Khoá luận tốt nghiệp tìm hiểu về bài toán ổn định hóa hệ song tuyến tính rời rạc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
——————–o0o———————

VŨ NGỌC ANH

TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN
ỔN ĐỊNH HÓA HỆ SONG TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

HÀ NỘI - 2019


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
——————–o0o———————

Vũ Ngọc Anh

TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN
ỔN ĐỊNH HÓA HỆ SONG TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

Chuyên ngành: Toán Ứng dụng

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Giáo viên hướng dẫn:
TS. NGUYỄN TRUNG DŨNG

HÀ NỘI - 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là bài viết tôi, được hoàn thành dưới sự hướng
dẫn của TS. Nguyễn Trung Dũng. Các nội dung nghiên cứu trong khóa luận
là hoàn toàn trung thực, mọi thông tin trích dẫn đều được ghi rõ nguồn gốc
trong mục tài liệu tham khảo.
Nếu phát hiện có bất kỳ sự gian lận nào, tôi xin chịu hoàn toàn trách
nhiệm.
Sinh viên thực hiện

1


LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp này được thực hiện tại khoa Toán, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Trung Dũng.
Tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Trung Dũng đã định
hướng và chỉ dẫn sát sao trong suốt quá trình tôi thực hiện đề tài nghiên
cứu. Sự ân cần, nhiệt tình của thầy khi truyền đạt những kiến thức và kinh
nghiệm quý báu là tiền đề quan trọng giúp tôi có được những kết quả trình
bày trong khóa luận tốt nghiệp này.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô trong khoa Toán, trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình truyền đạt kiến thức trong những năm
tôi học tập. Những kiến thức đó không chỉ là nền tảng trong quá trình thực
hiện khóa luận mà còn là hành trang vững chắc cho tôi trong tương lai.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới bố mẹ và những người thân trong
gia đình. Những người luôn ở bên và động viên tôi vượt qua những khó khăn

trong cuộc sống cũng như học tập.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên thực hiện

2


MỤC LỤC

Trang
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1. BỔ ĐỀ PETERSEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1. Bổ đề Petersen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Bổ đề Petersen mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1. Các kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2. Bổ đề Petersen mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. ỔN ĐỊNH HÓA HỆ SONG TUYẾN TÍNH RỜI RẠC . . . . . . . 13
2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Miền ổn định hóa của hệ song tuyến tính rời rạc . . . . . . . . . 18
2.4. Trường hợp có nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3


KÍ HIỆU

R+

Tập hợp các số thực không âm.

Rn

Không gian vectơ Euclide n-chiều.

Rm×n

Tập các ma trận thực cấp m × n.

Sn

Tập các ma trận thực đối xứng cấp n.

S+
n

Tập các ma trận đối xứng xác định dương cấp n.

A
A
A
I
0

Ma trận chuyển vị của ma trận A.

0 Ma trận đối xứng nửa xác định dương.
0 Ma trận A đối xứng xác định dương.

LMIs

Ma trận đơn vị.
Ma trận không.
Bất đẳng thức ma trận tuyến tính.

4


MỞ ĐẦU

1. Tổng quan về đề tài nghiên cứu
Ngày nay, với sự phát triển không ngừng của công nghệ, thế giới đang
thay đổi một cách mạnh mẽ và nhanh chóng. Vai trò của tự động hóa trong
vấn đề phát triển kinh tế là vô cùng to lớn, đóng góp một phần không thể
thiếu trong cuộc sống, giúp cuộc sống được tiện nghi và thoải mái hơn. Ngành
điều khiển tự động có cơ sở từ cuối thế kỷ XIX đến đầu thế kỷ XX, thực sự
phát triển mạnh vào nửa cuối thế kỷ XX và có xu thế ngày càng phát triển
hơn nữa với những kỹ thuật mới, những thuật toán điều khiển mới. Ngày
nay, hệ thống điều khiển tự động đã phổ biến trong hầu hết các lĩnh vực công
nghệ và phát triển song song với các kỹ thuật tiên tiến như điện tử và máy
tính.
Đối với hệ thống điều khiển tự động, các đặc tính điều khiển được, quan
sát được, ổn định, v.v. đóng vai trò quyết định sự vận hành của hệ thống.
Trong đó, tính ổn định của hệ thống đóng vai trò rất quan trọng. Có thể thấy
khi hệ thống không ổn định sẽ gây ra những bất lợi nhất định làm sai lệch
trong quá trình vận hành, thậm chí gây hỏng hóc hoặc tai nạn. Một ví dụ về
hệ thống mất ổn định là khi biên độ trạng thái của hệ tăng lên đến vô cùng
mặc dù đầu vào đã được khống chế, điều này rất nguy hiểm bởi có thể gây
ra cháy, nổ, hỏng hóc thiết bị, v.v. Do đó, duy trì sự vận hành ổn định của

hệ thống là rất cần thiết.
Được sự gợi ý và giúp đỡ của thầy Nguyễn Trung Dũng, tôi chọn đề tài
“Tìm hiểu bài toán ổn định hóa hệ song tuyến tính rời rạc” làm đề tài khóa
luận tốt nghiệp của mình.

5


2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của khóa luận là tìm hiểu bài toán ổn định hóa hệ song
tuyến tính rời rạc. Cụ thể hơn, khóa luận tìm hiểu về:
1. Bổ đề Petersen và bổ đề Petersen mở rộng.
2. Bài toán ổn định hóa hệ song tuyến tính rời rạc.

4. Phương pháp nghiên cứu
Khóa luận sử dụng phương pháp hàm Lyapunov; bất đẳng thức ma trận
tuyến tính, giải tích ma trận, các kỹ thuật ước lượng và biến đổi bất đẳng
thức ma trận.

6. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận
gồm 2 chương.

• Chương 1. Bổ đề Petersen
Chương này trình bày về bổ đề Petersen và một mở rộng của bổ đề
Petersen.

• Chương 2. Bài toán ổn định hóa hệ song tuyến tính rời rạc
Nội dung của chương này tìm hiểu về bài toán ổn định hóa hệ song tuyến
tính rời rạc.

6


Chương 1
BỔ ĐỀ PETERSEN

Trong chương này, chúng tôi trình bày về bổ đề Petersen và một mở rộng
của bổ đề Petersen cùng một số kết quả bổ trợ được sử dụng cho chương sau.

1.1. Bổ đề Petersen
Trước khi phát biểu và chứng minh bất đẳng thức Petersen chúng ta
giới thiệu một số kết quả bổ trợ sau.
Bổ đề 1.1.1 (Bổ đề Schur dạng không ngặt [4]). Cho U và W là các ma trận
đối xứng, W

0. Khi đó,

U
V

V
W

0 khi và chỉ khi U − V W −1 V

0.

Bổ đề 1.1.2 (S-procedure [4]). Cho T0 , T1 , . . . , Tp ∈ Rn là các ma trận đối
xứng. Khi đó, điều kiện

ζ T0 ζ > 0 với mọi ζ = 0 sao cho ζ Ti ζ ≥ 0, i = 1, 2, . . . , p

(1.1)

tương đương với điều kiện tồn tại các số τ1 , τ2 , . . . , τp ≥ 0 sao cho
p

T0 −

τi Ti

0.

(1.2)

i=1

Bổ đề 1.1.3 (Bổ đề Petersen [14]). Cho G = G ∈ Rn×n và các ma trận
khác ma trận không M ∈ Rn×p , N ∈ Rn×q . Khi đó, với mọi ∆ ∈ Rp×q thỏa
mãn ∆ ≤ 1, bất đẳng thức

G + M ∆N + N ∆ M

0

(1.3)

đúng khi và chỉ khi tồn tại ε > 0 sao cho

1
G + εM M + N N
ε
1/2

0,

(1.4)

ở đó ∆ = max λi (∆∆ ) và λi (A) là các giá trị riêng của ma trận A.
i

7


Chứng minh. Giả sử bất đẳng thức

G + M ∆N + N ∆ M

0

(1.5)

đúng với mọi ∆ ≤ 1. Khi đó, bất đẳng thức tương đương với

x Gx + 2x M ∆N x ≤ 0
.

với mọi x ∈ Rn và mọi ∆ ≤ 1. Đặt x M ∆ = y , ta viết bất đẳng thức
trên dưới dạng

x Gx + 2y N x ≤ 0
với mọi x ∈ Rn và y ∈ Rq sao cho

y y = x M ∆∆ M x ≤ x M M x.
Chúng ta kí hiệu vectơ và các ma trận như sau:

.
z=

x
y

∈ Rn+q ,

.
A0 =

G N
N 0

.
A1 =

,

−M M
0

0

,
I

ở đó I và 0 lần lượt là kí hiệu của ma trận đơn vị và ma trận không có số
chiều thích hợp. Khi đó, bất đẳng thức (1.5) tương đương với

z A0 z ≤ 0 với mọi z sao cho z A1 z ≤ 0.

(1.6)

Áp dụng bổ đề S−procedure, bất đẳng thức (1.6) tương đương với điều
kiện: tồn tại ε ≥ 0 sao cho A0

εA1 , tức là

G + εM M
N

N
−εI

0.

(1.7)

Áp dụng bổ đề Schur không chặt, bất đẳng thức (1.7) tương đương với

1
G + εM M + N N
ε

0,

ε > 0.

Nhận xét 1.1.1. Trong chứng minh bổ đề Petersen ở trên, M. V. Khlebnikov
cùng cộng sự (xem [6]) đã sử dụng bổ đề S-procedure chính điều này đã làm
cho chứng minh không phức tạp như trong bài báo gốc [14].
8


Nhận xét 1.1.2. Bổ đề Petersen cho một tiêu chuẩn kiểm tra tính xác định
dấu của họ ma trận G + M ∆N + N ∆ M . Lưu ý rằng ở dạng tương
đương, điều kiện (1.4) có thể được viết như LMI (1.7) đối với đại lượng vô
hướng ε. Dạng điều kiện này sẽ được sử dụng thường xuyên trong phần tiếp
theo.

1.2. Bổ đề Petersen mở rộng
Nội dung chính của mục này trình bày một mở rộng của Bổ đề 1.1.3.

1.2.1. Các kết quả bổ trợ
Trong mục này, Bổ đề 1.1.3 được phát biểu lại với ma trận nhiễu ∆ với
chuẩn ∆

2

như sau.

Bổ đề 1.2.1 (Petersen, [14]). Cho G = G ∈ Rn×n và M ∈ Rn×p , N ∈ Rq×n
là các ma trận khác không. Khi đó, với mọi nhiễu ∆ ∈ Rp×q :

∆

2

≤ 1, bất

đẳng thức sau

G + M ∆N + N ∆ M

0

đúng khi và chỉ khi tồn tại một số ε sao cho

G + εM M
N

N
−εI

0.

(1.8)

Để mở rộng Bổ đề 1.2.1, chúng ta sử dụng kết quả sau.
Bổ đề 1.2.2. Cho M ∈ Rp×n , N ∈ Rq×n là các ma trận khác không và

∆ ∈ Rp×q . Khi đó, chúng ta có
max trM ∆N = M N

∆

F ≤1

F

.

Chứng minh. Trong không gian ma trận, ta xét tích vô hướng

M, N = trM N.
Khi đó, ta có

max trM ∆N = max tr (M N ) ∆ = max M N , ∆ = M N
∆

F ≤1

∆

F ≤1

∆

9

F ≤1

F

.


Giá trị lớn nhất đạt được với ma trận

MN
MN

˜ =
∆

.
F

Do đó, Bổ đề 1.2.2 được chứng minh.
Hệ quả 1.2.3. Cho a ∈ Rp , b ∈ Rq là các vectơ khác không và ∆ ∈ Rp×q .
Khi đó, ta có:
1.

max a ∆b = max a ∆b = a
∆

F ≤1

∆

2 ≤1

b ,

giá trị lớn nhất đạt được với ma trận

˜ =
∆

ab
;
a b

2.

max a ∆b = a

−I ∆ I

b ;

nếu các vectơ a và b là phụ thuộc tuyến tính, giá trị lớn nhất đạt được với ma
trận

˜ =
∆

ab
;
a b

nếu trái lại, giá trị lớn nhất đạt được với ma trận

˜ = e2 e2 − e1 e1 ,

∆
trong đó e1 và e2 là các vectơ riêng của ma trận ab + ba tương ứng với các
giá trị riêng 0 < λ1 < λ2 .
Chứng minh. Khẳng định đầu tiên là hiển nhiên vì các ma trận có hạng 1
các chuẩn phổ và chuẩn Frobenius như nhau.
Theo kết quả của khẳng định đầu tiên, chúng ta có

max a ∆b ≤ a

−I ∆ I

b .

Trong trường hợp phụ thuộc tuyến tính của các vectơ a và b, khẳng định là
hiển nhiên.
10


Ta xét trường hợp ngược lại, các vectơ a và b là độc lập tuyến tính.
Ta thấy rằng ab + ba là ma trận hạng 2 với các giá trị riêng khác không

λ1 < λ2 sao cho
λ1 + λ2 = 2a b,
λ2 − λ1 = 2 a

b ,

với các vectơ riêng tương ứng e1 và e2 là trực giao. Khi đó

ab + ba e1 = λ1 e1 ,

từ đó ta có

λ1 = e1 ab + ba e1 = 2e1 ab e1 .
Tương tự, ta có

λ2 = e2 ab + ba e2 = 2e2 ab e2 .
˜ . Thật vậy, ∆
˜ là
Ta chứng minh giá trị lớn nhất đạt được với ma trận ∆
một ma trận đối xứng có hạng 2 với các giá trị riêng khác không là ±1. Vì
thế, −I

˜
∆

I và

˜ = a (e2 e2 − e1 e1 )b = a e2 e2 b − a e1 e1 b
a ∆b
λ2 − λ1
= a b .
= e2 ab e2 − e1 ab e1 =
2
Cuối cùng, ta thấy rằng vectơ riêng của ma trận ab + ba được cho bởi
e1,2 =

a b ±b a
a b ±b a

,

Do đó, Hệ quả 1.2.3 được chứng minh.

1.2.2. Bổ đề Petersen mở rộng
Chúng ta có mở rộng của Bổ đề 1.2.1 như sau.
Bổ đề 1.2.4. [7] Cho G = G ∈ Rn×n và M ∈ Rn×q , N ∈ Rq×n là các ma
trận khác không. Khi đó, (1.8) thỏa mãn khi và chỉ khi một trong các điều
kiện sau đúng:

G + M ∆N + N ∆ M
11

0 ∀∆ : ∆

F

≤1

(1.9)


hoặc

0 ∀∆ : −I

G + M ∆N + N ∆ M

∆

I.

(1.10)

Chứng minh. Điều kiện (1.9) tương đương với bất đẳng thức sau

x Gx + 2x M ∆N x ≤ 0 ∀x ∈ Rn
với mọi ∆ : ∆

F

≤ 1 hoặc

x Gx ≤ −2 max x M ∆N x ∀x ∈ Rn .
∆

F ≤1

Theo khẳng định thứ nhất của Hệ quả 1.2.3, chúng ta có

max x M ∆N x = max x M ∆N x ∀x ∈ Rn ,
∆

F ≤1

∆

2 ≤1

do đó tương đương với điều kiện

G + M ∆N + N ∆ M

0 ∀∆ : ∆

2

≤ 1.

Sử dụng Bổ đề 1.2.1 ta thu được điều kiện (1.8).
Khẳng định thứ hai của Bổ đề 1.2.4 được chứng minh tương tự đối với
phần thứ hai của Hệ quả 1.2.3, do đó Bổ đề 1.2.4 được chứng minh.
Nhận xét 1.2.1. Từ chứng minh Bổ đề 1.2.4 ta thấy rằng bổ đề Petersen
vẫn đúng cho tất cả các lớp nhiễu ∆ ∈ ∆ thỏa mãn điều kiện

max(∆a, b) = a
∆∈∆

b

trong đó a và b là các vectơ tùy ý với số chiều thích hợp.
Sử dụng bổ đề Schur, chúng ta thu được kết quả như sau.
Bổ đề 1.2.5. Cho G = G ∈ Rn×n , M ∈ Rn×q , N ∈ Rn , 0 ≺ Q = Q ∈
Rq×q . Bất đẳng thức ma trận

G + M δN + N δ M ≺ 0
đúng với mọi δ ∈ Rq : δ Qδ ≤ 1 khi và chỉ khi tồn tại số thực ε sao cho



G


M


N

M
N

−εQ 0 
 ≺ 0.
0 − 1ε I
12


Chương 2
ỔN ĐỊNH HÓA HỆ SONG TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

Nội dung chương này tìm hiểu về bài toán ổn định hóa hệ song tuyến
tính rời rạc.

2.1. Đặt bài toán
Xét hệ điều khiển song tuyến thời gian rời rạc như sau

xk+1 = Axk + buk + Dxk uk , x0 ∈ R,

(2.1)

trong đó xk ∈ Rn là vectơ trạng thái, uk ∈ R là vector điều khiển đầu vào,

A, D ∈ Rn×n , b ∈ Rn là các ma trận hằng số cho trước.
Để ổn định hóa hệ (2.1), bộ điều khiển phản hồi trạng thái được thiết
kế như sau

uk = k xk ,

(2.2)

ở đó k ∈ Rn là vectơ cần xác định.
Với bộ điều khiển phản hồi trạng thái tuyến tính (2.2), hệ đóng của (2.1)
có dạng

xk+1 = Ac xk + Dxk k xk ,

(2.3)

trong đó Ac = A + bk .
Định nghĩa 2.1.1. Hệ (2.1) được gọi là ổn định hóa được trong ellipsoid

E = {x ∈ Rn : x P −1 x ≤ 1},

P

0,

nếu tồn tại bộ điều khiển có dạng (2.2) sao cho với mọi quỹ đạo nghiệm của
hệ đóng (2.3) với điều kiện ban đầu x0 ∈ E ổn định tiệm cận và tiến đến 0.
Ellipsoid E được gọi là ellipsoid ổn định hóa tương ứng với điều khiển
(2.2).

13


2.2. Kết quả chính
Định lí 2.2.1. [5] Cho ma trận P và vector y thỏa mãn bất dẳng thức ma
trận sau


−P


0


y

AP + by

0
y P A + yb
−εP 0
PD
0
0 − 1ε I
DP
0
−P





 ≺ 0,



với hằng số ε > 0.
Khi đó, bộ điều khiển phản hồi trạng thái (2.2) với ma trận đạt được

k = P −1 y

ổn định hóa hệ (2.1) bên trong ellipsoid

E = {x ∈ Rn :

x P −1 x}.

Chứng minh. Xét hàm Lyapunov như sau

V (x) = x Qx,
Tính sai phân của ∆V

Q

0.

V (xk+1 ) − V (xk ) theo quỹ đạo nghiệm của

hệ đóng (2.3). Chúng ta có

V (xk+1 ) = xk+1 Qxk+1

= (Ac xk + Dxk k xk ) Q(Ac xk + Dxk k T xk )
= xk Ac QAc xk +xk Ac QDxk k xk +xk kxk D QAc xk +xk kxk D QDxk k xk
= xk (Ac QAc + Ac QDxk k + kxk D QAc + kxk D QDxk k )xk .
Điều kiện ∆V < 0 nếu

xk (Ac QAc + Ac QDxk k T + kxk D QAc + kxk D QDxk k T )xk < xk Qxk .
14


Do đó, nếu điều kiện

Ac QAc + Ac QDxk k + kxk D QAc + kxk D QDxk k ≺ Q
đúng thì hệ đóng (2.3) là ổn đinh.
Mặt khác, sử dụng bổ đề Schur, bất đẳng thức trên tương đương với bất
đẳng thức sau

Ac QAc − Q + Ac QDxk k + kxk D QAc kxk D Q
QDxk k
−Q

≺ 0,

hoặc

Ac QAc − Q 0
0
−Q

+

Ac QD
xk k
QD

0 +

k
xk D QAc D Q ≺ 0.
0
(2.4)

Để mọi quỹ đạo nghiệm xk của hệ đóng nằm bên trong ellipsoid, ta phải
có

E = {xk ∈ Rn :

V (xk ) ≤ 1} = {xk ∈ Rn :

xk Qxk ≤ 1}.

(2.5)

Từ (2.4), (2.5), theo Bổ đề 1.2.5, ta có bất đẳng thức ma trận tương
đương




0
Ac QD k

Ac QAc − Q




0
−Q
QD
0
 ≺ 0.


D Q −εQ
0 

 D QAc
k
0
0
− 1ε I

(2.6)

Nhận xét 2.2.1. Theo [?] nếu bất đẳng thức ma trận (2.6) đúng kéo theo
sự ổn định Schur của ma trận Ac , điều này có nghĩa là bộ điều khiển (2.2)
ổn định hóa hệ

xk+1 = Axk + buk .
Áp dụng bổ đề Schur, (2.6) tương đương với bất đẳng thức ma trận sau







Ac QAc − Q
Ac QD
k

D QAc
D QD − εQ 0 
 ≺ 0,
k
0
− 1ε I
15


hay


−Q


 0


k







0
k
A
  c
 
−εQ 0 
 + D  Q Ac D 0 ≺ 0.
0
0 − 1ε I

Tiếp tục sử dụng bổ đề Schur đối với bất đẳng thức trên, ta có



−Q


 0


k

Ac

0

k
Ac

−εQ 0
D 
 ≺ 0.
0 − 1ε I
0 

−1
D
0 −Q

Đặt P = Q−1 , nhân trước và sau bất đẳng thức trên với ma trận



P 0 0 0



 0 P 0 0
.



 0 0 I 0

0 0 0 I
ta được





−P
0
P k P (A + bk )




0
−εP
0
P
D

 ≺ 0.


1
k P
0 −εI
0


(A + bk )P DP
0
−P
Đặt k = P −1 y , chúng ta có



−P


0


y

AP + by

0
y P A + yb
−εP 0
PD
0 − 1ε I
0
DP
0
−P




 ≺ 0,



với biến ma trận P , biến vector y và tham số ε.

Hệ quả 2.2.2. [5] Gọi P , y là nghiệm của bài toán tối ưu lồi

max log det P

16


thỏa mãn


−P


0


y

AP + by
với biến ma trận P = P

0
y P A + yb
−εP 0
PD
0
0 − 1ε I
DP
0
−P




 ≺ 0,



(2.7)

∈ Rn×n , biến vector y ∈ Rn và tham số ε.

Khi đó

x P −1 x ≤ 1}

E = {x ∈ Rn :

là một ellipsoid ổn định hóa hệ (2.1) với bộ điều khiển phản hồi tuyến tính
(2.2) có ma trận đạt được

k = P −1 y
.
Nhận xét 2.2.2. Kết hợp các ràng buộc của bài toán tối ưu trong Hệ quả
2.2.2 với bất đẳng thức ma trận tuyến tính

1 x0
x0 P

0

(tương đương với điều kiện x0 P −1 x0 ≤ 1) đảm bảo điều kiện ban đầu x(0) =

x0 thuộc ellipsoid ổn định hóa của hệ.
Ví dụ 2.2.1. Xét hệ song tuyến tính rời rạc (2.1) với các ma trận như sau

A=

0 1
,
1 −1

B=

0
,
1

D=

0.5 0.3
.
−0.3 0.5

(2.8)

Theo Hệ quả 2.2.2, ta tìm được

P =

1.4062 0.5314
,
0.5314 0.4248

k=

−1
.
1.6209

Bán kính phổ của ma trận Ac của hệ đóng (2.3) là ρ(Ac ) = 0.6209 trong khi

ρ(A) = 1.618.
Ellipsoid ổn định hóa được mô tả trong hình 2.1 như sau

17


Hình 2.1: Ellipsoid ổn định hóa trong Ví dụ 2.2.1

2.3. Miền ổn định hóa của hệ song tuyến tính rời rạc
Trong mục trước chúng ta đã xây dựng ellipsoid E ổn định hóa hệ (1.8),
trong mục này chúng ta xây dựng miền ổn định hóa hệ (1.8) như sau

x0 ∈ E ⊂ A.
Tập A được gọi là miền ổn định của hệ song tuyến tính (2.1) đối với bộ
điều khiển phản hồi trạng thái tuyến tính.
Nhận xét 2.3.1. Đối với ellipsoid ổn định hóa các điểm ban đầu có cùng bộ
điều khiển ổn định hóa tuy nhiên với miền ổn định ổn định hóa các điểm
phân biệt có thể có bộ điều khiển ổn định hóa khác nhau.

Từ Nhận xét 2.2.2, miền ổn định A được xây dựng như sau: cho trước
vectơ định hướng c và cực đại hóa giá trị tham số γ với điều kiện điểm γc
thuộc ellipsoid ổn định. Thật vậy, điều kiện

(γc) P −1 (γc) ≤ 1,
theo bổ đề Schur, tương đương với bất đẳng thức ma trận tuyến tính

1 γc
γc P

0.

Chúng ta có đặc trưng của miền ổn định qua định lí sau đây.

18


Định lí 2.3.1. [5] Cho vector c và γ là nghiệm của bài toán quy hoạch

max γ
với các điều kiện


−P


0


y


AP + by

0
y P A + yb
−εP 0
PD
1
0
0 −εI
DP
0
−P




 ≺ 0,



1 γc
γc P

0,

(2.9)

trong đó các biến P = P ∈ Rn×n , y ∈ Rn và các tham số γ , ε.
Khi đó điểm γc thuộc miền ổn định hóa A của hệ song tuyến tính (2.1)

theo hướng c.

2.4. Trường hợp có nhiễu
Trong mục này, chúng ta xét trường hợp ma trận của hệ điều khiển song
tuyến tính chứa nhiễu.
Xét hệ điều khiển song tuyến tính rời rạc như sau:

xk+1 = (A + F ∆H)xk + buk + Dxk uk ,

(2.10)

trong đó A, D ∈ Rn×n , b ∈ Rn , F ∈ Rn×p , H ∈ Rq×n ; x0 là điều kiện ban
đầu, xk ∈ Rn là biến trạng thái, uk ∈ R là điều khiển đầu vào và

∆ ∈ Rp×q :

∆ ≤1

là ma trận nhiễu.
Với bộ điều khiển phản hồi (2.2) chúng ta có hệ đóng của (2.10) như
sau:

xk+1 = Ac xk + Dxk k xk ,

(2.11)

trong đó Ac = A + F ∆H + bk .
Trong mục này, chúng ta sẽ thiết kế bộ điều khiển phản hồi tuyến tính
có dạng (2.2) ổn định hóa hệ (2.10) bên trong ellipsoid

E = {x ∈ Rn :

x P −1 x ≤ 1},
19

P

0,


với mọi nhiễu chấp nhận được ∆.
Nói cách khác, quỹ đạo của hệ (2.10) với điều khiển (2.2), xuất phát ra
từ điểm bất kỳ x0 bên trong ellipsoid E hội tụ về 0 với mọi nhiễu chấp nhận
được ∆. Ellipsoid E được gọi là ellipsoid ổn định hóa vững ứng với bộ điều
khiển (2.2).
Kết quả dưới đây tương ứng với Định lí 2.2.1.
Định lí 2.4.1. [5] Cho ma trận P và vectơ y thỏa mãn bất đẳng thức ma
trận


−P



0



y


AP + by


HP

0
y
P A + yb
−εP 0
PD
0
0 − 1ε I
DP
0 −P + ε1 F F
0
0
0



PH

0 


0 ≺0

0 

−ε1 I

(2.12)

với các tham số ε, ε1 .
Khi đó, bộ điều khiển phản hồi tuyến tính (2.2) với ma trận đạt được

k = P −1 y
ổn định hóa vững hệ (2.10) bên trong ellipsoid

x P −1 x ≤ 1}

E = {x ∈ Rn :
với mọi nhiễu chấp nhận được.

Chứng minh. Sử dụng lập luận như trong chứng minh Định lí 2.2.1, với hàm
Lyapunov V (x) = x Qx,


Q

−P


0


y

(A + F ∆H)P + by

0, ta có

0
y P (A + F ∆H) + yb
−εP 0
PD
0
0 − 1ε I
DP
0
−P

hay


−P


0


y

AP + by

0
y P A + yb
−εP 0
PD
0 − 1ε I

0
DP
0
−P
20











≺0




 





0
PH
 



0
 0 


∆
+
  ∆ HP 0 0 0 + 

0
0
 


F
0

0 0 0 F

≺ 0.

Theo Bổ đề 1.2.5, bất đẳng thức trên tương đương với điều kiện tồn tại ε1
sao cho


−P


0



y

AP + by
 

0
 
0

+ε1 
  0 0 0 F
0
F

0
y P A + yb
−εP 0
PD
0
0 − 1ε I
DP
0
−P


PH

1  0

+ 
ε1 
 0
0










 HP 0 0 0 ≺ 0.



Theo bổ đề Schur tương đương với điều kiện sau


−P


0



y


AP + by

HP



0
y
P A + yb
−εP 0
PD
0
0 − 1ε I
DP
0 −P + ε1 F F
0
0
0



PH

0 


0  ≺ 0.

0 


−ε1 I

Định lí được chứng minh.
Nhận xét 2.4.1. Bất đẳng thức (2.12) cũng đảm bảo sự ổn định Schur của
ma trận Ac = A + F ∆H + bk của hệ đóng của (2.10) với mọi nhiễu chấp
nhận được ∆.
Kết quả dưới đây tương ứng với Hệ quả 2.2.2.
Hệ quả 2.4.2. [5] Giả sử P , y là nghiệm của bài toán tối ưu hóa lồi

max log det P

21


với các ràng buộc


−P



0



y

AP + by


HP

0
y
P A + yb
−εP 0
PD
0
0 − 1ε I
DP
0 −P + ε1 F F
0
0
0

với biến ma trận P = P



PH

0 


0  ≺ 0,

0 

−ε1 I

(2.13)

∈ Rn×n , biến vector y ∈ Rn , biến vô hướng ε1 ,

tham số vô hướng ε.
Khi đó

x P −1 x ≤ 1}

E = {x ∈ Rn :

là ellipsoid ổn định hóa vững hệ (2.10) với bộ điều khiển phản hồi tuyến tính
(2.2) có ma trận đạt được

k = P −1 y.
Miền ổn định vững Arob của hệ (2.10) tương ứng với Định lí 2.3.1 như
sau.
Định lí 2.4.3. [5] Cho vectơ c và γ là nghiệm của bài toán quy hoạch sau

max γ
với các ràng buộc


−P


0




y

AP + by

HP

0
y
P A + yb
−εP 0
PD
0
0 − 1ε I
DP
0 −P + ε1 F F
0
0
0
1 γc
γc P

với các biến ma trận P = P



PH

0 



0  ≺ 0,

0 

−ε1 I

0,

∈ Rn×n , y ∈ Rn và γ , ε, ε1 là các tham số vô

hướng.
Khi đó, điểm γc thuộc miền ổn định hóa vững Arob của hệ (2.10) theo
hướng c.
22


Ví dụ 2.4.1. Xét hệ (2.10) với các ma trận

A=

0
1
,
1 + δ1 1 + δ2

B=

0
,
1

D=

0.5 0.3
,
−0.3 0.5

(2.14)

trong đó (δ1 δ2 ) ≤ 0.2, và các ma trận

0
, H = 0.2I.
1

F =

Theo Hệ quả 2.4.2 ta tìm được ma trận

P =

0.8189 0.2900
0.2900 0.2853

và ma trận đạt được

k=

−1
.

1.5633

Ellipsoid ổn định hóa vững và miền ổn định hóa vững cho bởi các hình
sau.

Hình 2.2: Ellipsoid ổn định hóa vững từ Ví dụ 2.4.1

23