Đột phá hình toán 11 dời hình biến hình

CH

NG 3: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
CHUYÊN ĐỀ 1: PHÉP BIẾN HÌNH. PHÉP TỊNH TIẾN

P Ầ 1: LÝ T UYẾT TRỌ

TÂM

1. Phép biến hình
Quy tắc đặt tươ ứ mỗi điểm M củ mặt phẳ
được ọi là phép biế hình trong mặt phẳ .

với một điểm xác đị h duy hất M' củ mặt phẳ

đó

Ta kí hiệ phép biế hình là F và viết F(M)=M' hay M'=F(M), khi đó M' được ọi là ả h củ điểm M qua
phép biế hình F.
Nế H là một hình nào đó thì hình H '

M | M'

F M ,M

H được ọi là ả h củ hình H qua phép

biế hình F, ta viết H'=F(H).
Vậy H '

F( H )

M

H

M'

F( M ) H ' .

Phép biế hình biế mỗi điểm M củ mặt phẳ

thành chính nó được ọi là phép đồ

hất.

2. Phép tịnh tiến
Trong mặt phẳ

cho vectơ v . Phép biế hình biế mỗi điểm M thành điểm M' sao cho MM '

v được

ọi là phép tị h tiế theo vectơ v .
Phép tị h tiế theo vectơ v được kí hiệ là Tv .
Vậy thì Tv ( M )

M'

Nhậ xét: Tv ( M )

MM '

v

M

3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
Trong mặt phẳ
Gọi M '( x '; y ')

Oxy cho điểm M(x;y) và v (a; b)
Tv ( M )

MM '

ì x '- x a
í
î y '- y b

v

ìx '
í
îy '

x+a
(*)
y+b

4. Tính chất của phép tịnh tiến

● Bảo toàn khoả

cách iữ hai điểm bất kì.

● Biế một đườ

thẳ

● Biế đoạ thẳ

thành đoạ thẳ

thành đườ

thẳ
bằ

● Biế một tam giác thành tam giác bằ
● Biế một đườ

tròn thành đườ

P Ầ 2: CÁC DẠ

song song hoặc trùng với đườ

thẳ

đã cho.

nó.
tam giác đã cho.

tròn có cùng bán kính.

BÀI TẬP

Dạng 1: Xác định ảnh của một hình qua phép tịnh tiến
1. Phương pháp giải
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho đườ thẳ a cắt hai đườ
đườ thẳ a thành chính nó và biế đườ
A. 0

thẳ
thẳ

song song b và b'. Có bao nhiêu phép tị h tiế biế
b thành b'.

B. 1

C. 2
Hướ

D. Vô số

dẫ
Trang 1

Giả sử a cắt b tại m, cắt b' tại M'.
Khi đó MM ' là vectơ tị h tiế duy hất biế đườ
thẳ a thành chính nó và biế đườ thẳ b thành b'.
Do đó có duy hất 1 phép tị h tiế thỏ mãn yêu cầ
đề bài.
Chọ B.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳ , cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lầ lượt là trung điểm các cạ h BC, CA, AB.
1
Phép tị h tiế theo vectơ v
BC biế :
2
A. điểm P thành điểm N

B. điểm N thành điểm P

C. điểm M thành điểm B

D. điểm M thành điểm N
Hướ

Ta có: PN

1
BC, NP
2

không cùng phươ

với

1
- BC, MB
2

dẫ

1
- BC và MN
2

1
BC.
2

Do đó phép tị h tiế theo vectơ v

1
BC biế điểm P
2

thành điểm N.
Chọ A.

Ví dụ 3: Trong mặt phẳ

tọ độ Oxy, cho vectơ u(3; -1) . Phép tị h tiế theo vectơ u biế điểm M(1;-4)

thành:

A. Điểm M'(4;-5)

B. Điểm M'(-2;-3)

C. Điểm M'(3;-4)
Hướ

Tu ( M )

ì xM '
í
î yM '

M'

D. Điểm M'(4;5)

dẫ

xM + 3 1 + 3 4
yM - 1 -4 - 1 -5

Do đó M'(4;-5)
Chọ A.
Ví dụ 4: Trong mặt phẳ
A. A(5;3)

tọ độ Oxy, cho v(2;1) , điểm M(3;2). Tìm tọ độ điểm A sao cho M
B. A(1;1)

C. A(-5;-3)
Hướ

Ta có: M

Tv (A)

ì xM
í
î yM

xA + a
yA + b

ìxA
í
î yA

Tv ( A)

D. A(2;1)

dẫ

3-2 1
2 -1 1

Vậy A(1;1).
Chọ B.
Trang 2

Ví dụ 5: Trong mặt phẳ
biế điểm A(2;5) thành:

tọ độ Oxy, ế phép tị h tiế biế điểm M(4;2) thành điểm M'(4;5) thì nó

A. Điểm A'(5;2)

B. Điểm A'(1;6)

C. Điểm A'(2;8)
Hướ

Ta có: Tu ( M )
Tu ( A)

M'
ì xA'
í
î yA'

A'

u

D. Điểm A'(2;5)

dẫ

MM ' (0;3)

xA + 0 2
yA + 3 5 + 3 8

Do đó A’(2;8)
Chọ C.
Ví dụ 6: Trong mặt phẳ

tọ độ Oxy cho đườ

thẳ

d : 2x - 3y + 12 = 0. Tìm ả h củ d qua phép tị h

tiế v (4; -3) :
A. 3x-2y-1=0

B. 2x+3y-2=0

C. 2x-3y-5=0
Hướ

Cách 1: Gọi M x; y

d

2 x - 3 y + 12

2( x '- 4) - 3( y ' + 3) + 12

dẫ

0 (1)

ìx '
Gọi M'(x';y') là ả h củ M(x;y) qua Tv nên có í
îy '
Do đó (1)

D. 2x+3y+1=0

x+4
y -3

ìx
í
îy

x '- 4
y '+ 3

0

2 x '- 3y '- 5 0
Vậy Tv (d ) (d ') : 2 x - 3 y - 5 0
Cách 2: Chọ M -3;2
ìx '
í
îy '

x+4
y -3

d . Gọi M’(x’;y’) là ả h củ M qua Tv , nên ta có

ì x ' -3 + 4 1
Þ M '(1; -1)
í
î y ' 2 - 3 -1

Gọi Tv (d ) (d ') Þ d' d nên d’ có dạ
Vì M '(1; -1) d '

2.1 - 3.(-1) + m

Vậy d’ : 2 x - 3 y - 5

2x-3y+m=0.
0Þm

-5

0.

Cách 3: Chọ M -3;2

d và N 0; 4

Gọi M '( x '; y ')

Tv ( M )

ìx '
í
îy '

x+4
y -3

ì x ' -3 + 4 1
Þ M '(1; -1)
í
î y ' 2 - 3 -1

Gọi N '( x '; y ')

Tv (N )

ìx '
í
îy '

x+4

ìx ' 0 + 4 4
Þ N '(4;1)
í
îy ' 4 - 3 1

y -3

d

Gọi Tv (d ) (d ') Þ M ', N ' d ' nên d’ có vectơ chỉ phươ

M ' N ' (3;2) Þ nd '

(2; -3) là vectơ pháp

t yế củ d’.
Vậy phươ

trình d’ : 2 x - 4 - 3 y - 1

0

2 x - 3y - 5

0

Chọ C.
Trang 3


Ví dụ 7: Trong mặt phẳ
y+1=0. Viết phươ

tọ độ Oxy hai điểm A(2;-4);B(1;1) và đườ

trình đườ

A. 2x-y-6=0

thẳ

thẳ

d có phươ

trình: 2x-

d1 là ả h củ d qua phép tị h tiế vectơ BA :

B. 2x+y-6=0

C. 2x-y+2=0
Hướ

D. 2x-y+6=0

dẫ

Ta có BA (1; -5).
Gọi M’(x’;y’) là ả h củ điểm M x; y

d qua phép tị h tiế vectơ BA . Khi đó ta có:
ìx '
í
îy '

Ta có M x; y

d

2x - y +1 0

x +1
y -5

ìx
í
îy

x '- 1
y '+ 5

2( x '- 1) - ( y '+ 5) + 1 0

Vậy ả h củ d qua phép tị h tiế BA có phươ

2 x '- y '- 6

0

trình d1: 2x-y-6=0.

Chọ A.
Ví dụ 8: Trong mặt phẳ

tọ độ Oxy cho hai đườ

thẳ

4y+5=0 và 3x-4y=0. Phép tị h tiế theo u biế đườ
hất củ vectơ u bằ

song song a và a’ lầ lượt có phươ
thẳ

a thành đườ

thẳ

trình 3x-

a’. Khi đó độ dài bé

bao nhiêu:

A. 5

B. 4

C.
Hướ

Độ dài bé hất củ vectơ u chính là khoả
æ 5ö
Lấy A ç 0; ÷ th ộc a, ta có d(a;a’)=d(A;a’)

è 4ø

2

D. 1

dẫ

cách iữ a và a’.
3.0 - 4.

5
4

2

2

3 +4

5
1
5

Chọ D.
Ví dụ 9: Trong mặt phẳ

tọ độ, cho Parabol có đồ thị y=x2. Phép tị h tiế theo vectơ u(2; -3) biế

parabol đó thành đồ thị củ hàm số:

A. y=x2+4x+1

B. y=x2-4x+1

C. y=x2-4x-1
Hướ

Theo đị h
ìx '
í
îy '

x+2
y -3

D. y=x2+4x-1

dẫ

hĩ ta có biể thức tọ độ củ phép tị h tiế là:
ìx
í
îy

Thay vào phươ

x '- 2
y '+ 3
trình y=x2 ta được y ' + 3 ( x ' - 2)2

y'

x'2 - 4 x '+ 1

Vậy phép tị h tiế biế parabol đã cho thành y=x2-4x+1
Chọ B
Ví dụ 10: Trong mặt phẳ
vectơ v(1;3) là đườ
A. (x-2) 2+(y-1)2=16

tọ độ Oxy, ả h củ đườ

tròn có phươ

tròn: (x-2)2+(y-1)2=16 qua phép tị h tiế theo

trình:

B. (x+2)2+(y+1)2=16
Hướ

C. (x-3) 2+(y-4)2=16

D. (x+3)2+(y+4)2=16

dẫ
Trang 4


Theo đị h

ìx '
í
îy '

hĩ ta có biể thức tọ độ củ phép tị h tiế là:

x +1
y+3

ìx
í
îy

Thay vào phươ

x '- 1
y '- 3
trình đườ

tròn ta có:

( x - 2)2 + ( y - 1)2

16

( x '- 1 - 2)2 + ( y '- 1 - 3)2

( x '- 3)2 + ( y '- 4)2

Vậy ả h củ đườ

tròn đã cho qua phép tị h tiế theo vectơ v(1;3) là đườ

16

16
tròn có phươ

trình:

(x-3)2+(y-4)2=16.
Chọ C.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho hai đường thẳng cắt nha d và d’. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành
đường thẳng d’?
A. Không có phép nào

B. Có một phép duy hất

C. Chỉ có hai phép

D. Có vô số phép

Câu 2. Giả sử qua phép tị h tiế theo vectơ v # 0 , đườ
nào sau đây sai?
A. d trùng d’ khi v là vectơ chỉ phươ

thẳ

d biế thành đườ

thẳ

d’. Mệ h đề

củ d.

B. d song song d’ khi v không phải là vectơ chỉ phươ
C. d trùng d’ khi v không phải là vectơ chỉ phươ

củ d.

củ d.

D. d không bao iờ cắt d’.
Câu 3. Trong mặt phẳ
A

tọ độ Oxy cho v (2; -1) , điểm M(3;2). Tìm tọ độ điểm A sao cho

Tv ( M ) :

A. A(5;3)

B. A(1;1)

Câu 4. Trong mặt phẳ
x+y-1=0 thành đườ

C. A(-5;-3)

tọ độ Oxy, phép tị h tiế vectơ u (4;6) biế đườ

D. A(1;2)
thẳ

a có phươ

trình

thẳ :

A. x+y+11=0

B. x+y-11=0

C. x-y+11=0

D. -x+y+11=0

ĐÁP ÁN
1-A

2-C

3-A

4-B

Dạng 2: Xác định phép tịnh tiến khi biết ảnh và tạo ảnh

1. Phương pháp giải
Xác đị h phép tị h tiế tức là tìm tọ độ củ v .
Để tìm tọ độ củ v ta có thể iả sử v (a; b), sử dụ
hệ phươ

các dữ kiệ trong iả thiết củ bài toán để thiết lập

trình hai ẩ a,b và iải hệ tìm a,b.

2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong mặt phẳ

với hệ t ục tọ độ Oxy. Cho điểm M(-10;1) và M’(3;8). Phép tị h tiế theo

vectơ v biế điểm M thành điểm M’, khi đó tọ độ củ vectơ v là:
A. v (-13;7)

B. v (13; -7)

C. v (13;7)

D. v (-13; -7)
Trang 5


Hướ

dẫ

Phép tị h tiế theo vectơ v biế điểm M thành điểm M’ nên ta có: v

MM ' (13;7)

Chọ C.
Ví dụ 2: Trong mặt phẳ tọ độ Oxy, cho đườ thẳ d:3x+y-9=0. Tìm phép tị h tiế theo vectơ v có
giá song song với Oy biế d thành d’ đi qua điểm A(1;1).
A. v (0;5)

B. v (1; -5)

C. v (2; -3)
Hướ

D. v (0; -5)

dẫ

v có giá song song với Oy nên v (0; k ) (k # 0)
Lấy M (x;y) d Þ 3 x + y - 9
Gọi M '( x '; y ')

0 (*)

ìx '
Tv ( M ) Þ í
îy '

x
thay vào (*) Þ 3 x ' + y ' - k - 9
y+k

Hay Tv (d ) d ' : 3 x + y - k - 9

0, mà d’ đi qua A(1;1) Þ k

0

-5

Vậy v = (0;-5).
Chọ D.
Ví dụ 3: Cho một phép tị h tiế biế đườ
tròn (C): (x+m)2+(y-2)2=5 thành đườ
x2+y2+2(m-2)y-6x+12+m2=0. Hãy xác đị h vectơ tị h tiế củ phép tị h tiế đó:
A. u (3;2)

B. u (-3; -2)

C. u (-2; -1)
Hướ

Đườ

tròn (C) có tâm I(-m;2) bán kính R

Đườ

tròn (C’) có tâm I’(3;-m+2) bán kính R '

Do (c ')

Tv (C) Þ R

R'

5

tròn (C’):

D. u (2;1)

dẫ

5

1 - 4m

1 - 4 m với m <

5 1 - 4m

m

Vậy phép tị h tiế biế (C) thành (C’) vó vectơ tị h tiế u

1
4

-1

II' (2;1)

Chọ D.
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x-3y+3=0, đường thẳng d1 có phương
trình 2x-3y-5=0. Tìm tọa độ của u có giá vuông góc với đường thẳng d để d1 là ảnh của d qua Tu ?
A. u (

11 -12
;
)
13 13

B. u (

6 -4
; )
13 13

C. u (
Hướ

Gọi u (a; b) . Vì u có giá vuông góc với đườ
Có d1
Nế M

Tu (d ). Gọi M1
d Þ M1

Tu ( M )

ìï x M1
í
ïî yM1

thẳ

16 -24
;
)
13 13

D. u (

-12 24
; )
13 13

3a + 2 b

0 (1)

dẫ
d Þ u ^ ud

u.ud

0

xM + a
yM + b

d1

Trang 6


M

d Þ 2 x M - 3yM + 3 0

M1

d1 Þ 2 x M1 - 3 yM1 - 5

0

2 x M - 3 y M + 2 a - 3b - 5

0

2( x M + a) - 3( yM + b) - 5 0
-3 + 2 a - 3b - 5

ì3a + 2 b 0
ừ (1) và (2) có hệ í
î 2 a - 3b 8

ì
ïïa
í

ïb
ïî

0

2 a - 3b 8 (2)

16
13 Þ u æ 16 ; - 24 ö .
ç
÷
24
è 13 13 ø
13

Chọ C.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép tịnh tiến biến đường thẳng d: x + y + 1 = 0 thành đường
thẳng d’: x + y – 1 = 0 theo vectơ cùng phương với vectơ i. Đó là phép tịnh tiến theo vectơ:
A. v (2;0)

B. v (0;2)

C. v (0; -2)

D. v (-2;0)

Câu 2. Phép tị h tiế theo v biế điểm A(1;3) thành điểm A’(1;7). Tìm tọ độ củ vectơ tị h tiế v ?
A. v (0; -4)

B. v (4; 0)

Câu 3. Trong mặt phẳ

C. v (0;4)

D. v (0;5)

tọ độ Oxy, phép tị h tiế theo vectơ v (a; b) biế đườ

thẳ

d1: x + y = 0

thành d1' : x + y – 4 = 0. Tính m = a + b.
A. m=4

B. m=-4

C. m=5

D. m=-5

Đáp án:
1-C

2-C

3-A

P Ầ 3: BÀI TẬP TỔ
Câu 1. Cho hai đườ

thẳ

A. 1
Câu 2. Cho đườ

ỢP
a và b song song với nhau. Có bao nhiêu phép tị h tiế biế a thành b?
B. 4

thẳ

C. 2

d. Có bao nhiêu phép tị h tiế biế đườ

D. Vô số
thẳ

d thành chính nó?

A. Không có phép nào

B. Có một phép duy hất

C. Chỉ có hai phép

D. Có vô số phép.

Câu 3. Trong mặt phẳ
điểm B(2;5) thành:
A. Điểm B’(5;2)

tọ độ Oxy, ế phép tị h tiế biế điểm A(3;2) thành điểm A’(2;3) thì nó biế
B. Điểm B’(1;6)

C. Điểm B’(5;5)

D. Điểm B’(1;1)

Câu 4. Cho bố đườ thẳ a,b,a’,b’ trong đó a // a’, b // b’ và a cắt b. Có bao nhiêu phép tị h tiế biế
đườ thẳ a thành đườ thẳ a’ và biế mỗi đườ thẳ b và b’ thành chính nó?
A. Không có phép nào

B. Có một phép duy hất

C. Chỉ có hai phép

D. Có vô số phép.

Câu 5. Trong mặt phẳ
thị đó thành chính nó?

tọ độ Oxy cho đồ thị củ hàm số y=sinx. Có bao nhiêu phép tị h tiế biế đồ

A. Không có phép nào

B. Có một phép duy hất

C. Chỉ có hai phép

D. Có vô số phép.
Trang 7


Câu 6. Có bao nhiêu phép tị h tiế biế một hình vuông thành chính nó?
A. Không có phép nào

B. Có một phép duy hất

C. Chỉ có hai phép

D. Có vô số phép.

Câu 7. Mệ h đề nào sau đây sai?
A. Phép tị h tiế bảo toàn khoả

cách iữ hai điểm bất kì.

B. Phép tị h tiế biế ba điểm thẳ

hàng thành ba điểm thẳ

C. Phép tị h tiế biế tam giác thành tam giác bằ
D. Phép tị h tiế biế đườ

thẳ

thành đườ

hàng.

tam giác đã cho.

thẳ

song song với đườ

thẳ

đã cho.

Câu 8. Cho hai điểm P và Q cố đị h. Phép tị h tiế T biế điểm M bất kì thành M; sao cho 2 MM '
Khẳ

PQ.

đị h nào sau đây là đú ?

A. T là phép tị h tiế theo vectơ PQ.

B. T là phép tị h tiế theo vectơ MM '.

C. T là phép tị h tiế theo vectơ 2 PQ.

D. T là phép tị h tiế theo vectơ

1

PQ.
2

Câu 9. Trong mặt phẳ

với hệ t ục tọ độ Oxy. Cho phép tị h tiế theo vectơ v (1;1), phép tị h tiế

theo vectơ v biế đườ
là?

thẳ

A. D ' : x - 1 0

D : x - 1 0 thành đườ

B. D ' : x - 2

0

thẳ

D '. Khi đó phươ

C. D ' : x - y - 2

0

trình đườ

D. D ' : y - 2

thẳ

D'

0

Câu 10. Trong mặt phẳ tọ độ Oxy, ế phép tị h tiế biế điểm A(2;-1) thành điểm A’(3;0) thì nó
biế đườ thẳ nào sau đây thành chính nó?
A. x+y-1=0

B. x-y-100=0

C. 2x+y-4=0

D. 2x-y-1=0

Câu 11. Trong mặt phẳ tọ độ Oxy, ế phép tị h tiế biế điểm A(2;-1) thành điểm A’(1;2) thì nó
biế đườ thẳ a có phươ trình 2x-y+1=0 thành đườ thẳ có phươ trình?
A. 2x-y+1=0

B. 2x-y=0

Câu 12. Trong mặt phẳ

C. 2x-y+6=0

D. 2x-y-1=0

tọ độ Oxy cho 2 điểm A(1;6); B(-1;-4). Gọi C, D lầ lượt là ả h củ A và B

qua phép tị h tiế theo vectơ v (1;5). Tìm khẳ

đị h đú

trong các khẳ

đị h sau:

A. ABCD là hình thang

B. ABCD là hình bình hành

C. ABCD là hình chữ hật

D. Bố điểm A, B, C, D thẳ

hàng

Câu 13. Cho hình bình hành ABCD, M là một điểm thay đổi trên cạ h AB. Phép tị h tiế theo vectơ
BC biế điểm M thành điểm M’ thì khẳ

đị h nào sau đây là khẳ

đị h đú

?

A. Điểm M’ trùng với điểm M

B. Điểm M’ ằm trên cạ h BC

C. Điểm M’ là trung điểm cạ h CD

D. Điểm M’ ằm trên cạ h DC

Câu 14. Trong mặt phẳ

với hệ t ục tọ độ Oxy. Cho phép tị h tiế theo v(-2; -1), phép tị h tiế theo

vectơ v biế parabol (P): y = x2 thành parabol (P’). Khi đó phươ

trình củ (P’) là?

A. y = x2 + 4x + 5

B. y = x2 + 4x - 5

C. y = x2 + 4x + 3

D. y = x2 - 4x + 5

Câu 15. Trong mặt phẳ
vectơ v biế đườ
là?

với hệ t ục tọ độ Oxy. Cho phép tị h tiế theo v(-3; -2), phép tị h tiế theo

tròn (C): x2 +(y-1)2=1 thành đườ

tròn (C’). Khi đó phươ

trình đườ

tròn (C’)
Trang 8


A. (C’): (x + 3)2 + (y + 1)2 = 1

B. (C’): (x - 3)2 + (y + 1)2 = 1

C. (C’): (x + 3)2 + (y + 1)2 = 4

D. (C’): (x - 3) 2 + (y - 1)2 = 4

Câu 16. Tìm phươ

trình ả h củ đườ

elip ( E ) :

x2 y2
+
9
4

1 qua phép tị h tiế theo vectơ u (-3;4)

A.

( x - 3)2 (y + 4)2
+
9
4

1

B.

( x + 3)2 (y - 4)2
+
9
4

1

C.

( x + 3)2 (y - 4)2
+
9
4

2

D.

( x - 3)2 (y + 4)2

9
4

1

Câu 17. Trong mặt phẳ
vectơ v biết v

tọ độ Oxy, cho hai đườ

13 và Tv (d )

thẳ

d: 3x-5y+3=0 và d’: 3x-5y+24=0. Tìm tọ độ

d '.

æ 29 54 ö
A. v ç - ; ÷ , v
è 17 17 ø

-2;3

æ 29 15 ö
B. v ç - ; ÷ , v
è 17 17 ø

-2;3

æ 9 15 ö
C. v ç - ; ÷ , v
è 17 17 ø

2;1

æ 29 54 ö
D. v ç - ; ÷ , v
è 17 17 ø

2;1

Đáp án:
1-D

2-D

3-B

4-B

5-D

6-B

7-D

11-C

12-D

13-D

14-C

15-A

16-B

17-A

8-D

9-B

10-B

Trang 9


CH

NG 3: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
CHUYÊN ĐỀ 2: PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC, ĐỐI XỨNG TÂM

P Ầ 1: LÝ T UYẾT TRỌ

TÂM

1. Phép đối xứng trục

ị h hĩ : Cho đườ thẳ d. Phép biế hình biế mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biế mỗi
điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đườ trung t ực củ đoạ MM' được ọi là phép đối
xứ qua đườ thẳ d, hay còn ọi là phép đối xứ t ục d. Phép đổi xứ t ục có t ục là đườ thẳ
d được kí hiệu là d.
Như vậy § d (M) M'

IM

IM ' với I là hình chiếu vuông góc củ M

trên d.
Nếu § d [H] [H] thì d được ọi là t ục đối xứ
Biểu thức tọ độ củ phép đối xứ
Trong mặt phẳ

củ hình (H)

t ục:

Oxy, với mỗi điểm M(x;y), ọi M’(x':y')=

Nếu chọ d là t ục Ox , thì
Nếu chọ d là t ục Oy , thì

d(M).

x' x
y'

y

x'
x
y' y

2. Phép đối xứng tâm
ị h hĩ : Cho điểm I. Phép biế hình biế điểm I thành chính nó và biế mỗi điểm M khác I thành
điểm M' sao cho I là trung điểm củ MM' được ọi là phép đối xứ tâm I. Phép đối xứ tâm I được kí
hiệu là I.
Vậy

I

(M) = M'

Nếu

I((H))

IM IM ' 0

= (H) thì I được ọi là tâm đối xứ

Biểu thức tọ độ củ phép đối xứ
Trong mặt phẳ
x ' 2a x
y ' 2b y

củ hình (H).

tâm.

Oxy cho I(a;b), M(x;y), ọi M'(x':y') là ả h củ M qua phép đối xứ

tâm I thì

3. Tính chất phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm
Bảo toàn khoả

cách iữ hai điểm bất kì.

Biế một đườ

thẳ

Biế một đoạ thẳ

thành đườ

thẳ .

thành đoạ thẳ

Biế một tam giác thành tam giác bằ
Biế đườ

tròn thành đườ

P Ầ 2: CÁC DẠ

bằ

đoạ đã cho.

tam giác đã cho.

tròn có cùng bán kính.

BÀI TẬP

Dạng 1: Xác định ảnh của một hình qua dối xứng trục
1. Phương pháp giải
ề xác đị h ả h (H') củ hình (H) qua phép đối xứ
Dùng đị h

hĩ phép đối xứ

t ục ta có thể dùng một trong các cách sau:

t ục.

Dùng biểu thức tọ độ củ phép đối xứ

t ục mà t ục đối xứ

là các t ục tọ độ.
Trang 1


Dùng biểu thức vectơ củ phép đối xứ

t ục.

2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong các hình dưới đây, hình nào có ba t ục đối xứ ?
A. oạ thẳ

B. ườ

C. Tam giác đều

D. Hình vuông
Hướ

oạ thẳ
ườ

dẫ

có hai t ục đối xứ : là chính nó và đườ

tròn có vô số t ục đối xứ : là các đườ

tròn

trung t ực.

thẳ

đi qua tâm đườ

tròn.

Tam giác đều có ba t ục đối xứ : là ba đườ

cao hạ từ ba đỉ h củ tam giác đều.

Hình vuông có bố t ục đối xứ

chéo và hai đườ

là hai đườ

ối trung điểm củ các cạ h đối diệ .

Chọ C
Ví dụ 2: Trong mặt phẳ

Oxy cho M(1;5). Tìm ả h củ M qua phép đối xứ

A. M’ = (1;-5)

B. M’ = (2;-3)

C. M’ = (1; -9)
Hướ

Gọi M ' § Ox (M)

xM '

xM

xM '

yM '

yM

yM '

t ục Ox.

1

D. M’ = (2; -5)

dẫ

M '(1; 5)

5

Chọ A
Ví dụ 3: Trong mặt phẳ
xứ t ục Ox

Oxy cho điểm A(1;-2), B(3;1). Tìm ả h củ đườ

A. 3x + 2y = 7

B. 2x – 3y = 8

C. x + 2y = 3
Hướ

Gọi A' §Ox (A)
Gọi B ' § Oy (B)
ườ
Phươ

thẳ

x A'

xA

y A'

yA

x B'

xB

y B'

x A'

1

y A'

2

x B'

yB

A’B’ là ả h củ đườ

thẳ

D. -2x +3y = 5

dẫ

B '(1; 1)

1

AB qua phép đối xứ

trình A’B’ qua A’(1;2) và có vecto chỉ phươ

A’B’: 3(x 1) 2(y 2) 0

AB qua phép đối

A '(1;2)

1

y B'

thẳ

3x 2 y 7 0

t ục Ox

A ' B ' (2; 3)

VTPTn

(3;2)

3x 2 y 7

Chọ A
Ví dụ 4: Trong mặt phẳ Oxy cho đườ
ả h củ d qua phép đối xứ t ục Oy
A. 3x – y = -7

thẳ

d: 3x - y + 2 = 0. Viết phươ

B. 3x + 2y = -7

C. x + 2y = -7
Hướ

trình đườ

thẳ

d’ là

D. 3x + y =2

dẫ

Chọ M(1;5), N(-1;-1) Î d
Gọi M' § Ox (M)

x M'
y M'

xM
yM

x M'
y M'

1
5

M '( 1;5)
Trang 2

x N'

Gọi N' §Oy (N)

xN

y N'

Suy ra ả h củ đườ

x N'

yN
thẳ

1

y N'

N '(1; 1)

1

d là đườ

thẳ

d’ đi qua hai điểm M’N’.

ườ

thẳ

d’

hậ

M ' N ' (2; 6) làm VTCP
Do đó phươ

trình d’ là: 3(x 1) (y 1) 0

3x y 2 0

Chọ D
Ví dụ 5: Trong mặt phẳ
đối xứ t ục Ox.

Oxy cho đườ

tròn (C): x2 + y2 -2x + 4y - 4 = 0. Tìm ả h củ (C) qua phép

A. (x 1)2 (y 2)2

9

B. (x 1)2 (y 3)2

9

C. (x 1)2 (y 1)2

9

D. (x 1)2 (y 2)2

3

Hướ
ườ

tròn (C) có tâm I(1;-2) và bán kính R

Gọi I' § Ox (I)
Phươ

x I'
yI'

trình đườ

xI
yI

x I'

1

y I'

2

dẫ

1 4 4

3

M '(1;2)

tròn (C’) là ả h củ (C) qua phép đối xứ

t ục Ox là: (x 1)2 (y 2)2

9

Chọ A
Ví dụ 6: Trong mặt phẳ tọ độ Oxy, cho đườ tròn (C) có phươ trình: x2 + y2 - 2x + 3y - 1 = 0.
Phép đối xứ qua t ục Oy biế đườ tròn đó thành đườ tròn (C') có phươ trình:
A. x 2

y 2 2x 3y 1 0

B. x 2

y 2 2x 3y 1 0

C. x 2

y 2 2x 3y 1 0

D. x 2

y 2 2x 3y 1 0

Hướ
Qua phép đối xứ

t ục Oy, ta có:

x
y

dẫ

x'
y'

Thay vào x 2 + y2 - 2x + 3y - 1 = 0 ta được x '2 y '2 2x ' 3y ' 1 0
Do đó phép đối xứ
x

2

y

2

qua t ục Oy biế

đườ

tròn đó thành đườ

tròn (C') có phươ

trình:

2x 3y 1 0

Chọ C
Ví dụ 7: Cho điểm M(2;-3). Tìm ả h củ điểm M qua phép đối xứ
æ 18 1 ö
A. M ' ç
; ÷
è 5 5ø

æ 17 1 ö
B. M ' ç
; ÷
è 5 5ø
Hướ

Gọi M'(x;y) là điểm đối xứ
khi đó ta có:

ïMM '.u d
ïH Î d

0

t ục d: 2x - y = 0

æ9 2ö
C. M ' ç ;
÷
è5 5ø

æ 13 3 ö
D. M ' ç ; ÷
è 5 5ø

dẫ

với M qua d và H là trung điểm củ MM’

(*)

Trang 3


Ta có: MM ' (x y;y 3);u d

æ x 2 y 3ö
(1;2);H ç
;
÷
2 ø

è 2

(x 2).1 (y 3).2 0
ï
æx 2ö y 3
0
ï2 ç 2 ÷
2
è
ø

iều kiệ (*)

x 2y

4

2x y

7

18
5
1
5

ïïx
ïy
ï

æ 18 1 ö
M 'ç
; ÷
è 5 5ø

Chọ A
Ví dụ 8: Cho đườ thẳ d:x - 2y - 2 = 0 và đườ
đối xứ với đườ thẳ d’ qua đườ thẳ d
A. 2x + y – 7 = 0

B. x – 7y – 12 = 0

Gọi A là giao điểm củ d và d’, tọ độ điểm A
x
y

2
2

thẳ

(m)

D. x – 7y + 7 = 0

dẫ

A( 2; 2)
với M qua d.

Gọi H là trung điểm củ MN thì điều kiệ để M, N đối xứ
0

trình đườ

hiệm củ hệ

Trên d’ lấy điểm M(3;3). Gọi N(x;y) là điểm đối xứ
ïMN.u d
ïH Î d

d’: y = x. Lập phươ

C. x – 2y – 12 – 0
Hướ

x 2y 2 0
x y 0

thẳ

nhau qua d là:

(*)

Ta có: MN

iều kiệ (*)

(x 3;y 3);u d

æx 3 y 3ö
(2;1);H ç
;
÷
2 ø
è 2

(x 3).2 (y 3).1 0
ï
x 3
y 3
2.
2 0
ï 2
2

2x y 9
x 2y 7

x
y

ườ thẳ (m) là đườ thẳ đi qua AN có vectơ chỉ phươ
x 2 y 2
là:
x 7y 12 0
7
1

5
1

N(5; 1)

là AN = (7;1), nên (m) có phươ

trình

Chọ B
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến một đường thẳng d cho trước thành chính nó?
A. Không có phép nào

B. Có một phép duy hất

C. Chỉ cỏ hai phép

D. Có vô số phép

Câu 2. Cho hai đườ thẳ song song a và b, một đườ thẳ
phép đối xứ t ục biế mỗi đườ thẳ đó thành chính nó?

c vuông góc với chúng. Có bao nhiêu

A. Không có phép nào

B. Có một phép duy hất

C. Chỉ cỏ hai phép

D. Có vô số phép
Trang 4


Câu 3. Trong mặt phẳ
t ục Oy.

Oxy cho điểm A(1;-2), B(3;1). Tìm ả h củ đườ

A. 3x + 2y = -7

B. 2x - 3y = 8

Câu 4. Trong mặt phẳ
Ox.

Oxy cho đườ

A. x + 2y + 4 = 0

thẳ

C. x + 2y = 3
thẳ

AB qua phép đối xứ
D. . -2x + 3y = 5

d:x - 2y + 4 = 0. Tìm ả h củ d qua phép đối xứ

B. 2x – y = 2

C. x + 2y = -7

t ục

D. 2x – y + 4 = 0

Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy cho M(1; 5) và đường thẳng d: X - 2y + 4 = 0. Tìm ảnh của M qua phép
đối xứng đường thẳng d.
A. M’ = (2;1)

B. M’ = (3;1)

C. M’ = (-3;1)

D. M’ = (2;3)

áp án:
1–D

2–B

3–A

4–A

5–B

Dạng 2: Xác định ảnh của một hình qua đối xứng tâm
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong các hình dưới đây hình nào không có tâm đối xứ ?
A. Hình ồm một đườ

tròn và một hình chữ hật ội tiếp

B. Hình ồm một đườ

tròn và một tam giác đều ội tiếp

C. Hình lục giác đều.
D. Hình ồm một đườ

tròn và một hình vuông ội tiếp
Hướ

Hình ồm một đườ
tâm đối xứ .

dẫ

tròn và một tam giác đều ội tiếp không có tâm đối xứ

vì tam giác đều không có

Chọ B
Ví dụ 2: Cho hai điểm I(1;2) và M(3;-1).
sau đây?
A. (2;1)

B. (-1;5)

iểm M' là ả h củ M qua phép đối xứ
C. (-1;3)
Hướ

Vì điểm M' là ả h củ M qua phép đối xứ

tâm I có tọ độ nào

D. (5;-4)

dẫ

tâm I nên I là trung điểm củ MM’

Do đó, ta có tọ độ điểm M’ là:
xM '

2x I x M

2.1 3

yM '

2y I

2.2 1 5

yM

1

Vậy M’(-1;5)
Chọ B
Ví dụ 3: Trong mặt phẳ tọ độ Oxy, ếu phép đối xứ
nó biế điểm B(1; -1) thành điểm
A. B’(1;7)

B. B’(1;6)

C. B’(2;5)
Hướ

tâm biế điểm A(5;2) thành điểm A'(-3;4) thì
D. B’ (1;-5)

dẫ
Trang 5


Tâm I biế A thành A’ nên I là trung điểm AA’, do đó I có tọ độ là I(1;3)
I biế B thành B’, tọ độ củ B’ là:
x B'

2x I x B

2.1 1 1

y B'

2y I y B

2.3 1 7

Vậy B’(1;7)
Chọ A
Ví dụ 4: Cho điểm I(1;1) và đườ

thẳ

d: x + 2y + 3 = 0. Tìm ả h củ d qua phép đối xứ

A. d’: x + y – 3 = 0

B. d’: x + 2y – 7 = 0

C. d’: 2x + 2y – 3 = 0

D. d’: x + 2y – 9 = 0
Hướ

tâm I.

dẫ

Cách 1. Lấy điểm M(x;y) Î d => x + 2y+ 3 = 0 (*)
x' 2 x
y' 2 y

Gọi M'(x';y’)= I(M) thì

x
y

2 x'
2 y'

Thay vào (*) ta được (2 - x') + 2(2 - y') + 3 = 0
Vậy ả h củ d là đườ

thẳ

x' + 2y' - 9 = 0

d': x + 2y - 9 = 0.

Cách 2. Gọi d' là ả h củ d qua phép đối xứ
có dạ x + 2y + c = 0.

tâm I, thì d' song song hoặc trùng với d nên phươ

trình d'

Lấy N(-3;0) Î d, ọi N'= I(N) thì N'(5;2).
Lại có N' Î d'=> 5 + 2.2 + c = 0<=>c = -9 .
Vậy d': x + 2y - 9 = 0.
Chọ D
Ví dụ 5: Tìm tâm đối xứ

A. I(2;1)

củ đườ

cong (C) có phươ

B. I(2;2)

trình y = x3 – 3x2 + 3.

C. I(1;1)
Hướ

D. I(1;2)

dẫ

Lấy điểm M(x;y) Î (C)

y = x3 - 3x2 + 2 (*)

Gọi I(a;b) là tâm đối xứ

củ (C) và M'(x';y') là ả h củ M qua phép đối xứ

Ta có

x ' 2a x
y ' 2b y

x
y

tâm I.

2a x '
2b y '

Thay vào (*) ta được 2b y ' (2 a x')3 3(2a x ')2 3
y ' x '3 3x '2 3 (6 6a)x '2 (12a 2 12a)x ' 8a 2 2b 6(**)
Mặt khác M' Î (C) nên y ' x '3 3x '2 3 do đó (**)
(6 6 a) x'2 (12a 2 12a)x ' 8a 3 12a 2 2b 6 0, "x '
6 6a 0
ï 2
12a 12a 0
ï 8a 3 12a 2 2b 6 0
Vậy I(1;1) là tâm đối xứ

a 1
b 1

củ (C)
Trang 6


Chọ C
Ví dụ 6: Trong mặt phẳ Oxy cho đườ thẳ d: x - 2y + 2 = 0 và d': x - 2y - 8 = 0. Tìm tâm đối xứ
củ phép đối xứ tâm biế d thành d’ và biế t ục Ox thành chính nó?
A. I(3;0)

B. I(2;-5)

C. I(1;2)
Hướ

Gọi I(a;b) là tâm đối xứ
Gọi M(x;y) Î d
Gọi M’(x’;y’) =

D. I(-3;1)

dẫ

cầ tìm.

x 2y 2 0(1)
x ' 2a x
y ' 2b y

I(M)

Ngoài ra có M '(x ';y ') Î d '

x ' 2y ' 8 0

(2a x) 2(2b y) 8 0

(x 2y) 2a 4b 8 0(2)
Thay (1) vào (2) được: a – 2b = 3
ể t ục Ox thành chính nó thì tâm đối xứ

a 2b 3
b 0

ừ hai kết quả trên ta có:
Vậy tâm đối xứ

phải thuộc t ục Ox
a 3
b 0

b=0

I(3;0)

cầ tìm là I(3;0)

Chọ A
Ví dụ 7: Trong mặt phă Oxy cho hai điểm A(3;2); B(2;3). Tìm tâm I biết phép đôi xứ tâm I biế t ục
Ox thành chính nó và biế đườ thẳ AB thành đườ thẳ qua O và song song với đườ thẳ AB
7
A. I( ;0)
2

9
B. I( ;1)
2

1
C. I(14; )
2

Hướ

Gọi I(a;b). Vì phép đối xứ

D. I(2;0)

dẫ

tâm I biế t ục Ox thành Ox

I Î Ox

ườ
thẳ
AB qua A(3;2) và cỏ vectơ chỉ phươ
(x 3) 2(y 2) 0
x 2y 7 0
Gọi d’ là ả h củ đườ
có phươ

thẳ

AB =>d'||AB nên d’ có dạ

b = 0.

AB = (-2;1) nên có phươ

trình:

x + 2y + m = 0. Ngoài ra có O(0;0) Î d

d’

trình x + 2y = 0

Gọi M(x;y) Î AB
Gọi M’ (x’;y’) =

x + 2y – 7 = 0 (1)
I(M)

Ngoài ra M '(x ';y ') Î d

x ' 2a x
y ' 2b y
x' 2' 0

Thay (2) vào (1) được: 2a – 7 = 0

x ' 2a x
y'
y
2a x 2y 0

a

x

2y 2a (2)

7
2

7
Vậy I( ;0)
2
Chọ A
2. Bài tập tự luyện
Trang 7


Câu 1. Cho hai đường thẳng song song d và d'. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến d thành d'?
A. Không có phép nào

B. Có một phép duy hất

C. Chỉ có hai phép

D. Có vô số phép

Câu 2. Cho bốn đường thẳng a,b,a',b' trong đó a//a',b//b' và a cắt b. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm
biến các đường thẳng a và b lần lượt thành các đường thẳng a' và b'?
A. Không có phép nào

B. Có một phép duy hất

C. Chỉ có hai phép

D. Có vô số phép

Câu 3. Trong mặt phẳ Oxy cho đườ thẳ d có phươ
đườ thẳ nào là ả h củ d qua phép đối xứ tâm O?
A. x = -2

B. y = 2

Câu 4. Trong mặt phẳ
phép đối xứ tâm O

Oxy cho đườ

A. x - 2y - 3 = 0

trình x = 2. Trong các đườ

C. x = 2
thẳ

d có phươ

B. x + y – 7 = 0

thẳ

sau

D. y = -2
trình d: x - 2y + 3 = 0. Tìm ả h củ d qua

C. x + y – 12 = 0

D. x – 2y – 12 = 0

áp án:
1–D

2–B

3–A

4-A

3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho hai đường thẳng song song d và d'. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến mỗi đường thẳng
đó thành chính nó?
A. Không có phép nào

B. Có một phép duy hất

C. Chỉ có hai phép

D. Có vô số phép

Câu 2. Cho hai đườ thẳ
thành đườ thẳ d'?

song song d và d'. Có bao nhiêu phép đối xứ

A. Không có phép nào

B. Có một phép duy hất

C. Chỉ có hai phép

D. Có vô số phép

t ục biế đườ

thẳ

d

Câu 3. Cho hai đườ thẳ song song a và b, một đườ thẳ c không song song với chúng. Có bao
nhiêu phép đối xứ tâm biế đườ thẳ a thành đườ thẳ b và biế đườ thẳ c thành chính
A. Không có phép nào

B. Có một phép duy hất

C. Chỉ có hai phép

D. Có vô số phép

Câu 4. Trong các hình dưới đây hình nào không có tâm đối xứ ?
A. ườ

elip

B. ườ

hypebol

C. ườ

parabol

D. ồ thị củ hàm số y = sin X

Câu 5. Trong các hình dưới đây, hình nào không có trục đối xứng?
A. Hình ồm hai đườ

tròn không bằ

B. Hình ồm một đườ

tròn và một đoạ thẳ

C. Hình ồm một đườ

tròn và một đườ

D. Hình ồm một tam giác cân và đườ

nhau
thẳ

tùy ý
tùy ý.

tròn ội tiếp

Câu 6. Trong các hình dưới đây hình nào không có vô số tâm đối xứ ?
A. ồ thị củ hàm số y = sin x

B. ồ thị củ hàm số y = sinx +1
Trang 8


C. ồ thị củ hàm số y = tan x

D. ồ thị củ hàm số y

1
x

Câu 7. Cho hai đường thẳng song song d và d’. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến mỗi đường thẳng
đó thành chính nó?
A. Không có phép nào

B. Có một phép duy hất

C. Chỉ có hai phép

D. Có vô số phép

Câu 8. Cho hai đườ thẳ song song a và b, một đườ thẳ c không vuông góc với chúng cũ
không song song với chúng. Có bao nhiêu phép đối xứ t ục biế mỗi đườ thẳ đó thành chính nó?
A. Không có phép nào

B. Có một phép duy hất

C. Chỉ có hai phép

D. Có vô số phép

Câu 9. Trong các hình dưới đây, hình nào có bố t ục đối xứ ?
A. Hình bình hành

B. Hình chữ hật

Câu 10. Hình ồm hai đườ
A. 0

thẳ

C. Hình thoi

D. Hình vuông

d và d' vuông góc với nhau có mấy t ục đối xứ ?

B. 2

C. 4

D. vô số

Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép đối xứng trục Ox. Với M(x;y) bất kì, gọi M'
là ảnh của M qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó tọa độ điểm M' là:
A. M'(x;y).

B. M'(-x,y).

C. M'(-x,-y).

D. M'(x,-y).

Câu 12. Hình tam giác đều ABC có bao nhiêu t ục đối xứ
A. Không có t ục đối xứ

B. Có duy hất 1 t ục đối xứ

C. Có đú

D. Có đú

2 t ục đối xứ

3 t ục đối xứ

Câu 13. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình x - y+ 4 = 0. Hỏi trong các đường
thẳng sau đường thẳng nào có thể biến thành d qua một phép đối xứng tâm?
A. 2x + y - 4 = 0

B. x + y - 1 = 0.

C. 2x - 2y + 1 = 0

D. 2x + 2y - 3 = 0

Câu 14. Trong mặt phẳ (Oxy), cho đườ tròn (c): (x-1)2 +(y-3)2 =16. Giả sử qua phép đối xứ tâm I
điểm A(1;3) biế thành điêm B(a;b). Tìm phươ trình củ đườ tròn (C') là ả h củ đườ tròn (C) qua
phép đối xứ tâm I.
A. (x a)2 (y b)2

1

B. (x a)2 (y b)2

4

C. (x a)2 (y b)2

9

D. (x a)2 (y b)2

18

Câu 15. Trong mặt phẳ
A. A '(1; 3)

Oxy cho điểm A(-1;3). Tìm ả h củ A qua phép đối xứ
B. A '(2; 1)

Câu 16. Tìm ả h qua phép đối xứ
A. (x 3)2 (y 1)2

C. A '( 1;2)

tâm 1(1;2) củ đườ

4 B. (x 1)2 (y 2)2

tâm O.

D. A '(1; 2)

tròn

4 C. (x 2)2 (y 2)2

4 D. (x 1)2 (y 2)2

2

Câu 17. Cho đường thẳng d: x - 2y + 2 = 0 và d': x - 2y - 8 = 0 . Tìm tâm đối xứng của phép đối xứng
tâm biến d thành d’ và biến trục Oy thành chính nó?
A. I(0;

3
)
2

1
B. I(0; )
2

4
C. I( ;0)

3

D. I(3;0)

Câu 18. Trong mặt phẳ Oxy, cho parabol (p): y2 = x . Hỏi parabol nào sau đây là ả h củ parabol (p)
qua phép đối xứ t ục Oy?
A. y2 = x

B. y2 = -x

C. x2 = -y

D. x2 = y
Trang 9


Câu 19. Trong mặt phẳ
(x 1)

2

(y 2)

2

với hệ t ục tọ độ Oxy. Phép đối xứ

4 thành đườ

tròn (C') có phươ

t ục Ox biế đườ

tròn (C):

trình là:

A. (x 1)2 (y 2)2

4

B. (x 1)2 (y 2)2

4

C. (x 1)2 (y 2)2

4

D. (x 1)2 (y 2)2

4

áp án:
1–A

2–B

3–B

4–C

5–B

6–D

7–D

8–A

9–D

11 – D

12 – D

13 – C

14 – D

15 – A

16 – A

17 – A

18 – B

19 – C

10 - C

Trang 10


CHUYÊN
P Ầ 1: LÝ T

3: PHÉP QUAY. PHÉP DỜI HÌNH

ẾT TRỌ G TÂM

1. Phép quay
ị h hĩ : Cho điểm O và góc lượ giác . Phép biế hình biế O thành chính
nó và biế mỗi điểm M khác O thành điểm M' sao cho OM' = OM và góc lượ
giác (OM;OM') = được ọi là phép quay tâm O, được ọi là góc quay.
Phép quay tâm O góc quay

được kí hiệu là Q (O,

)

Nhậ xét
Khi

(2k 1) , k

Khi

2k , k

thì Q(O, ) là phép đối xứ

thì Q(O, ) là phép đồ

tâm O.

hất.

Biểu thức tọ độ củ phép quay
Trong mặt phẳ

Oxy, iả sử M(x;y) và M'(x';y') = Q(O, ) (M) thì

x ' x cos
îy ' x sin
Trong mặt phẳ

y sin
y cos

Oxy, iả sử M(x;y) và M’(x’;y’) = Q(O, )(M) thì

x ' a (x a) cos
îy ' b (x a)sin

(y b)sin
(y b)cos

Công thức tính nhanh:

Nếu
Nếu
Nếu

2

thì

2

x'
y
îy ' x

thì

± thì

Trong mặt phẳ

x' y
îy '

x

x'

x

îy '

y

(Oxy), cho d: Ax + By + C = 0

Nếu Q(O, ) (d) = d’ và

2

k thì d’ có phươ

trình là Bx Ay C.sin

Nếu Q(O, ) (d) = d’ và

k2 , O d thì d’ có phươ

trình là Ax By C

Nếu Q(O, ) (d) = d’ và

k2 , I(a;b) Ï d thì d’ có phươ

0.
0.

trình là Ax By 2Aa 2Bb C

0.

Tính chất củ phép quay:
Bảo toàn khoả

cách iữ hai điểm bất kì

Biế một đườ

thẳ

Biể một đoạ thẳ

thành đườ

thẳ

thành đoạ thẳ

Biế một tam giác thành tam giác bằ
Biế đườ

tròn thành đườ

bằ

đoạ đã cho

tam giác đã cho

tròn có cùng bán kính

Lưu ý:
Giả sử phép quay tâm I góc quay a biế đườ
d', khi đó

thẳ

d thành đườ

thẳ
Trang 1


Nếu 0 <

£

thì góc iữ hai đườ

thẳ

d và d’ bằ

.

Nếu

< thì góc iữ hai đườ

thẳ

d và d’ bằ

- .

2

<

2

2. Phép dời hình
ị h hĩ : Phép dời hình là phép biế hình không làm thay đổi khoả
và iữ hai ả h M',N' củ chúng.
"M, N H;

f(M) M '
Û MN
îf(N) N '

cách iữ hai điểm bất kỳ M,N

M 'N'

Nhậ xét:
Các phép biế hình: ồ

hất, tị h tiế , đối xứ

hực hiệ liên tiếp các phép dời hình thì cũ

t ục, đối xứ

tâm và phép quay là các phép dời hình.

được một phép dời hình.

Tính chất:
Phép dời hình f biế :
Ba điểm không thẳ hàng thành ba điểm không thẳ
hàng và không làm thay đổi thứ tự iữ ba điểm đó.
ườ

thẳ

thành đườ

thẳ , tia thành tia, đoạ thẳ

Tam giác thành tam giác bằ
ườ

tròn (I;R) thành đườ

Góc thành góc bằ

hàng, ba điểm thẳ

nó (t ực tâm

thành đoạ thẳ

t ực tâm, t ọ

f

tròn (I’,R’) thỏ mãn

tâm

hàng thành ba điểm thẳ
bằ

f

nó.

tọ

tâm)

f
I ¾¾
®I'
îR R '

nó

ị h hĩ hai hình bằ
này thành hình kia.

nhau: Hai hình được ọi là bằ

nhau ếu có một phép dời hình f biế hình

P Ầ 2: CÁC DẠ G BÀI TẬP
Dạng 1: Phép quay
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình vuông ABCD tâm O hư hình bên. Hãy cho biết A phép quay
nào trong các phép quay dưới đây biế tam giác OAD thành tam giác ODC?
A. Q (O,90° )

B. Q (O,

C. Q (O,

D. Q (O,45° )

90° )

45° )

Hướ

dẫ

Do Q (O,90° ) (O) 0;Q (O,90° ) (A) D;Q (O,90°) (D) C; nên phép quay Q (O,90° ) biế tam giác OAD thành tam
giác ODC
Chọ A
Ví dụ 2: Trong mặt phẳ tọ độ Oxy cho hai đườ
thẳ a và b có phươ

4x 3y 5 0 và x + 7y - 4 = 0. Nếu có phép quay biế đườ thẳ này thành đườ

trình lầ lượt là
thẳ kia thi số đo

củ góc quay j (0 < j < 90°) là:
Trang 2


A. 45°

C. 90°

B. 60°

Hướ

dẫ

ườ

thẳ

a: 4x + 3y + 5 = 0 có vectơ pháp tuyế n a

ườ

thẳ

b: x + 7y - 4 = 0 có vectơ pháp tuyế n a

Góc

D. 30°
(4;3)
(1;7)

là góc tạo bởi a và b ta có:

cos

4.1 3.7

cos(n a , n b )

4

2

2

2

3 . 1

7

2

2

Þ
2

45°

Chọ A
Ví dụ 3: Cho M(3;4). Tìm ả h củ điểm M qua phép quay tâm O góc quay 30°
æ3 3 3
ö
A. M ' ç
;
2 3÷
ç 2 2
÷
è
ø

B. M '

æ3 3
ö
C. M ' ç
;2 3 ÷
ç 2
÷
è
ø

æ3 3
ö

3
D. M ' ç
2;
2 3÷
ç 2
÷
2
è
ø
Hướ

Gọi M '(x';y') Q (O,30°) . Áp dụ
ïïx ' 3cos30° 4 sin 30°
ïy ' 3sin 30° 4 cos30°
ïî

biểu thực tọ độ

(

2;2 3

)

dẫ

x ' x cos
îy ' x sin

y sin

y cos

ta có:

3 3
2
æ3 3
ö
3
2
Þ M 'ç
2;
2 3÷
ç 2
÷
2
3
è
ø
2 3
2

Chọ D
Ví dụ 4: Trong mặt phẳ Oxy, cho đườ thẳ d: 2x - y + 3 = 0. Viết phươ
ả h củ đườ thẳ d qua phép quay tâm o, góc quay 180°.
A. 2x – 5y – 3 = 0

B. 2x – y – 3 = 0

C. x – 2y – 3 = 0

Hướ

Þ

x'

yM

1

îy '

xM

5

Do M’(-1;-1)

thẳ

d’ là

D. x – 2y + 3 = 0

dẫ

Cách 1: Vì Q(O,180°) (d) d ' nên d’ // d. Do đó d’ có phươ
Chọ M(1;5) d , ọi M’(x’,y’)

trình đườ

trình dạ : 2x – y + m = 0 (m ¹ 3)

d’ là ả h củ điểm M qua phép quay Q (O,180°)

Þ M '( 1, 5)

d’ nên 2.(-1) – (-5) + m = 0 Û m = -3

Vậy d’ có phươ

trình là 2x – y – 3 = 0

Cách 2: Với mọi điểm M(x;y) d, M '(x ';y ') d ' sao cho Q (O,180°) (M) M '
Khi đó ta có:

x'
îy '

x
x
Û
y
îy

x'
y'

Vì M(x;y) d nên ta có 2x y 3 0 Û 2x ' y ' 3 0 Û 2x ' y ' 3 0
Trang 3

Vậy d’ có phươ

trình là 2x – y – 3 = 0

Cách 3 (công thức tính nhanh)
Trong mp(Oxy) cho d : Ax By C

0 . Nếu Q (O, ) (d) d ' và

k2 (O Ï d) thì d’ có phươ

trình

là Ax + By + C = 0
Vì d : 2 x y 3 0 và Q (O.180°) (d) d ' nên d’ có phươ

trình là 2x – y – 3 = 0

Chọ B
Ví dụ 5: Trong mặt phẳ Oxy cho đườ thẳ d: 2x + 3y - 6 = 0. Hãy viết phươ
là ả h củ d qua phép quay tâm O, góc quay 90°?
A. d ' : 3x 2y 6 0

B. d ' : x y 9 0

C. d ' : 2x 3y 4 0

D. d ' : 3x 2y 9 0

Hướ

trình đườ

thẳ

d’

dẫ

Vì d ' Q (O,90° ) (d) Þ d ' ^ d nên d’ có dạ : 3x – 2y + m = 0.
Gọi M(3;0)
M '(0;3)

d. Gọi M’ là ả h củ M qua phép quay tâm O góc quay 90° , vì M

Ngoài ra M d Þ M ' d ' Û 3.0 2.3 m
Vậy phươ

0Ûm

Ox Þ M’

Oy Þ

6

trình d’: 3x – 2y + 6 = 0

Chọ A

Ví dụ 6: Trong mặt phẳ Oxy, cho đườ
qua phép quay tâm O, góc quay 180°.
A. (x 3)2 (y 4)2

tròn (C): (x - 3)2 + (y + 4)2 =16. Tìm ả h củ đườ

16

B. (x 3)2 (y 4) 2 16

C. (x 3)2 (y 4) 2 16

D. (x 3) 2 (y 4) 2 16
Hướ

Cách 1: ườ

tròn (C)

dẫ

tròn (C) có tâm I(3;-4) và bán kính R = 4

Gọi C'(I',R') là ả h củ (C) qua phép quay Q (O,180° )
Khi đó ta có: R ' R
Vậy (C’) có phươ

4 và Q (O,180°) (I) (I ') , suy ra

xI'

xI

î y I'

yI

3
4

Þ I '( 3; 4)

trình là: (x 3)2 (y 4) 2 16

Cách 2: Gọi (C’) là ả h củ (C) qua phép quay Q (O,180° )
Với mọi điểm M(x;y)
Khi đó ta có:
Vì M(x;y)

x'
îy '

(C), M’(x’;y’)

x
x
Û
y
îy

(C’) sao cho Q (O,180° ) (M) (M ')

x'
y'

(C) nên ta có:

(C): (x 3) 2 (y 4) 2 16 Û (C) : ( x ' 3) 2 ( y ' 4) 2 16 Û (x ' 3) 2 (y ' 4)2
Vậy (C’) có phươ
Cách 3: Sử dụ

16

trình là: (x 3)2 (y 4) 2 16

công thức nhanh
Trang 4


Trong mặt phẳ

(Oxy), cho (C): (x A)2 (y B) 2

R2

k2 thì (C): (x A)2 (y B)2

Nếu Q (O, ) (C) (C') và

R2

Chọ C
Ví dụ 7: Trong mặt phẳ Oxy, cho đườ
ả h củ (C) qua phép Q (O,90° )

tròn (c) : x2 + y2 - 4x - 4y - 1 = 0. Viết phươ

A. (x 2) 2 (y 2)2

9

B. (x 1) 2 (y 1)2

C. (x 2)2 (y 2)2

3

D. (x 2) 2 (y 2) 2
Hướ

ườ

trình (C’) là

9
9

dẫ

22 22 1 3

tròn (C) có tâm I(2;2) bán kính R

Gọi (C’) là ả h củ (C) qua phép quay tâm O góc 90° : Q (O,90° ) (C) (C ')
Gọi Q(O,90° ) (I)

I '(x; y) Þ I’ là tâm củ (C’)

Gọi A(2;0) là hình chiếu củ I lên t ục Ox
Gọi B(0;2) là hình chiếu củ I lên t ục Oy
Dễ thấy Q(O,90° ) (A)

A '(0, 2); Q(O,90° ) (B)

trình (C ') : (x 2)2 (y 2)2

Vậy phươ

B'( 2, 0); Þ I'( 2; 2)
9

Chọ A
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho hình chữ nhật có O là tâm đối xứng. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc , 0 £
biến hình chữ nhật trên thành chính nó?
A. Không có

B. Hai

Câu 2. Trong mặt phẳ

C. Ba

,

D. Bố

Oxy, cho điểm M(1,3). Tìm ả h củ M qua phép Q (O,90° )

A. I(-3;1)

B. I(3;1)

Câu 3. Trong mặt phẳ
phép Q (O,90° )

£2

Oxy, cho đườ

A. d ' : 3x 2y 2 0

C. I(1;0)
thẳ

B. d ' : 3x 2y 1 0

D. I(-1;-3)

d:2x - 3y + 2 = 0. Viết phươ

C. d ' : x 2y 3 0

trình d’ là ả h củ d qua
D. d ' : 3x 2y 1 0

Câu 4. Phép quay Q (O,j) biế điểm M thành điểm M'. Khi đó
A. OM

OM ';(OM, OM ') j

B. OM

OM ';(OM, OM ') j

C. OM

OM '; MOM ' j

D. OM

OM '; MOM ' j

áp án:
1–C

2–A

3–A

4–B

Dạng 2: Phép dời hình. Hai hình bằng nhau
1. Phương pháp giải
Trang 5


Xác đị h ả h củ một hình qua phép dời hình: Dùng đị h hĩ , biểu thức tọ độ và các tính chất củ các
phép dời hình cụ thể (tị h tiế , đối xứ t ục, đối xứ tâm và phép quay ) có trong bài toán
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho đườ

thẳ

d: 2x + y = 0 và v (3; 1) . Tìm ả h củ d qua phép dời hình có được bằ

cách thực hiệ liên tiếp phép quay Q(O,90° ) và phép tị h tiế theo v
A. d ' : x 2y 5 0

B. d ' : x 2y 5 0

C. d ' : x 2y 3 0

D. d ' : x 2y 3 0
Hướ

ặt F Tv °Q (O,90° ) là phép dời hình có được bằ

dẫ

cách thực hiệ liên tiếp phép quay Q (O,90° ) và phép tính

tiế v
Gọi d ' F(d) thì d ' ^ d Þ d ' : x 2y c 0
Lấy O(0;0)
Vậy F(d)

d Þ F(O) Tv °Q(O,90° ) (O) Tv (O)

O '(3; 1); O ' d ' Þ c

5

d ' : x 2y 5 0

Chọ B
Ví dụ 2: Cho đườ thẳ d: 3x + y + 3 = 0. Viết phươ trình củ đườ thẳ d' là ả h củ d qua phép
dời hình có được bằ cách thực hiệ liên tiếp phép đối xứ tâm I(1;2) và phép tị h tiế theo vectơ
v ( 2;1)
A. d ' : 3x 2y 8 0

B. d ' : x y 8 0
Hướ

Gọi F Tv °Q (O,90° ) là phép dời hình bằ

C. d ' : 2x y 8 0

D. d ' : 3x y 8 0

dẫ

cách thực hiệ liên tiếp phép đối xứ

tâm I và phép tính tiế

Tv
Gọi d I

§I (d),d ' Tv (d I ) Þ d ' F(d)

Do d' song song hoặc trùng với d nên phươ
§1 (M) M'(2;7)

trình củ d' có dạ

3x + y + c = 0. Lấy M(0;-3)

d ta có

Lại có Tv (M ') M"(2 ( 2);7 1) Þ M"(0;8) nên F(M) = M”(0;8)
Mà M" d ' Þ 8 c 0 Û c

8

Vậy d’: 3x + y – 8 = 0
Chọ D
Ví dụ 3: Trong mặt phẳ
x' x 2
îy ' y 1
A. (x 4)2 (y 6)2

C. x 2 (y 4)2

Oxy, tìm tạo ả h củ đườ

tròn (C): (x + 2)2 +(y - 5)2 = 9 qua phép dời hình

9

9
Hướ

B. (x 4)2 (y 7)2

9

D. (x 4)2 (y 1)2

9

dẫ
Trang 6