Dạy học khái niệm hình học chủ đề “phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” theo định hướng phát triển năng lực học sinh

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
======

NGUYỄN PHƢƠNG THẢO

DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÌNH HỌC THUỘC CHỦ ĐỀ
PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG THEO
ĐỊNH HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán

Hà Nội, 2019


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
======

NGUYỄN PHƢƠNG THẢO

DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÌNH HỌC THUỘC CHỦ ĐỀ
PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG THEO
ĐỊNH HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

ThS. NGUYỄN VĂN HÀ

Hà Nội, 2019


LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận đƣợc sự
giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ phƣơng pháp dạy học và các bạn
sinh viên trong khoa. Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy,
cô trong tổ phƣơng pháp dạy học và đặc biệt là thầy giáo Nguyễn Văn Hà ngƣời đã định hƣớng, chọn đề tài và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thiện
khóa luận tốt nghiệp này.
Do thời gian và kiến thức có hạn, khóa luận không tránh khỏi có những
hạn chế và thiếu sót nhất định. Em kính mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến
của quý thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em đƣợc hoàn thiện
hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2019
Sinh viên

Nguyễn Phƣơng Thảo


LỜI CAM ĐOAN
Tên em là: Nguyễn Phƣơng Thảo
Sinh viên lớp: K41C - Sƣ phạm Toán
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng em dƣới sự
chỉ đạo của giáo viên hƣớng dẫn. Và nó không trùng với kết quả của bất cứ
tác giả nào khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2019
Sinh viên

Nguyễn Phƣơng Thảo


MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ..................................................................................................1
1. Lí do chọn đề tài ...........................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................2
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ................................................................2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu .............................................................................2
Chƣơng 1: .........................................................................................................3
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ................................................................3
1.1 Năng lực và năng lực Toán học .................................................................3
1.1.1 Năng lực ..................................................................................................3
1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh .............................................................5
1.2 Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và vận dụng Toán học ..................6
1.2.1 Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học của học sinh ...............................6
1.2.2 Năng lực vận dụng Toán học ..................................................................7
1.3 Dạy học khái niệm toán học ở trƣờng phổ thông.......................................8
1.3.1 Đại cƣơng về định nghĩa khái niệm ........................................................8
1.3.2 Vị trí khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm......................................9
1.3.3 Một số hình thức định nghĩa khái niệm ở phổ thông ........................... 10
1.3.4 Các quy tắc định nghĩa khái niệm ........................................................ 11
1.3.5 Những con đƣờng tiếp cận khái niệm .................................................. 12
1.3.6 Hoạt động củng cố khái niệm .............................................................. 14
1.4 Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và vận dụng Toán học

trong dạy học khái niệm hình học ................................................................. 15
1.4.1 Định hƣớng chung về phát triển năng lực Toán học của học sinh trong
dạy học môn toán .......................................................................................... 15
1.4.2 Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học ................................. 15
1.4.3 Phát triển năng lực vận dụng Toán học................................................ 17


Tiểu kết chƣơng 1: ........................................................................................ 18
Chƣơng 2: ...................................................................................................... 19
ỨNG DỤNG THIẾT KẾ HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC CÁC KHÁI NIỆM
HÌNH HỌC THUỘC CHỦ ĐỀ “PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT
PHẲNG” THEO ĐỊNH HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SỬ DỤNG
NGÔN NGỮ TOÁN HỌC VÀ VẬN DỤNG TOÁN HỌC ......................... 19
2.1 Phân tích nội dung chủ đề phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trƣờng
phổ thông ....................................................................................................... 19
2.1.1 Nội dung dạy học chủ đề phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ở lớp 10
trƣờng phổ thông ........................................................................................... 19
2.1.2 Nhiệm vụ dạy học chủ đề phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ở lớp 10
....................................................................................................................... 19
2.2 Thiết kế các hoạt động tổ chức dạy học phát triển năng lực sử dụng ngôn
ngữ Toán học và năng lực vận dụng Toán học ............................................. 20
2.3 Ứng dụng thiết kế hoạt động dạy học các khái niệm chủ đề phƣơng pháp
tọa độ trong mặt phẳng .................................................................................. 21
2.3.1 Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng ............................................. 21
2.3.2 Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng ............................................... 27
2.3.3 Khoảng cách ........................................................................................ 32
2.3.4 Góc ....................................................................................................... 37
2.3.5 Đƣờng tròn ........................................................................................... 41
2.3.6 Elip ....................................................................................................... 48
Tiểu kết chƣơng 2: ........................................................................................ 53

KẾT LUẬN ................................................................................................... 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 56


LỜI MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Trong công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nƣớc với mục tiêu
đến năm 2020 đƣa nƣớc ta trở thành một nƣớc công nghiệp theo hƣớng hiện
đại đặt ra cho giáo giục, đào tạo nƣớc ta những yêu cầu, thách thức mới. Một
trong những điểm nổi bật của việc đổi mới chƣơng trình giáo dục phổ thông
năm 2015 là xây dựng và phát triển chƣơng trình theo định hƣớng phát triển
năng lực cho học sinh. Điều này đòi hỏi phải có định hƣớng phát triển, có tầm
nhìn chiến lƣợc, ổn định lâu dài cùng những phƣơng pháp, hình thức, tổ chức
quản lí giáo dục và đào tạo cho phù hợp.
Để làm tốt nhiệm vụ đó thì sự nghiệp giáo dục cần đƣợc đổi mới, đặc
biệt là về tƣ duy giáo dục và phƣơng pháp dạy học, trong đó phƣơng pháp dạy
học môn toán là một yếu tố quan trọng, bởi vì Toán học có liên quan chặt chẽ
với thực tế và liên quan đến mọi nghành khoa học khác có ứng dụng rộng rãi
trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đƣợc coi
là chìa khóa của sự phát triển.
Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng là nội dung quan trọng trong
chƣơng trình Toán 10 THPT, thƣờng xuất hiện trong các kì thi quốc gia nhƣ
tốt nghiệp THPT, tuyển sinh đại học, cao đẳng... Tuy nhiên, phƣơng pháp tọa
độ trong mặt phẳng là một trong những nội dung khá khó đối với nhiều học
sinh, đôi khi việc tiếp cận các khái niệm của nhiều học sinh còn khó khăn và
thụ động.
Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu là: Dạy học khái niệm
hình học chủ đề: “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” theo định hướng
phát triển năng lực học sinh.

2. Mục đích nghiên cứu
Định hƣớng chung phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán
ở trƣờng phổ thông.

1


Thiết kế hoạt động dạy học khái niệm toán học thuộc chủ đề phƣơng
pháp tọa độ trong mặt phẳng ở lớp 10 trƣờng THPT theo định hƣớng phát
triển năng lực học sinh, góp phần nâng cao chất lƣợng và hiệu quả của việc
dạy học môn toán ở phổ thông hiện nay.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về lí luận:
+ Năng lực và năng lực toán học của học sinh.
+ Định hƣớng phát triển năng lƣc của học sinh trong dạy học toán ở
trƣờng phổ thông.
+ Dạy học khái niệm toán học và nội dung dạy học khái niệm trong chủ
đề phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ở lớp 10 trƣờng THPT.
- Ứng dụng thiết kế hoạt động dạy học khái niệm hình học thuộc chủ đề
phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ở lớp 10 theo định hƣớng phát triển
năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và năng lực vận dụng Toán học của học
sinh.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Các khái niệm Toán học thuộc chủ đề phƣơng pháp tọa độ trong mặt
phẳng ở lớp 10 trƣờng THPT.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận về năng lực, năng lực toán học của học sinh, về
phƣơng pháp dạy học khái niệm môn toán.
Tổng kết kinh nghiệm tham khảo các giáo án, bài giảng theo phƣơng
pháp dạy học theo định hƣớng phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán

học và năng lực vận dụng Toán học của học sinh.
Nghiên cứu nội dung chƣơng trình, sách giáo khoa môn Toán thuộc chủ
đề phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ở lớp 10 trƣờng THPT.

2


Chƣơng 1:
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1 Năng lực và năng lực Toán học
1.1.1 Năng lực
Theo quan điểm của những nhà tâm lý học năng lực là tổng hợp các
đặc điểm, thuộc tính tâm lý của cá nhân phù hợp với yêu cầu, đặc trƣng của
một hoạt động, nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao.
Năng lực của con ngƣời có đặc điểm sau:
+ Năng lực luôn gắn với một hoạt động cụ thể.
+ Năng lực đƣợc hình thành và bộc lộ trong hoạt động.
+ Năng lực chịu sự chi phối của các yếu tố bẩm sinh di truyền, môi
trƣờng và hoạt động của bản thân.
Nhƣ vậy, năng lực của con ngƣời hình thành trên cơ sở chi phối nhiều
bởi các yếu tố tƣ chất của cá nhân, nhƣng năng lực của con ngƣời không phải
hoàn toàn do tự nhiên mà có, phần lớn do công tác, do tập luyện mà hình
thành phát triển năng lực.
Tâm lý học chia năng lực thành các dạng khác nhau nhƣ năng lực
chung và năng lực chuyên môn.
+ Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều ngành hoạt động khác
nhau nhƣ năng lực phán xét tƣ duy lao động, năng lực khái quát hoá, năng lực
luyện tập, năng lực tƣởng tƣợng.
+ Năng lực chuyên môn là năng lực đặc trƣng trong lĩnh vực nhất định
của xã hội nhƣ năng lực tổ chức, năng lực âm nhạc, năng lực kinh doanh, hội

hoạ, năng lực toán học,...
Năng lực chung và năng lực chuyên môn có quan hệ qua lại hữu cơ với
nhau, năng lực chung là cơ sở của năng lực chuyên môn, nếu chúng càng phát
triển thì càng dễ thành đạt đƣợc năng lực chuyên môn. Ngƣợc lại sự phát triển
của năng lực chuyên môn trong những điều kiện nhất định lại có ảnh hƣởng
đối với sự phát triển của năng lực chung. Trong thực tế mọi hoạt động có kết

3


quả và hiệu quả cao thì mỗi ngƣời đều phải có năng lực chung phát triển ở
trình độ cần thiết và có một vài năng lực chuyên môn tƣơng ứng với lĩnh vực
công việc của mình.
Năng lực còn đƣợc hiểu theo một cách khác, năng lực là tính chất tâm
sinh lý của con ngƣời chi phối quá trình tiếp thu kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo
tối thiểu là cái mà ngƣời đó có thể dùng khi hoạt động.
Để nắm đƣợc cơ bản các dấu hiệu khi nghiên cứu bản chất của năng lực
ta cần phải xem xét trên một số khía cạnh sau:
- Năng lực là sự khác biệt tâm lý của cá nhân ngƣời này khác ngƣời kia,
nếu một sự việc thể hiện rõ tính chất mà ai cũng nhƣ ai thì không thể nói về
năng lực.
- Năng lực chỉ là những khác biệt có liên quan đến hiệu quả việc thực
hiện một hoạt động nào đó chứ không phải bất kỳ những sự khác nhau cá biệt
chung chung nào.
- Năng lực con ngƣời bao giờ cũng có mầm mống bẩm sinh tuỳ thuộc
vào sự tổ chức của hệ thống thần kinh trung ƣơng, nhƣng nó chỉ đƣợc phát
triển trong quá trình hoạt động, phát triển của con ngƣời. Trong xã hội có bao
nhiêu hình thức hoạt động của con ngƣời thì cũng có bấy nhiêu loại năng lực,
có ngƣời có năng lực về quản lý kinh tế, có ngƣời có năng lực về Toán học,
có ngƣời có năng lực về kỹ thuật, có ngƣời có năng lực về thể thao.

- Cần phân biệt năng lực với tri thức, kỹ năng, kỹ xảo: Tri thức là
những hiểu biết thu nhận đƣợc từ sách vở, từ học hỏi và từ kinh nghiệm cuộc
sống của mình. Kỹ năng là sự vận dụng bƣớc đầu những kiến thức thu lƣợm
vào thực tế để tiến hành một hoạt động nào đó. Kỹ xảo là những kỹ năng
đƣợc lặp đi lặp lại nhiều lần đến mức thuần thục cho phép con ngƣời không
phải tập trung nhiều ý thức vào việc mình đang làm. Còn năng lực là một tổ
hợp phầm chất tƣơng đối ổn đinh, cơ bản của cá nhân, cho phép nó thực hiện
có kết quả một hoạt động. Nhƣ vậy năng lực chỉ làm cho việc tiếp thu các
kiến thức kỹ năng, kỹ xảo trở nên dễ dàng hơn.

4


1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh
Theo V.A.Krutetxki thì khái niệm năng lực toán học đƣợc hiểu dƣới hai
bình diện sau:
Năng lực nghiên cứu Toán học là năng lực sáng tạo, các năng lực hoạt
động Toán học tạo ra đƣợc các kết quả, thành tựu mới, khách quan và có ý
nghĩa với nhân loại.
Năng lực Toán học của học sinh là năng lực học tập giáo trình Toán
học ở trƣờng phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các kiến
thức, kỹ năng, kỹ xảo tƣơng ứng.
- Năng lực Toán học của học sinh:
Từ khái niệm về năng lực ta có thể đi đến khái niệm về năng lực Toán
học của học sinh: “Năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lí đáp ứng đƣợc
yêu cầu hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng
trong lĩnh vực Toán học tƣơng đối nhanh chóng, dễ dàng, sâu sắc trong những
điều kiện nhƣ nhau”.
- Trong quá trình tiếp thu tri thức, học sinh tham gia nhiều hình thức
hoạt động Toán học. Mỗi hoạt động Toán học phức hợp đặc trƣng cho một

dạng năng lực thành phần. Các năng lực thành phần này có quan hệ chặt chẽ
với nhau tạo thành một cấu trúc năng lực Toán học. Cấu trúc năng lực Toán
học bao gồm các dạng năng lực thành phần sau:
+ Năng lực tính toán, giải toán
+ Năng lực tƣ duy Toán học
+ Năng lực giao tiếp Toán học (Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học)
+ Năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn
+ Năng lực giải quyết vấn đề
+ Năng lực sáng tạo Toán học

5


1.2 Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và vận dụng Toán học
1.2.1 Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học của học sinh
- Tƣ duy là một qúa trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất,
những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tƣợng
trong hiện thực khách quan mà trƣớc đó ta chƣa biết.
- Ngôn ngữ là một hệ thống phức tạp con ngƣời sử dụng để liên
lạc hay giao tiếp với nhau.
- Mối quan hệ giữa tƣ duy và ngôn ngữ:
Ngôn ngữ cố định lại kết quả của tƣ duy, là phƣơng tiện biểu đạt kết
quả tƣ duy, do đó có thể khách quan hóa kết quả tƣ duy cho ngƣời khác và
cho bản thân chủ thể tƣ duy.
Nhờ có ngôn ngữ mà con ngƣời sử dụng các kết quả nhận thức (quy
tắc, khái niệm, công thức, quy luật…) và kinh nghiệm của bản thân vào quá
trình tƣ duy (phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát…) để nhận thức đƣợc cái
bên trong, bản chất của sự vật hiện tƣợng.
Ngƣợc lại, nếu không có tƣ duy thì ngôn ngữ chỉ là những chuỗi âm
thanh vô nghĩa. Tuy nhiên, ngôn ngữ không phải là tƣ duy mà chỉ là phƣơng

tiện của tƣ duy.
Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học của học sinh thể hiện qua hai
hoạt động chỉ báo tƣơng ứng:
- Diễn đạt nội dung các kiến thức Toán học, các tình huống Toán học
bằng ngôn ngữ kí hiệu Toán học. Ngôn ngữ kí hiệu Toán học là ngôn ngữ
đƣợc sử dụng tối đa các kí hiệu Toán học cho các đối tƣợng tƣơng ứng, đồng
thời giảm thiểu ngôn ngữ thông thƣờng - Ngôn ngữ kí hiệu Toán học là ngôn
ngữ sử dụng khi viết về nội dung các kiến thức Toán học.
- Diễn đạt nội dung các kiến thức Toán học, các tình huống Toán học
bằng ngôn ngữ thông thƣờng. Trong ngôn ngữ này không sử dụng kí hiệu
Toán học cho các đối tƣợng trong đó - Ngôn ngữ thông thƣờng đƣợc sử dụng
khi nói về nội dung các kiến thức Toán học.

6


Nhƣ vậy, trong quá trình dạy học toán việc phát triển năng lực sử dụng
ngôn ngữ Toán học gắn liền với phát triển tƣ duy Toán học.
1.2.2 Năng lực vận dụng Toán học
Hiện nay, các nhà giáo dục và các nhà sƣ phạm đều thống nhất về việc
đánh giá theo cấp độ nhận thức tri thức từ thấp tới cao của học sinh trong học
tập nhƣ sau:
- Nhận biết:
Nhớ lại, tái hiện đƣợc nội dung tri thức, liệt kê, thuật lại, nhận dạng tri
thức.
Yêu cầu của nhận biết là nhớ lại, tái hiện lại đƣợc khái niệm và nhận
dạng đƣợc khái niệm. Đây là cấp độ thấp nhất của kết quả học tập trong lĩnh
vực nhận thức.
- Thông hiểu:
Nắm đƣợc ý nghĩa của thông tin, chuyển đổi đƣợc từ dạng này sang

dạng khác, so sánh, sắp xếp, dự đoán, mở rộng.
Yêu cầu của thông hiểu là biểu thị, minh họa, giải thích đƣợc ý nghĩa
khái niệm và có thể vận dụng chúng khi chúng đƣợc thể hiện theo các cách
tƣơng tự nhƣ đã biết trên lớp học.
- Vận dụng:
Khả năng sử dụng kiến thức đã học vào hoàn cảnh cụ thể mới; vận
dụng nhận biết, hiểu biết thông tin vấn đề đặt ra.
Yêu cầu vận dụng là sử dụng đƣợc các quy tắc, phƣơng pháp, khái
niệm,... để giải quyết vấn đề trong học tập hoặc trong cuộc sống.
+ Vận dụng cấp độ thấp:
Tạo ra đƣợc sự liên kết logic giữa các khái niệm cơ bản và có thể sử
dụng thông tin, vận dụng các phƣơng pháp, khái niệm, lý thuyết đã học trong
các tình huống khác.
+ Vận dụng cấp độ cao (sáng tạo):

7


Phân tích nhận ra các xu hƣớng, cấu trúc, những ẩn ý, những bộ phận
cấu thành.
Yêu cầu là sử dụng khái niệm đã học để giải quyết các vấn đề mới,
không giống với những điều đó đƣợc học hoặc trình bày trong sách giáo khoa
nhƣng phù hợp khi đƣợc giải quyết với kỹ năng và kiến thức đƣợc giảng dạy
ở mức độ nhận thức này.
Nhƣ vậy, năng lực vận dụng là cấp độ tƣ duy cao nhất trong lĩnh vực
nhận thức các tri thức của học sinh trong học tập.
Năng lực vận dụng Toán học của học sinh thể hiện qua các hoạt động
chỉ báo tƣơng ứng sau:
+ Toán học hóa các tình huống của thực tiễn.
+ Sử dụng các kiến thức, quy tắc, khái niệm vào giải quyết vấn đề khác

tƣơng tự với những điều đã biết trong cuộc sống, trong học tập.
+ Sử dụng các kiến thức, quy tắc, khái niệm vào giải quyết vấn đề mới
không giống với những điều đƣợc học hoặc đã đƣợc biết trƣớc.
1.3 Dạy học khái niệm toán học ở trƣờng phổ thông
1.3.1 Đại cương về định nghĩa khái niệm
a) Khái niệm
Khái niệm là một hình thức tƣ duy phản ánh những tƣ tƣởng chung, đặc
trƣng, bản chất của lớp đối tƣợng hoặc quan hệ giữa các đối tƣợng vào trong
bộ não con ngƣời.
Nhƣ vậy có hai loại khái niệm:
- Khái niệm về lớp đối tƣợng:
+ Hình chữ nhật: “Hình chữ nhật là hình bình hành và có một góc
vuông”.
+ Số nguyên tố: “Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ƣớc
số là 1 và chính nó”.
- Khái niệm về quan hệ giữa các đối tƣợng:
+ Hai tam giác bằng nhau: “Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có
các góc và các cạnh tƣơng ứng bằng nhau”.

8


+ Hai tam giác đồng dạng: “Hai tam giác đồng dạng là hai tam giác có
các góc bằng nhau và các cạnh tƣơng ứng tỉ lệ”.
 Nội hàm và ngoại diên của khái niệm.
Ngoại diên của khái niệm: Tập hợp các đối tƣợng hoặc lớp đối tƣợng
phản ánh trong định nghĩa khái niệm.
Nội hàm của khái niệm: Tập hợp các thuộc tính chung của lớp đối
tƣợng tƣơng đƣơng hoặc quan hệ đối tƣợng.
Ví dụ 1: Xét khái niệm “Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có

hai ƣớc số là 1 và chính nó”.
Ta thấy rằng ngoại diên của khái niệm trên là tập hợp tất cả các số
nguyên tố, nội hàm của khái niệm trên là “số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai
ƣớc số là 1 và chính nó”.
Giữa nội hàm và ngoại diên có mối quan hệ mang tính quy luật, nội
hàm càng đƣợc mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngƣợc lại.
 Định nghĩa khái niệm.
Định nghĩa một khái niệm là một thao tác logic nhằm phân biệt lớp đối
tƣợng xác định khái niệm này với các đối tƣợng khác.
Ví dụ: “Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau”.
 Khái niệm không định nghĩa
Định nghĩa khái niệm mới thƣờng dựa vào khái niệm đã biết. Tuy
nhiên, quá trình này không thể kéo dài vô hạn, tức là phải có khái niệm đƣợc
thừa nhận làm điểm xuất phát, gọi là những khái niệm nguyên thủy trong
Toán học.
Ở trƣờng phổ thông, chúng ta thấy có một số khái niệm cũng không
đƣợc định nghĩa vì lí do sƣ phạm, mặc dù chúng có thể đƣợc định nghĩa trong
Toán học. Đối với những khái niệm không định nghĩa ở trƣờng phổ thông,
cần mô tả giải thích thông qua những ví dụ cụ thể để học sinh hình dung đƣợc
những khái niệm này và hiểu đƣợc chúng một cách trực giác.
1.3.2 Vị trí khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm
a) Vị trí khái niệm
Trong vệc dạy học toán, cũng nhƣ việc dạy học bất cứ một khoa học
nào ở trƣờng phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách

9


vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm. Việc hình thành một hệ
thống khái niệm Toán học là nền tảng của toàn bộ kiến thức Toán, là tiền đề

hình thành khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học, có tác dụng lớn
đến việc phát triển trí tuệ, đồng thời góp phần giáo dục thế giới quan cho học
sinh qua việc nhận thức đúng đắn quá trình phát sinh và phát triển của các
khái niệm Toán học.
b) Yêu cầu dạy học khái niệm
Thông hiểu các dấu hiệu đặc trƣng, bản chất của khái niệm.
Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tƣợng cho
trƣớc có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể
hiện khái niệm.
Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một khái niệm.
Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động
giải toán và ứng dụng vào thực tiễn.
Biết phân loại khái niệm và nhận biết đƣợc mối quan hệ của một khái
niệm với những khái niệm khác trong hệ thống khái niệm.
1.3.3 Một số hình thức định nghĩa khái niệm ở phổ thông
a) Định nghĩa theo phương pháp loại- chủng
- Nội dung: Định nghĩa theo phƣơng pháp loại - chủng là định nghĩa
khái niệm mới bằng cách nêu lên khái niệm loại và chỉ rõ đặc tính của chủng.
- Cấu trúc: Khái niệm đƣợc định nghĩa = Khái niệm loại + Dấu hiệu
đặc trƣng của chủng.
- Ví dụ: Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.
Trong đó: Hình vuông: Khái niệm đƣợc định nghĩa.
Hình chữ nhật: Khái niệm loại.
Hai cạnh kề bằng nhau: Dấu hiệu đặc trƣng của chủng.
b) Định nghĩa bằng quy ước.
- Nội dung: Định nghĩa bằng quy ƣớc là hình thức định nghĩa gán cho
đối tƣợng cần định nghĩa một tên gọi hay một đối tƣợng đã biết nào đó.
- Ví dụ: a0 =1 (a  0). Định nghĩa a0 bằng cách gán cho a0 giá trị là số 1.
c) Định nghĩa bằng phương pháp tiên đề.

10


- Nội dung: Định nghĩa bằng phƣơng pháp tiên đề là hình thức định
nghĩa gián tiếp các khái niệm cơ bản thông qua các tiên đề.
- Ví dụ: ABC = A’B’C’ nếu: ̂ ̂ , ̂ ̂ , ̂ ̂ , AB= A’B’,
AC= A’C’, BC= B’C’.
d) Định nghĩa bằng mô tả:
- Nội dung: Định nghĩa bằng mô tả là phƣơng pháp định nghĩa bằng
cách chỉ ra cách tạo đối tƣợng hoặc mô tả những đối tƣợng gần giống nó.
- Ví dụ: Định nghĩa “điểm” là một dấu chấm nhỏ trên trang mặt phẳng
cho ta hình ảnh về điểm.
1.3.4 Các quy tắc định nghĩa khái niệm
a) Quy tắc 1: Định nghĩa phải tương xứng
Định nghĩa phải tƣơng xứng là định nghĩa mà phạm vi của khái niệm
định nghĩa và khái niệm đƣợc định nghĩa phải bằng nhau.
Định nghĩa không tƣơng xứng là định nghĩa mà phạm vi của khái niệm
quá hẹp hay qúa rộng so với khái niệm đƣợc định nghĩa.
Ví dụ: Số vô tỉ là số thập phân vô hạn.
Ta thấy phạm vi của khái niệm đƣợc định nghĩa (Số vô tỉ) nhỏ hơn
phạm vi của khái niệm định nghĩa (Số thập phân vô hạn). Vậy định nghĩa khái
niệm trên không tƣơng xứng.
b) Quy tắc 2: Định nghĩa phải xác định
Định nghĩa xác định là khi định nghĩa một khái niệm mới phải dựa vào
khái niệm đã biết trƣớc đó
Ví dụ: Số vô tỉ là số thực không hữu tỷ.
Ta thấy định nghĩa số vô tỷ dựa vào khái niệm số thực chƣa biết. Nhƣ
yậy định nghĩa khái niệm trên đã vi phạm quy tắc định nghĩa phải xác định.
c) Quy tắc 3: Định nghĩa phải tối thiểu
Định nghĩa phải tối thiểu là trong nội dung của khái niệm định nghĩa

không chứa những thuộc tính có thể suy ra đƣợc những thuộc tính còn lại.
Ví dụ: Hình bình hành là tứ giác phẳng có các cạnh đối diện song song
và bằng nhau.

11


Ta thấy, tính chất “các cạnh đối diện song song” đã bao gồm tính chất
“tứ giác phẳng” và có các cạnh đối diện “bằng nhau”. Vậy định nghĩa trên vi
phạm quy tắc định nghĩa phải tối thiểu.
d) Quy tắc 4: Định nghĩa không dùng lối phủ định
Định nghĩa khái niệm không dùng lối phủ định khái niệm đã biết nào
đó khi khái niệm đã biết và khái niệm cần định nghĩa không phải là hai khái
niệm loại trừ nhau. (Hai khái niệm là loại trừ nhau nhau nếu chúng có chung
khái niệm loài và phạm vi của chúng giao với nhau bằng rỗng, hợp với nhau
bằng phạm vi của khái niệm loài).
1.3.5 Những con đường tiếp cận khái niệm
Con đƣờng tiếp cận khái niệm đƣợc hiểu là quá trình hoạt động và tƣ
duy dẫn tới một sự hiểu biết về khái niệm đó nhờ định nghĩa tƣờng minh nhờ
mô tả, nhờ trực giác.Trong dạy học, ngƣời ta phân biệt ba con đƣờng tiếp cận
khái niệm: Con đƣờng quy nạp, con đƣờng suy diễn và con đƣờng kiến thiết.
a) Tiếp cận khái niệm theo con đường quy nạp.
- Nội dung: Xuất phát từ các trƣờng hợp riêng lẻ, mô hình vẽ, vật
thật,… Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh, khái quát hóa,… Tìm ra
dấu hiệu đặc trƣng của khái niệm và thể hiện ra các trƣờng hợp cụ thể đó, từ
đó đi đến định nghĩa tƣờng minh hay hiểu biết trực giác của khái niệm.
- Quy trình:
+ Bƣớc 1: Giáo viên đƣa ra các ví dụ cụ thể để học sinh thấy đƣợc sự
tồn tại hay tác dụng của một loại đối tƣợng.
+ Bƣớc 2: Dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh để nêu bật các đặc điểm

chung của các đối tƣợng đang đƣợc xem xét.
+ Bƣớc 3: Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu các đặc điểm cá
nhân bằng cách nêu tên và các đặc điểm đặc trƣng của đối tƣợng.
- Ưu - Nhược điểm:
Ƣu điểm: Rèn luyện đƣợc thao tác tƣ duy, phân tích, tổng hợp và phát
huy đƣợc tính tích cực, chủ động, của học sinh.
Nhƣợc điểm: Tốn nhiều thời gian.
- Điều kiện sử dụng:

12


Khi định hình đƣợc một số đối tƣợng thuộc phạm vi của khái niệm cần
hình thành.
Chƣa phát hiện ra đƣợc khái niệm loại là điểm xuất phát cho con đƣờng
suy diễn.
a) Tiếp cận khái niệm theo con đường suy diễn
- Nội dung: Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm khái
niệm đó một số đặc điểm mà ta quan tâm để đƣợc khái niệm mới.
- Quy trình:
+ Bƣớc 1: Chọn một khái niệm đã biết và thêm vào nội hàm của một số
thuộc tính nào đó
+ Bƣớc 2: Phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới
và định nghĩa nó nhờ một khái niệm tổng quát hóa hơn cùng với những đặc
điểm để hạn chế một bộ phận trong khái niệm tổng quát đó.
+ Bƣớc 3: Đƣa ra một số ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm
vừa đƣợc định nghĩa.
- Ưu - Nhược điểm.
Ƣu điểm: Tiết kiệm thời gian và thuận lợi cho việc tập dƣợt cho học
sinh tự học những khái niệm Toán học thông qua sách và tài liệu, hoặc nghe

những báo cáo trên lĩnh vực Toán học.
Nhƣợc điểm: Hạn chế về mặt khuyến khích học sinh phát triển những
năng lực trí tuệ chung nhƣ phân tích, tổng hợp, so sánh, trìu tƣợng hóa và khái
quát hóa.
- Điều kiện sử dụng:
Khi có thể gọi cho học sinh quan tâm tới một khái niệm làm điểm xuất
phát và một đặc điểm có thể bổ sung vào nội hàm của khái niệm đó để định
nghĩa một khái niệm khác hẹp hơn.
b) Tiếp cận khái niệm theo con đường kiến thiết
- Nội dung: Tiếp cận khái niệm bằng con đƣờng kiến thiết là chỉ rõ quy
trình xây dựng những đối tƣợng đại diện cho lớp đối tƣợng riêng lẻ.
- Quy trình:
+ Bƣớc 1: Xây dựng một hay nhiều đối tƣợng đại diện hƣớng vào
những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ Toán học hay từ thực
tiễn.

13


+ Bƣớc 2: Khái quát hóa quy trình xây dựng những đối tƣợng đại diện,
đi tới đặc điểm đặc trƣng cho khái niệm cần hình thành.
+ Bƣớc 3: Phát biểu định nghĩa.
- Ưu - Nhược điểm:
Ƣu điểm: Thuận lợi cho việc khơi dậy hoạt động tự giác, tích cực của
học sinh và rèn luyện khả năng giải quyết vấn đề.
Nhƣợc điểm: Tốn nhiều thời gian.
- Điều kiện sử dụng:
Học sinh chƣa đƣợc định hình đƣợc những đối tƣợng thuộc ngoại diên
khái niệm, do đó con đƣờng quy nạp không thích hợp.
Học sinh chƣa phát hiện đƣợc một khái niệm loại nào thích hợp với

khái niệm cần định nghĩa làm điểm xuất phát cho con đƣờng suy diễn.
1.3.6 Hoạt động củng cố khái niệm
a) Nhận dạng và thể hiện khái niệm
Nhận dạng một khái niệm là phát hiện xem một đối tƣợng cho trƣớc có
thỏa mãn định nghĩa đó hay không. Thể hiện một khái niệm là tạo một đối
tƣợng thỏa mãn định nghĩa đó. Nhận dạng và thể hiện khái niệm là hai dạng
hoạt động theo chiều hƣớng trái ngƣợc nhau, có tác dụng củng cố khái niệm.
Thực hiện hoạt động nhận dạng và thể hiện một khái niệm cần lƣu ý:
Thứ nhất, cần sử dụng cả những đối tƣợng thuộc ngoại diên lẫn những
đối tƣợng không thuộc ngoại diên khái niệm đó.
Thứ hai, đối với những đối tƣợng thuộc ngoại diên của khái niệm đang
xét thì cần đƣa ra cả những trƣờng hợp đặc biệt.
b) Hoạt động ngôn ngữ
Phân tích, nêu bật những ý quan trọng chứa đựng trong định nghĩa một
cách tƣờng minh hay ẩn tàng.
Phát biểu lại định nghĩa bằng lời lẽ của mình và biết cách thay đổi cách
phát biểu, diễn đạt định nghĩa dƣới những dạng ngôn ngữ khác nhau.
c) Hoạt động luyện tập, vận dung
Luyện tập khái niệm là học sinh đƣợc tập sử dụng trực tiếp các kiến
thức định nghĩa khái niệm giải quyết các vấn đề cơ bản, điển hình trong thực
tế, trong Toán học.

14


Vận dụng khái niệm là học sinh sử dụng đồng thời các kiến thức về
khái niệm giải quyết các vấn đề nảy sinh trong Toán học và trong đời sống.
Hệ thống hóa là sắp xếp khái niệm mới vào hệ thống khái niệm đã học,
nhận biết mối quan hệ giữa những khái niệm với nhau.
1.4 Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và vận dụng Toán

học trong dạy học khái niệm hình học
1.4.1 Định hướng chung về phát triển năng lực Toán học của học sinh
trong dạy học môn toán
Phƣơng pháp dạy học theo định hƣớng phát triển năng lực chủ trƣơng
giúp ngƣời học không chỉ biết học thuộc, ghi nhớ mà còn phải biết làm thông
qua các hoạt động cụ thể, sử dụng những tri thức học đƣợc để giải quyết các
tình huống do cuộc sống đặt ra.
Do đó, định hƣớng phát triển năng lực học sinh trong dạy học kiến thức
mới về môn toán là “Tăng cường cho học sinh được trải nghiệm qua các hoạt
động tư duy trong quá trình hình thành, kiến tạo tri thức; đồng thời chú trọng
các hoạt động vận dụng tri thức để giải quyết được vấn đề đặt ra trong các
tình huống của thực tiễn” [3]
1.4.2 Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học
Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học của học sinh thể hiện qua hai
hoạt động chỉ báo: Diễn tả nội dung các kiến thức, tình huống Toán học bằng
cả ngôn ngữ thông thƣờng và ngôn ngữ kí hiệu Toán học.
Do vậy, phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học trong dạy
học toán bao gồm phát triển đồng thời cả ngôn ngữ thông thƣờng (Ngôn ngữ
nói) và ngôn ngữ kí hiệu Toán học (Ngôn ngữ viết)
- Ngôn ngữ kí hiệu Toán học: (Ngôn ngữ viết)
+ Diễn tả nội dung kiến thức Toán học, tình huống Toán học bằng
việc chủ yếu sử dụng các kí hiệu Toán học, trong đó kí hiệu Toán học là tên
gọi gán cho từng đối tƣợng cụ thể trong tình huống đó.
+ Kiến thức khi diễn tả bằng ngôn ngữ kí hiệu Toán học sẽ đƣợc trình
bày một cách ngắn gọn, súc tích. Điều đó thuận tiện cho việc ghi chép, lƣu

15


giữ các tri thức dƣới dạng thông tin vật chất tồn tại ở bên ngoài trí não của

con ngƣời. Các thông tin đó đƣợc ghi lại dƣới dạng văn bản tồn tại một cách
lâu bền và có thể lƣu truyền từ ngƣời này sang ngƣời khác. Tuy nhiên, việc
ghi nhớ, lƣu giữ các tri thức trong trí não con ngƣời là khó khăn, dẫn đến
không thể nhanh chóng tái hiện các tri thức trong trí não và không thuận tiện
cho việc sử dụng các tri thức trong vận dụng.
+ Sử dụng ngôn ngữ kí hiệu Toán học diễn tả tình huống giúp học sinh
nhanh chóng nhận rõ nhiệm vụ Toán học của vấn đề cần phải giải quyết và
phân biệt rõ ràng cấu trúc trong chứng minh Toán học.
- Ngôn ngữ thông thƣờng: (Ngôn ngữ nói)
+ Diễn tả nội dung kiến thức Toán học, tình huống Toán học bằng ngôn
ngữ thông thƣờng, không chứa các kí hiệu Toán học là tên gọi gán cho từng
đối tƣợng cụ thể trong tình huống đó. Trong ngôn ngữ thông thƣờng, ngƣời ta
sử dụng danh từ chung chỉ một loại đối tƣợng, còn việc phân biệt từng đối
tƣợng cụ thể trong loại đối tƣợng đó sẽ sử dụng các từ “này”, “khác”, “kia” đi
kèm danh từ chung chỉ loại đối tƣợng chung đó.
+ Nội dung kiến thức Toán học mang tính khái quát cao vì trong đó
không lệ thuộc vào các kí hiệu cụ thể là tên gọi gán cho các đối tƣợng trong
tình huống.
+ Kiến thức diễn tả bằng ngôn ngữ thông thƣờng giúp học sinh dễ dàng
ghi nhớ trong trí não, nhanh chóng tái hiện và sử dụng kiến thức để giải quyết
các tình huống đặt ra trong thực tiễn.
Trong dạy học môn Toán, phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán
học là cho học sinh thường xuyên diễn tả nội dung các kiến thức Toán học,
các tình huống Toán học đồng thời bằng cả ngôn ngữ thông thường (Ngôn
ngữ nói) và ngôn ngữ kí hiệu Toán học (Ngôn ngữ viết).
Trong dạy học khái niệm Toán học, phát triển năng lực sử dụng ngôn
ngữ Toán học là cho học sinh thƣờng xuyên đƣợc trải nghiệm các hoạt động
diễn tả nội dung các kiến thức về khái niệm đồng thời bằng cả ngôn ngữ nói
và ngôn ngữ viết trong quá trình hình thành, củng cố khái niệm Toán học.

16


- Nêu định nghĩa khái niệm:
+ Đồng thời sử dụng ngôn ngữ nói (Ngôn ngữ thông thƣờng) và ngôn
ngữ viết (Ngôn ngữ kí hiệu Toán học) để diễn tả khái quát nội dung định
nghĩa khái niệm Toán học.
- Nêu phương pháp chung để chứng minh một đối tượng thỏa mãn hoặc
không thỏa mãn định nghĩa khái niệm.
+ Đồng thời sử dụng ngôn ngữ nói (Ngôn ngữ thông thƣờng) và ngôn
ngữ viết (Ngôn ngữ kí hiệu Toán học) để nêu phƣơng pháp chung để chứng
minh đối tƣợng thỏa mãn hoặc không thỏa mãn định nghĩa khái niệm.
- Nêu tình huống để luyện tập, vận dụng khái niệm:
+ Sử dụng ngôn ngữ nói (Ngôn ngữ thông thƣờng) để diễn tả tình
huống có vấn đề cho học sinh thực hiện; tiếp theo sử dụng ngôn ngữ viết
(Ngôn ngữ kí hiệu Toán học) để học sinh toán học hóa tình huống đó và giải
quyết vấn đề đó.
1.4.3 Phát triển năng lực vận dụng Toán học
Phát triển năng lực vận dụng Toán học cho học sinh đòi hỏi quán triệt
quan điểm “dạy học thông qua hoạt động và bằng hoạt động” [1]. Do vậy,
trong dạy học khái niệm hình học chúng ta cần tổ chức cho học sinh đƣợc trải
nghiệm qua các hoạt động củng cố khái niệm:
- Lƣu ý học sinh về hoạt động liên hệ tới các hình ảnh khái niệm đƣợc
thể hiện trong đời sống thực tế.
- Chú trọng các hoạt động sử dụng trực tiếp định nghĩa khái niệm vào
giải quyết nhiều tình huống đa dạng, điển hình của môn học ở trƣờng THPT.

17

Tiểu kết chƣơng 1:
- Định hƣớng phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học:
Học sinh thƣờng xuyên đƣợc trải nghiệm các hoạt động diễn tả nội
dung kiến thức về khái niệm đồng thời bằng cả ngôn ngữ thông thƣờng và
ngôn ngữ kí hiệu Toán học trong quá trình hình thành khái niệm Toán học.
(Khi phát biểu bằng lời nói về nội dung khái niệm thì sử dụng ngôn ngữ thông
thường, nhưng khi viết về nó thì sử dụng ngôn ngữ kí hiệu Toán học).
- Định hƣớng phát triển năng lực vận dụng Toán học:
Học sinh đƣợc tăng cƣờng trải nghiệm qua hoạt động liên hệ tới các
hình ảnh về khái niệm đƣợc thể hiện trong đời sống thực tế; đồng thời chú
trọng các hoạt động sử dụng trực tiếp định nghĩa khái niệm vào giải quyết
nhiều tình huống đa dạng, điển hình của môn học ở trƣờng THPT.

18


Chƣơng 2:
ỨNG DỤNG THIẾT KẾ HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC CÁC KHÁI NIỆM
HÌNH HỌC THUỘC CHỦ ĐỀ “PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
MẶT PHẲNG” THEO ĐỊNH HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SỬ
DỤNG NGÔN NGỮ TOÁN HỌC VÀ VẬN DỤNG TOÁN HỌC
2.1 Phân tích nội dung chủ đề phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ở
trƣờng phổ thông
2.1.1 Nội dung dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở lớp
10 trường phổ thông
- Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng: Vectơ pháp tuyến, xây dựng
phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng, các dạng đặc biệt của phƣơng trình
tổng quát đƣờng thẳng, vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng.
- Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng: Vectơ chỉ phƣơng của đƣờng
thẳng; phƣơng trình tham số và chính tắc của đƣờng thẳng.

- Khoảng cách và góc: Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng,
vị trí của hai điểm đối với một đƣờng thẳng, góc giữa hai đƣờng thẳng.
- Đƣờng tròn: Phƣơng trình đƣờng tròn, nhận dạng phƣơng trình đƣờng
tròn, phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng tròn.
- Ba đƣờng cônic: Elip, hypebol, parabol.
2.1.2 Nhiệm vụ dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở lớp
10
- Học sinh có kĩ năng xác định đƣợc vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ
phƣơng và kiểm tra một điểm có thuộc đƣờng thẳng hay không.
- Học sinh biết cách viết phƣơng trình tổng quát, phƣơng trình tham số
của một đƣờng thẳng qua hai điểm, hoặc qua một điểm và vectơ pháp tuyến
cho trƣớc, hoặc qua một điểm và vectơ chỉ phƣơng.
- Nhận biết đƣợc vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng qua các phƣơng

19