Một số mô hình điều khiển tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
———————o0o——————–

DƯƠNG THỊ KIM GIANG

MỘT SỐ MÔ HÌNH ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

HÀ NỘI-2019


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
———————o0o——————–

DƯƠNG THỊ KIM GIANG

MỘT SỐ MÔ HÌNH ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Giảng viên hướng dẫn

PGS. TS Lê văn Hiện

HÀ NỘI-2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là bài viết của tôi, được hoàn thành dưới sự hướng
dẫn của PGS.TS Lê Văn Hiện. Các nội dung nghiên cứu trong khóa luận này
là hoàn toàn trung thực, mọi thông tin đều được trích dẫn và ghi rõ nguồn
gốc trong mục tiêu tài liệu tham khảo.
Nếu phát hiện có bất cứ gian lận nào, tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Sinh viên thực hiện


LỜI CẢM ƠN

Khóa luận này được thực hiện tại Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Văn Hiện.
Tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Lê Văn Hiện, người đã định
hướng và chỉ dẫn sát sao trong suốt quá trình nghiên cứu, triển khai và hoàn
thành khóa luận này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong Khoa Toán và bộ môn
Toán Ứng dụng đã trang bị cho tôi những kiến thức toán học nền tảng. Xin
cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các Phòng, Ban
chức năng của Nhà trường và đặc biệt là Ban Chủ nhiệm Khoa Toán đã tạo
mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn
thành khóa luận này.
Xin cảm ơn gia đình và những người thân luôn bên tôi, ủng hộ, động
viên, và tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành tốt chương trình đại học với
khóa luận tốt nghiệp này.
Sinh viên thực hiện

KÍ HIỆU

Rn

Không gian vectơ Euclide n-chiều.

Rm×n Tập các ma trận thực cấp m × n.
Sn

Tập các ma trận thực đối xứng cấp n.

S+
n

Tập các ma trận đối xứng xác định dương cấp n.

λ(A)

Tập các giá trị riêng của ma trận A.

LTI

Hệ tuyến tính dừng (linear time-invariant)

LMIs

Bất đẳng thức ma trận tuyến tính (linear matrix inequalities).


MỤC LỤC

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Sơ bộ về lịch sử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Mối đe dọa vô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Hệ điều khiển cổ điển và nền tảng của chúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 2. Một số mô hình hệ điều khiển tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1. Một số mô hình điều khiển tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Mô hình tuyến tính hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
2.3. Điều khiển phản hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Chương 3. Ổn định hóa hệ điều khiển tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1. Một số kết quả liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2. Phân tích tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
3.3 Ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40


MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Các mô hình toán học đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả, phân tích
và thiết kế các mô hình ứng dụng trong thực tiễn đời sống. Chẳng hạn, rất
nhiều mô hình điều khiển trong kỹ thuật, công nghiệp và tự động hóa hoạt
động dựa trên nguyên lí của hệ điều khiển con lắc ngược (inverted pendulum)
như mô tả trên Hình 1 dưới đây

Hình 1: Mô hình con lắc ngược

ở đó u đóng vai trò là lực tác dụng điều khiển để duy trì sự vận hành ổn định
của hệ thống (góc θ biến thiên nhỏ). Để có thể ứng dụng trong điều khiển

thực tiễn, các nhà toán học và kỹ sư cần phải đảm bảo về mặt lý thuyết dáng
điệu của quỹ đạo trạng thái cũng như các thông số và quy tắc điều khiển.
Muốn vậy, rõ ràng ta cần phải sử dụng các phương trình toán học diễn tả
chuyển động của cơ hệ (mô hình hóa toán học), các tính chất của nghiệm
(phân tích định tính) và việc thiết kế quy tắc điều khiển. Bên cạnh đó, các
1


mô hình thực tiễn thường có cấu trúc rất phức tạp. Các phương trình diễn
tả chúng có thể ở dạng phi tuyến với nhiều tham số và ràng buộc. Vì vậy,
khi nghiên cứu lý thuyết, chúng ta thường phải nghiên cứu mô hình xấp xỉ
(tuyến tính hóa) hay nghiên cứu các mô phỏng trên máy tính (rời rạc hóa).
Với mong muốn được tìm hiểu về các mô hình toán học trong lý thuyết điều
khiển, trong khóa luận này, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “Một số mô hình
điều khiển tuyến tính” dựa trên cuốn chuyên khảo [1] và một số tài liệu liên
quan khác.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của khóa luận là giới thiệu một số mô hình điều khiển tuyến tính
được ứng dụng trong thực tiễn thông qua việc mô tả bằng các phương trình
trạng thái. Cụ thể, chúng tôi đi nghiên cứu mô hình, phân tích việc thiết lập
phương trình trạng thái với mô hình tuyến tính; sử dụng phương pháp tuyến
tính hóa trong việc thiết lập phương trình trạng thái với mô hình điều khiển
phi tuyến. Đồng thời, chúng tôi nghiên cứu bài toán phân tích tính ổn định và
thiết kế điều khiển ổn định hóa một số mô hình điều khiển tuyến tính trình
bày trong khóa luận.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu trong khóa luận là một số mô hình điều khiển

trong kỹ thuật.
• Phạm vi nghiên cứu bao gồm:

1. Phân tích mô hình.
2. Thiết lập phương trình trạng thái dạng tuyến tính.
3. Phương pháp tuyến tính hóa thiết lập phương trình trạng thái với
mô hình điều khiển phi tuyến.

2


4. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, Khóa luận
được chia thành 03 chương. Chương 1 giới thiệu sơ bộ về lịch sử và sự phát
triển của lĩnh vực điều khiển tự động các hệ tuyến tính và một số vấn đề cơ
bản liên quan đến hệ điều khiển. Chương 2 trình bày một số mô hình điều
khiển tuyến tính. Cụ thể, chương này giới thiệu một số mô hình vật lý, kĩ
thuật được mô tả thông qua các phương trình trạng thái. Đồng thời, trong
chương này, chúng tôi cũng giới thiệu mô hình tuyến tính hóa của một số hệ
điều khiển phi tuyến. Chương 3 trình bày một số kết quả nghiên cứu định
tính về hệ điều khiển tuyến tính bao gồm tính ổn định, tính điều khiển được
và vấn đề thiết kế điều khiển phản hồi ổn định hóa hệ điều khiển tuyến tính.

3


Chương 1
SƠ BỘ VỀ LỊCH SỬ

Trong chương này chúng tôi giới thiệu sơ bộ về lịch sử của lý thuyết điều

khiển tuyến tính từ nguồn gốc, một số phương pháp điều khiển cổ điển cho
đến lý thuyết điều khiển hiện đại.

1.1. Mối đe dọa vô hình
Các tiến bộ khoa học và công nghệ xảy ra trong các nấc thang của sự sáng tạo
nhiều thiết bị. Trong lịch sử rất xa xưa, các thiết bị này rất đơn giản nhưng
đã chứa đựng nhiều tiến bộ như đồng hồ nước (năm 270 trước công nguyên),
đồng hồ cơ (năm 1283 sau công nguyên), nồi hơi (1681 sau công nguyên) hay
máy hơi nước (trước những năm 1700). Gần đây hơn, các thiết bị được phát
minh có phần phức tạp hơn như động cơ đốt trong vào khoảng 1886, chế độ
bay tự động (1914) hay bộ khuếch đại điện tử (1912). Điều thường không
được nhận diện về những tiến bộ này là tất cả chúng đều phụ thuộc rất lớn
vào việc sử dụng điều khiển phản hồi hoặc điều khiển tự động.
Đồng hồ nước có trước năm 270 trước công nguyên nhưng được cải thiện
một cách đáng kể về độ chính xác bởi nhà phát minh người Hy Lạp, Ktesibios,
người đã phát minh ra bộ điều chỉnh phao cho đồng hồ vào thời kì này. Các
đồng hồ cơ sử dụng hệ thống điều chỉnh bằng dây cót và bánh răng cho độ
chính xác hơn nhiều so với đồng hồ nước và lần đầu tiên được nhìn thấy ở
châu Âu vào khoảng 1283. Nồi hơi được sử dụng cho nhiều mục đích trong
những năm 1600 và trở nên thông dụng với việc phát minh ra van an toàn áp
suất hơi vào năm 1681 bởi Dennis Papin. Động cơ hơi nước trở thành động
lực chính cho Cách mạng Công nghiệp với phát minh bộ điều khiển ly tâm
vào năm 1788 của James Watt. Nhà vệ sinh xả nước được Thomas Crapper
tinh chỉnh bằng cách sử dụng bộ điều chỉnh phao và ông đã nhận được tước

4


hiệu “Hiệp sĩ” từ Nữ hoàng Victoria. Do đó, ngay cả trong thời kì đầu, điều
khiển phản hồi hay bộ hiệu chỉnh đã đóng một vai trò hết sức quan trọng

nhưng thường gần như vô hình trong việc làm cho các thiết bị kỹ thuật thậm
chí đơn giản hoạt động trong thực tế.
Gần với hiện tại hơn, động cơ đốt trong diesel đã có thể trở nên phổ
biến với việc tạo ra một bơm điều chỉnh áp suất nhiên liệu bởi Otto Diesel
vào năm 1889. Một thiết bị lái tự động hoặc tăng cường ổn định dựa trên
việc sử dụng con quay hồi chuyển lần đầu tiên được trình diễn tại một triển
lãm hàng không ở Paris năm 1914 bởi Lawrence Sperry. Các bộ khuếch đại
điện tử được chế tạo bởi Edwin Armstrong vào năm 1912, sử dụng phản hồi
dương trong các máy thu sóng để tăng độ nhạy của chúng, giúp thu sóng vô
tuyến thực tế. Sau đó bộ khuếch đại phản hồi âm được Harold Black chế tạo
vào năm 1927, giúp giảm “méo” trong bộ khuếch đại tần số âm thanh cho
máy đàm thoại và tái tạo nhạc sau này. Máy bay ném bom chính xác đã được
hiện thực bằng cách sử dụng các bộ lặp đồng bộ để gửi dữ liệu tốc độ không
khí, gió và độ cao đến một máy tính đơn giản được sử dụng trong thiết bị
ngắm bom Norden (các thiết bị này được Mỹ sử dụng rộng rãi trong các cuộc
tấn công ném bom chống lại phát xít Đức trong Thế chiến thứ hai). Một lần
nữa điều khiển phản hồi và điều khiển tự động cũng là phần khuất hay vô
hình (nhưng không ngừng tăng lên) trong hoạt động của những phát minh
rất thành công này.
Trong lịch sử sau đó, điều khiển phản hồi đã trở thành những “sợi chỉ”
xuyên suốt trong nhiều cải tiến công nghệ quan trọng. Trong nhiều khía cạnh,
những tiến bộ công nghệ này đã làm lu mờ điều khiển tự động nhưng điều
khiển phản hồi đã tạo điều kiện cho nhiều sự phát triển. Theo Berstein (2002)
điều khiển phản hồi đã tạo ra hầu hết các làn sóng phát triển khoa học và
công nghệ lớn bao gồm “Cách mạng khoa học, Cách mạng công nghiệp, Kỷ
nguyên hàng không, Thời đại vũ trụ và Thời đại điện tử”. Do đó, điều khiển
phản hồi là một “sự đe dọa vô hình” trong lịch sử công nghệ. Điều khiển tự
động cho phép công nghệ hiện đại giống như các máy tính và phần mềm hiện
đại nhưng lại ít nhìn thấy hơn.

5


1.2. Hệ điều khiển cổ điển và nền tảng của chúng
Điều khiển cổ điển bắt nguồn từ thời kỳ nguyên thủy của thiết kế hệ thống
điều khiển. Thời kỳ này được đặc trưng bởi nhiều phát minh kỹ thuật trực
quan và thiếu cơ sở lý thuyết cơ bản (trừ một vài trường hợp ngoại lệ). Thông
thường các thiết bị cơ khí thông minh hơn đã được sử dụng để thực hiện các
chiến lược điều khiển thực tế. Thời kỳ này kéo dài từ thời cổ đại cho đến đầu
Thế chiến thứ hai, khoảng năm 1940. Ở giai đoạn này, các yêu cầu của chiến
tranh cùng với sự sẵn có của các thiết bị điện tử và các công cụ lý thuyết
thích nghi từ ngành công nghiệp truyền thông đã có thể chuyển sang thời kỳ
cổ điển của sự phát triển hệ thống điều khiển.

1.2.1. Thời kì phát triển nguyên thủy từ khi các công cụ lý
thuyết được sử dụng trong phân tích các hệ điều khiển
Sự ghi nhận chung về giá trị của các hệ thống điều khiển xuất hiện trong
Cách mạng Công nghiệp khi James Watt bắt đầu sử dụng bộ điều chỉnh tốc
độ cho động cơ hơi nước của mình vào khoảng năm 1788. Bản thân phát minh
này không phải là mới: cối xay gió và cối xay nước đã sử dụng các thiết bị
tương tự trước đó nhưng ứng dụng cho các động cơ có sẵn một cách rộng rãi
đã đưa vấn đề điều khiển phản hồi trở thành vấn đề mở.
Rất không may trong một số trường hợp sử dụng của bộ điều chỉnh dẫn
đến sự mất ổn định tốc độ và để giải quyết vấn đề này, cần phải xây dựng
một lý thuyết để giải thích tại sao điều này có thể xảy ra. Phân tích đầu tiên
về các bộ điều chỉnh tốc độ được thực hiện bởi George Airy (nhà thiên văn
Hoàng gia Anh tại Greenwich từ năm 1835). Các hệ cơ học hoạt động theo
chế độ của đồng hồ đã được sử dụng để điều khiển chuyển động của các kính
thiên văn lớn để bù cho sự quay của trái đất và chúng được gắn với các bộ
điều tốc để cải thiện độ chính xác của chúng. Sử dụng năng lượng và xem xét

động lượng góc, Airy đã thiết lập một phương trình vi phân phi tuyến giản
lược cho hệ thống vào khoảng năm 1840. Xét dạng tuyến tính hóa của phương
trình này, có thể chỉ ra rằng trong một số ngữ cảnh, các dao động nhỏ có thể

6


tạo ra tăng trưởng cấp mũ và do đó là đáng kể cho sự mất ổn định.
Một cuộc tấn công trực tiếp vào vấn đề của các bộ điều chỉnh tốc độ
động cơ đã được James Clerk Maxwell tạo ra trong một bài báo năm 1868,
“Về các bộ điều chỉnh”. Maxwell thiết lập các phương trình vi phân cho hệ
tổng (overall systems) và tuyến tính hóa chúng. Công trình này chỉ ra rằng
đối với sự ổn định, phương trình đặc trưng của hệ tuyến tính phải có các
nghiệm với phần thực âm. Các bài báo của Airy từ và Maxwell đã ảnh hưởng
một cách gián tiếp đến công trình của Edward Routh, người đã công bố tiêu
chuẩn ổn định nổi tiếng của mình trong một bài luận giải thưởng Adams năm
1877 tại Đại học Cambridge.
Độc lập với Airy và Maxwell, I. Vyshnegradskii đã nghiên cứu phân tích
các bộ điều chỉnh ở Nga vào năm 1876. Ở lục địa châu Âu đã có nhiều phát
triển lý thuyết lấy cảm hứng từ bài báo Vyshnegradskii (cũng được xuất bản
bằng tiếng Pháp). Aurel Stodola, người lúc đó đang nghiên cứu điều khiển
các tuabin thủy điện ở Thụy Sĩ, đã ghi lại bài báo của Vyshnegradskii và đề
nghị Adolf Hurwitz nghiên cứu bài toán tìm các tiêu chuẩn ổn định cho các
hệ có bậc tùy ý. Hurwitz không được chỉ dẫn về công trình của Routh và đã
tìm ra dạng riêng mình về các tiêu chuẩn ổn định đơn giản đối với các hệ
tuyến tính. Tiêu chuẩn này ở dạng một tập hợp các bất đẳng thức về định
thức trong thiết lập của Hurwitz.
Năm 1892 Alexandr Lyapunov đã nghiên cứu tính ổn định của một lớp
rất tổng quát các hệ phi tuyến dựa trên công trình trước đó của Jean-Louis
Lagrange. Trên cơ sở xét năng lượng chung, ông có thể đưa ra một tiêu chuẩn

ổn định tổng quát cho các hệ phi tuyến cũng như các điều kiện mà theo đó
phương pháp tuyến tính hóa cho một đánh giá đúng về tính ổn định của
hệ phi tuyến đang xét. Bài báo của Lyapunov không được biết đến nhiều ở
phương Tây cho đến khoảng năm 1960 khi nó được tái phát minh trong tài
liệu. Phân tích và các phương pháp Lyapunov hiện đang được sử dụng rộng
rãi trong thiết kế các hệ điều khiển.
Gần như cùng lúc (1892-1898) phép tính toán tử (phân tích biến đổi
Laplace) được phát minh bởi Oliver Heavyside ở England để phân tích dáng
điệu suy giảm của các hệ thống mạch điện tuyến tính. Cả phân tích Lyapunov

7


và phép tính toán tử đóng một phần quan trọng trong sự phát triển của lý
thuyết điều khiển trong thế kỷ tới.

1.2.2. Các phát triển thời kì tiền cổ điển
Thử nghiệm với đèn chiếu sáng vào năm 1880, Thomas Edison đã phát hiện ra
hiệu ứng Edison. Hiệu ứng này là một dòng điện có thể chạy qua chân không
đến một dây dẫn kim loại trong vỏ đèn. Không có lời giải thích nào cho hiệu
ứng này có thể được đưa ra cho đến khi nhận dạng electron vào năm 1897
bởi J. J. Thompson ở Anh. Việc phát hiện ra hiệu ứng Edison được tiếp nối
vào năm 1904 bởi phát minh ra diode chỉnh lưu nhiệt vào năm 1904 bởi John
Flemming ở Anh và cuối cùng là phát minh ra bộ khuếch đại ba cực nhiệt
của Lee de Forest vào năm 1906 (mặc dù ông không hiểu cách thức hoạt động
của nó). Đây là sự khởi đầu của Thời đại Điện tử. Rất nhanh chóng sau đó
phản hồi đã được áp dụng xung quanh bộ khuếch đại triode tạo ra bộ khuếch
đại tần số vô tuyến phản hồi dương đầu tiên vào năm 1912 và cuối cùng là
bộ khuếch đại âm thanh phản hồi âm vào năm 1927. Những phát minh mới
này tương ứng là các công trình của Edwin Armstrong và Harold Black.

Đầu những năm 1930, Harold Hazen đã có những đóng góp quan trọng
cho vấn đề xây dựng các trình mô phỏng cho các vấn đề điều khiển bao gồm
nghiệm của phương trình vi phân. Hazen đã sử dụng kinh nghiệm thu được
để viết hai bài báo quan trọng xuất bản năm 1934 nghiên cứu về tác động
của phản hồi trên các thiết bị cơ điện. Đối với những bài báo này, ông đã đặt
ra thuật ngữ “động cơ phục vụ”. Sau đó, các hiểu biết về các cơ chế phục vụ
mà Hazen có được đã được sử dụng trong thiết kế hệ thống điều khiển hỏa
lực nhanh cho tàu Bennett (1993).
Việc sử dụng các mạch khuếch đại trong máy thu tần số vô tuyến và liên
lạc qua điện thoại dẫn đến nhu cầu hiểu sâu hơn về bản chất lý thuyết của
mạch khuếch đại và lý do cho dáng điệu ổn định và không ổn định. Điều này
dẫn đến công trình của Harry Nyquist về độ ổn định của bộ khuếch đại dựa
trên phân tích hàm truyền vào năm 1932 và của Hendrik Bode về các đồ thị
cường độ và tần số pha của các hàm truyền hệ mở và đóng của một hệ vào
năm 1940. Công trình của Nyquist dẫn đến sự ra đời của tiêu chuẩn ổn định
8


Nyquist và của Bode trong việc nghiên cứu tính ổn định của hệ đóng bằng
cách sử dụng các khái niệm đạt được (gain) và biên pha. Trái với các công
trình trước đó, các tiêu chuẩn ổn định này đã đưa ra ý tưởng về mức độ ổn
định tương đối có thể đạt được. Các lý thuyết sẵn có đó đều đến từ các ngành
công nghiệp điện tử và viễn thông. Do đó, giai đoạn này được thiết lập cho
một giai đoạn phát triển nâng cao của các hệ thống điều khiển vào đầu Thế
chiến thứ hai.
Chiến tranh thế giới thứ hai đặt ra yêu cầu phát triển bộ điều khiển điện
tử cho nhiều thiết bị bao gồm súng điều khiển bằng radar, bom định hướng
hay hệ thống điều khiển bay tự động. Vào thời điểm này, kích thước và mức
tiêu thụ điện của bộ khuếch đại triode và pentode đã giảm đáng kể, đồng
thời khuếch đại, dải tần số, độ mạnh và độ tin cậy của chúng đã được tăng

lên. Do đó, các thiết bị này đã phổ biến để áp dụng cho các hệ điều khiển
cần thiết và hiệu suất của chúng trong các ứng dụng thực tế đã được hiểu
rõ. Trong thực tế, các thiết bị tự động thuộc nhiều loại, bao gồm cả những
thiết bị được đề cập ở trên, đã được phát triển trong chiến tranh. Sự phát
triển vượt bậc về radar và thiết bị điện tử nói chung đã được thực hiện tại
Viện Công nghệ Massachusetts trong Phòng thí nghiệm Bức xạ. Công trình
này được thực hiện bằng cách sử dụng các kỹ thuật miền tần số. Nhiều công
cụ thiết kế hệ điều khiển hiện đang được sử dụng xuất hiện từ những nỗ lực
này bao gồm việc sử dụng các hàm truyền, sơ đồ khối và phương pháp miền
tần số.
Năm 1947, Nathaniel Nichols đã xuất bản biểu đồ Nichols để thiết kế hệ
thống phản hồi dựa trên công trình được thực hiện trong Phòng thí nghiệm
bức xạ. Walter Evans xuất bản năm 1948 kỹ thuật thiết kế phù hợp để xử lý
số lượng lớn các trạng thái khác nhau mô tả chuyển động của máy bay. Một
vấn đề quan trọng trong tất cả các hệ thống điện tử và đặc biệt là radar là
tiếng ồn. Albert Hall và Norbert Wiener nhận ra tầm quan trọng của vấn đề
này và đã phát triển các phương pháp miền tần số để giải quyết nó. Đóng
góp của Hall là thiết lập miền tần số ảnh hưởng của nhiễu lên các hệ thống
điều khiển vào năm 1941. Wiener đã giới thiệu năm 1942 việc sử dụng các
mô hình ngẫu nhiên để xử lý ảnh hưởng của nhiễu trong các hệ động lực và
tạo ra một bộ lọc tối ưu để cải thiện tín hiệu trong hệ thống viễn thông (gọi
9


là bộ lọc Wiener). Hall và Wiener đã công bố công trình của họ ngay những
sau chiến tranh 1946 và 1949. Toàn bộ ghi chú về công việc được thực hiện
tại Phòng thí nghiệm bức xạ đã được xuất bản thành một bộ gồm 27 tập
do Louis Fidenour biên tập vào năm 1946. Trong bộ sưu tập này có một tập
riêng về thiết kế hệ điều khiển phản hồi có tên là “Lý thuyết các cơ chế phục
vụ”.

1.2.3. Thời kì điều khiển cổ điển
Thời kỳ điều khiển cổ điển được đặc trưng bởi sự tập trung vào các hệ lặp
đơn, phản hồi đơn đầu vào và đầu ra (SISO) được thiết kế với các công cụ
lý thuyết được phát triển trong và ngay sau Thế chiến thứ hai. Hầu hết các
phần này chỉ có thể được áp dụng cho các hệ tuyến tính dừng (LTI). Khái
niệm cơ bản chính là các đặc trưng hệ đóng có thể được xác định duy nhất
thông quan các thuộc tính của hệ mở. Điều này bao hàm các tính chất quan
trọng về loại bỏ nhiễu quan và lỗi trạng thái cân bằng của hệ phản hồi.
Các công cụ lý thuyết được phát triển bởi Nyquist, Bode, Evans và
Nichols trước đó và mối liên hệ giữa các phương pháp này đã được làm rõ và
mở rộng. Hiệu suất được đánh giá thông qua băng thông, mức đạt dược và
biên pha hoặc thời gian gia tăng, lỗi trạng thái ổn định, cộng hưởng và giảm
xóc. Mối liên hệ giữa các mục tiêu về hiệu suất đã được hiểu rõ. Các phương
pháp tinh chỉnh để điều chỉnh và bù (sử dụng các bộ bù/trễ) vòng đơn đã
được phát triển. Tuy nhiên, các vòng lặp liên quan phải được đóng cùng một
lúc bằng cách sử dụng quy trình thử và sai không thể đảm bảo hiệu suất tốt,
thậm chí tính ổn định.
Trong thời kỳ cổ điển, bộ điều khiển phản hồi đã trở thành một phần
của nhiều quy trình công nghiệp vì các phương pháp áp dụng chúng đã được
biết đến và do tính khả dụng thương mại của bộ điều khiển điện tử, khí nén
và thủy lực. Điều này làm cho bộ điều khiển phản hồi là một phần của ngay
cả các thiết bị gia dụng cũng như các hệ thống kỹ thuật tiên tiến hơn. Khi
các bóng bán dẫn trở nên thông dụng trong những năm 1960, điều khiển cổ
điển thậm chí còn lan rộng hơn.
Vào khoảng 1956, một mối quan tâm lớn đã được phát triển trong việc
10


điều khiển các hệ thống hàng không vũ trụ, đặc biệt là máy bay, tên lửa và

phương tiện không gian: Thời đại vũ trụ đã bắt đầu. Các hệ thống như vậy
một cách tự nhiên có nhiều đầu vào, nhiều đầu ra (MIMO) làm hạn chế việc
sử dụng Lý thuyết điều khiển cổ điển. Mặc dù phân tích vòng lặp đơn có thể
được thực hiện trên các hệ thống như vậy, sự đan xen của các phản hồi trong
các phần khác nhau của đối tượng điều khiển khiến không thể sử dụng các
phương pháp thiết kế SISO. Ngoài ra, các tham số không chắc chắn, lỗi mô
hình hóa cùng với nhiễu hệ thống ngẫu nhiên và nhiễu đo lường làm tăng bậc
của hệ được điều khiển và điều này làm gia tăng khó khăn trong thiết kế.
Vấn đề trong việc điều khiển các vật thể đạn đạo (bay tự do) có thể thiết
lập về mặt vật lý theo một tập các phương trình vi phân phi tuyến. Động lực
học cảm biến và tiếng ồn có thể dễ dàng được tích hợp trong mô tả của chính
đối tượng điều khiển. Điều này tự nhiên dẫn ta trở lại thời kì vấn đề miền
thời gian được Airy và Maxwell sử dụng vào những năm 1800. Một giúp đỡ
quan trọng cho vấn đề này chính là các công thức biến phân cổ điển trong cơ
học giải tích được đưa ra bởi Lagrange và Hamilton dựa trên các nguyên lí
bảo toàn vật lý. Cách tiếp cận bằng phương trình vi phân này để xây dựng
bài toán được gọi là phương pháp biến trạng thái hoặc phương pháp không
gian trạng thái trong công nghệ điều khiển.
Có thể nói thời kỳ điều khiển cổ điển kéo dài trong khoảng từ năm 1945
đến 1956 và đã tạo ra Thời kỳ điều khiển hiện đại từ năm 1956 đến nay. Việc
chuyển đổi từ giai đoạn trước mang tính bắt buộc bởi yêu cầu phân tích các
đối tượng điều khiển phức tạp hơn và các hệ thống điều khiển cần được thiết
kế.

1.2.4. Thời kì điều khiển hiện đại
Số lượng lớn trạng thái trong hệ MIMO và số lượng vòng lặp phản hồi có thể
có trong hệ đóng khiến chúng ta cần phải nghiên cứu quyết định về các mức
độ phản hồi trong các vòng lặp khác nhau được đưa ra bằng cách nào. Đây
không phải là một câu hỏi đơn giản và thực tế khó có thể đưa ra bất kỳ phát
biểu mang tính cân bằng, hợp lý nào về những gì có thể được yêu cầu. Để giải

quyết vấn đề này, người ta thấy hợp lí khi cố gắng thiết kế các hệ phản hồi
11


tối ưu theo nghĩa cân bằng công suất đầu vào chống lại lỗi/nhiễu chấp nhận
được ở đầu ra và (hoặc) trạng thái của hệ. Tất nhiên điều này phải được thực
hiện theo cách sao cho toàn bộ hệ thống cũng như các vòng lặp riêng biệt
trong đó ổn định.
Đây sẽ là một vấn đề nan giải nếu không phải vì công trình được thực
hiện trước kia để giải quyết các vấn đề tối ưu hóa vật lý trong những năm 160,
1700 hay 180 bởi Leonard Euler, Bernoullis (Jacob, I, II, Johannes, I, II, III,
IV , Daniel và Nicolaus, I, II, II), Joseph-Louis Lagrange, William Hamilton
và những người khác. Những nhà bác học này đã đưa ra nghiệm tổng quát
cho một số bài toán cực tiểu hóa và cực đại hóa đã được áp dụng để giải các
vấn đề ước lượng và điều khiển MIMO trong quá khứ và hiện tại bằng cách
sử dụng Phép tính biến phân. Công trình khởi đầu trong việc sử dụng các
phương pháp toán học này vào các hệ điều khiển khoảng năm 1957 và tiếp
tục cho đến hiện tại.
Trong Lý thuyết điều khiển hiện đại, ta thường cực tiểu hóa chỉ số hiệu
suất kiểu hàm năng lượng toàn phương suy rộng. Điều này có thể xem như
một yêu cầu tự nhiên vì hầu hết các hệ thống trong tự nhiên hoạt động theo
cách cực tiểu tiêu thụ năng lượng.
Năm 1957 Richard Bellman đã áp dụng quy hoạch động vào điều khiển
tối ưu các hệ rời rạc. Công trình này đã chỉ ra rằng có thể giải quyết các vấn
đề điều khiển dựa trên chỉ số hiệu suất sinh ra trong điều khiển phản hồi hệ
đóng. Lev Pontryagin đã đề xuất một nguyên lí cực đại vào năm 1958 giải bài
toán cực tiểu thời gian điều khiển cho một lớp đối tượng sử dụng điều khiển
rơle.
Vào năm 1960 và 1961, một loạt các đột phá đã được đưa ra với việc
xuất bản bốn bài báo của Rudolf Kalman và đồng nghiệp. Các bài báo này đề

cập đến (1) điều khiển tối ưu các hệ rời rạc (với J. Bertram); (2) các phương
trình thiết kế cho Bộ điều chỉnh toàn phương tuyến tính (LQR); (3) lý thuyết
ước lượng và lọc tối ưu cho các hệ rời rạc; và ( 4) bộ lọc Kalman liên tục (với
Richard Bucy). Hai bài báo điều khiển đầu tiên dựa trên cực tiểu hóa chỉ số
hiệu suất năng lượng điều khiển tổng quát. Hai bài sau với việc áp dụng các
kỹ thuật tương tự cho vấn đề lọc (hoặc ước lượng) tối ưu, đó là sự khái quát

12


hóa các kỹ thuật khớp bình phương nhỏ nhất của Carl Fredrik Gauss. Tất cả
các giải pháp này ngay lập tức được áp dụng với điều khiển máy tính khi máy
tính lần đầu tiên trở nên phổ biến cho các ứng dụng trực tuyến. Do đó, bốn
đột phá lý thuyết ở trên đã tìm thấy ứng dụng thực tế ngay lập tức trong các
chương trình về không gian. Bộ điều chỉnh LQR và bộ lọc Kalman tạo thành
một phần trung tâm trong nhiều tài liệu về điều khiển hiện đại.

13


Chương 2
MỘT SỐ MÔ HÌNH HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH

Trong chương này chúng tôi trình bày một số mô hình trạng thái các
hệ điều khiển vật lý, kĩ thuật. Phương pháp tuyến tính hóa các mô hình phi
tuyến tính cũng được trình bày trong chương này.

2.1. Một số mô hình điều khiển tuyến tính
2.1.1. Mạch RLC

Hình 2.1: Động lực mạch RLC

Trên hình 2.1 là một mạch RLC thụ động dạng đơn giản. Ta muốn xây
dựng một mô hình trong đó điện áp cực v là đầu vào và điện áp trên tụ vC là
đầu ra. Các định luật Ohm và Kirchhoff cho ta mối quan hệ sau đây
Ri(t) + L

di(t)
+ vC (t) = v(t).
dt

(2.1)

Đối với tụ, ta có
Cvc (t) = q(t) ⇒ C

dvC (t)
dq(t)
=
= i(t)
dt
dt

(2.2)

Từ các phương trình này ta thấy
R
1
1
i˙ = − i − vC + v

L
L
L
1
v˙ C = i.
C
14

(2.3)


Hệ thống được mô tả bởi hệ hai phương trình vi phân thường cấp 1. Ta
thường viết lại hai phương trình trên dưới dạng một phương trình vi phân
dạng vectơ-ma trận sau đây
i˙

1
−R
L −L

=

1
C

v˙ C

i

0

1
L

+

(2.4)

v.

0

vC

Nếu các biến trạng thái được định nghĩa bởi
x=

i

,

x˙ =

vC

i˙

,

A=

1
−R
L −L
1
C

v˙ C

,

B=

0

1
L

,

u = v.

0

Phương trình (2.4) có thể viết lại dạng
x˙ = Ax + Bu.

(2.5)

Hình 2.2 diễn tả sơ đồ khối của mô hình điều khiển mạch RLC.

Hình 2.2: Sơ đồ khối của mạch RLC

Phương trình (2.4) hoặc (2.5) được gọi là trạng thái phương trình của
hệ thống trên Hình 2.1. Vì điện áp tụ là đầu ra nên một phương trình thứ
hai cần thêm vào để mô tả vấn đề, phương trình đầu ra là
y = vC = 0 1 x.

(2.6)

Sự kết hợp của các phương trình (2.5) và (2.6) được gọi là mô hình không
gian trạng thái của hệ thống. Trong Ví dụ này, vectơ trạng thái hai chiều được
chọn là x =

x1
x2

=

i

. Mô hình này được gọi là mô hình không gian trạng

vC

thái tuyến tính do vế phải của phương trình (2.4) là hàm tuyến tính đối với
x và u. Ma trận A và B có các phần tử không đổi và do đó mô hình này được

gọi là mô hình dừng (bất biến thời gian).
15

Mô hình không gian trạng thái tổng quát có thể là phi tuyến và được
biểu diễn dạng
x(t)
˙
= f (x(t), u(t), t),

(2.7)

y(t) = g(x(t), u(t), t),

ở đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là vectơ điều khiển đầu vào và
y(t) ∈ Rp là vectơ đo được đầu ra. Các hàm f và g là các hàm vectơ,



f1 (x(t), u(t), t)







 f2 (x(t), u(t), t) 
,
f (x(t), u(t), t) = 
..



.





g1 (x(t), u(t), t)



 g2 (x(t), u(t), t) 

g(x(t), u(t), t) = 
..


.


gn (x(t), u(t), t),

fn (x(t), u(t), t)

với fi và gi là các hàm vô hướng của vectơ x(t) và u(t). Trong trường hợp
tuyến tính, các phương trình mô tả hệ có thể được viết
x(t)
˙
= A(t)x(t) + B(t)u(t),

(2.8)

y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t).

Hơn nữa, nếu tất cả các phần tử ma trận là hằng số, các phương trình này
trở thành mô hình tuyến tính dừng
x(t)
˙
= Ax(t) + Bu(t),

(2.9)

y(t) = Cx(t) + Du(t).

Các đầu vào của hệ thống thường được chia thành hai nhóm: Nhóm các
đại lượng mà ta có thể thao tác và nhóm các biến được coi là nhiễu. Loại biến
thứ hai được xác định bởi thế giới xung quanh hệ thống và các giá trị của
chúng được giả thiết nằm ngoài sự kiểm soát của nhà thiết kế. Trong những
trường hợp đó, phương trình trạng thái có thể được viết dạng
x(t)
˙
= f (x(t), u(t), v(t), t)

(2.10)

x(t)
˙
= Ax(t) + Bu(t) + Bv v(t)

(2.11)

hoặc trường hợp hệ dừng

trong đó v(t) là vectơ nhiễu, v(t) ∈ Rp và Bv ∈ Rn×p .
Các thành phần của vectơ trạng thái là các hàm của thời gian. Trong
một khoảng thời gian [t0 , T ] xác định giới hạn bởi thời điểm đầu t0 và thời
16


điểm cuối T , vectơ trạng thái mô tả dáng điệu của hệ trong không gian vectơ
n chiều. Đường đi của điểm cuối vectơ được gọi là quỹ đạo. Một ví dụ được

cho trên Hình 2.3 về một hệ ba chiều.

Hình 2.3: Một quỹ đạo trạng thái trong không gian vectơ 3 chiều

2.1.2. Động cơ điện một chiều với khớp nối linh hoạt
Hình 2.4 mô tả một động cơ điện một chiều có khớp nối linh hoạt giữa quán
tính phần ứng (armature inertia) của động cơ và quán tính tải. R và L là điện
trở và độ tự cảm của cuộn dây phần ứng, k và b tương ứng là hằng số độ cứng
lò xo và hệ số giảm chấn bên trong nhớt (tuyến tính) của khớp nối linh hoạt
và Jm và Jl là mô men quán tính của phần ứng và tải của động cơ. Điện áp
ngoài phần ứng u là đầu vào của hệ thống và vị trí góc tải θl là đầu ra.

Hình 2.4: Động cơ một chiều khớp nối linh hoạt

Nếu tách rời hai phần quán tính và đưa vào bộ ba biến trạng thái
17

(Tk , Tb , Ta ) như trong Hình 2.5 thì theo Định luật II Newton ta có
Jm θ¨m = Ka i + k(θl − θm ) + b(θ˙l − θ˙m ) − bm θ˙m ,
Jl θ¨l = −k(θl − θm ) − b(θ˙l − θ˙m ) − bl θ˙l ,

(2.12)
(2.13)

ở đó Ka là hằng số mô-men xoắn, bm và bl tương ứng là hệ số ma sát và hệ số
nhớt của trục tải động cơ.

Hình 2.5: Quy ước biến trạng thái cho hệ thống trên Hình 2.4

Áp dụng định luật Ohm và định luật Kirchhoff cho mạch điện ta có
u = Ri + L

di
+ ke θ˙m
dt

(2.14)

hay
1
i˙ = (u − ke θ˙m − Ri),
L

(2.15)

trong đó ke là hệ số cảm ứng của cuộn dây phần ứng động cơ. Các biến trạng
thái được định nghĩa bởi

= i θm θ˙m θl θ˙l

x = x1 x2 x3 x4 x5

(2.16)

thì đạo hàm của vectơ x sẽ là
x˙ = i˙ θ˙m θ¨m θ˙l θ¨l

.

(2.17)

Từ các phương trình (2.12)-(2.17) ta thu được hệ các phương trình trạng thái
sau đây
R
ke
1
x1 − x3 + u,
L
L
L
x˙ = x3 ,
x˙ 1 =

x˙ 3 =

Ka
k
b + bm

k
b
x1 −
x2 −
x3 +
x4 +
x5 ,
Jm
Jm
Jm
Jm
Jm

x˙ 4 = x5 ,
x˙ 5 =

k
b
k
b + bl
k 2 + x3 − x4 −
x5 .
J1
J1
J1
J1
18

(2.18)

Phương trình trên có thể viết lại ở dạng vectơ như sau


 
−R

0

− ke

L
 L
 0
0
1

 Ka
m
x˙ =  J
− Jkm − b+b
Jm
 m
 0
0
0


0

k
Jl

b
Jl

0

0
k
Jm

0

0

1


L

0
0 
 
b  x +   u.
0
Jm 

 
0

1 

 

l
− Jk1 − b+b
Jl

A

(2.19)

0
B

Phương trình đầu ra là
y= 0 0 0 1 0 x

(2.20)

C

Chú ý thêm rằng có nhiều cách xác định biến trạng thái (các biến trạng thái
trong (2.19)-(2.20) thường được gọi là các biến trạng thái tự nhiên) và thứ
tự các biến trạng thái cũng có thể được thay đổi nên vị trí các phần tử trong
các ma trận mô tả hệ thống cũng thay đổi. Tuy nhiên, giá trị các phần tử ấy
là như nhau.

2.1.3. Mô hình lọc tần số thấp RC kép
Hình 2.6 mô tả một mạch điện tử thụ động với trở và tụ kép ở đó eo là điện

áp ngoài (đầu vào) và ei là điện áp trong mạch (đầu ra).

Hình 2.6: Mạch RC kép

Áp dụng định luật Ohm và định luật Kirchhoff cho cường độ dòng trong

19