[HỌC VIỆN LIVE] CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒ THỊ (1)

Một số bài toán tổng hợp
về đồ thị

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐỒ
THỊ

HỌC VIỆN
LIVE
Nhím Còi

Trước khi chúng ta đi vào các bài toán của tài liệu này mình xin giới
thiệu tới các bạn một bài viết rất thú vị về nhà bác học nổi tiếng
Archimedes.
Archimedes của Syracuse là một nhà toán học, nhà vật lý, kỹ sư, nhà phát
minh, và một nhà thiên văn học người Hy Lạp. Dù ít chi tiết về cuộc đời ông
được biết, ông được coi là một trong những nhà khoa học hàng đầu của thời kỳ
cổ đại.
Tiểu sử
Acsimet (284 - 212 trước Công
nguyên) - là nhà giáo, nhà bác học
vĩ đại của Hy Lạp cổ đại, ông sinh
tại thành phố Syracuse, một thành
bang của Hy Lạp cổ đại. Cha của
Acsimet là một nhà thiên văn và
toán học nổi tiếng Phidias, đã đích
thân giáo dục và hướng dẫn ông đi
sâu vào hai bộ môn này. Năm 7 tuổi
ông học khoa học tự nhiên, triết
học, văn học. Mười một tuổi ông đi
du học Ai Cập, là học sinh của nhà
toán học nổi tiếng Ơclit; rồi Tây

Ban Nha và định cư vĩnh viễn tại
thành phố Cyracuse, xứ Sicile. Ðược
hoàng gia tài trợ về tài chính, ông
cống hiến hoàn toàn cho
ACSIME
nghiên cứu khoa học.
T
Acsimet có nhiều đóng góp to lớn trong lĩnh vực Vật lý, Toán học và Thiên văn học.
 Về Vật lý, ông là người đã sáng chế ra chiếc máy bơm dùng để tưới tiêu
nước cho đồng ruộng Ai Cập, là người đầu tiên sử dụng hệ thống các đòn
bẩy và ròng rọc để nâng các vật lên cao, là người đã tìm ra định luật về
sức đẩy của nước.
 Về Toán học, Acsimet đã giải bài toán về tính độ dài của đường cong,
đường xoắn ốc, đặc biệt ông đã tính ra số Pi bằng cách đo hình có nhiều
góc nội tiếp và ngoại tiếp.
 Về Thiên văn học, ông đã nghiên cứu sự chuyển động của Mặt Trăng và
các vì sao. Acsimet suốt cuộc đời say sưa học tập, nghiên cứu. Tương truyền
rằng ông đã tìm ra định luật về sức đẩy của nước khi đang tắm. Ông đã
sung sướng nhảy ra khỏi bồn tắm, chạy thẳng về phòng làm việc mà quên cả
mặc quần áo, miệng kêu lớn: "Ơrêca! Ơrêca (Tìm thấy rồi! Tìm thấy rồi!). Trong
cuộc chiến tranh của Hy Lạp chống quân xâm lược Rôma, Acsimet đã sáng chế
ra nhiều loại vũ khí mới như máy bắn đá, những cái móc thuyền, đặc biệt trong
đó có một thứ vũ khí quang học để đốt thuyền giặc. Thành Xicacudo đã được
Trên đường thành công không có dấu chân của
kẻ lười biếng

1


bảo vệ đến 3 năm mới bị thất thủ. Khi bọn xâm lược hạ được thành, chúng thấy

ông vẫn đang say sưa ngồi nghiên cứu những hình vẽ trên đất. Ông đã thét lên:
"Không được xóa các hình vẽ của ta", trước khi bị ngọn giáo của kẻ thù đâm
vào ngực. Acsimet đã anh dũng hi sinh như một chiến sĩ kiên cường.
Acsimet là người yêu nước thiết tha. Trong giai đoạn cuối đời mình, ông đã
tham gia bảo vệ quê hương chống lại bọn xâm lược La Mã .Ông đã lãnh đạo
việc xây dựng các công trình có kỹ thuật phức tạp và chế tạo vũ khí kháng
chiến. Hơn hai nghìn năm đã trôi qua từ khi Acsimet bị quân La Mã giết hại,
song người đời vẫn mãi ghi nhớ hình ảnh một nhà bác học thiết tha yêu nước,
đầy sáng kiến phát minh về lý thuyết cũng như về thực hành, hình ảnh một con
người đã hiến dâng cả đời mình cho khoa học, cho tổ quốc đến tận giờ phút
cuối cùng.
Những công trình ông tìm ra



 Công thức tính diện tích và thể
tích hình lăng trụ và hình cầu.
 Số thập phân của số Pi. Năm
-250, ông chứng minh rằng số Pi
nằm giữa 223/7 và 22/7
 Phương pháp tính gần đúng chu
vi vòng tròn từ những hình lục
giác đều nội tiếp trong vòng
tròn.
 Những tính chất của tiêu cự của
Parabole
 Phát minh đòn bẩy, đinh vis
Acsimet (có thể do Archytas de
Tarente), bánh xe răng cưa.
 Chế ra máy chiến tranh khi

Cyracuse
bị quân La Mã vây.
Chế ra vòng xoắn ốc không ngừng của Acsimet (có thể do Conon de Samos)




Tính diện tích parabole bằng cách chia ra thành tam giác vô tận
Nguyên lý Thủy tĩnh (hydrostatique), sức đẩy Acsimet, Trọng tâm Barycentre

 Những khối Acsimet (Solides Acsimet)
 Những dạng đầu tiên của tích phân.
Nhiều công trình của ông đã không được biết đến cho đến thế kỷ XVIIe, thế kỷ
XIXe, Pascal , Monge và Carnot đã làm công trình của họ dựa trên công trình
của Acsimet.
Tác phẩm ông đã viết về
 Sự cân bằng các vật nổi



Sự cân bằng của các mặt phẳng trên ký thuyết cơ học
Phép cầu phương của hình Parabole




Hình cầu và khối cầu cho Toán. Tác phẩm này xác định diện tích hình cầu
theo bán kính, diện tích bề mặt của hình nón từ diện tích mặt đáy của nó.
 Hình xoắn ốc (đó là hình xoắn ốc Acsimet, vì có nhiều loại xoắn ốc)
 Hình nón và hình cầu (thể tích tạo thành do sự xoay tròn của mặt phẳng

quanh một trục (surface de révolution), những parabole quay quanh
đường thẳng hay hyperbole
 Tính chu vi đường tròn (Ông đã cho cách tính gần đúng của con số Pi mà
Euclide đã khám phá ra.
 Sách chuyên luận về phương pháp để khám phá Toán học. Sách này chỉ
mới được khám phá ra vào năm 1889 tại Jérusalem.
 Về trọng tâm và những mặt phẳng: đó là sách đầu tiên viết về trọng tâm
barycentre (ý nghĩa văn chương là "tâm nặng")
Acsimet - Tôi đã phát hiện ra rồi
Một hôm Quốc vương sứ cổ Hy Lạp muốn làm một chiếc vương miện mới và
thật đẹp. Vua cho gọi người thợ kim hoàn tới, đưa cho anh ta một thỏi vàng óng
ánh yêu cầu anh ta phải làm nhanh cho vua chiếc vương miện. Không lâu sau
vương miện đã được làm xong, nó được làm rất tinh vi và đẹp, Quốc vương rất
hài lòng và đội lên đi đi lại lại trước mặt các đại thần. Lúc đó có tiếng thì thầm:
"Vương miện của bệ hạ đẹp quá nhưng không biết có đúng đều là vàng thật
không?" Quốc vương nghe xong liền cho gọi người thợ kim hoàn tới, hỏi: "Chiếc
vương miện ngươi làm cho ta có đúng là toàn bằng vàng không?" Người thợ kim
hoàn bỗng đỏ mặt, cúi xuống thưa với vua rằng: "Thưa bệ hạ tôn kính, số vàng
Người đưa con đã dùng hết, vừa đủ không thừa cũng không thiếu, nếu không
tin bệ hạ cho cân lại thử xem có đúng nặng bằng thỏi vàng Người đưa cho con
không ạ." Các đại thần đem vương miện ra cân thử, quả là không thiếu, vua
đành phải thả người thợ kim hoàn về. Nhưng vua biết rằng lời nói của người thợ
kim hoàn ấy khó có thể tin được vì rằng anh ta có thể dùng bạc để thay vàng
với trọng lượng tương đương mà nhìn bề ngoài không thể phát hiện ra được.
Quốc vương buồn phiền chuyện này nói với Acsimet, Acsimet nói với Quốc
vương: "Đây quả là bài toán khó, con xin giúp người làm rõ chuyện này."
Về đến nhà, Acsimet cân lại vương miện cùng thỏi vàng, đúng là trọng lượng
bằng nhau. Ông đặt chiếc vương miện lên bàn ngắm nghía và suy nghĩ đến
mức người phục vụ gọi ăn cơm mà vẫn không biết.
Ông nghĩ: "Vương miện nặng đúng bằng thỏi vàng, nhưng bạc lại nhẹ hơn

vàng, nếu như trong vương miện có trộn lượng bạc nặng đúng bằng lượng vàng
lấy ra, như vậy chiếc vương miện này phải lớn hơn chiếc vương miện làm hoàn
toàn bằng vàng. Làm thế nào để biết được thể tích của chiếc vương miện này
và thể tích của chiếc vương miện làm toàn bằng vàng cái nào lớn, cái nào nhỏ?
Chẳng lẽ phải làm một chiếc nữa, như vậy thì thật tốn công tốn sức." Acsimet
lại nghĩ: "Đương nhiên có thể nấu lại chiếc mũ này và đúc thành vàng thỏi để
xem nó còn to bằng thỏi vàng


cũ không, nhưng như vậy chắc chắn nhà vua không đồng ý, tốt nhất là phải
nghĩ ra cách gì khác để so sánh thể tích của chúng. Nhưng cách gì đây?"

Acsimet thông minh bỗng trở lên trầm lặng, ông vắt óc suy nghĩ mãi mà vẫn
chưa tìm ra cách. Ông thường lặng lẽ ngồi cả buổi, mọi người nói ông "đang bí".
Một hôm Acsimet đi tắm, vì mải suy nghĩ để nước chảy đầy bồn tắm, sắp tràn
cả ra ngoài. Ông bước vào bồn tắm, nước tràn ra ngoài, ông càng chìm người
vào bể nhiều thì nước càng tràn ra ngoài nhiều. Acsimet như bừng tỉnh, mắt
bỗng sáng lên, ông nhìn nước tràn ra ngoài bể và nghĩ rằng: Số nước tràn ra có
thể bằng với thể tích phần cơ thể của ông chiếm trong bể nước không? Ông rất
vui, lập tức cho đầy nước vào bồn tắm và lại bước vào bồn, sau đó lại làm lại
một lần nữa. Đột nhiên, ông bỗng chạy ra ngoài vỗ tay reo lên: "Tôi đã phát
hiện ra rồi, phát hiện ra rồi!"mà quên cả mặc quần áo.
Ngày thứ hai, Acsimet đã làm thực nghiệm trước mặt Quốc vương và các đại
thần và có cả người thợ kim hoàn để mọi người cùng xem. Ông thả vương miện
và thỏi vàng cùng trọng lượng vào hai dụng cụ đựng nước có thể tích bằng
nhau được chứa đầy nước, sau đó thu nước tràn ra vào hai bình đựng. Kết quả
cho thấy nước ở bên vương miện tràn ra nhiều hơn bên thả thỏi vàng rất nhiều.
Acsimet nói: "Mọi người đều đã nhìn thấy. Rõ ràng là vương miện chiếm chỗ ở
trong nước nhiều hơn so với thỏi vàng, nếu như vương miện đều là vàng thì
lượng nước tràn ra ở hai bên sẽ bằng nhau, cũng tức là thể tích của chúng bằng

nhau".
Người thợ kim hoàn không còn gì để thanh minh được nữa, Quốc vương bực tức
trừng phạt anh ta. Nhưng cũng rất rui vì Acsimet đã giúp vua giải được bài toán
khó này.


Sau đây là các bài toán mà trong chuyên đề này tôi muốn giới thiệu
cho các bạn. Trong tài liệu này có một số bài do tôi sáng tác, sưu tầm
từ các đề thi thử, các diễn đàn, bên cạnh đó cảm ơn bạn Nguyễn Kim
Anh đã đóng góp một số bài toán rất hay để chuyên đề này thêm hoàn
thiện.
y

1
1

x

O

1

2


Câu 1. Cho hàm
số

f x có đồ thị như hình vẽ

đồng thời f  x  1  f  x   2x  2x  1  x

Biết

 1  * 

rằng hàm số f x  ax4  bx2  c ; g x  mx2  nx  p
và f  x   g  x
1

. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm

2



số g  x 
A. 

5

B. 

4
C. 2

Từ
*

1

4
D. 4

ta thay x  0  f 1  f

Lời
giải

a  b  0

0

Ta có x  0  y  1  c  1, f 0  f 1  a  b  c  1  
c  1
4
2
và x  2, y  11  f x  x  x  1

Mặt khác x  x  1  g  x  1  m  x  1  n  x  1   p  mx  2mx  m  nx 
4

2

2

2

2

2

4

2

2

n p

m  1
m 

2
1
 2  n  1
 g  x   x  x  1; g '  x

1  n  p   n  1


p  5
m


  2x  1; g ' x   0  x  

1
Vậy giá trị nhỏ nhất g  x  . Chọn ý A.


4
Câu 2. Cho hàm f x  mx4  nx3  px2  qx  r r  1, 25 .
số
Hàm số

1

2

yf

có đồ thị

'x

như hình vẽ dưới. Tổng số phần tử của S là tập các số nghiệm có thể có của phương
trình
f  x   là?
r

2


y


1

O

5
4

3

x


A. 0
Ta
có

B. 2

C. 3

g x  f x  r  g 'x
'x

Lời giải

f

2

D. 5

  2r



5
13
1
15
f 'x  x  1 x 
x  3  x3  x2  x 


4
2
4
4



13  193
x 
13
2
1
12

Lại
f '' x   0 
f ''  x    x  .
2
có

Mà
13  193

3x
x
2


12
13 
193
Nên cực đại của hàm f '  x   1, 08 khi x 
12
số
f
g
Vì r  1,
nên tịnh tiến đồ
xuống 2,5 đơn vị thì thấy đồ
25
thị
'  x thị
' x
Từ
đặtđồ thị ta có thể

cắt trục


hoành tại 1 điểm duy nhất nên
đồ thị hoặc 0 có nghiệm nào
Chọn ý C.
Câu 3. Cho hàm số bậc 2

f

g

x

x

x

2



 x . f  x  1  f

2

 x   x3  1 .

có 1 điểm cực trị!
Nên

có cực trị tại
Cho

hàm số

f x  r 2 có thể có 1, 2

x  0 và thỏa mãn điều kiện

g  x   2x 2  2 . So
sánh

f '6  g '4 và

g '6  f ' 4
Lời giải
Đạo hàm 2 vế   2x  1  . f  x  1   f '  x  1  x  x   f '  x  .2 f  x   3x
2

2

Thay x  0  f 1  0 vì f '0  0
Hàm số có
dạng

2

y  a.x  bx  c với x  0 là cực trị nên 2a.x  b  0  b  0 và

f 1   0  a  c  0 . Thay x 
1 thì
 f '  6   g '  4   2.  6  
4.4  4
Ta có 
  f '  4   g '  6   2.4 

f 0  1 ( do hàm số có dạng ax2 

c nên
 f '  6   g '  4   f '  4   g '  6 

4.  6   16
Câu 4. Cho đồ thị
hàm số

f x như hình vẽ.

f  1   f 1  )


y
2


2

O

1
5
4

2

6

x

Để hàm
số

h x


x2 
8x 

có số tiệm cận đứng là lớn nhất là n ( với m,n nguyên

2

dương).Tính giá trị nhỏ nhất
n của S = m  n
B. 74m f 
f x

A. 14

Để g
 x

 m

có
thì số tiệm cận đứng f

2

C. 50



D. 3

Lời giải
 f  x   m  2

f  x   m  0  f  x   m

f x m6

 

Để hàm số có số TCĐ là lớn nhất thì
hoặc là

 f x  2  m

 2  f x   2  m

f x 6m



6  m  2


15
2 m m5

 
4

2  m 1
5 m1


4
  2m
 

 

2

nên
giáp với
m  và đường
y
Có g '  x   2x đồng biến trên 4,
khi
thẳng
5
7
8

f

nê g  x  với x thuộc 4;  nên
tại điểm có hoành độ lớn hơn 4
x
n
 
0
2

x  8x 

n  0 . Nên S  74 hoặc 50  Smin  50

Chọn ý
C.



Câu 5. Cho fm
x , f
''x 
3

và d là tiếp tuyến
của

 x

dưới hình vẽ. Hàm
số

2

dạng mx  nx  p . Tính 43n  45p
28
y
B. 450
5
A. 
3
Phương
trình

f

f ''  x
là

C.
201

D. 182



d
2
6
5
O
f

 x

1

6
5
f '' x



x

f  x  có


y '' 

6mx  2n

Lời giải

Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là 1 là y  3m  2nx  1  m  n  p


 26
1
 3m  2n  m  n  p
 5
5

Ta có 26 36


 5
5



m  2n

18m  13
86m  39
;
p

5
25
Tìm được n

Chọn ý D.
Câu 6. Cho đồ thị hàm f
số
'x

như hình


vẽ.

Tổng

các giá

m 3; 20 để
hàm số

trị

g x


cực trị. Biết tử số

f

của dương.
A. 64
B. 58
C. 75
D. 88

 x

y

x
1

nguyên của
f  x   có 4

m
có hệ số tự do

x

O
y
2
13

Đặt h  x   f  x   mx  h '  x



Lời giải
 f '  x   m . Vì hệ số tự do

f x dương Và mẫu

của tử số của
có x  . Tức
1
là

f  0   . Ta thấy đường nét đứt giao với trục Oy và y 
tại
0
0

cực trị đó là cực đại xM

f  x M   f  0   0 Đường đỏ tạo ra 3 điểm cực trị
cho


và nếu cắt trục Ox
 Trường hợp 1 : Cả 2 đường đỏ và vàng đều nằm
trên Ox thì





x

cực trị của điểm) có ít nhất 3 điểm cực trị và đường đỏ có 3
điểm cực trị (loại).
Trường hợp 3 : Đường màu vàng cắt Ox tại 4 điểm (loại) .
Trường hợp 4 : Đường màu vàng cắt Ox tại 2 điểm là
cực trị của

nào) và để có 4 cực trị thì ta tịnh tiến
đồ thị giá trị m là 75
Chọn ý C.

g x

có 2 điểm cực trị.

g

Trường hợp 2 : Đường màu vàng cắt Ox tại 2 điểm khác

không cắt điểm


thì điểm

f '  x (hoặc 3


( hoặc
f
'x


f '  x sao cho 13  m  2 . Khi đó tổng


Câu 7. Cho hàm số f


x có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên 1; 4
như hình vẽ dưới đây. Tính giá trị của tích
phân

I



1

thỏa mãn và có đồ thị
5

f ''  x  x  1  x  5  dx ?


y
2
1
O
1

A. 4

B. 5

1
2

3
4

5

x

C. 6
Lời giải

u   x  1  x  5 

D. 7



du   2x  6  dx


Sử dụng tính chất nguyên hàm từng phần ta đặt


f '' x
dx

uI 
   2x

6  6  f '  x  dx . Đến đây đặt tiếp
  2x





 v  f '  x



5

 v   f '  x  dx

1

 I    2x  6  f  x 

5
1

5

Đến đây ta sẽ
tính

 du  2dx




1

f  x  dx .

 v  f  x



 2  f  x  dx
5

Đặt A  1; 1 , B  2; 2  ,C  3; 1

đồng thời

,D  4;1 , E  5; 1 

M 1;0 , N 2;0 , P 3;0 , Q 4;0 , S 5;0  .




Ta
có

Phương trình đường thẳng BC y  3x  suy ra giao điểm của BC với trục
là
8
8 
I  ;0  .
hoành là
3 
điểm
4

Tọa
độ là
giao điểm của DE với trục
hoành
H

;0


5


S  .
f  x  dx  S  S  S
Vậy
I

5
5
3



1

MABN

BNI

Câu 8. Cho đồ thị hàm g
 x
f  0   g  0  . Tính tích
phân

2


0

ICDH

HSE

2
hàm bậc 4 như hình vẽ,
biết
x
xf '  dx ?
2
 
y

O

1
A.

20

B.

10

x

1

1

g  x   f  x   f  1  x  và

1
C.

30

1
D.

40



Lời giải
Từ đồ thị ta suy g x  x 1  x  x3 1  x  f x   f 1  x 
ra
1
1
Từ
ta
. Thay x  vào
f 1  0
tích phân hai vế ta được  f  x 
được
0
0

*
*
dx 
40
2
2 2

x 
x 
 x   1
Tích phân từng phần được  xf '
 dx  2  x. f 
  f 
 dx  =
.


2
 2  0  2   10
0
0

Chọn ý
B.
3

Câu 9. Cho hàm
số

f

x

có đồ thị như hình vẽ
y

bên. Số tiệm cận đứng ít nhất có thể của đồ thị hàm
số y


x

4

x2 
có thể bằng bao nhiêu?
11

 1  f
B. 2
 x   1 D. 4

A. 1
C. 3

2

1
O

x

6

Lời giải
Hàm số có dạng
f  x   1  k.x
y

2p

.  x1  x



2q  1

; x  6; p  1; q  1

x 

1

2 p2
f  x  1 k.x . x   . x  1 
k.x
.x 1 2q1
 .
x
1

x
1 là 2p  2  0  p  1.
Trường hợp ít TCĐ nhất

khi đó:
1
x 
y
1
x2
2

2
2
1 2q
k.xp2 . x  1 . x  1 
f  x  
k  x  2 q 1
.

x
1
1 1
x1
 x  x1
yf
Suy ra có TCĐ duy nhất
1
 x
Câu 10. Biết rằng đồ thị hàm số

y
bậc 4 :
2

2
p

x2

1 2q
1

x
2
1

2


1
x
2
1

1

được cho như hình vẽ bên. Tìm số giao điểm của
đồ thị hàm
số trục Ox .
A. 4

C. 6
B. 2
D. 4

y  g  x    f   x    f  x  . f   x
2



và

O

x


Lời giải
Số giao điểm của đồ thị hàm
số
nghiệm của phương
trình:

y  g  x    f   x    f  x  . và trục Ox bằng số
f   x 
2

 f   x    f  x  . f   x   0   f   x    f  x  . f   x  .
2

2

Một số bài toán tổng hợp
về đồ thị

HỌC VIỆN
LIVE


Một số bài toán tổng hợp
về đồ thị
Giả sử đồ thị hàm
4
3
2
y  f x  ax  bx  cx  dx  e , a, b ,
số
c, d, e 

HỌC VIỆN
LIVE

cắt trục
;a
0, b

hoành Ox tại 4 điểm phân
x1 , x2 , x3 , x4 .
biệt
Đặ A  x  x1 , B  x  x2 , C  x  x3 , D ta có:

t
xx

0

4

f x  a x  x1 x  x2 x  x3 x  x4   a.ABCD .
2
 TH1: Nếu x  x với i  1, 2, 3, 4 thì g  x    f   x    0 .
i
i
i 

Do đó x  xi , i  1, 2, 3, 4 không phải nghiệm của
g x   0 .
phương trình
 TH2: Nếu x 
xi

với i  1, 2,
3, 4

thì ta viết lại

1 1 1 1
f x  a BCD  ACD  ABD  ABC   f x
  
.



1 1 1 1
 1 1A 1B 1C D
     f x
  
f x  f x

A
B C D
2
D2
B2
A
C2




21 1 1 1
1
1
1
1



 f x.      f x. 2  2  2  2 
B C

A B C D

A
1 1
1
 1
D
2
1
1
1
1


2
2
Suy
f   x  . f  x   f  x  .    



f
.
ra,
x.
A B C D

B2 C 2 D2 
2
A
 1
1

1
1 
2
Khi
2
đó



 0 x  x
g  x    f   x   f   x  . f  x   f  x  .
2, 3, 4  .
 2
i


A
B2 C 2 D2


Từ đó suy ra phương trình g x   0 vô nghiệm.
Vậy đồ thị hàm y  g x

số
Câu 11. Cho hàm
số
yf
x

yf

 i  1,

 không cắt trục hoành.
y

có đồ thị hàm số

f 'x

x


2

như hình vẽ bên. Xét hàm số

g  x   2 f  x   2x3  4x  5 với m là số thực.
3m  6
Để g  x  x   5 ; 5 thì điều kiện của m là
0




5

B

O

1
3

5

A

x


Một số bài toán tổng hợp
về đồ thị
2
2
A. m  f 5
B. m  f
3
5 3
2
2
C. m  f 0  2
D. m  f  5  4 5
3
5

 





HỌC VIỆN
LIVE

 

3

Ta
có

Lời giải
g  x   0  g  x   2 f  x   2x3  4x  5  0  3m  2 f  x
3m  6

5 6
  2x3  4x

2
3
Đặt h  x   2 f  x   2x  4x  6 5 . Ta có h   x   2 f   x   6x  4 .

.



h 
5  2 f   5  6.5  4  0



 
h
5  2 f  5  6.5  4  0


Suy
h0  2 f   0   0  4  0
ra

h 1  2 f 1  6.1  4  0
  
h1  2 f 1  6.1  4  0


Từ đó ta có bảng biến thiên
0
5
x

 
 

 
 

h



 

h

h

0

Từ bảng biến thiên ta có



5 m
f

Câu 12. Cho hàm
số



0

h 5

3m  h

5

f

x

2



h

 5 .
y

3
liên tục và xác

định trên
và có đồ f 'x  như hình vẽ.
thị
Tìm số điểm cực trị của hàm số



2

y  f x x

?

Ta
có

4

Lời
giải





y '   2x  1 f ' x  x , x  x  m có nghiệm khi và chỉ khi m  

thị ta

2

2

x

O

1

A. 10
B. 11
C. 12
D. 13

5

1

. Dựa vào đồ

4
thấy đồ thị hàm f 'x  cắt trục hoành tại 5 điểm trong đó 1 điểm có hoành độ nhỏ hơn
1
1
 và có một tiệm cận. Khi đó ứng với mỗi giao điểm có hoành độ  và 1 điểm
4
lớn hơn
4
không xác định
y '  có 2 nghiệm Từ đây dễ dàng suy ra y  f  x 2  có 11 cực
thì trị!
hàm
0
x