Tóm tắt hinh 12 p1

Chương 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
 HỆ TỌA ĐỘ. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM :
1. Hệ tọa độ : Hai trục tọa độ x’Ox và y’Oy vuông
góc nhau tạo nên hệ trục tọa độ Đêcac Oxy: O là gốc tọa độ; x’Ox
là trục hoành và y’Oy là trục tung.Trong đó:
→
i
= (1; 0) và
→
j
=
(0;1) là các vectơ đơn vò trên các trục.Ta có:
→
i
=
→
j
=1 và
→
i
.
→
j
=0.
2. Tọa độ của vectơ :
→
u
= (x ; y) ⇔
→
u
= x.

→
i
+ y.
→
j
.
3. Tọa độ của điểm :
→
OM
= (x ; y) ⇔ M(x ; y)
x: hoành độ và y: tung độ của điểm M
4. Các kết quả : Trong hệ tọa độ Oxy cho A(x
A
;
y
A
), B(x
B
; y
B
) và các vectơ
→
a
=(a
1
; a
2
) và
→
b

= (b
1
; b
2
). Ta có:
a)
→
a
±
→
b
= ( a
1
± b
1
; a
2
± b
2
).
b)
→
ak
= (ka
1
; ka
2
) (k là số thực).
c) Tích vô hướng:
→

a
.
→
b
= a
1
b
1
+ a
2
b
2.
Hệ quả:
1.
| a|

=
2
2
2
1
aa
+
.
2.
2
2
2
1
2

2
2
1
2211
bb.aa
b.a b. a
)b,acos(
++
+
=


3.
→
a
⊥
→
b
⇔ a
1
b
1
+ a
2
b
2
= 0.
d)
→
a

=
→
b
⇔



=
=
22
11
ba
ba
e)
→
a
,
→
b
cùng phương ⇔







=−=
=⇔=∈∃
→→

0baba
b b
a a
a
b
a
b
a.kb:Rk
1221
21
21
2
2
1
1
f)
Tọa độ của vectơ:
→
AB
=(x
B
−x
A
;y
B
−y
A
).
g) Khoảng cách:
2

AB
2
AB
)y-(y)x-(x | AB | AB
+==
→
h) Điểm M chia AB theo tỉ số k ( k≠1) ⇔
→
MA
= k.
→
MB
. Khi
đó tọa độ của M tính bởi:
k1
kxx
x
BA
M
−
−
=
và
k1
kyy
y
BA
M
−
−

=
M là trung điểm AB ta có:
2
xx
x
BA
M
+
=
và
2
yy
y
BA
M
+
=
5. Kiến thức về tam giác : Cho A(x
A
;y
A
),B(x
B
; y
B
)
và C(x
C
; y
C

).
a) Trọïng tâm của tam giác (giao các đường trung tuyến):
G là trọng tâm ∆ ABC:
3
xxx
x
CBA
G
++
=
;
3
yyy
y
CBA
G
++
=
b) Trực tâm của tam giác (giao các đường cao):






⊥
⊥
⇔∆
→→
→→

CABH
BCAH
tâm trựclà H





=
=
⇔
→→
→→
0CA.BH
0BC.AH
c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ( giao của các trung trực):
I(a;b) là tâm của (ABC) ⇔ AI = BI = CI = R (bán kính của
(ABC)).Giải hệ AI
2
=BI
2
và BI
2
=CI
2
⇒ Tọa độ của I.
d)Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác (giao các phân giác trong
của các góc của tam giác):
Tâm K của đường tròn nội tiếp ∆ ABC tìm được khi thực hiện
hai lần công thức điểm chia đoạn theo tỉ số k:

Vì
1
k
AC
AB
DC
DB
=−=
→
→
nên D chia BC theo tỉ số
k
1
⇒Tọa độ của D.
Vì
2
k
BD
BA
KD
KA
=−=
→
→
nên K
chia AD theo tỉ số k
2
⇒ Tọa độ của
K
e) Diện tích tam giác:

• S=
a
ah
2
1
=
b
bh
2
1
=
c
ch
2
1
• S=
Csinab
2
1
=
Bsinac
2
1
=
Asinbc
2
1
• S=
R4
abc

= pr =
)cp)(bp)(ap(p
−−−
• S=
2
22
)AC.AB(AC.AB
2
1
→→→→
−
=
)AC,ABdet(
2
1
→→
,
trong đó: det(
→
AB
,
→
AC
) =
21
21
b b
a a
=a
1

b
2
−a
2
b
1

với
→
AB
=(a
1
; a
2
) và
→
AC
= (b
1
; b
2
)
 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG :
1) Đònh nghóa : Cho các vectơ
→
u
và
→
n
khác vectơ

→
0
.
•
→
u
là 1 vectơ chỉ phương của đường
thẳng ∆ khi
→
u
nằm trên 1 đường thẳng song song hoặc trùng
với ∆. Mọi vectơ chỉ phương của ∆ đều có dạng k.
→
u
( k ≠ 0).
•
→
n
là 1 vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ khi
→
n
nằm trên
1 đường thẳng vuông góc với ∆. Mọi vectơ pháp tuyến của ∆ đều
có dạng k.
→
n
( k ≠ 0).
• Một đường thẳng ∆ hoàn toàn xác
đònh khi biết M
0

∈∆ và 1 vectơ chỉ phương
→
u
hoặc 1 vectơ pháp
tuyến
→
n
của ∆.
Trang 1
2) Phương trình tổng quát của đường thẳng:
a) Đònh lý: Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ có dạng:
Ax+By+C = 0 với A
2
+B
2
≠ 0
Chú ý: ∆ có vectơ pháp tuyến
→
n
= (A;B) và có vectơ chỉ
phương
→
u
= (B; −A) hoặc
→
u
= (− B; A)
b) Hệ quả: Phương trình đường thẳng ∆ đi qua M
0
(x

0
; y
0
) và có
vectơ pháp tuyến
→
n
= (A;B) là:
A(x−x
0
) + B(y−y
0
) = 0 với A
2
+B
2
≠ 0
3) Phương trình tham số
−
chính tắc của đường thẳng:
a) Phương trình tham số của đường thẳng: Phương trình tham
số của đường thẳng ∆ đi qua M
0
(x
0
; y
0
) và có vectơ chỉ phương
→
u

=(a; b) là:





+=
+=
btyy
atxx
0
0
với a
2
+b
2
≠ 0, t∈R
b) Phương trình chính tắc của đường thẳng: Phương trình
chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua M
0
(x
0
; y
0
) và có vectơ chỉ
phương
→
u
=(a; b) là:
b

yy
a
xx
00
−
=
−
(a
2
+b
2
≠ 0)
 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG
CHÙM ĐƯỜNG THẲNG :
1) Vò trí tương đối của hai đường thẳng: Cho 2 đường thẳng
∆
1
:A
1
x+B
1
y+C
1
= 0 (1) và ∆
2
:A
2
x+B
2
y+C

2
=0 (2) (
2
1
2
1
BA
+
≠0 và
2
2
2
2
BA
+
≠ 0). Giải hệ gồm (1) và (2) ta có kết quả sau:
• Hệ có duy nhất nghiệm ⇔A
1
B
2
−A
2
B
1
≠0⇔∆
1
và ∆
2
cắt nhau.
• Hệ vô nghiệm ⇔A

1
B
2
−A
2
B
1
=0 và B
1
C
2
−B
2
C
1
≠0⇔ ∆
1
//ø ∆
2
.
• Hệ có vô số nghiệm
⇔A
1
B
2
−A
2
B
1
=B

1
C
2
−B
2
C
1
=C
1
A
2
−C
2
A
1
= 0⇔ ∆
1
≡ ∆
2
.
2) Chùm đường thẳng : Hai hoặc nhiều đường thẳng cùng đi
qua một điểm I, tạo nên chùm đường thẳng có tâm I. Nếu
∆
1
:A
1
x+B
1
y+C
1

=0 và ∆
2
:A
2
x+B
2
y+C
2
=0 cắt nhau tại I
(A
1
B
2
≠A
2
B
1
) thì phương trình của chùm đường thẳng tâm I là:
m(A
1
x+B
1
y+C
1
)+ n(A
2
x+B
2
y+C
2

)

= 0 (với m
2
+n
2
≠ 0).
 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG − KHOẢNG CÁCH TỪ
MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG :
1. Góc giữa hai đường thẳng :
Cho 2 đường thẳng ∆
1
:A
1
x+B
1
y+C
1
=0 và ∆
2
:A
2
x+B
2
y+C
2
=0. Nếu
gọi ϕ (0
0
≤ ϕ ≤ 90

0
) là góc giữa ∆
1
và ∆
2
thì:
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
BA.BA
BBAA
cos
++
+
=ϕ
Hệ quả: ∆
1
⊥ ∆
2
⇔ A
1
A
2
+ B

1
B
2
= 0
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
a) Công thức: Khoảng cách từ M(x
0
;y
0
) đến ∆:Ax+By+C=0 là:

22
00
BA
CByAx
),M(d
+
++
=∆
(A
2
+B
2
≠0)
b) Hệ quả: Nếu ∆
1
: A
1
x+B
1

y+C
1
=0 và ∆
2
: A
2
x+B
2
y+C
2
= 0 cắt
nhau tại I (A
1
B
2
≠A
2
B
1
) thì phương trình các phân giác tạo bởi
(∆
1
) và (∆
2
) là:
2
2
2
2
222

2
1
2
1
111
BA
CyBxA
BA
CyBxA
+
++
±=
+
++
 ĐƯỜNG TRÒN :
1.Phương trình của đường tròn:
a) Phương trình đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R có dạng:
(x−a)
2
+(y−b)
2
=R
2
b) Phương trình đường tròn tâm O bán kính R :
x
2
+y
2
= R
2

c) Phương trình x
2
+y
2
+2Ax+2By+C = 0 với A
2
+B
2
−C>0 là
phương trình của một đường tròn (C) có tâm I(−A;−B) và bán
kính R=
CBA
22
−+
.
2.Phương tích của một điểm đối với một đường tròn:
Cho (C) : F(x,y) = x
2
+y
2
+2Ax+2By+C = 0. Phương tích của một
điểm M(x
0
; y
0
) đối với (C) là:
P M/(C)= F(x
0
,y
0

) =
C2By2Axyx
00
2
0
2
0
++++
3.Trục đẳng phương của hai đường tròn khác tâm:
a) Tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với 2 đường
tròn khác tâm (C
1
) và (C
2
) là một đường thẳng d vuông góc với
đường thẳng nối 2 tâm I
1
và I
2
của (C
1
) và (C
2
) và gọi là trục
đẳng phương của (C
1
) và (C
2
).
b) Cho hai đường tròn: (C

1
):F
1
(x,y)=x
2
+y
2
+2A
1
x+2B
1
y+C
1
=0
và (C
2
):F
2
(x,y)=x
2
+y
2
+2A
2
x+2B
2
y+C
2
=0 khác tâm, phương
trình của trục đẳng phương của (C

1
) và(C
2
) là:
F
1
(x,y)= F
2
(x,y)⇔ 2(A
1
− A
2
)x+2(B
1
− B
2
)y+C
1
− C
2
= 0
4. Tiếp tuyến của 1 đường tròn :
Cho (C):F(x;y)=(x−a)
2
+(y−b)
2
−R
2
=0 và điểm M(x
0

;y
0
), để viết
phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua M ta tìm phương tích của
M đối với (C):
 Nếu P M/(C) < 0 thì M nằm trong (C), qua M không kẻ được
tiếp tuyến nào với (C).
Nếu P M/(C) = 0 thì M thuộc (C), qua M kẻ được một tiếp
tuyến với (C) và tiếp tuyến này đi qua M có vectơ pháp tuyến

→
IM
= (x
0
−a; y
0
−b).
Nếu P M/(C) > 0 thì M nằm ngoài (C), qua M ta kẻ được 2
tiếp tuyến với (C), phương trình các tiếp tuyến này thực hiện
như sau:
• Gọi ∆ là đường thẳng qua M và có vectơ pháp tuyến
→
n
=(A;B)⇒∆: A(x−x
0
)+B(y−y
0
) = 0 (1) với A
2
+B

2
≠0.
• ∆ tiếp xúc (C)⇔ d(I,∆)=
22
BA
CBbAa
+
++
=R
với C=−(Ax
0
+By
0
). Bình phương 2 vế, chọn hai cặp A, B
thỏa phương trình này và thay vào (1) để có hai phương trình
tiếp tuyến của (C) đi qua M.
 ElÍP :
1)Đònh nghóa : Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho
MF
1
+MF
2
=2a (2a không đổi và a> c> 0) là một đường elíp.
 F
1
,F
2
: cố đònh là hai tiêu điểm và F
1
F

2
=2c là tiêu cự của elíp.
 MF
1
, MF
2
: là các bán kính qua tiêu.
2) Phương trình chính tắc của elíp:
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
với b
2
= a
2
− c
2
.
3) Tính chất và hình dạng của elíp::
1
b
y
a

x
2
2
2
2
=+

(a> b > 0)
• Trục đối xứng Ox (chứa trục lớn);
Oy (chứa trục bé).Tâm đối xứng O.
• Đỉnh: A
1
(−a;0), A
2
(a;0), B
1
(0;−b) và
B
2
(0; b). Độ dài trục lớn là 2a và độ
dài trục bé là 2b.
• Tiêu điểm: F
1
(−c; 0), F
2
( c; 0).
• Nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở
PQRS có kích thước 2a và 2b với
b
2

= a
2
− c
2
.
• Tâm sai:
a
ba
a
c
e
22
−
==
< 1
• Hai đường chuẩn: x=
c
a
e
a
2
±=±
• M(x;y)∈(E): MF
1
= a+ ex và MF
2
= a−ex
4) Tiếp tuyến của elíp (E):
1
b

y
a
x
2
2
2
2
=+
:
 Tại M
0
(x
0
;y
0
)∈(E) có phương trình:
1
b
yy
a
xx
2
0
2
0
=+
 Đi qua M(x
1
; y
1

) là ∆:A(x−x
1
)+B(y−y
1
)=0 với điều kiện:
∆ tiếp xúc (E)⇔A
2
a
2
+B
2
b
2
=C
2
A
2
+B
2
≠0,C=−(Ax
1
+By
1
)≠0
 HYPEBOL :
1.Đònh nghóa : Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho
MF
1
−
MF

2
=2a (2a không đổi và c > a> 0) là một Hypebol.
 F
1
, F
2
: cố đònh là 2 tiêu điểm và F
1
F
2
=2c là tiêu cự.
 MF
1
, MF
2
: là các bán kính qua tiêu.
2.Phương trình chính tắc của hypebol:
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=−
b
2
= c

2
− a
2
.
Trang 2
3) Tính chất và hình dạng của hypebol (H):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=−
 Trục đối xứng Ox (trục thực)
Oy (trục ảo). Tâm đối xứng O.
 Đỉnh:A
1
(−a;0),A
2
(a;0).Độ dài
trục thực:2a và độ dài trục ảo:2b.
 Tiêu điểm F
1
(−c; 0), F
2
( c; 0).
 Hai tiệm cận: y= ±

a
b
x
 Hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a, 2b với b
2
= c
2
− a
2
.
 Tâm sai:
a
ba
a
c
e
22
+
==
> 1
 Hai đường chuẩn: x=
c
a
e
a
2
±=±
 Độ dài các bán kính qua tiêu của M(x;y)∈(H):
* MF
1

= ex + a và MF
2
= ex−a khi x > 0.
* MF
1
= −ex−a và MF
2
=−ex+ a khi x < 0.
4) Tiếp tuyến của hypebol (H):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=−

 Tại M
0
(x
0
; y
0
) ∈(H) có phương trình:
1
b
yy

a
xx
2
0
2
0
=−
 Đi qua M(x
1
; y
1
) là ∆: A(x−x
1
)+B(y−y
1
) = 0 với điều kiện:
∆ tiếp xúc (H) ⇔ A
2
a
2
− B
2
b
2
= C
2
A
2
+B
2

≠0,C=−(Ax
1
+By
1
)≠0
 PARABOL :
1) Đònh nghóa :
Parabol là tập hợp các điểm M của mặt phẳng cách đều 1 đường
thẳng
∆
cố đònh và 1 điểm F cố đònh không thuộc
∆
.
∆: đường chuẩn; F: tiêu điểm và d(F, ∆) = p > 0 là tham số tiêu.
2) Phương trình chính tắc của Parabol :
2pxy
2
=
3) Hình dạng của Parabol (P) :
2pxy
2
=
•Trục Ox, đỉnh O.Tiêu điểm F(
2
p
;
0).
•Đường chuẩn ∆: x = −
2
p

.
•M(x;y)∈(P): MF = x+
2
p
với x ≥ 0
4) Tiếp tuyến của parabol (P): y
2
=2px:
• Tại M
0
(x
0
; y
0
) ∈(P):y
2
=2px có phương trình: y
0
y = p(x
0
+x)
• Đi qua M(x
1
; y
1
) là ∆: A(x−x
1
)+B(y−y
1
) = 0 với điều kiện:

∆ tiếp xúc (P) ⇔ pB
2
= 2AC A
2
+B
2
≠0 và C=−(Ax
1
+By
1
)≠0
Tài liệu dành cho học sinh 12 – HK1