ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT NGẪU NHIÊN TRONG HIỆN TƯỢNG HUỲNH QUANG CỘNG HƯỞNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

UBND TỈNH THANH HÓA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

BÙI ĐÌNH NAM

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT NGẪU NHIÊN ĐỂ KHẢO SÁT
HIỆN TƯỢNG HUỲNH QUANG CỘNG HƯỞNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ

THANH HÓA, NĂM 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

UBND TỈNH THANH HÓA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

BÙI ĐÌNH NAM

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT NGẪU NHIÊN ĐỂ KHẢO SÁT HIỆN
TƯỢNG HUỲNH QUANG CỘNG HƯỞNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60.44.01.03

Người hướng dẫn khoa học: TS. ĐOÀN QUỐC KHOA

THANH HÓA, NĂM 2015


i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận
văn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố.

Tác giả

Bùi Đình Nam


ii
LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học tận tình của
thầy giáo TS. ĐOÀN QUỐC KHOA. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất
đối với thầy – Người đã đặt vấn đề, trực tiếp hướng dẫn và giúp đỡ tôi về mọi
mặt cả kiến thức cũng như phương pháp nghiên cứu để hoàn thành luận văn
này.
Tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý trường Đại học
Hồng Đức đã tạo điều kiện và truyền thụ kiến thức giúp tôi hoàn thành khóa
học.
Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến GS.TSKH. CAO LONG VÂN đã
có nhiều đóng góp và chỉ dẫn quý báu giúp tôi hoàn thành luận văn của mình.

Cuối cùng tôi xin cảm ơn tập thể lớp K1 Vật lý lý thuyết và vật lý toán
trường Đại học Hồng Đức đã giúp đỡ tôi một số lĩnh vực trong quá trình hoàn
thành luận văn.
Thanh hóa, tháng 9 năm 2015
Tác giả

Bùi Đình Nam


iii
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU.............................................................................................................
1
Chương 1. CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN TRONG QUANG HỌC
LƯỢNG TỬ.......................................................................................................
5
1.1. Các mô hình ngẫu nhiên của laser............................................................
5
1.1.1. Laser đơn mốt với thăng giáng pha và biên độ.........................................
5
1.1.2. Mô hình laser với thăng giáng bơm...........................................................
8
1.1.3. Laser đa mốt và ánh sáng hỗn loạn...........................................................
.9
1.2 Nhiễu tiền Gauss và ứng dụng....................................................................
10
1.2.1 Các khái niệm cơ bản.................................................................................
10
1.2.2. Nhiễu tiền Gauss, phương trình Chapman-Komogorow-Smoluchowski..

13
1.2.3. Phương trình Burshtein cho trung bình phụ..............................................
18
1.2.4. Trường hợp tuyến tính...............................................................................
19
1.3. Kết luận ......................................................................................................
22
Chương 2. PHỔ HUỲNH QUANG CỘNG HƯỞNG VỚI VẬN TỐC KHÍ
ĐỆM CÓ GIÁ TRỊ KHÔNG ĐỔI...................................................................
23


iv
2.1. Lý thuyết cơ sở của huỳnh quang cộng hưởng........................................
23
2.2. Phổ Mollow ảnh hưởng bởi thăng giáng va chạm được mô hình hóa
bằng nhiễu tiền Gauss một điện tín..................................................................
26
2.2.1. Phương trình Bloch quang học với thăng giáng va chạm.........................
27
2.2.2. Phổ huỳnh quang cộng hưởng với vận tốc khí đệm không đổi.................
29
2.3. Kết luận.......................................................................................................
38
Chương 3. PHỔ HUỲNH QUANG CỘNG HƯỞNG VỚI VẬN TỐC KHÍ
ĐỆM TUÂN THEO PHÂN BỐ MAXWELL-BOLTZMANN......................
39
3.1. Phổ huỳnh quang cộng hưởng...................................................................
39
3.2. Kết luận.......................................................................................................

46
KẾT LUẬN........................................................................................................
48
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................
50
CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ .......................................
56


v
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình số

Tên hình

Trang

1.1

Sơ đồ các mô hình mô tả độ rộng đồng nhất.

6

1.2

Các đường đi khác nhau của một quá trình ngẫu nhiên
cho trước z(t).

11

1.3

Nhiễu tiền Gauss gồm ba điện tín.

15

2.1

Đo cường độ tổng của ánh sáng huỳnh quang.

24

2.2

Ghi lại sự phân bố phổ của ánh sáng huỳnh quang.

24

2.3

Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào tần số Rabi trong
cộng hưởng chính xác khi không có thăng giáng va
chạm  b1 0.0 .

33

2.4

Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào thăng giáng va chạm
b1 với  b 5.0 , E 0.2 trong cộng hưởng chính xác.

34

Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào độ lệch cộng hưởng
 với  b 5.0 , E 0.2 và b1 0.0 .

35

Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào độ lệch cộng hưởng
 với  b 5.0 , E 0.2 và b1 0.2 .

36

Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào độ lệch cộng hưởng
 với  b 5.0 , E 0.2 và b1 0.8 .

36

Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào độ lệch cộng hưởng
 với  b 5.0 , E 0.2 và b1 1.8 .

37

Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào độ lệch cộng hưởng
 với  b 5.0 , b1 0.2 và E 0.4 .

37

Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào độ lệch cộng hưởng
 với  b 5.0 , b1 0.2 và E 0.8 .

38

Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào các giá trị khác nhau
của tần số Rabi trong cộng hưởng chính xác (  0 ) với
k e 0.01 , nr 0.9 , c  1.6 �10 4 và V  1 .

40

1

2.5

1

2.6

1

2.7

1

2.8

1

2.9

1

2.10

1

3.1


vi

3.2

Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào các giá trị khác nhau
của tần số Rabi trong cộng hưởng chính xác (  0 ) với
k e 0.01 , nr 0.9 , c  1.6 �10 4 và V  0.5 .

41

3.3

Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào các giá trị khác nhau
của độ lệch cộng hưởng  với k e 0.01 , nr 0.9 ,
E 0.2 , c  1.6 �10 4 và V  1 .

42

3.4

Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào các giá trị khác nhau
của độ lệch cộng hưởng  với k e 0.2 , nr 0.9 , E 0.2

, c  1.6 �104 và V  1 .

43

3.5

Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào các giá trị khác nhau
của độ lệch cộng hưởng  với k e 0.2 , nr 0.9 , E 0.4
, c  1.6 �104 và V  1 .

43

3.6

Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào các giá trị khác nhau
của c với   1 , ke  0.01 , nr 0.9 ,  E  0.2 và V  1 .

44

3.7

Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào các giá trị khác nhau
của c với   1 , ke  0.01 , nr 0.9 ,  E  0.2 và V  2 .

44

3.8

Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào các giá trị khác nhau
của ke với c  1.6 �104 ,   1 , nr 0.9 ,  E  0.2 và V  1

.

45

3.9

Sự phụ thuộc của phổ HQCH vào các giá trị khác nhau
của ke với c  1.6 �104 ,   1 , nr 0.9 ,  E  0.2 và
V  1.5 .

45


1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Các hiện tượng cộng hưởng của một hệ dao động chính là sự tăng rõ rệt
của một số đại lượng đặc trưng khi hệ chịu tác động của một kích thích có
cùng tần số hoặc có tần số rất gần với tần số riêng của hệ. Cộng hưởng quang
học là một trong những vấn đề quan trọng của quang lượng tử. Trong đó, vấn
đề được nhiều nhà khoa học quan tâm là hiện tượng huỳnh quang cộng hưởng
(HQCH).
Hiện tượng HQCH đã được nghiên cứu từ rất sớm cả trong lý thuyết
lẫn thực nghiệm. Một thí nghiệm mở đầu được thực hiện bởi Wood năm 1913.
Nhiều thông tin phổ học như: Cấu trúc tinh tế, cấu trúc siêu tinh tế, thời gian
sống bức xạ,... đã thu được bởi các thí nghiệm HQCH của Corney [11].
Có thể tưởng tượng HQCH là bức xạ của các nguyên tử đặt trong
trường của ánh sáng đơn sắc. Đầu tiên HQCH được nghiên cứu ở giới hạn
trường điện từ yếu, tức cường độ của trường kích thích thấp. Trong trường
hợp này, phổ huỳnh quang có dạng hàm delta [27].

Vào đầu thập niên 60 của thế kỷ XX, với sự ra đời của laser và sự phát
triển không ngừng của nó đã tạo ra những laser có công suất lớn và độ đơn
sắc cao ở trong hầu hết các vùng của phổ quang học. Các tính chất đặc biệt
của bức xạ laser đảm bảo cho những điều kiện thực nghiệm mới trong việc
nghiên cứu HQCH ở các vùng tần số khác nhau của sóng tới trong giới hạn
trường mạnh [9]. Hiện tượng HQCH trong giới hạn trường mạnh đã được
nghiên cứu bằng lý thuyết lần đầu tiên vào năm 1969 bởi Mollow [40]. Dưới
tác dụng của trường mạnh, trong phổ huỳnh quang của nguyên tử ngoài vạch
trung tâm có cường độ mạnh nhất còn xuất hiện hai vạch phụ. Vấn đề được
quan tâm liên quan đến hiện tượng này là việc xác định độ rộng của ba vạch
và độ cao tương ứng của chúng. Tỉ lệ đúng giữa độ cao của vạch trung tâm và
hai vạch bên này là 1:3:1 đã được tìm ra bằng lý thuyết bởi Mollow [40].


2
Schuda và các cộng sự lần đầu tiên quan sát được phổ Mollow [45] và kết quả
thực nghiệm đầu tiên đã được xác nhận bởi [60]. Việc nghiên cứu phổ ba đỉnh
trong khuôn khổ điện động lực học lượng tử cũng đã được thực hiện. Các
công trình nghiên cứu này đều dùng phương pháp gần đúng sóng quay, tức là
dịch chuyển Bloch-Siegert đã được bỏ qua. Khi ta để ý đến dịch chuyển này
thì phổ huỳnh quang sẽ bất đối xứng. Sau đó, một số nhà vật lý đã sử dụng
các phương pháp khác nhau và phép gần đúng dựa trên sự lượng tử hoá
trường để nghiên cứu lý thuyết HQCH [8],[32],[39],[42],[48],[49].
Các công trình ở trên được xem xét với trường hợp laser đơn sắc, mà
laser thực không bao giờ đơn sắc hoàn toàn. Vì vậy, việc xem xét các hiện
tượng quang học với giả thiết này là hoàn toàn mang tính học thuật. Trong thực
tế, người ta cần nghiên cứu ảnh hưởng của độ rộng phổ laser đến các hiện
tượng khác nhau. Nếu nghiên cứu cơ chế hiện tượng trong khuôn khổ lý thuyết
lượng tử, tính toán sẽ phức tạp, thường làm lu mờ bản chất vật lý của hiện
tượng. Vì vậy các trường laser thường được mô hình hóa bằng các quá trình

ngẫu nhiên. Đối với hầu hết các bài toán trong quang học lượng tử, laser được
nghiên cứu như một nguồn ngoài đối với hệ nguyên tử. Khi đó các phương
trình động lực học chứa các tham số trường như pha, biên độ hoặc mật độ trở
thành các phương trình vi phân ngẫu nhiên. Việc lấy trung bình các phương
trình vi phân ngẫu nhiên cho chúng ta cơ hội để phản ánh sự ảnh hưởng các
thăng giáng laser vào các đại lượng của nguyên tử mà chúng ta xem xét. Đây là
một trong những bài toán trung tâm của quang học lượng tử xuất phát từ các
công trình nghiên cứu đầu tiên của Eberly [16] và Agarwal [2].
Chúng ta biết rằng, việc tìm nghiệm chính xác cho các phương trình
ngẫu nhiên tổng quát thường là bất khả thi. Tuy nhiên, có thể sử dụng một
trong những mô hình ngẫu nhiên hữu ích nhất, đó là quá trình tiền Gauss [18],
[59],[66]. Nhiễu tiền Gauss được định nghĩa là tổng của một số hữu hạn các
nhiễu điện tín. Phương pháp này có khả năng tìm được trung bình giải tích
chính xác ngay cả trường hợp bài toán có độ phi tuyến cao. Hơn nữa, nhiễu


3
tiền Gauss tiệm cận rất tốt với nhiễu Gauss. Trong những ứng dụng cụ thể của
quang học lượng tử, nhiễu tiền Gauss chỉ cần chứa một vài nhiễu điện tín
cũng gần đúng hoàn toàn với nhiễu Gauss [31],[56],[57],[58],[59]. Như vậy,
nhiễu tiền Gauss cho chúng ta triển vọng để xem xét ảnh hưởng của nhiễu
Gauss khi các phương pháp gần đúng khác không thực hiện được. Hơn nữa
do tính hội tụ nhanh của nhiễu này đến nhiễu Gauss, chúng tôi mong đợi rằng
phương pháp này cho kết quả chính xác hơn các phương pháp gần đúng khác.
Phương pháp nhiễu tiền Gauss một điện tín đã được sử dụng để nghiên cứu
phổ HQCH đối xứng và bất đối xứng [31],[57]. Với mong muốn mở rộng phổ
HQCH cho trường hợp bất đối xứng dưới ảnh hưởng của các va chạm được
mô hình hoá bởi nhiễu điện tín và sau này có thể tiếp tục đi sâu vào lĩnh vực
quang lượng tử hay vật lý laser, chúng tôi đã chọn "Ứng dụng lý thuyết ngẫu
nhiên để khảo sát hiện tượng huỳnh quang cộng hưởng" làm đề tài luận văn

thạc sĩ. Hy vọng rằng chúng tôi sẽ đưa ra được các kết quả mới mang tính
tổng quát đối với sự phụ thuộc của các đại lượng khảo sát vào cường độ cũng
như vào thông số nhiễu của trường ngoài.
2. Mục đích nghiên cứu
Thu được biểu thức giải tích chính xác của phổ HQCH phụ thuộc vào
độ lệch cộng hưởng với vận tốc của khí đệm có giá trị không đổi trong trường
hợp các va chạm trong hệ nguyên tử được mô hình hóa bởi nhiễu tiền Gauss
một điện tín.
Thu được biểu thức giải tích chính xác của phổ HQCH phụ thuộc vào
độ lệch cộng hưởng với vận tốc của khí đệm tuân theo phân bố MaxwellBoltzmann trong trường hợp các va chạm trong hệ nguyên tử được mô hình
hóa bởi nhiễu tiền Gauss một điện tín.
Khảo sát sự phụ thuộc của các phổ HQCH vào các thăng giáng va
chạm.


4
3. Phương pháp nghiên cứu
Để thu được biểu thức giải tích chính xác của phổ HQCH tác giả sử
dụng phương pháp nhiễu tiền Gauss. Phương pháp này có ưu điểm là có khả
năng tìm được trung bình giải tích chính xác ngay cả trường hợp bài toán có
độ phi tuyến cao. Hơn nữa, nhiễu tiền Gauss tiệm cận rất tốt với nhiễu Gauss.
Nhiễu tiền Gauss chỉ cần chứa một vài nhiễu điện tín cũng gần đúng hoàn
toàn với nhiễu Gauss.
Để thực hiện tính số và vẽ đồ thị tác giả sử dụng một số phềm mềm
chuyên dụng như: Maple, Mathematica hoặc Matlab.


5
Chương 1.
CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN TRONG QUANG HỌC LƯỢNG TỬ

1.1. Các mô hình ngẫu nhiên của laser
1.1.1. Laser đơn mốt với thăng giáng pha và biên độ
Lý thuyết laser được xây dựng trong khuôn khổ lý thuyết lượng tử về
tương tác của trường điện từ với hệ vật chất. Xuất phát từ bức tranh vi mô có
thể dẫn đến mô hình ngẫu nhiên của ánh sáng laser. Tất cả các tham số đặc
trưng của các quá trình ngẫu nhiên mô tả trường laser có thể được xác định
bởi một lý thuyết vi mô đầy đủ. Việc xem xét chi tiết hơn lý thuyết này cho ta
mô hình trong đó trường bức xạ phát ra bởi laser được mô tả bằng một biên
độ phức:
  t   0    t  e i  t  ,

(1.1)

trong đó  0 là hằng số,   t  và   t  là các quá trình ngẫu nhiên độc lập nhau.
Lý thuyết mô tả độ rộng phổ đồng nhất dựa trên lược đồ hình 1.1 [44].
Bây giờ ta giả thiết rằng trong khuôn khổ lý thuyết lượng tử, hệ mà ta quan
tâm được mô tả bằng tập hợp các toán tử  l  l1 , l2 ,..., l  ,... . Chẳng hạn, đối với
trường bức xạ đơn mốt  l  l , l   với l và l  tương ứng là toán tử hủy và toán
tử sinh photon. Còn đối với nguyên tử hai mức là mô hình của nguyên tử
trong môi trường hoạt, ta có  l  ,  , z  , trong đó  và   là tổ hợp của
các ma trận Pauli [3]. Bây giờ chúng ta đưa vào một tập các toán tử mô tả bể
nhiệt  m  m1 , m2 ,..., m ,... . Lấy ví dụ cho trường hợp bức xạ nhiệt, m có thể
là các toán tử hủy và sinh của các lượng tử trường với năng lượng   . Nếu
Hamilton tương tác chỉ chứa các số hạng lưỡng tuyến tính, thì các phương
trình Heisenberg mô tả tiến triển của hệ là tuyến tính đối với các biến  l ,  m .
Lúc đó ta có thể bỏ qua  m và các phương trình thu được chỉ chứa các toán tử

 l và các giá trị ban đầu của các toán tử  m :

6
dli
 f i  l    Gi  m 0   .
dt

Các hệ A
Các
nguyên
tử của
môi
trường
,
+tính
, z
hoạt

(1.2)

Các bể nhiệt B
Bơm

Các thăng giáng Pumping
chân không ( phát xạ tự
phát)
Các phonon hoặc các nguyên tử va chạm
với nhau

Tương tác NGUYÊN TỬ +
TRƯỜNG
Các

trường
bức xạ
l, l+

Các thành của buồng cộng hưởng dao
động của các gương bức xạ nhiệt

Hình 1.1 Sơ đồ các mô hình mô tả độ rộng đồng nhất.
Các giá trị cụ thể của các toán tử mi  0  không được biết trước, song từ các
tính chất của hệ bể nhiệt cho trước ta có thể biết được các tính chất thống kê
của chúng và từ đó ta có các tính chất thống kê của các lực Gi . Nói chung
việc phân tích chính xác các tính chất thống kê này không thực hiện được.
Song thời gian tương quan thực của các hàm Gi  t  thường nhỏ so với tất cả
các thời gian đặc trưng khác của hệ được xét. Vì vậy ta giả thiết rằng hàm
tương quan hai thời gian đối với các lực có dạng:
Gi  t Gk  t ' 2ik   t  t ' .

(1.3)


7
Khi đó phương trình (1.2) tương tự với phương trình Langevin của lý thuyết
chuyển động Brown [50]. Phương pháp trên đã được Haken dùng trong lý
thuyết laser với sự mở rộng đồng nhất [26].
Bằng các phương pháp gần đúng tiếp theo ta thu được phương trình cho
trường laser phức (1.1). Với sự tuyến tính hóa lời giải dừng dẫn đến các
phương trình kiểu Langevin không phụ thuộc vào nhau đối với pha và biên độ:
   G  t  ,
  t     t   t  ,

(1.4a)
(1.4b)

trong đó G  t  và  t  là các nhiễu trắng không liên quan với nhau, tức là các
quá trình Gauss với các tính chất sau:
G  t  0 , G  t G  t ' 2l  t  t ' ,

(1.5a)

 t  0 ,  t   t ' 2m  t  t ' .

(1.5b)

Từ (1.4) ta suy ra biên độ và đạo hàm của pha là các quá trình Ornstein –
Uhlenbeck [50]. Đây là các quá trình Gauss với giá trị trung bình không đổi
(thường bằng không) x t  const và hàm tương quan:
x t  x t '  02 exp   t  t '  .

(1.6)

Trên cơ sở (1.6) và tính chất Gauss của x t  ta có thể chỉ ra rằng quá trình
Ornstein–Uhlenbeck là một quá trình Markov [14]. Thông thường các thăng
giáng của biên độ rất nhỏ so với những thăng giáng pha. Do đó, trong mô tả
laser đơn mốt người ta thường bỏ qua các thăng giáng biên độ. Mô hình như
vậy được gọi là mô hình khuếch tán pha [14].
Phần trên đã trình bày hình thức luận dẫn đến sự mở rộng đồng nhất
của laser. Khi tính đến cả sự mở rộng không đồng nhất, cần phải lấy trung
bình các kết quả cuối cùng theo phân bố thống kê của tham số tương ứng có
trong các phương trình động lực học liên quan đến tính không đồng nhất của
môi trường hoạt tính. Trong việc mô tả laser khí, tham số này là vận tốc

nguyên tử với phân bố Maxwell.


8
1.1.2. Mô hình laser với thăng giáng bơm
Trong những năm 70 của thế kỷ trước người ta vẫn nghĩ rằng lý thuyết
laser được phát triển đồng thời tại ba địa điểm: Trường phái Lamb [26], Bell
Telephone Laboratories [38] ở Mỹ và Nhóm Haken [44] ở Stuttgart (Đức) mô
tả rất tốt các tính chất kết hợp của ánh sáng laser. Tuy nhiên năm 1981
Mandel và các cộng sự [29],[46] đã chỉ ra rằng, trong thực nghiệm với laser
màu đơn mốt các hiện tượng thăng giáng quan sát thấy có những đặc điểm
khác biệt so với những tiên đoán của các mô hình chuẩn [38],[44]. Kaminishi
và cộng sự [29] đã dùng lý thuyết Haken để mô tả các kết quả thực nghiệm
của họ. Lý thuyết Haken dẫn đến phương trình cho biên độ phức của trường:





2
  t     t   G1      t  ,

(1.7)

với  là tham số bơm, G1  0 là tham số bảo hòa của môi trường hoạt tính, môi
trường này gây ra sự ổn định của laser hoạt động trên ngưỡng và   t  là nhiễu
trắng, mô tả các thăng giáng chân không hay phát xạ tự phát (hình 1.1). Mặc
dù, phương trình (1.7) không phù hợp để giải thích các kết quả thực nghiệm
[29]. Tuy vậy, đây là lần đầu tiên người ta đã đề xuất rằng các thăng giáng bơm
(hình 1.1) có thể đóng một vai trò quan trọng trong laser màu đơn mốt. Thực

hiện những ý tưởng này Graham và những cộng sự [25] đã giả thiết rằng tham
số bơm  là nhiễu trắng và bỏ qua   t  trong phương trình (1.7). Từ giả thiết
này, thay cho quá trình cộng ta có quá trình nhân [20]. Khi đó các phương trình
này có thể giải được chính xác bằng phương pháp giải tích. Bằng cách này
người ta đã giải thích tốt các kết quả thực nghiệm trong [29].
Như đã trình bày trong [46], lý thuyết này vẫn chưa mô tả tốt một số
kết quả thực nghiệm khác. Họ đã thay nhiễu trắng bằng nhiễu màu, vì thời
gian hồi phục của nhiễu bơm có thể không đủ nhỏ khi so với các thời gian đặc
trưng khác của hệ laser màu. Song lúc đó phương trình:





2
  t     t   G1   ,

(1.8)


9
không giải được bằng giải tích. Lý thuyết về nhiễu màu được phát triển tốt
[35], nhưng chỉ trong trường hợp đặc biệt nó mang lại những lời giải chính
xác bằng giải tích. Dixit và Sahmi [12] đã giải lặp trên máy tính nhiễu màu và
thu được các kết quả hợp với thí nghiệm của Short và cộng sự.
1.1.3. Laser đa mốt và ánh sáng hỗn loạn
Chúng ta xem xét một cơ chế dẫn đến sự mở rộng của ánh sáng laser.
Trong laser đa mốt, biên độ phức của trường bức xạ có dạng [69]:
M

  t    k e  i  k t  k  ,

1.9)

k 1

trong đó M là số mốt,  k là các tần số của chúng đối với tần số trung bình  L
,  k là các biên độ không đổi và  k là các pha ngẫu nhiên độc lập nhau. Ta
chấp nhận một giả thiết tự nhiên là các pha này được phân bố đồng đều trong
đoạn  0,2  . Từ các tính chất của pha  k ta có
  t  0,

(1.10a)

M

 *  t   t '   k2 e  ik  t  t '  ,

(1.10b)

  t   t '   *  t  *  t ' 0.

(1.10c)

k 1

Ta có thể tính được hàm đặc trưng của quá trình

  i   t  v  t  dt  i 
 M v  t , v*  t   e 





*

 t  v *  t  dt



 (t )

[2],[16],[69]:

M

  J 0  2 vk  ,
k 1

(1.11)

 i t
với vk e v t  dt và J 0 là hàm Bessel bậc không [1]. Ta giả thiết M  
k

trong khi biên độ của chúng lại tiến đến 0, như vậy
I t    t 

2

M

  k2

(1.12)

k 1

là hằng số. Ta có tiệm cận [28]
J 0'  z 
z
 ,
z
0
J0  z
2

(1.13)

khi  k  0 ta tìm được





 vt  

  v t , v *  t  exp 

*

 t   t ' v*  t ' dtdt ' .

(1.14)


10
Vậy, ở giới hạn vô cùng của số mốt,    v t , v *  t   là hàm đặc trưng của quá
trình Gauss,  (t ) là quá trình Gauss. Chúng ta không biết được dạng tường
*
minh của hàm tương quan  (t ) (t ' ) . Để tính toán nó ta phải biết được mối

liên hệ giữa  k và  k . Nó thường được giả thiết rằng [22],[23],[68]
 *  t   t '  I 0 e  m t  t ' .

(1.15)

Có thể kết luận rằng, ở giới hạn vô cùng của số mốt, ánh sáng laser M mốt có
tính chất thống kê như quá trình bức xạ nhiệt.
1.2. Nhiễu tiền Gauss và ứng dụng
1.2.1. Một số khái niệm cơ bản
Trước khi giới thiệu khái niệm về nhiễu tiền Gauss, chúng ta trình bày
một số khái niệm cơ bản đã được trình bày chi tiết trong các sách chuyên
khảo [4],[15].
Chúng ta hãy xem xét biến ngẫu nhiên z với phân bố xác suất P z 
trong một không gian trạng thái [52]. Các đại lượng
Fn  z n P z z n dz

(1.16)

được gọi là các mômen. Còn biến đổi Fourier của phân bố P z 
X  J   exp iJz  e iJz P z dz ,

(1.17)

được định nghĩa như một hàm đặc trưng. Dễ dàng thấy rằng
Fn 

n x
n
 iJ 

.

(1.18)

J 0

Cumulant được định nghĩa như sau
On 

 n  log X  J  
n
 iJ 

.

(1.19)

J 0

Sau một số phép biến đổi đơn giản chúng ta tìm được mối liên hệ giữa các
mômen và cumulant:
F0 1,

 n  1! O F ,
j n j
j 1  j  1! n  j !
n

Fn 

n 1,2,3,...

(1.20)


11
Chúng ta có thể mở rộng các định nghĩa trên cho các quá trình phức đa chiều.
Quá trình ngẫu nhiên thực (phức) là tập hợp các biến số ngẫu nhiên với
các giá trị thực (phức) được đánh số bằng một tham số liên tục t. Nếu chia
thời gian ra các khoảng nhỏ, ta sẽ thu được các đường đi khác nhau cho quá
trình này (hình 1.2).
z(t)

t1 t
2

tn

Hình 1.2 Các đường đi khác nhau của một quá trình ngẫu nhiên cho trước z(t).

Phân bố
P z1 , z 2 ,..., z n , t1 , t 2 ,..., t n  P z  t   ,

(1.21)

trong đó z  ti   zi phụ thuộc phiếm hàm vào z  t  . Bây giờ chúng ta có thể định
nghĩa giá trị trung bình của một phiếm hàm bất kỳ bằng cách sử dụng tích
phân đường [19],[47]:
G z  t   Dz  t P z  t   G z  t   ,

(1.22)

trong đó tích phân ở vế phải được lấy theo tất cả các đường đi của quá trình.
Để mô tả đầy đủ quá trình z  t  ta chỉ cần biết phiếm hàm đặc trưng [21]
 t

X t  J   exp i J  s  z  s  ds  ,
 0


(1.23)

hay trong quá trình phức
t
 t

X t J , J *  exp i J  s  z  s  ds i J *  s  z *  s  ds  ,

0
 0






(1.24)


12
với J  t  là một hàm bất kỳ. Tương tự với (1.18) mômen tương ứng của quá
trình này là
 nXJ
Fn  t1 ,...,t n   z  t1 ...z  t n  
iJ  t1 ...iJ  t n 

,

(1.25)

J 0



ở đây J  t  là đạo hàm phiếm hàm [6]. Đôi khi các giới hạn trên của các tích
phân (1.23) và (1.24) không xác định được. Quá trình cho trước z  t  được gọi
là dừng nếu với mọi  i và n ta có
Fn  t1   ,..., t n     Fn  t1 ,..., t n  .

(1.26)

Tương tự (1.18) chúng ta định nghĩa cumulant của quá trình
On  t1 ,..., t n  

 n  J  t  
iJ  t1 ...iJ  t n 

,

(1.27)

J 0

với
X  J  exp  J  t    .

(1.28)

Như một ví dụ của quá trình ngẫu nhiên, chúng ta xem xét trường hợp nhiễu
điện tín [33], trong đó x có thể nhận hai giá trị l và  l , và xác suất đổi dấu
trong khoảng thời gian  t , t  t  bằng t / 2 t :
z  t    1

n  t ,0 

l,

(1.29)

n ne n
trong đó n t ,0  là một số tự nhiên ngẫu nhiên với phân bố Poison Pn 
,
n!

n t / 2 .

Có thể dễ dàng tính được giá trị trung bình và hàm tương quan hai thời
gian của quá trình này:
z t  le  t /  ,

z t1  z t 2  l 2 e

 t1  t 2 / 

(1.30)
.

(1.31)

Đối với các mômen bậc cao chúng ta có công thức hồi quy như sau





Fn t1 ,..., t n   z t1  z t 2  Fn  2 t 3 ,..., t n ,

với t1 ... t n . Phiếm hàm (1.23) thỏa mãn phương trình vi tích phân

(1.32)


13
t
X t  J 
ile  t /  J  t   l 2 e   t  s  /  J  t  J  s  X s  J  ds ,
t
0

(1.33)

phương trình này tương đương với phương trình vi phân bậc hai
2 X t  1 d
X
 
ln J  t   t  l 2 J 2  t  X t 0 ,
2
t
  dt
 t

(1.34)

với các điều kiện đầu
X t
t

X t 0 1,

ilJ  0  .

(1.35)

t 0

Nhiễu điện tín cũng là một quá trình mà tham số l phụ thuộc vào phân bố xác
suất
1
P l    l  l0   l  l0 .
2

 

 



(1.36)

2
2
Khi đó l 0 , l l0 và phương trình (1.33) có dạng

t
X t
2
 l0 e   t  s  /  J  t  J  s  X s  J  ds ,
t

0

(1.37)

còn phương trình (1.34) không thay đổi, chỉ có điều kiện ban đầu là khác
nhau:
X t
t

0 .

(1.38)

t 0

1.2.2. Nhiễu tiền Gauss, phương trình Chapman-KomogorowSmoluchowski
Bây giờ chúng ta xét tổng:
z  n   t  z1  t   z 2  t   ...  z n  t  ,

(1.39)

trong đó mỗi quá trình zi  t  là một nhiễu điện tính độc lập, l0  0 / n ,  0 là
một hằng số cho trước. Dễ dàng thấy rằng hàm đặc trưng cho quá trình (1.39)
n
n
sẽ được thừa số hóa, tức là X t  X t  trong đó X t là phiếm hàm đặc trưng của

nhiễu điện tín. Từ phương trình (1.37) ta có
ln X tn 
X

  02 J  t  e   t  s  /  J  s  s ds .
t
Xt
0
t

(1.40)


14
Cũng từ (1.37) khi n   , ta có

X t
0 và X t 1 ,
t
t

ln X t   02 J  t  e   t  s  /  J  s  ds .

(1.41)

0

Nghiệm của phương trình này có dạng
t
 1t

X t exp  ds1 J  s1   s1 , s 2  J  s 2 ds 2 
0
 20



,

(1.42)

trong đó
 s1 , s2   z  s1  z  s2   02e

 s1  s 2 / 

.

(1.43)

Như đã biết, quá trình có hàm đặc trưng dạng (1.42) là một quá trình Gauss.
Khi đó quá trình (1.39) tiến tới quá trình Gauss. Từ Makov và các tính chất
dừng của nhiễu điện tín, chúng ta có thể kết luận rằng quá trình trong giới hạn
xác định cũng phải là một quá trình Markov dừng. Dựa vào định lý Doob
[26], chúng ta thấy rằng nó là quá trình Ornstein-Uhlenbeck [29],[61]. Vậy
chúng ta gọi quá trình (1.39) là nhiễu tiền Gauss. Một ví dụ của quá trình này
được biểu diễn trên hình 1.3.
Trong phần đầu của chương này ta thấy rằng phiếm hàm đặc trưng của
phân bố xác suất P z  t   tương đương với vô số các hàm phân bố
Pn 1t1 ; 2 t 2 ;...;  n t n  , được gọi chung là xác suất liên kết [61]. Đối với trường

hợp hàm gián đoạn, ta có
n

J  t   J j t  t j ,

j 1

 n

X  J1 ,..., J n   exp i  z t j  J j  .
 j 1


(1.44)
(1.45)


15
(a) Một điện tín
1
-1
(b) Ba điện tín
1
-1
1
-1
1
-1
(c) Nhiễu tiền Gauss là tổng của ba
điện tín
31
1
-1
-31
Thời gian

Hình 1.3 Nhiễu tiền Gauss gồm ba điện tín.
Hình 12.5
Khái quát hóa công thức (1.17)
cho trường hợp đa chiều, chúng ta thấy

rằng Pn là biến đổi nghịch đảo Fourier của hàm (1.45)
n

  j J j dJ dJ
1
Pn 1t1;  2t2 ;...;  ntn  X  J1 ,..., J n e j 1
... n
2 2
i

(1.46)

   z  t1   1   z  t2    2 ...  z  tn    n  .

Bây giờ ta định nghĩa xác suất có điều kiện theo công thức:

P 1t1  2 t 2  

P 1t1 ; 2 t 2 
,
P 2 t 2 

(1.47)

16
cho t1 t 2 . Khái quát hóa định nghĩa này cho trường hợp tổng quát ta có
P1t1  2 t 2 ,...,  n t n  

P1t1 ; 2 t 2 ;...; n t n 
,
P 2 t 2 ;...; n t n 

(1.48)

đối với t1 t 2 ... t n . Quá trình này thỏa mãn điều kiện
P1t1  2t 2 ;...;  n t n  P1t1  2 t 2  được gọi là quá trình Markov. Khi đó chúng ta có
P1t1 ;  2 t 2 ;...;  n t n   P1t1  2 t 2  P 2 t 2  3t3 ...P n 1t n 1  n t n  P n t n  .

(1.49)

Như vậy quá trình Markov được mô tả đầy đủ bởi hai hàm Pt  và P1t1  2 t 2 
.
Hàm tương quan tùy ý có dạng:
z t1 ...z  t n  Dz d1 d 2 ...d n 1  z t1   2  z t 2 ...  n  z  t n  1 ... n P z
d1 ...d n Pn 1t1 ,..., n t n 1 ... n .

(1.50)

Từ phương trình (1.49) và (1.50) với mọi quá trình Markov ta có





F  z t1 ...F  z  t n   d1 ...d P 1t1  2 t 2 ...P n 1t n 1  n t n  P n t n  F 1 , t1 ...F  n , t n  ,
n

(1.51)

với F  z t   là hàm tùy ý của z .
Bây giờ chúng ta quay trở lại trường hợp nhiễu điện tín. Để phân biệt
trường hợp này đối với quá trình liên tục, ta thay đổi ký hiệu  i   i . Sử dụng
định lý [33]
f  z t   

f l  f   l f l  f   l

z t 
2
2l

(1.52)

cho hàm f tùy ý ta có



 



X  J 1 , J 2   exp iJ 1 z t1  exp iJ 2 z t 2  cos J 1l cos J 2l  sin J 1l sin J 2 le





 t1  t2 / 

.

(1.53)

Do đó
dJ dJ  i  J   J  
P 1t1 ; 2 t 2   1 2 e 1 1 2 2 X  J 1 , J 2 
2 2
1
  l  1    l  1   l   2    l   2 
4


 t  t /
1

 l   1    l   1   l   2    l   2  e 1 2 .
2
4i

(1.54)


17
Mặt khác

1
P 2 , t 2   P 1t1 ; 2 t 2     l   2     l   2  .
2
1

(1.55)

Cuối cùng ta có
1
1
 t  t /
 t  t /
P1t1  2 t 2    1   2  1  e 1 2   1   2  1  e 1 2 .
2
2









(1.56)

Lấy vi phân biểu thức này chúng ta tìm được phương trình ChapmanKomogorov-Smoluchowski
P 1t1  2t 2 
1
1


P1t1  2 t 2  
P  1t1  2 t 2  .
t1
2
2

(1.57)

Bây giờ ta xét đến nhiễu tiền Gauss (1.39) đối với mỗi nhiễu điện tín, ta có
phương trình (1.57). Vì zi độc lập, chúng ta có
P1 , 2 ,...,  n  P 1 ...P  n  .

(1.58)

Phương trình (1.57) dẫn đến
P 1 ,..., n 
n
1

P 1 ,..., n    P   1 ,..., n   P 1 ,  2 ,..., n   ...  P 1 ,...,  n   , (1.59)
t
2
2

ở đây để đơn giản chúng ta bỏ qua một phần các tham số. Sử dụng sự tương tự
giữa nhiễu tiền Gauss (1.39) và hệ spin 1 / 2 , chúng ta có thể viết lại phương trình
(1.59) theo một cách khác thuận lợi hơn. Chúng ta hãy ký hiệu  là độ dài của
z  t  trong đơn vị l , ví dụ đối với n 2 ,  có thể có các giá trị 2, 0, -2, còn đối

với n 3 thì  3,1, 1, 3 … Xác suất cư trú của trạng thái với giá trị  là
P   

n!
 n    n    .
2n 
!
!
 2  2 

(1.60)

Lúc đó dựa vào (1.59) ta có

n
n  n 
n 
P t  0 t 0 
P t  0 t 0 
P   2, t  0 t 0 
P   2, t  0 t 0  LCKS P t  0 t 0

t
2
2  2n
2n




















.

(1.61)

Trong trường hợp quá trình bất kỳ LCKS có thể là toán tử vi phân hoặc tích
phân. Phương trình vi phân cho xác suất có điều kiện là phương trình master,
được đưa ra lần đầu tiên bởi Uhlenbeck [61].