = DBC (hai góc tương ứng)
2.Bài tập 22/ SGK - 115:

2


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II
HS nghiên cứu bài tập 22/ sgk.
HS: Lên bảng thực hiện các bước làm theo
hướng dẫn, ở dưới lớp thực hành vẽ vào vở.
? Ta thực hiện các bước nào?
H:- Vẽ góc xOy và tia Am.
- Vẽ cung tròn (O; r) cắt Ox tại B, cắt
Oy tại C.
- Vẽ cung tròn (A; r) cắt Am tại D.
- Vẽ cung tròn (D; BC) cắt (A; r) tại E.
?QuacáchvẽgiảithíchtạisaoOB=AE?
OC = AD? BC = ED?

N¨m häc:2011-2012
b,
ADB DBC
c, AD = BC
? Bài toán cho biết gì? yêu
cầu gì?
HS lên bảng ghi GT – KL.
? ABD và CDB có những
yếu tố nào bằng nhau?
? Vậy chúng bằng nhau theo

trường hợp nào?
HS lên

? Muốn chứng minh DAE = xOy ta làm
như thế nào?

bảng trình

HS lên bảng chứng minh OBC = AED.

làm các phần

GV đưa ra bài tập 3.

còn lại.

Cho hình vẽ sau, hãy chứng minh:
a, ABD = CDB

bày. HS tự

GV đưa ra bài tập 4
0

Cho ABC có A <90 . Trên
nửa mặt phẳng
chứa đỉnh C có bờ AB, ta kẻ
tia AE sao cho: AE AB; AE =
AB. Trên nửa mặt phẳng
không chứa điểm B bờ AC, kẻ

tia AD sao cho: AD AC; AD =
AC. Chứng minh rằng: ABC =
AED.
HS đọc bài toán, len bảng ghi
GT – KL.
? Có nhận xét gì về hai tam
giác này?
HS lên bảng chứng minh.


D

x
B

C

Giải

E

a, Xét ABD và CDB có:
AB = CD (gt); ABD CDB (gt); BD

O

chung.

y

C

A

D

m

ABD = CDB (c.g.c)
b, Ta có: ABD = CDB (cm trên)
ADB DBC (Hai góc tương ứng)

Xét OBC và AED có:

c, Ta có: ABD = CDB (cm trên)

OB = AE = r
OC = AD = r
BC=ED
OBC =

AD = BC (Hai cạnh tương ứng)

AED

A

4.Bài tập 4

D

BOC = EAD hay EAD = xOy
3.Bài tập 3

A

B

B

C

E

Giải
Ta có: hai tia AE và AC cùng thuộc một nửa mặt phẳng

3


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

Dưới lớp làm vào vở, sau đó kiểm tra

bờ là đường thẳng AB và BAC

chéo các bài của nhau.

AC nằm
0

BAE nên tia

giữa AB và AE. Do đó: BAC +CAE =BAE

BAE 90 CAE(1)
0

Tương tự ta có: EAD

90

CAE(2)

Từ (1) và (2)ta có: BAC =EAD .

Xét ABC và AED có:
AB = AE (gt)
? Vẽ hình, ghi GT và KL của bài toán.
? Để chứng minh OA = OB ta chứng minh
hai tam giác nào bằng nhau?
? Hai OAH và OBH có những yếu tố nào
bằng nhau? Chọn yếu tố nào? Vì sao?

BAC =EAD (chứng minh trên)
AC = AD (gt)
ABC = AED (c.g.c)
y

5.Bài tập 35/SGK - 123:
A

C

Một HS lên bảng chứng minh, ở dưới làm

O

H

t

bài vào vở và nhận xét.
B

Chứng minh:
H: Hoạt động nhóm chứng minh CA = CB
và

=

trong 8’, sau đó GV thu

OAC OBC
bài các nhóm và nhận xét.

Xét OAH và OBH là hai tam giác vuông có:
OH là cạnh chung.

=(Ot là tia p/g của xOy)

AOH BOH
OAH = OBH (g.c.g)
OA = OB.
b, Xét OAC và OBC có
OA = OB (c/m trên)
OC chung;
=(gt).

HS đọc yêu cầu của bài.
HS lên bảng thực hiện phần a.

AOC BOC
OAC = OBC (c.g.c)
AC = BC và=

OAC OBC
6. Bài tập 54/SBT:
a) Xét ABE và ACD có:

Phần b hoạt động nhóm.

AB = AC (gt)
4


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

ˆ

ABE = ACD

A chung

AE = AD (gt)

(g.c.g)
nên BE = CD

A
D

E
O

B

C

b) ABE = ACD

ˆ ˆ
ˆ
C1 ;E1 D1
Lại có:
ˆ
ˆ = 180
E2 E1

ˆ
ˆ = 180
D2 D1
ˆ
ˆ
nên E 2D2
B1

ˆ

AB=AC
AD=AE
AD+BD=AB
AE+EC=AC

0
0

Mặt khác:

BD=CE

ˆ

ˆ

Trong BOD và COE có B1 C1

ˆ
ˆ

BD = CE, D2 E 2
BOD =

COE (g.c.g)

3. Củng cố ( 3’ )
GV nhắc lại các kiến thức cơ bản.
4. Hướng dẫn về nhà ( 2’ )
- Xem lại các dạng bài tập đã chữa.
- Ôn lại các trường hợp bằng nhau của hai tam giác.

5


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

Ngày soạn: 25/ 01/ 2012
Ngày dạy:
Buổi 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH,
TỈ LỆ THUẬN.
A. Mục tiêu:
- Hiểu được công thức đặc trưng của hai đại lượng tỉ lệ thuận, của hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
- Biết vận dụng các công thức và tính chất để giải được các bài toán cơ bản về hai đại lượng tỉ lệ
thuận, hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
- Rèn kỹ năng vận dụng, suy luận, trình bày.
B. Tiến trình bài dạy:
I. Tổ chức lớp ( 1’ )
7A :

7B :
II. Bài mới ( 118’ )
1.Bài 1:
a. Biết y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k, x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ m (k 0; m 0). Hỏi z có
tỉ lệ thuận với y không? Hệ số tỉ lệ?
b. Biết các cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2, 3, 4 và chu vi của nó là 45cm. Tính các cạnh của tam
giác đó.
Giải:
a. y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ

1

1

lệ k nên x = k y (1)
x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ m thì x tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ

1
1
m nên z = m x (2)
1 1

1

Từ (1) và (2) suy ra: z = m . k .y = mk y nên z tỉ lệ thuận với y, hệ số tỉ lệ

1

là mk b. Gọi các cạnh của tam giác lần lượt là a, b, c
Theo đề bài ra ta có:

a b

2

a

a

3

c

và a + b + c = 45cm

4

b c a b c 45 5 2342349

b
c
2 5 a 2.5 10; 3 5 b 3.5 15; 4 5 c 4.5 20 Vậy chiều dài của

các cạnh lần lượt là 10cm, 15cm, 20cm.

6


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

2. Bài 2: Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng nửa chiều dài. Viết công thức biểu thị sự phụ
thuộc giữa chu vi C của hình chữ nhật và chiều rộng x của nó.
Giải: Chiều dài hình chữ nhật là 2x
Chu vi hình chữ nhật là: C = (x + 2x) . 2 = 6x
Do đó trong trường hợp này chu vi hình chữ nhật tỉ lệ thuận với chiều rộng của nó.
3. Bài 3: Học sinh của 3 lớp 6 cần phải trồng và chăm sóc 24 cây bàng. Lớp 6A có 32 học sinh;
Lớp 6B có 28 học sinh; Lớp 6C có 36 học sinh. Hỏi mỗi lớp cần phải trồng và chăm sóc bao nhiêu
cây bàng, biết rằng số cây bàng tỉ lệ với số học sinh.
Giải:
Gọi số cây bàng phải trồng và chăm sóc của lớp 6A; 6B; 6C lần lượt là x,
y, z. Vậy x, y, z tỉ lệ thuận với 32, 28, 36 nên ta có:
x
y
z
x y z
24 1
32 28 36
32 28 36 96 4
Do đó số cây bàng mỗi lớp phải trồng và chăm sóc là:
Lớp 6A: x
Lớp 6B: y

1 .32 8
4
1 .28 7

Lớp 6C: z

4
1 .36 9

(cây)
(cây)
(cây)

4
4. Bài 4: Lớp 7A 1giờ 20 phút trồng được 80 cây. Hỏi sau 2 giờ lớp 7A trồng được bao nhiêu cây.
Giải:
Biết 1giờ 20 phút = 80 phút trồng được 80 cây
2 giờ = 120 phút do đó 120 phút trồng được x cây
x=

80.120 120 (cây)
80
Vậy sau 2 giờ lớp 7A trồng được 120 cây.
5. Bài 5: Tìm số coá ba chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo 1 : 2 : 3.
Giải:
Gọi a, b, c là các chữ số của số có 3 chữ số phải tìm. Vì mỗi chữ số a, b, c không vượt quá 9 và
3 chữ số a, b, c không thể đồng thời
bằng 0 Nên 1 a + b + c 27
Mặt khác số phải tìm là bội của 18 nên A + b +
c = 9 hoặc 18 hoặc 27

Theo giả thiết ta có: a
1
Như vậy a + b + c 6

b

c

2

3

a b c
6

Do đó: a + b + c = 18
Suy ra: a = 3; b = 6; c = 9
Lại vì số chia hết cho 18 nên chữ số hàng đơn vị của nó phải là số chẵn.
7


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

Vậy các số phải tìm là: 396; 936
6. Bài 6:
a. Biết y tỉ lệ thuận với x, hệ số tỉ lệ là 3.
x tỉ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ là 15, Hỏi y tỉ lệ thuận hay nghịch với z? Hệ số tỉ lệ?
b. Biết y tỉ lệ nghich với x, hệ số tỉ lệ là a, x tỉ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ là 6. Hỏi y tỉ lệ thuận hay nghịch với z? Hệ số tỉ lệ?

Giải:
a. y tỉ lệ thuận với x, hệ số tỉ lệ là 3 nên: y = 3x (1)
x tỉ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ là 15 nên x . z = 15

x = 15 (2)
z

Từ (1) và (2) suy ra: y =

45
z . Vậy y tỉ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ là 45.

b. y tỉ lệ nghịch với x, hệ số tỉ lệ là a nên y = a
x
x tỉ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ là b nên x = b

(1)
(2)

z
Từ (1) và (2) suy ra y = a .x
b
Vậy y tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệa .
b
7. Bài 7:
a. Biết x và y tỉ lệ nghịch với 3 và 5 và x . y = 1500. Tìm các số x và y.
b. Tìm hai số x và y biết x và y tỉ lệ nghịch với 3 và 2 và tổng bình phương của hai số đó là
325. Giải:
a. Ta có: 3x = 5y
x y k x
1 k; y 1 k x.y
1k 2
3
5

15
1 1
3 5
mà x. y = 1500 suy ra 1 k 2
1500 k 2 22500 k 150
15
Với k = 150 thì x 1 .150 50 và y
3
Với k = - 150 thì x

1 .150 30
5

1 .( 150) 50 và

y

1 .( 150) 30

3

3

x y
1
1
b. 3x = 2y1 1 k x 3 k; y 2 k 3 2
2

x +y

suy ra 13k 2
36

2

= k 2 k 2 13k 2 mà x2 + y2 = 325
9
4
36
2
325.36 900 k 30
325 k
13
8


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II
Với k = 30 thì x = 1 k
3

1

N¨m häc:2011-2012
1.30 10; y

1k

1.30 15

3

2

2

1

1

Với k = - 30 thì x = 3 k 3 .( 30) 10; y

2 k

1

2 .( 30) 15

8. Bài 8: Học sinh lớp 9A chở vật liệu để xây trường. Nếu mỗi chuyến xe bò chở 4,5 tạ thì phải đi 20
chuyến, nếu mỗi chuyến chở 6 ta thì phải đi bao nhiêu chuyến? Số vật liệu cần chở là bao nhiêu?

Giải:
Khối lượng mỗi chuyến xe bò phải chở và số chuyến là hai đại lượng tỉ lệ nghịch (nếu khối lượng vật liệu cần
chuyên chở là không đổi)

Mỗi chuyến chở được
Số chuyến
4,5tạ
20
6tạ
x?

Theo tỉ số của hai đại lượng tỉ lệ nghịch có thể viết
6 20 x
20.4,5 15 (chuyến)
4,5

6
x
Vậy nếu mỗi chuyến xe chở 6 tạ thì cần phải chở 15 chuyến.
III. Hướng dẫn về nhà ( 1’ )
Ôn về ba trường hợp bằng nhau của tam giác
Ngày soạn:
Ngày dạy:
BUỔI 3. ÔN VỀ BA TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦATAM
GIÁC A. Mục tiêu:
- Học sinh nắm được ba trường hợp bằng nhau của tam giác (c.c.c); (c.g.c); (g.c.g).
- Rèn kĩ năng vẽ hình của ba trường hợp bằng nhau của tam giác.
- Rèn kĩ năng sử dụng thước kẻ, compa, thước đo độ để vẽ các trường hợp trên.
- Biết sử dụng các điều kiện bằng nhau của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau.
- Rèn kỹ năng vẽ hình, suy luận.
B. Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức lớp ( 1’ )
7A :
7B :
II. Bài mới ( 118’ )
0

0

Bài 1: Cho tam giác EKH có E = 60 , H = 50 . Tia phân giác của góc K cắt EH tại D. Tính EDK; HDK.

K
Giải:

9


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II
GT:

0

EKH ; E = 60 ; H = 50

N¨m häc:2011-2012

0

Tia phân giác của góc K
Cắt EH tại D
KL: EDK; HDK E D H Chứng minh:
Xét tam giác EKH
K = 1800 - (E + H) = 1800 - (600 + 500) = 700

1

Do KD là tia phân giác của góc K nên K1 = 2 K =

70

2

350 Góc KDE là góc ngoài ở đỉnh D của tam giác KDH
0

0

0

Nên KDE = K2 + H = 35 + 50 = 85
0

Suy ra: KDH = 180 - KED = 180

0

Hay EDK = 850; HDK = 950
0

Bài 2: Cho tam giác ABC có B = C = 50 , gọi Am là tia phân giác của góc ngoài ở đỉnh A. Chứng
minh Am // BC.
GT: Có tam giác ABC;
A
B=C=500
Am là tia phân giác
của góc ngoài đỉnh A
KL: Am // BC
B

C

Chứng minh:
CAD là góc ngoài của tam giác ABC
Nên CAD = B + C = 500 + 500 = 1000

1

Am là tia phân giác của góc CAD nên A1 = A2 = 2 CAD = 100 : 2 = 50

0

hai đường thẳng Am và BC tạo với AC hai góc so le trong bằng nhau A1 = C =
500 nên Am // BC
Bài 3:
3.1. Cho
3.2. Cho

ABC
ABC

0

DEF ; AB = DE; C = 46 . Tìm F.
DEF ; A = D; BC = 15cm. Tìm cạnh EF

3.3. Cho ABC CBD có AD = DC; ABC = 800; BCD = 900 a.
Tìm góc ABD
b. Chứng minh rằng: BC DC
GT:

0

ABC
DEF ; AB = DE; C = 46 .
A = D; BC = 15cm

10


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II
ABC

N¨m häc:2011-2012
0

CBD ; AD = DC; ABC = 80 ; BCD = 90

0

KL: 3.1: F = ? 3.2:EF = ?
3.3: a. ABD = ? b. BC DC
Chứng minh:
3.1:

ABC

DEF thì các cạnh bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau nên:

C=F=460
3.2. Tương tự BC = EF = 15cm
3.3:

a.

ABC CBD nên ABD = DBC mà ABC = ABD + DBC

nên ABC = 2ABD = 800 ABD = 400
CBD nên BAD = BCD = 900 vậy BC DC
Bài 4: a. Trên hình bên có AB = CD
Chứng minh: AOB = COD.
b.
A
D

b. ABC

B

C

Có: AB = CD và BC = AD
Chứng minh: AB // CD và BC // AD
Giải:
a. Xét hai tam giác OAB và OCD có
AO = OC; OB = OD (cùng là bán kính đường tròn tâm (O)
và AB = CD (gt)
Vậy OAB
OCD (c.c.c)
Suy ra: AOB = COD
b. Nối AC với nhau ta có: ABC và

CAD

hai tam giác này có: AB = CD, BC = AD (gt); AC chung
nên ABC CAD (c.c.c) BAC = ACD ở vị trí só le trong Vậy
BC // AD

11


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

Tuần:
Ngày soạn:
Ngày dạy:
Tiết :
Bài 5: Cho tam giác ABC vẽ cung tròn tâm A bán kính bằng BC. Vẽ cung tròn tâm C bán kính
bằng BA chúng cắt nhau ở D (D và B nằm khác phía đối với AC). Chứng minh: AD // BC
Giải: ABC

CDA (c.c.c)

A

D

ACB = CAD (cặp góc tương ứng) (Hai
đường thẳng AD, BC tạo với AC hai

góc so le trong bằng nhau).

B
ACB = CAD nên AD // BC.
Bài 6: Dựa vào hình vẽ hãy nêu đề toán chứng minh
B y

C
AOC

BOC theo trường hợp (c.g.c)

Giải:
Cho góc xOy trên tia Ox lấy điểm A,
trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB.
O
Gọi C là một điểm thuộc tia phân giác Om của xOy.
Chứng minh: AOC
BOC

C

m

A

x

Bài 7: Qua trung điểm M của đoạn thẳng AB kẻ đường thẳng vuông góc với AB. Trên đường
thẳng đó lấy điểm K. Chứng minh MK là tia phân giác của góc AKB.
Giải:
K

AKM

BKM

AKM = BKM (cặp góc tương ứng) Do
đó: KM là tia phân giác của góc AKB

A
M
B
Bài 8: Cho đường thẳng CD cắt đường thẳng AB và CA = CB, DA = DB. Chứng minh rằng CD là
đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Giải:
Xét hai tam giác ACD và BCD chúng có: CA = CB ; DA = DB (gt)
cạnh DC chung nên ACD
BCD (c.c.c)
từ đó suy ra: ACD = BCD
Gọi O là giao điểm của AB và CD.
Xét hai tam giác OAC và OBD chúng có: ACD = BCD (c/m trên); CA = CB (gt)
cạnh OC chung nên OAC
OBC
OA = OB và AOC = BOC

12


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

Mà AOB + BOC = 1800 (c.g.c)
0

AOC = BOC = 90
DC AB
Do đó: CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Ngày soạn:
Ngày dạy:
BUỔI 1. ÔN VỀ BA TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦATAM GIÁC
A. Mục tiêu:
- Học sinh nắm được ba trường hợp bằng nhau của tam giác (c.c.c); (c.g.c); (g.c.g).
- Rèn kĩ năng vẽ hình của ba trường hợp bằng nhau của tam giác.
- Rèn kĩ năng sử dụng thước kẻ, compa, thước đo độ để vẽ các trường hợp trên.
- Biết sử dụng các điều kiện bằng nhau của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng
nhau. B. Chuẩn bị:
C. Bài tập
Bài 1: Cho tam giác EKH có E = 600, H = 500. Tia phân giác của góc K cắt EH tại D. Tính EDK; HDK.

K
Giải:
GT:

0

EKH ; E = 60 ; H = 50

0

Tia phân giác của góc K
Cắt EH tại D

KL: EDK; HDK E D H Chứng minh:
Xét tam giác EKH
K = 1800 - (E + H) = 1800 - (600 + 500) = 700

1

Do KD là tia phân giác của góc K nên K1 = 2 K =

70

2

350 Góc KDE là góc ngoài ở đỉnh D của tam giác KDH
Nên KDE = K2 + H = 350 + 500 = 850
0

Suy ra: KDH = 180 - KED = 180

0

Hay EDK = 850; HDK = 950
0

Bài 2: Cho tam giác ABC có B = C = 50 , gọi Am là tia phân giác của góc ngoài ở đỉnh A. Chứng
minh Am // BC.
GT: Có tam giác ABC;
0

B=C=50
Am là tia phân giác

A

13


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

của góc ngoài đỉnh A
KL: Am // BC
B

C

Chứng minh:
CAD là góc ngoài của tam giác ABC
Nên CAD = B + C = 500 + 500 = 1000

1

Am là tia phân giác của góc CAD nên A1 = A2 = 2 CAD = 100 : 2 = 500
hai đường thẳng Am và BC tạo với AC hai góc so le trong bằng nhau A1 = C =
0

50 nên Am // BC
Bài 3:
3.1. Cho
3.2. Cho

ABC
ABC

0

DEF ; AB = DE; C = 46 . Tìm F.
DEF ; A = D; BC = 15cm. Tìm cạnh EF
0

0

3.3. Cho ABC CBD có AD = DC; ABC = 80 ; BCD = 90 a.
Tìm góc ABD
b. Chứng minh rằng: BC DC
0
ABC
DEF ; AB = DE; C = 46 .
A = D; BC = 15cm

GT:

0
0
ABC
CBD ; AD = DC; ABC = 80 ; BCD = 90
KL: 3.1: F = ? 3.2:EF = ?
3.3: a. ABD = ? b. BC DC

3.1:

Chứng minh:
ABC DEF thì các cạnh bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau nên
C=F=460
3.2. Tương tự BC = EF = 15cm
3.3:

a.

ABC CBD nên ABD = DBC mà ABC = ABD + DBC
0

nên ABC = 2ABD = 80 ABD = 40

0

CBD nên BAD = BCD = 900 vậy BC DC
Bài 4: a. Trên hình bên có AB = CD
Chứng minh: AOB = COD.
b.
A
D

b. ABC

B

C

14

D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

Có: AB = CD và BC = AD
Chứng minh: AB // CD và BC // AD
Giải:
a. Xét hai tam giác OAB và OCD có
AO = OC; OB = OD (cùng là bán kính đường tròn tâm (O)
và AB = CD (gt)
Vậy OAB
OCD (c.c.c)
Suy ra: AOB = COD
b. Nối AC với nhau ta có: ABC và

CAD

hai tam giác này có: AB = CD, BC = AD (gt); AC chung
nên ABC CAD (c.c.c) BAC = ACD ở vị trí só le trong Vậy
BC // AD
Bài 5: Cho tam giác ABC vẽ cung tròn tâm A bán kính bằng BC. Vẽ cung tròn tâm C bán kính
bằng BA chúng cắt nhau ở D (D và B nằm khác phía đối với AC) Chứng minh: AD // BC
Giải: ABC

CDA (c.c.c)

A

D

ACB = CAD (cặp góc tương ứng) (Hai
đường thẳng AD, BC tạo với AC hai

góc so le trong bằng nhau).
B
ACB = CAD nên AD // BC.
Bài 6: Dựa vào hình vẽ hãy nêu đề toán chứng minh

C
AOC

BOC theo trường hợp (c.g.c)

B
y
Giải:
Cho góc xOy trên tia Ox lấy điểm A,
trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB.
O
Gọi C là một điểm thuộc tia phân giác Om của xOy.
Chứng minh: AOC
BOC

C

m

A

x

Bài 7: Qua trung điểm M của đoạn thẳng AB kẻ đường thẳng vuông góc với AB. Trên đường
thẳng đó lấy điểm K. Chứng minh MK là tia phân giác của góc AKB.
Giải:
K
AKMBKM
AKM = BKM (cặp góc tương ứng) Do
đó: KM là tia phân giác của góc AKB

A

15

M

B


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

Bài 8: Cho đường thẳng CD cắt đường thẳng AB và CA = CB, DA = DB. Chứng minh rằng CD là
đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Giải:
Xét hai tam giác ACD và BCD chúng có: CA = CB ; DA = DB (gt)
cạnh DC chung nên ACD
BCD (c.c.c)

từ đó suy ra: ACD = BCD
Gọi O là giao điểm của AB và CD.
Xét hai tam giác OAC và OBD chúng có: ACD = BCD (c/m trên); CA = CB (gt)
cạnh OC chung nên OAC
OBC
OA = OB và AOC = BOC
0

Mà AOB + BOC = 180 (c.g.c)
0

AOC = BOC = 90
DC AB
Do đó: CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Tuần:
Ngày soạn:
Ngày dạy:
Tiết :
BUỔI 4. ĐỊNH LÝ PITAGO - TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA
HAI TAM GIÁC VUÔNG.
A. Mục tiêu:
- Nắm được định lý Pitago về quan hệ giữa 3 cạnh của tam giác vuông, định lý Pitago đảo.
- Biết vận dụng định lý Pitago để tính độ dài của một cạnh tam giác vuông khi biết độ dài của hai
cạnh kia.
- Biết vận dụng định lý đảo của định lý Pitago để nhận biết một tam giác vuông.
- Nắm được các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông, vận dụng định lý Pitago để chứng
minh trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông của hai tam giác vuông.
- Vận dụng để chứng minh các độan thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau.
- Rèn luyện khả năng phân tích, tìm cách giải và trình bày bài toán chứng minh hình học.
B. Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề bài

C. Bài tập
Bài 1: Trên hình vẽ bên cho biết
AD DC; DC BC; AB = 13cm
AC = 15cm; DC = 12cm

A

B

13
Tính độ dài đoạn thẳng BC.
Giải:
Vì AH BC (H BC)

15

B

AH BC; DC BC (gt) AH // DC
mà HAC và DCA so le trong. Do đó: HAC = DCA

16

H

C


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

Chứng minh tương tự cũng có: ACH = DAC
Xét tam giác AHC và tam giác CDA có
HAC = DCA; AC cạnh chung; ACH = DAC
Do đó: AHC
CDA (g.c.g)
AH = DC
Mà DC = 12cm (gt)
Do đó: AH = 12cm (1)
Tam giác vuông HAB vuông ở H theo định lý Pitago ta có:
2

2

2

2
2
2
2
2
5
AH +BH = AB
BH = AB - AH = 13 - 12 = 5 = 25
BH = 5 (cm) (2)
Tam giác vuông HAC vuông ở H theo định lý Pitago ta có:

2

2

2

2
2
2
2
2
2
AH + HC = AC
HC = AC - AH = 15 - 12 = 91 = 9
HC = 9 (cm)
Do đó: BC = BH + HC = 5 + 9 = 14 (cm)

0

Bài 2: Cho tam giác vuông cân tại đỉnh A. MA = 2 cm; MB = 3 cm; góc AMC = 135 . Tính độ dài
đoạn thẳng MC.
A
Giải:
Trên nửa mặt phẳng bời Am không chứa điểm D.
Dựng tam giác ADM vuông cân taih đỉnh A.
Ta có: AD = MA = 2 cm

M

AMD = 450; DMC = AMC - AMD = 900

B

C

Xét tam giác ADC và AMB có: AD = AM
DAC = MAB (hai góc cùng phụ nhau với
góc CAM); AC = AB (gt)
Do đó: ADC AMB (c.g.c) DC = MB
Tam giác vuông AMD vuông ở A
2

2

D
A

2

nên MD = MA + MC (pitago)
2

2

2

B

Do đó: MD = 2 + 2 = 8

Tam giác MDC vuông ở M nên
2

2

2

DC = MD + MC (Pitago)
Do đó: 32 = 8 + MC2 MC2 = 9 - 8 = 1
MC=1
Bài 3: Tam giác ABC có phải là tam giác vuông hay không nếu các cạnh AB; AC; BC tỉ lệ với
a. 9; 12 và 15
c. 4; 6 và 7

b. 3; 2,4 và 1,8
d. 4 ; 4
và 4
2
2

Giải:

a.

AB

AC

BC

9

12

15

AB 9k AB
kAC 12k AC

2

81k

2
2

BC 15k BC
17

144k 2
225k 2


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II
2

2

2

N¨m häc:2011-2012
2

2

AB + AC = 81k + 144k = 225k = BC

2

Vậy tam giác ABC vuông ở A.
2

b.

AB

AC

4

6
2

2

AB 4k
AB 16k
BC
2
kAC 6k AC
36k 2
2

7
49k 2
BC 7k BC
2

2

2

2

2

2

AB + AC = 16k + 36k = 52k 49k = BC
Vậy tam giác ABC không là tam giác vuông.
c. Tương tự tam giác ABC vuông ở C (C = 900)
0

d. Làm tương tự tam giác ABC vuông cân (B = 90 )
Tiết 17:
0

Bài 4: Cho tam giác vuông ABC (A = 90 ), kẻ AH BC
Chứng minh: AB2 + CH2 = AC2 + BH

2

Giải:

Áp dụng định lý Pitago vào các tam giác vuông
Tam giác ABH có H = 90
AB2 = AH2 + HB2

0

AB2

- HB2 = AH2

AHC có H = 900 AC2

= AH2 + HC2

2

2

AC - HC = AH

A

2

AB2 - HB2 = AC2 - HC2
2

2

2

AB + CH = AC + BH

B

C

2

Bài 5: Cho tam giác ABC có A là góc tù. Trong các cạnh của tam giác ABC thì cạnh nào là cạnh lớn
nhất?
A
Giải:
* Kẻ AD AB tia AD nằm giữa 2 tia AB và AC
BD < BC (1)
Xét tam giác ABD vuông ở A
BD2 = AB2 + AD2 AB2 < BD2
AB < BD (2)

B

E D

C

Từ (1) và (2) suy ra: AB < BC
* Kẻ AE AC tia AE nằm giữa hai tia AB và AC
EC < BC (3)
Xét tam giác AEC vuông ở A
EC2 = AE2 + AC2 AC2 < EC2 hay AC < EC (4)

Từ (3) và (4) suy ra: AC < BC
Vậy cạnh lớn nhất là BC.
Bài 6: Cho tam giác ABC, cạnh đáy BC. Từ B kẻ đường vuông góc với AB và từ C kẻ đường
vuông góc với AC. Hai đường này cắt nhau tại M. Chứng minh rằng

18


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

a. AMB AMC
b. AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Giải:
a. Hai tam giác vuông ABM và ACM bằng nhau
vì cạnh huyền AM chung
AB = AC (gt)
b. Do AMB AMC A1 = A2
Gọi I là giao điểm của AM và BC

A

B

C

Xét hai tam giác AIB và AIC
A1 = A2 (c/m trên); AB = AC
(Vì tam giác ABc cân ở A); AI chung nên AIB

AIC (c.c.c)

Suy ra IB - IC; AIB = AIC
0

mà AIB + AIC = 180 (2 góc kề bù nhau)
Suy ra AIB = AIC = 900
Vậy AM BC tại trung điểm I của đoạn thẳng BC
nên AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Bài 7:
a. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AD vuông góc với BC. Chứng minh rằng AD là tia phân giác
của góc A.
b. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB. Gọi K là giao
điểm của BD và CE. Chứng minh rằng AK là tia phân giác của góc A.
Giải: A a. Xét hai tam giác vuông CDB và ADC có canh AD là cạnh
chung; AB = AC
ADB ADC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
BAD = CAD (cặp góc tương ứng)
Do đó: AD là tia phân giác của góc A
b. Hướng dẫn
Chứng minh ADB
AEC (cạnh huyền - góc nhọn)

B

D
A

AD = AE (cặp cạnh tương ứng)

ADK

AEK (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

E

A1=A2
Do đó Ak là tia phan giác của góc K.

B

19

D


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

Tuần:
Ngày soạn:
Ngày dạy:
Tiết :
Bài 8: Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của BC tại I. Kẻ IH
vuông góc với đường thẳng AB, kẻ IK vuông góc với đường thẳng AC. Chứng minh rằng BH = CK

Giải:
Gọi M là trung điểm của BC ta có:
AMICMI (c.g.c)

Vì BM = CM; IM chung; M1 = M2
IB = IC (cặp góc tương ứng)
AHIAKI (cạnh huyền - góc nhọn)

B
C
H

IH-IK
IHB IKC (cạnh huyền - cạnh góc vuông) BH = CK.
Bài 9: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có AB 3 và BC = 15cm. Tìm các độ dài AB; AC
B AC

4

Giải:
Theo đề ra ta có:
AB

AB2

AC

AC 2

3
4
9
16
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau

và định lý Pitago ta có:
2
AB2 AC
AB2 AC 2
9

16
2

Suy ra: AB = 9.9 = 9

A
BC 2

15 2

25

25

9 16
2

C
9

AB = 9 cm

2

AC = 16.9 = (4.3)2 = 122 AC = 12 cm
Vậy hai cạnh cần tìm AB = 9cm; AC = 12cm
Bài 10: Chứng minh rằng tam giác ABC vẽ trên giấy ô vuông ở hình bên là tam giác vuông cân.
Giải:
B
Gọi độ dài cạnh của mỗi ô vuông là 1
Theo định lý Pitago ta có:
AB2=12+22=1+4=5
BC2=12+22=1+4=5
AC2=12+32=1+9=10
Do AB2 = BC2 nên AC = AB
Do AB2 + BC2 = AC2 nên ABC = 900

A

20


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

Vậy tam giác ABC vuông cân tại B.
Bài 11: Cho tam giác vuông ABC (A = 900). Chứng minh rằng
a. Nếu AB = 1 BC thì C = 300

C

2

1

0

b. Nếu C = 30 thì AB = 2 BC
Giải:
Trên tia đối của tia AB đặt AD = AB
Nối CD thì ta có:
BAC DAC (c.g.c) CB = CD (1)
a. Nếu AB = 1 BC và AB = AD = 1 BD
2
Thì BC = BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra CB = BD

B

A

D

2

Vậy tam giác BCD đều

BCA = ACD =

1

1
0

2 BCD = 2 .60

300

b. CB = CD Tam giác CBD cân
Nếu BCA = 300; BCD = 60=0
suy ra tam giác BCD đều BD = BC

1

2AB=BC AB= 2BC
Bài 12: Cho tam giác ABC, kẻ BE AC và CF BF AB. Biết BE = CF = 8cm. độ dài các đoạn thẳng
và BC tỉ lệ với 3 và 5.
a. Chứng minh tam giác ABC là tam giác
cân b. Tính độ dài cạnh đáy BC
c. BE và CF cắt nhao tại O. Nối OA và EF. Chứng minh đường thẳng AO là trung trực của đoạn thẳng

EF. A Giải:
0

a. BFC CEB vì E = F = 90
BE = CF, Bc cạnh chung
FBC = ECB tam giác ABC cân

E
O

b. Theo đề bài các đoạn thẳng BF và BC
tỉ lệ với 3 và 5
BF

Ta có:

BC

BF 2

BC 2

3

5

9

25

BC 2

F

B

C

BC 2 BF 2

FC

25 9

16

4 BC 2 25.4 100 BC 10 cm 25

c. Tam giác ABC cân AB = AC mà BF = EC ( BFC CEB )
AF=AE

21

2

82
16

4


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II
AFO

N¨m häc:2011-2012

AEO (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

FAO = EAO FAI EAI (Vì AF = AE ; FAI = EAI) IF =
IE (1)
và FIA = EIA mà FIA + EIA = 1800
0

nên FIA = EIA = 90

AI EF (2)
Từ (1) và (2) suy ra AO là trung trực của đoạn thẳng EF.

Tuần:
Ngày soạn:
Ngày dạy:
Tiết :
Buổi 5. Quan hệ giữa các yếu tố của tam giác. Các đường đồng quy trong
tam giác
Bài 9: Cho tam giác ABC và hai điểm N, M lần lượt là trung điểm của cạnh AC, AB. Trên tia BN
/

/

/

lấy điểm B sao cho N là trung điểm của BB . Trên tia CM lấy điểm C sao cho M là trung điểm
/

của CC . Chứng minh:
/ /

a. B C // BC
A là trung điểm của B/C/
Giải:

b.

/

a. Xét hai tam giác AB N và CBN
/

ta có: AN = NC; NB = NB (gt);
/

ANB = BNC (đối đỉnh)
/

Vậy AB / N CBN suy ra AB = BC và
B = B/ (so le trong) nên AB/ // BC
/

/

Chứng minh tương tự ta có: AC = BC và AC // BC
Từ nmột điểm A chỉ kẻ được một đường thẳng duy nhất song song với BC. Vậy AB/ và AC/ trùng
nhau nên B/C/ // BC.
/
/
b. Theo chứng minh trên AB = BC, AC =
/
/
BC Suy ra AB = AC
/
/
Hai điểm C và B nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường
/
/
/ /

thẳng AC Vậy A nằm giữa B và C nên A là trung điểm của B C
Bài 10: Cho tam giác ADE có D = E. Tia phân giác của góc D cắt AE ở điểm M, tia phân giác của
góc E cắt AD ở điểm M. So sánh các độ dài DN và EM
Hướng dẫn:
Chứng minh: DEN EDM (g.c.g)
Suy ra: DN = EM (cặp cạnh tương ứng)
22


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

Bài 11: Cho hình vẽ bên

A

B

trong đó AB // HK; AH // BK
Chứng minh: AB = HK; AH = BK.
Giải:
Kẻ đoạn thẳng AK, AB // HK

H

K

A1 = K1 (so le trong)
AH // BK

A2 = K2 (so le trong)

Do đó: ABK

KHA (g.c.g)

Suy ra: AB = HK; BK = HK
Bài 12: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, đường thẳng qua D và song song với BC cắt
AC tại E, đường thẳng qua E song song với BC cắt BC ở F, Chứng minh rằng
a. AD=EF
b. ADE EFC
A
c. AE=EC
Giải:
a.Nối D với F do DE // BF
EF // BD nên DEF FBD (g.c.g)
Suy ra EF = DB
Ta lại có: AD = DB suy ra AD = EF

D

F

C

b.Ta có: AB // EF A = E (đồng vị)
AD // EF; DE = FC nên D1 = F1 (cùng bằng B)
Suy ra ADE
EFC (g.c.g)

c. ADE

EFC (theo câu b)

suy ra AE = EC (cặp cạnh tương ứng)
Tuần:
Ngày soạn:
Ngày dạy:
Tiết :
Bài 13: Cho tam giác ABC D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC vẽ F sao cho E là trung
điểm của DF. Chứng minh:
a. DB = CF
b. BDC FCD
c. DE // BC và DE = 1 BC

A
D

F

2
Giải:
a. AED CEF

B

AD=CF
Do đó: DB = CF (= AD)

23

C

E


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II
b. AED

CEF (câu a)

suy ra ADE = F
AB // CF

AD // CF (hai góc bằng nhau ở vị trí so le)

BDC = FCD (so le trong)

Do đó: BDC
c. BDC

ECD (c.g.c)

ECD (câu b)

Suy ra C1 = D1
BDC

N¨m häc:2011-2012

DE // BC (so le trong)

FCD

BC = DF

1

1

Do đó: DE = 2 DF nên DE = 2 BC
Bài 14: Cho góc tù xOy kẻ Oz vuông góc với Ox (Oz nằn giữa õ và Oy. Kẻ Ot nằm giữa Ox và
Oy). Trên các tia Ox, Oy, Oz, Ot theo thứ tự lấy các điểm A, B, C, D sao cho OA = OC và OB =
OD. Chứng minh hai đường thẳng AD và BC vuông góc với nhau.
Giải:
Xét tam giác OAD và OCB có
OA = OC, O1 = O3 (cùng phụ với O2)
OD = OB (gt)
x
Vậy OAD OCB (c.g.c)
A

t

z
C

D

A = C mà E1 = E2 (đối đỉnh)

0

Vậy CFE = AOE = 90 AD Bc
O
B
Bài 15: Cho tam giác ABC trung điểm của BC là M, kẻ AD // BM và AD =
BM (M và D khác phía đối với AB) Trung điểm của AB là I. a. Chứng minh
ba điểm M, I, D thẳng hàng
b. Chứng minh: AM // DB
c. Trên tia đối của tia AD lấy điểm AE = AD
Chứng minh EC // DB
Giải:
D
A
a. AD // Bm (gt) DAB = ABM
IAD

y

E

IBM có (AD = BM; DAM = ABM

(IA = IB)
Suy ra DIA = BIM mà
0

DIA + DIB = 180 nên BIM + DIB = 180

0

B

0

Suy ra DIM = 180
Vậy ba điểm D, I, M thẳng hàng
b. AIMBID (IA = IB, DIB = MIB)
ID = IMBDM = DMA AM // BD.
c. AE // MC

EAC = ACM; AE = MC (AC chung)

Vậy AEC

CMA (c.g.c)

Suy ra MAC = ACE

AM // CE mà AM // BD

24

M

C