Dua gia thiet phu de giai toan

Ngô Văn Nghi
Tiểu Học Nam Đào Nam Giang Nam Trực Nam Định
Chuyên đề dành cho Tiểu Học
Về một phơng pháp giải toán
Trong giải toán ở Tiểu Học có những bài toán mà khi giải bài toán đó ngời ta thờng
đa thêm các giả thiết phụ vào bài toán.Việc đa thêm giả thiết phụ này giúp ta biến
đổi đợc bài toán từ phức tạp trở thành dạng toán cơ bản quen thuộc . Chúng ta hãy
bắt đầu từ một bài toán trong bộ đề thi Giao lu Toán Tuổi Thơ lần thứ hai sau đây:
Bài toán1: Lúc 6 giờ, một ô tô tải và một xe máy cùng xuất phát từ A đến B. Ôtô tải đi
với vận tốc 50 km/giờ, xe máy đi với vận tốc 30 km/giờ. Sau đó 2 giờ, một ô tô con cũng
đi từ A đến B với vận tốc 60 km/giờ. Hỏi lúc mấy giờ ô tô con ở vị trí cách đều ô tô tải và
xe máy?
*Phân tích:Bài toán gồm có 3 chuyển động cùng chiều xuất phát từ A để đi về B. Để tìm
đợc thời điểm mà ô tô con ở vị trí cách đều ô tô tải và xe máy ta sẽ đa bài toán về dạng hai
chuyển động cùng chiều đuổi nhau bằng cách đa thêm một giả thiết là giả sử lúc 6 giờ có
một chiếc xe thứ t cũng đi từ A đến B với vận tốc bằng vận tốc trung bình của xe ô tô tải và
xe máy. Nh vậy khi xe ô tô tải , xe máy và xe thứ t cùng chuyển động thì chiếc xe thứ t sẽ
luôn luôn ở vị trí cách đều xe ô tô tải và xe máy.Do đó lúc ô tô con ở vị trí cách đều xe
máy và xe tải cũng chính là lúc xe con đuổi kịp chiếc xe thứ t.
Từ phân tích trên ta có cách giải bài toán nh sau:
*Cách giải:
Trung bình cộng vận tốc của ôtô tải và xe máy là
( 50 +30 ) : 2 = 40 (km/giờ)
Giả sử lúc 6 giờ cũng có một chiếc xe thứ t xuất phát từ A để đi đến B với vận tốc bằng
vận tốc trung bình của xe ôtô tải và xe máy(40km/giờ) thì sau khi xuất phát xe thứ t sẽ
luôn nằm ở vị trí cách đều ô tô tải và xe máy.
Lúc ôtô con ở vị trí cách đều xe ôtô tải và xe máy cũng chính là lúc ôtô con đuổi kịp chiếc
xe thứ t.
Sau 2 giờ chiếc xe thứ t đi đợc số km là :
40 x 2 = 80(km)
Ôtô con đuổi kịp xe thứ t sau:

80 : (60 40) = 4(giờ)
Thời điểm ôtô con nằm ở vị trí cách đều xe ôtô tải và xe máy là:
6 + 2 + 4 = 12(giờ)
Đ/S 12 giờ
Bài toán2: Năm nay mẹ 36 tuổi, con gái 8 tuổi, con trai 4 tuổi. Hỏi sau bao nhiêu năm
nữa thì tuổi mẹ gấp đôi tổng số tuổi của cả con gái và con trai?
*Phân tích:Tuổi mẹ có liên quan đến tổng số tuổi của cả hai ngời con, để đa bài toán về
dạng cơ bản ta sẽ đa thêm vào bài toán một giả thiết phụ nữa là giả sử ngời bố trong gia
đình hiện nay cũng có số tuổi đúng bằng tuổi của mẹ. Do đó khi tuổi mẹ gấp đôi tổng số
tuổi của hai con thì tuổi bố cũng gấp đôi tổng số tuổi của hai con, nh vậy tổng số tuổi của
1
cả bố và mẹ sẽ gấp bốn lần tổng số tuổi của cả hai con và hiệu của tổng số tuổi giữa bố mẹ
và hai con sẽ luôn luôn không thay đổi.Đến đây ta đa bài toán về dạng cơ bản tìm hai số
khi biết hiệu và tỷ số của chúng.
*Cách giải:Giả sử hiện nay ngời bố trong gia đình cũng 36 tuổi khi đó tuổi của cả cha lẫn
mẹ hơn tổng số tuổi của cả hai ngời con là:
(36 + 36) (8 + 4) = 60(tuổi)
Cứ sau mỗi năm thì cả bố lẫn mẹ tăng thêm 2 tuổi và cả hai con cũng tăng thêm 2 tuổi nên
hiệu số tuổi của cả bố lẫn mẹ và tuổi của cả hai con là một số không thay đổi.
Khi tuổi mẹ gấp đôi tuổi của cả hai con thì tuổi của cả bố lẫn mẹ sẽ gấp bốn lần tổng số
tuổi của cả hai con .
Ta có sơ đồ khi tuổi của cả bố lẫn mẹ sẽ gấp bốn lần tổng số tuổi của cả hai con nh sau:
Tuổi cả bố và mẹ
Tuổi cả hai con
Tổng số tuổi của cả hai con khi đó là
60 : (4-1) = 20(tuổi)
Sau số năm nữa để tuổi của cả bố lẫn mẹ sẽ gấp bốn lần tổng số tuổi của cả hai con là
20 (8+4) = 8 (năm)
Sau số năm nữa để tuổi mẹ gấp đôi tuổi của cả hai con
8 : 2 = 4(năm)

Đ/S 4 năm
Bài toán3: Trớc kia số dân xã A bằng
3
2
số dân xã B. Hiện nay số dân xã A tăng thêm
4000 ngời, số dân xã B tăng thêm 2000 ngời , do đó hiện nay số dân xã A bằng
4
3
số dân
xã B. Tính số dân mỗi xã hiện nay.
* Phân tích: Giống nh bài 1 và bài 2, để tìm đợc số dân xã A và xã B hiện nay ta có thể đ-
a thêm giả thiết có một xã C trớc kia cũng có số dân bằng số dân xã B và bằng
2
3
số dân
xã A. Ta sẽ tăng số dân xã C thêm một số ngời để số dân xã C hiện nay vẫn bằng
2
3
số
dân xã A hiện nay.Ta so sánh số dân xã B và xã C với nhau và cùng so sánh với số dân xã
A hiện nay, ta sẽ tìm đợc số dân xã A và xã B hiện nay.
*Cách giải: Giả sử trớc kia xã C cũng có số dân bằng số dân của xã B , khi đó số dân xã A
cũng bằng
3
2
số dân xã C.Hiện nay xã A tăng thêm 4000 ngời , để số dân xã A hiện nay
vẫn bằng
3
2
số dân xã C thì xã C hiện nay phải tăng số ngời là :

4000 : 2 x 3 = 6000( ngời)
Ta có số dân xã C hiện nay bằng
2
3
số dân xã A hiện nay, số dân xã B hiện nay bằng
3
4

số dân xã A hiện nay.
Số dân xã C hiện nay hơn số dân xã B hiện nay là :
6000 2000 = 4000 ( ngời)
2
60 tuổi
Phân số chỉ 4000 ngời là :
2
3

3
4
=
6
1
( số dân xã A hiện nay)
Số dân xã A hiện nay là: 4000 :
6
1
= 24000(ngời)
Số dân xã B hiện nay là : 24000 :
4
3

= 32000(ngời)
Đ/S: Xã A: 24000 ngời
Xã B: 32000ngời
**Qua ba bài toán trên ta thấy , việc đa thêm các giả thiết phụ nh có thêm ngời bố, có
thêm chiếc xe thứ t hay đa thêm một xã C đã giúp chúng ta dễ dàng tìm ra cách giải của
bài toán .Thật là thú vị phải không các bạn? Đến đây chắc hẳn các bạn đã nắm đợc ph-
ơng pháp giải và có thể giải đợc bài toán sau đây:
Bài tập ứng dụng:
Bài1: Một ngời đi bộ khởi hành từ xã A lúc 8 giờ 45 phút đi đến xã B với quãng đờng
dài 24 km, vận tốc là 4 km/giờ.Ngày hôm sau , lúc 10 giờ 15 phút, ngời đó đi theo đờng
cũ từ B trở về A với vận tốc là 5 km/giờ.Cả khi đi và khi về ngời đó đều đi qua một chiếc
cầu vào cùng một thời điểm trong ngày.Tính thời điểm đó?
* Cách giải: Vì cả khi đi và khi về ngời đó đều đi qua một chiếc cầu vào cùng một thời
điểm trong ngày nên ta giả sử ngay trong ngày hôm đầu vào lúc 10giờ15 phút cũng có
một ngời đi bộ xuất phát từ B đến A với vận tốc là 5 km/giờ thì hai ngời sẽ gặp nhau ở
trên cầu.
Khi đó thời gian ngời đi từ A đi trớc ngời đi từ B là:
10giờ15phút 8giờ45phút = 1giờ30phút hay 1,5 giờ.
Lúc 10giờ15phút , khoảng cách giữa hai ngời là
24 - 4 x 1,5 = 18 (km)
Thời gian hai ngời cùng đi đến khi gặp nhau trên cầu là:
18 : ( 4 + 5) = 2(giờ)
Thời điểm hai ngời gặp nhau trên cầu là:
10giờ15phút + 2 giờ = 12giờ15phút
Vậy cả khi đi và khi về ngời đó đều đi qua một chiếc cầu vào lúc 12giờ15phút.
Bài2: Bây giờ là 4 giờ đúng.Hỏi thời gian ngắn nhất là bao nhiêu giây nữa thì kim
giây sẽ nằm ở vị trí cách đều kim phút và kim giờ?
*Cách giải: Lúc 4 giờ đúng kim phút và kim giây đều chỉ số 12 nh vậy chúng cùng cách
kim giờ
3

1
vòng đồng hồ .Vận tốc kim giờ là
12
1
vòng /giờ,
kim phút 1 vòng /giờ, kim giây 60 vòng/giờ.
Vận tốc trung bình của kim phút và kim giờ là :
( 1 +
12
1
) : 2 =
24
13
( vòng/giờ)
Giả sử lúc 4 giờ có một kim thứ t đang chỉ số 2 trên mặt đồng hồ ( Kim thứ t nằm ở chính
giữa khoảng cách giữa kim phút và kim giờ ) . Kim này chạy cùng chiều với 3 kim kia và
3
có vận tốc bằng vận tốc trung bình của kim phút và kim giờ .(
24
13
vòng /giờ). Kim thứ t sẽ
luôn nằm ở chính giữa kim phút và kim giờ. Do đó nếu kim giây đuổi kịp ( nằm trùng khít)
với kim thứ t này thì kim giây lúc đó sẽ nằm ở vị trí cách đều kim phút và kim giờ.
Lúc 4 giờ, khoảng cách giữa kim giây và kim thứ t là:
6
1
vòng đồng hồ.
Thời gian kim giây đuổi kịp kim thứ t hay thời gian ngắn nhất để kim giây nằm ở vị trí
cách đều kim phút và kim giờ là:
6

1
: ( 60
24
13
) =
1427
4
( giờ )
hay 10
1427
130
giây.
Bài 3. Năm 2009, tuổi bố 40 tuổi, tuổi hai con là 13 tuổi và 7 tuổi. Hỏi đến năm nào thì
tổng số tuổi của hai ngời con đúng bằng 2/3 tuổi của bố? Khi đó bố bao nhiêu tuổi ?
Mỗi ngời con bao nhiêu tuổi?
*Cách giải: Giả sử hiện nay ngời mẹ trong gia đình cũng 40 tuổi khi đó tổng số tuổi của
cả bố lẫn mẹ hơn tổng số tuổi của cả hai ngời con là:
40 x 2 (13 + 7) = 60(tuổi)
Cứ sau mỗi năm thì cả bố lẫn mẹ tăng thêm 2 tuổi và cả hai con cũng tăng thêm 2 tuổi nên
hiệu số tuổi của cả bố lẫn mẹ và tuổi của cả hai con không thay đổi, vẫn là 60 tuổi.
Khi tuổi bố bằng 3/2 tổng số tuổi của cả hai con thì tổng số tuổi của bố và mẹ sẽ bằng:
3/2 + 3/2 = 3 (lần tuổi của cả hai con) .
Ta có sơ đồ khi tuổi của cả bố lẫn mẹ sẽ gấp ba lần tổng số tuổi của cả hai con nh sau:
Tuổi cả bố và mẹ
Tuổi cả hai con
Tổng số tuổi của cả hai con khi đó là
60 : (3-1) = 30(tuổi)
Cần số năm nữa để tuổi của cả bố lẫn mẹ sẽ gấp ba lần tổng số tuổi của cả hai con là
30 (13+7) = 10 (năm)
Sau số năm nữa để tuổi của cả hai con bằng 2/3 tuổi bố là:

10 : 2 = 5(năm)
Năm mà tuổi của cả hai con bằng 2/3 tuổi bố là:
2009 + 5 = 2014
Khi đó bố có số tuổi là:40 + 5 = 45 ( tuổi)
Tuổi con lớn là: 13 + 5 = 18( tuổi)
Tuổi con bé là: 7 + 5 = 12( tuổi)
4) Cùng một lúc có 3 xe ô tô khởi hành từ hai bến A và B và đi ngợc chiêu nhau.Hai xe
xuất phát từ bến A có vận tốc lần lợt là 47km/h và 54km/h.Xe xuất phát từ B có vận tốc
63,7 km/h.Sau khi khởi hành 45 phút thì xe đi từ Bở vào vị trí chính giữa hai xe xuất phát
từ A.Tính khoảng cách giữa hai bến xe A và B.
N.V.N
4
60 tuổi