Khoá luận tốt nghiệp ba đường cônic và bài toán quỹ tích

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
***********

ĐINH CÔNG LÂM

BA ĐƯỜNG CÔNIC VÀ BÀI TOÁN
QUỸ TÍCH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI – 2019


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
***********

ĐINH CÔNG LÂM

BA ĐƯỜNG CÔNIC VÀ BÀI TOÁN
QUỸ TÍCH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học

ThS. Đinh Thị Kim Thúy

HÀ NỘI – 2019

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành được khóa luận tốt nghiệp này, ngoài sự cố gắng, nỗ
lực của bản thân, em còn nhận được sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình
chu đáo của thạc sĩ Đinh Thị Kim Thúy - giảng viên tổ Hình Học,
khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2. Đồng thời em cũng
nhận được các ý kiến chỉ bảo, giúp đỡ, hướng dẫn từ các thầy cô giáo
khoa Toán cùng bạn bè.
Nhân dịp này, em xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô
Đinh Thị Kim Thúy, người đã tận tình quan tâm giúp đỡ em trong
suốt thời gian qua, xin cảm ơn cô cùng các thầy cô, bạn bè và gia đình
đã tạo mọi điều kiện để em hoàn thành khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2019
Tác giả khóa luận

Đinh Công Lâm


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan khóa luận "Ba đường Cônic và bài toán quỹ
tích" là công trình nghiên cứu của riêng em dưới sự hướng dẫn của
ThS. Đinh Thị Kim Thúy. Các nội dung nghiên cứu trong khóa luận
là hoàn toàn trung thực và có sử dụng một số tài liệu trong danh mục
tài liệu tham khảo. Em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về khóa luận
của mình.
Hà Nội, tháng 05 năm 2019
Tác giả khóa luận

Đinh Công Lâm

Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Kiến thức cơ bản về ba đường Cônic

4

1.1

1.2

1.3

Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Phương trình chính tắc của Elip . . . . . . . . .

4

1.1.2

Hình dạng và tính chất của Elip . . . . . . . . .

6

1.1.3

Tiếp tuyến của Elip . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Hypebol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.1

Phương trình chính tắc của Hypebol . . . . . .

10

1.2.2

Hình dạng và tính chất của Hypebol . . . . . .

12

1.2.3

Tiếp tuyến của Hypebol. . . . . . . . . . . . . .

14

Parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3.1

Phương trình chính tắc của Parabol . . . . . . .

17

1.3.2

Hình dạng và tính chất của Parabol. . . . . . .

18

1.3.3

Tiếp tuyến của Parabol. . . . . . . . . . . . . .

19

2 Bài toán quỹ tích của ba đường Cônic

21

2.1

Một vài nét về bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . . .

21

2.2

Elip và bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2.1

22

Quỹ tích là Elip. . . . . . . . . . . . . . . . . .
i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2.2

ĐINH CÔNG LÂM

Quỹ tích trung điểm dây cung AB của Elip có
phương không đổi. . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.3

Quỹ tích trung điểm dây cung AB của Elip biết

đường thẳng AB luôn đi qua M. . . . . . . . .

2.2.4

2.3

31

Quỹ tích tâm đường tròn tiếp xúc với 2 đường
tròn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.6

28

Quỹ tích tâm các đường tròn qua một điểm và
tiếp xúc với đường tròn cho trước. . . . . . . . .

2.2.5

24

34

Quỹ tích các điểm từ đó kẻ được hai tiếp tuyến
vuông góc với nhau đến Elip. . . . . . . . . . .

37

Hypebol và bài toán quỹ tích. . . . . . . . . . . . . . .

39

2.3.1

Quỹ tích là Hypebol. . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.3.2

Quỹ tích trung điểm dây cung AB của Hypebol
có phương không đổi. . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.3

Quỹ tích trung điểm dây cung AB của Hypebol
biết AB luôn đi qua M. . . . . . . . . . . . . .

2.3.4

44

45

Lập phương trình quỹ tích các điểm từ đó kẻ
được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đến Hypebol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.4

Parabol và bài toán quỹ tích. . . . . . . . . . . . . . .

47

2.5

Bài tập đề nghị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Kết luận

54

Tài liệu tham khảo

55

ii


Lời mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
“ Ba đường conic và bài toán quỹ tích” là một trong những chuyên
đề hình học của chương trình hình học THPT. Các bài toán thường
phải áp dụng tính chất hình học trước khi sử dụng biến đổi đại số chứ
không còn là kĩ thuật tính toán đại số như thông thường. Vì vậy để
học tốt nội dung này, học sinh cần phối hợp nhiều thao tác tư duy như

phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa,...
Tuy nhiên, mỗi học sinh có khả năng học tập, tiếp thu khác nhau. Hơn
nữa, các bài toán về “ Ba đường Cônic và bài toán quỹ tích” thường
phức tạp nên việc vận dụng lí thuyết vào làm bài tập là khá khó khăn
đối với học sinh.
Vì những lí do trên, em chọn đề tài “ Ba đường Cônic và bài toán
quỹ tích” với mong muốn giúp đỡ các học sinh hiểu được và nắm chắc
kiến thức, đồng thời phát hiện và giúp các em khắc phục những sai
lầm khi giải các bài toán về Elip, Parabol, Hypebol và các bài toán
quỹ tích của chúng.

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐINH CÔNG LÂM

2. Lịch sử nghiên cứu vấn đề
Các đường conic là một chủ đề toán học được nghiên cứu một cách
có hệ thống. Những đường conic được phát hiện bởi Menaechmus
(Người Hy Lạp, 375-325 năm trước Công nguyên), từng là giám hộ
cho Alexander the Great. Những đường conic được hình thành trong
nỗ lực của các nhà toán học để giải 3 bài toán nổi tiếng: chia thành ba
góc bằng nhau của một góc, gấp đôi khối lập phương và phép và phép
cầu phương vòng tròn. Những định nghĩa đầu tiên về ba đường conic
như là sự cắt nhau của một hình nón xoay có góc ở đỉnh thay đổi với
mặt phẳng vuông góc với đường sinh của hình nón, tùy thuộc vào góc
nhỏ, bằng hay lớn hơn 90 độ mà chúng ta có được elip, parabol hay
hypebol tương ứng.

3. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về ba đường conic và ứng dụng của
nó vào việc giải bài toán quỹ tích.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Tóm tắt kiến thức cơ bản liên quan đến ba đường conic
• Xây dựng hệ thống các ví dụ minh họa và bài tập luyện tập về
ba đường conic và bài toán quỹ tích.

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐINH CÔNG LÂM

5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp phân tích và tổng hợp kiến thức từ việc nghiên cứu SGK,
các sách tham khảo, các tài liệu có liên quan đến nội dung này.

3


Chương 1
Kiến thức cơ bản về ba đường
Cônic
1.1
1.1.1

Elip
Phương trình chính tắc của Elip

Định nghĩa 1.1. Elip (E) là tập hợp những điểm sao cho tổng khoảng
cách tới hai điểm cố định phân biệt F1 , F2 bằng một số không đổi 2a,
lớn hơn khoảng cách F1 F2 .
Vậy (E) = {M | M F1 + M F2 = 2a} .
Trong đó:
• Hai điểm F1 , F2 gọi là hai tiêu điểm.
• Khoảng cách F1 F2 = 2c : tiêu trục.
• Trung điểm I của F1 F2 là tâm của (E).
Định lý 1.1. Trong mặt phẳng Oxy, nếu (E) có các tiêu điểm F1 (−c, 0),
F2 (c, 0) và có tổng hai bán kính qua tiêu điểm ứng với điểm tùy ý

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐINH CÔNG LÂM

M (x, y) ∈ (E) là 2a(a > c) thì Elip (E) có phương trình:
x2 y 2
+ 2 = 1 với b2 = a2 − c2 .
2
a
b
Chứng minh. Cho điểm tùy ý M (x, y) ∈ (E) và F1 (−c, 0), F2 (c, 0) là
các tiêu điểm của (E).
Ta có:

M (x, y) ∈ (E) ⇔ F1 M + F2 M = 2a

(1.1)

F1 M 2 = (x + c)2 + y 2

(1.2)

F2 M 2 = (x − c)2 + y 2

(1.3)

Từ đó
F1 M 2 − F2 M = 4cx
M F1 2 − M F2 2
4cx 2cx
F1 M − F2 M =
=
=
M F1 + M F2
2a
a

(1.4)

Từ (1.1) và (1.4) ta được:
F1 M = a +

cx
a

(1.5)

Thay (1.5) vào (1.2) ta được:
a+

cx
a

2

= (x + c)2 + y 2 ⇔ x2 (a2 − c2 ) + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 ) (1.6)

x2 y 2
Đặt b = a − c , khi đó (1.6) được viết lại dưới dạng: 2 + 2 = 1.
a
b
x2 y 2
Vậy phương trình Elip (E) là: 2 + 2 = 1 với b2 = a2 − c2 .
a
b
2

2

2

5

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.2

ĐINH CÔNG LÂM

Hình dạng và tính chất của Elip

Ta xét tính chất hình học của Elip
x2 y 2
(E) : 2 + 2 = 1 (a > b)
a
b
• Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1 (−c; 0)
Tiêu điểm phải F2 (c; 0).
• Các đỉnh: A1 (−a; 0); A2 (a; 0); B1 (0, −b); B2 (0, b)
• Trục lớn: A1 A2 = 2a, nằm trên trục Ox
Trục nhỏ: B1 B2 = 2b, nằm trên trục Oy
c
• Tâm sai: e = < 1
a
• Bán kính qua tiêu điểm của điểm M (xM , yM ) thuộc (E) là:
c
Bán kính qua tiêu điểm trái: M F1 = a + e.xM = a + xM
ac
Bán kính qua tiêu điểm phải: M F2 = a − e.xM = a − xM
a
a
• Đường chuẩn: x = ±
e

• Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở: x = ±a; y = ±b;
(Độ dài hai cạnh là 2a và 2b)
• Trục đối xứng: Ox; Oy
Tâm đối xứng: O.
Ví dụ 1.1. Chuyển phương trình các Elip sau về dạng chính tắc, từ
đó xác định các thuộc tính của nó và vẽ hình, biết:
a) (E) : 4x2 + 9y 2 = 36
b) (E) : y = −

1√
1 − 9x2
2

Lời giải.
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐINH CÔNG LÂM

a) Chuyển phương trình của (E) về
dạng:
x2 y 2
+
= 1 ⇒ a = 3, b = 2
(E) :
9√ 4
và c = 5
Khi đó (E) có các thuộc tính:

• Tâm O(0, 0)
√
• Trục lớn thuộc Ox có độ dài bằng 6 chứa 2 tiêu điểm: F1 (− 5, 0)
√
và F2 ( 5, 0).
• Trục nhỏ thuộc
√ Oy có độ dài bằng 4.
5
9
• Tâm sai e =
, phương trình 2 đường chuẩn (∆1 ) : x = − √
3
5
9
(∆2 ) : x = √
5
b) Chuyển phương trình của (E) về dạng:
√
5
x2
y2
1
1
(E) :
+
= 1 với y < 0 ⇒ a = , b = và c =
.
1/9 1/4
3
2

6
Khi đó (E) có các đặc điểm:
• Tâm O(0, 0)
• Trục lớn thuộc Oy có độ dài bằng
1 chứa hai tiêu điểm:
√

F1

5
0, −
6

√
và F2 0,

5
6

2
• Trục nhỏ thuộc Ox có độ dài bằng
3
√
5
• Tâm sai e =
có đồ thị là nửa Elip (E) ở phía dưới trục Ox.
3

7

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.3

ĐINH CÔNG LÂM

Tiếp tuyến của Elip

Định nghĩa 1.2. Cho Elip (E) và đường thẳng (d). Đường thẳng (d)
gọi là tiếp tuyến của (E) nếu (d) có một điểm chung duy nhất với (E).
Định lý 1.2. Cho Elip (E) có phương trình chính tắc:
x2 y 2
(E) : 2 + 2 = 1 với b2 = a2 − c2
a
b
Đường thẳng (d) : Ax + By + C = 0 (với A2 + B 2 = 0) là tiếp tuyến
khi và chỉ khi: A2 a2 + B 2 b2 = c2 (gọi là điều kiện tiếp xúc).
Chứng minh. Đường thẳng (d) tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi hệ
phương trình sau có nghiệm duy nhất
 2
2

x + y = 1
a2 b2

Ax + By + C = 0

2
2


 x + y =1
a
b
⇔
y
x

Aa
+ Bb
+c=0
a
b
Đặt X =

y
x
, Y = ta có hệ:
a
b


(X)2 + (Y )2 = 1

(1.7)

(1.8)


Aa(X) + Bb(Y ) + C = 0

Hệ (1.7) có nghiệm duy nhất khi hệ (1.8) có nghiệm duy nhất
Hệ (1.8) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng (d ) : AaX +
BbY + C = 0 tiếp xúc với đường tròn (C) : X 2 + Y 2 = 1 hay khoảng
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐINH CÔNG LÂM

cách từ tâm O(0, 0) đến đường thẳng (d ) bằng bán kính R = 1.
|c|
Vậy hệ (1.8) có nghiệm duy nhất khi √
= 1 hay A2 a2 +
2
2
2
2
A a +B b
2 2
2
B b =c .
Hệ quả 1.1. Cho Elip (E) có phương trình chính tắc:
(E) :

x2 y 2
+ 2 = 1 với b2 = a2 − c2 .
2
a
b

Nếu diểm M (xM , yM ) thuộc (E) thì tiếp tuyến của (E) tại M có
x.xM y.yM
phương trình là (d) :
+ 2 = 1.
a2
b
2
x2M yM
Chứng minh. Do M thuộc (E) nên có: 2 + 2 = 1
a
b
Hiển nhiên điểm M thuộc đường thẳng d.
x.xM y.yM
x.xM y.yM
Ta có (d) :
+
=
1
⇔
+ 2 −1=0
a2
b2
a2
b
Theo điều kiện của định lý có:
xM
a2

2

yM
a +
b2
2

2

2
x2M yM
b = 2 + 2 = 1.
a
b
2

Vậy (d) là tiếp tuyến của (E) tại M.
Ví dụ 1.2. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường Elip:
x2 y 2
x2 y 2
+
= 1 và
+
= 1.
5
4
4
5
Lời giải. Gọi tiếp tuyến chung của 2 Elip là (d) : Ax + By + C = 0
(với A2 + B 2 = 0).
Theo điều kiện tiếp xúc có:



5A2 + 4B 2 = C 2

⇔


4A2 + 5B 2 = C 2
Chọn A = 1 suy ra B = ±1 và C = ±3.
Vậy phương trình tiếp tuyến chung của hai Elip là:
9



A2 = B 2

C 2 = 9B 2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2

ĐINH CÔNG LÂM

(d1 ) : x + y + 3 = 0

(d3 ) : x − y + 3 = 0

(d2 ) : x + y − 3 = 0

(d4 ) : x − y − 3 = 0

Hypebol

Định nghĩa 1.3. Hypebol (H) là tập hợp những điểm sao cho giá
trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách tới hai điểm cố định phân biệt
F1 , F2 bằng một số không đổi 2a, nhỏ hơn khoảng cách F1 , F2 .
Vậy (H) = {M : |M F1 − M F2 | = 2a}
Do đó:
• Hai điểm cố định F1 , F2 gọi là hai tiêu điểm.
• Khoảng cách F1 F2 = 2c được gọi là tiêu
cự.
• Đường thẳng F1 F2 : Tiêu trục.
• Trung điểm I của F1 F2 là tâm của (H)
1.2.1

Phương trình chính tắc của Hypebol

Định lý 1.3. Trong mặt phẳng Oxy, nếu (H) có các tiêu điểm F1 (−c, 0),
F2 (c, 0) và có trị tuyệt đối hai bán kính qua tiêu điểm ứng với điểm
tùy ý M (x, y) ∈ (H) là 2a (a < c) thì Hypebol (H) có phương trình:
x2 y 2
− 2 = 1 với b2 = c2 − a2
2
a
b
Chứng minh. Chọn điểm tùy ý M (x, y) ∈ (H). Các tiêu điểm F1 (−c, 0)
và F2 (c, 0).

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐINH CÔNG LÂM

Ta có:
Vì M (x, y) ∈ (H) ⇔ |F1 M − F2 M | = 2a

(1.9)

F1 M 2 = (x + c)2 + y

(1.10)

F2 M 2 = (x − c)2 + y 2

(1.11)

Từ đó: F1 M 2 − F2 M 2 = 4cx
Từ (1.9) ta được: F1 M − F2 M = ±2a.
• Với
F1 M − F2 M = 2a
4cx 2cx
M F12 − M F22
=
=
F1 M + F2 M =

M F1 − M F2
2a
a

(1.12)
(1.13)

Từ (1.12) và (1.13) ta được:
F1 M = a +

cx
a

(1.14)

• Với
F1 M − F2 M = −2a

(1.15)

M F12 − M F22
2cx
F1 M + F2 M =
=−
M F1 − M F2
a

(1.16)

Từ (1.15) và (1.16) ta được:

F1 M = −a −

cx
a

(1.17)

Vậy M (x, y) ∈ (H) nên ta có:
F1 M = a +

11

cx
a

(1.18)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐINH CÔNG LÂM

Thay (1.18) vào (1.10) ta được:
a+

cx
a

2

= (x + c)2 + y 2 ⇔ x2 (c2 − a2 ) − a2 y 2 = a2 (c2 − a2 )
(1.19)

x2 y 2
Đặt b = c −a , khi đó (1.19) được viết lại dưới dạng: 2 − 2 = 1.
a b
2

2

2

Vậy phương trình Hypebol (H) :
1.2.2

x2 y 2
− 2 = 1 với b2 = c2 − a2 .
2
a
b

Hình dạng và tính chất của Hypebol

Ta xét tính chất hình học của Hypebol có
phương trình
x2 y 2
(H) : 2 − 2 = 1
a
b
• Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1 (−c; 0)

Tiêu điểm phải F2 (c; 0)
• Các đỉnh: A1 (−a, 0); A2 (a, 0)
• Trục thực: A1 A2 = 2a, nằm trên trục Ox
Trục ảo: B1 B2 = 2b, nằm trên trục Oy
c
• Tâm sai: e = > 1
a
• Bán kính qua tiêu điểm M (xM , yM ) thuộc E là:
c
Bán kính qua tiêu điểm trái: M F1 = |a + e.xM | = |a + .xM |
ac
Bán kính qua tiêu điểm phải: M F2 = |a − e.xM | = |a − .xM |
a
a
• Đường chuẩn: x = ±
e
• Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở: x = ±a; y = ±b
(Độ dài hai cạnh là 2a và 2b)
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐINH CÔNG LÂM

b
• Phương trình các đường tiệm cận: y = ± x
a
• Trục đối xứng: Ox, Oy
Tâm đối xứng: O

Ví dụ 1.3. Tìm phương trình chính tắc của các Hypebol (H) có
phương trình:
a. 4x2 − 9y 2 = 36

b. y =

2√ 2
x −9
3

Lời giải. a. Chuyển phương trình của (H) về dạng:
√
x2 y 2
(H) :
−
= 1 ⇒ a = 3, b = 2 và c = 13
9
4
Trong đó:
• Tâm O(0, 0)
√
√
• Tiêu điểm F1 (− 13, 0), F2 ( 13, 0).
• (H) có trục thực thuộc Ox có độ dài bằng 6.
b. Chuyển phương trình (H) về dạng:
√
5
x2 y 2
1
−

= 1, với y ≥ 0 ⇒ a = , b = 1 và c =
(H) :
9
4
2
2
Trong đó:
• Tâm O(0, 0)
√
√
• Tiêu điểm F1 (− 13, 0), F2 ( 13, 0)
• Nửa Hypebol (H) ở phía trên trục Ox

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.3

ĐINH CÔNG LÂM

Tiếp tuyến của Hypebol.

Định nghĩa 1.4. Cho Hypebol (H) và đường thẳng (d). Đường thẳng
(d) gọi là tiếp tuyến của (H) nếu (d) không song song với các đường
tiệm cận của (H) và (d) có một điểm chung duy nhất với (H).
Định lý 1.4. Cho Hypebol (H) có phương trình chính tắc:
x2 y 2
(H) : 2 − 2 = 1 với b2 = c2 − a2 .

a
b
Đường thẳng (d) : Ax + By + C = 0 (với A2 + B 2 = 0) là tiếp tuyến
của (H) khi và chỉ khi:
A2 a2 − B 2 b2 = c2 = 0 (Gọi là điều kiện tiếp xúc.)
Chứng minh. Hai đường tiệm cận của (H) có phương trình là:
b
y = ± x ⇔ bx ± ay = 0
a
Điều kiện để (d) không song song với hai đường tiệm cận là:
A
B
= ± ⇔ A2 b2 − B 2 b2 = 0
a
b
Đường thẳng (d) tiếp xúc với (H) khi A2 b2 − B 2 b2 = 0 (∗) và hệ
phương trình sau có nghiệm duy nhất:
 2
2

x − y = 1
a2 b 2

Ax + By + C = 0


2
2

 x = y +1

a
b
⇔

Ax + By + C = 0

14

(1.20)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


2
2

 a + ay = 1
x
bx
⇔
By
C

A +
+ =0
x
x
Đặt X =

ĐINH CÔNG LÂM


2
2

 a + ay = 1
x
bx
⇔
C
Bb ay
a


+
+A=0
a x
a bx

ay
a
,Y =
ta có hệ:
x
bx


(X)2 + (Y )2 = 1


 C (X) + Bb (Y ) + A = 0
a
a

(1.21)

Hệ (1.20) có nghiệm duy nhất khi hệ (1.21) có nghiệm duy nhất.
C
Hệ (1.21) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng (d ) : X +
a
Bb
Y + A = 0 tiếp xúc với đường tròn (C) : X 2 + Y 2 = 1
a
Khi đó khoảng cách từ tâm O(0, 0) đến đường thẳng (d ) bằng bán
kính R = 1.
Vậy hệ (1.8) có nghiệm duy nhất khi

|A|
C2
a2

+

=1
B 2 b2
a2

Hay A2 a2 − B 2 b2 = c2 .
Kết hợp với điều kiện (∗) thì d là tiếp tuyến của (H) khi và chỉ khi
A2 a2 − B 2 b2 = c2 = 0

Hệ quả 1.2. Cho (H) có phương trình chính tắc:
(H) :

x2 y 2
− 2 = 1 với b2 = a2 − c2
2
a
b

Nếu điểm M (xM , yM ) thuộc (H) thì tiếp tuyến của (H) tại M có
x.xM y.yM
− 2 = 1.
phương trình là (d) :
a2
b
Ví dụ 1.4. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(1, 4)
x2 y 2
và tiếp xúc với Hypebol (H) :
−
= 1. Tìm tọa độ tiếp điểm.
1
4
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐINH CÔNG LÂM

Lời giải. Gọi M (xo , yo ) là tiếp điểm của (d). Khi đó đường thẳng d có

yo .y
phương trình dạng: (d) : xo .x −
=1
4
Vì (d) đi qua A(1, 4) nên
x o − yo = 1

(1.22)

Mặt khác M thuộc (H) nên:
x2o yo2
−
=1
1
4


xo = 1
hoặc
Từ (1.22) và (1.23) suy ra

yo = 0

(1.23)


xo = −5
3

yo = − 8

3

5 8
− ,−
3 3
Suy ra tiếp tuyến của (H) là:
5
2
x = 1 ⇔ x − 1 = 0 hoặc − x + y = 1 ⇔ 5x − 2y + 3 = 0.
3
3
Vậy M (1, 0) hoặc M

1.3

Parabol

Định nghĩa 1.5. Parabol (P ) là tập hợp những điểm của mặt phẳng
cách đều một đường thẳng (d) cố định và một điểm F cố định không
thuộc (d).
Vậy (P ) = {M | M F = M H} (H là hình
chiếu của M lên (d))
• Điểm F gọi là tiêu điểm.
• Đường thẳng (d) gọi là đường chuẩn.
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐINH CÔNG LÂM

• F L = p > 0 tham số tiêu của (P ).
• Đường thẳng LF là trục đối xứng của (P ).
1.3.1

Phương trình chính tắc của Parabol

Chọn hệ trục tọa độ xOy, với:
• Đỉnh S ≡ O, là trung điểm LF.
• Trục Ox chứa bởi F L, chiều dương từ L
đến F
• Trục Oy vuông góc với F L tại O. Trong hệ
p
p
trục đó: F
, 0 , đường thẳng (d) : x = −
2
2
• Phương trình chính tắc của Parabol (P ) :
y 2 = 2px
Các dạng phương trình chính tắc của Parabol (P )
Dạng 1: (P ) : y 2 = 2px (p > 0)
Dạng 2: (P ) : y 2 = −2px (p > 0)
Dạng 3: (P ) : x2 = 2py (p > 0)
Dạng 4: (P ) : x2 = −2py (p > 0)
Ví dụ 1.5. Viết phương trình chính tắc của Parabol (P ) biết khoảng
√
cách từ tiêu điểm F đến đường thẳng x + y − 12 = 0 là 2 2
Lời giải. Gọi phương trình chính tắc của (P ) : y 2 = 2px
p

,0 .
Tọa độ tiêu điểm F
2
Theo đầu bài, khoảng cách từ F đến đường thẳng ∆ : x + y − 12 = 0
√
bằng 2 2 nên:
√
| p2 − 12|
d(F, ∆) = √
= 2 2 ⇒ p = 16 hoặc p = 32.
2
17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐINH CÔNG LÂM

Vậy phương trình của (P ) : y 2 = 32x hoặc y 2 = 64x.
1.3.2

Hình dạng và tính chất của Parabol.

Dạng 1: Parabol (P ) : y 2 = 2px (p > 0)
Trong đó:
• Đỉnh O(0, 0)
• Tiêu điểm F

p
,0

2

• Đường chuẩn (d) : x = −

p
2

• Parabol nhận trục Ox làm trục đối xứng,
đồ thị ở bên phải Ox.
Dạng 2: Parabol (P ) : y 2 = −2px (p > 0)
Trong đó:
• Đỉnh O(0, 0)
p
• Tiêu điểm F − , 0
2
• Đường chuẩn (d) : x =

p
2

• Parabol nhận Ox làm trục đối xứng, đồ thị
ở bên trái Ox.
Dạng 3. Parabol (P ) : x2 = 2py (p > 0)
Trong đó:
• Đỉnh O(0, 0)
• Tiêu điểm F 0,

p
2
18

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐINH CÔNG LÂM

• Đường chuẩn (d) : y = −

p
2

• Parabol nhận Oy làm trục đối xứng, đồ thị
có hướng lên trên.
Dạng 4. Parabol (P ) : x2 = −2py (p > 0)
Trong đó:
• Đỉnh O(0, 0)
• Tiêu điểm F 0, −

p
2

• Đường chuẩn (d) : y =

p
2

• Parabol nhận Ox làm trục đối xứng, đồ thị
có hướng xuống dưới.
1.3.3

Tiếp tuyến của Parabol.

Định nghĩa 1.6. Cho Parabol (P ) và đường thẳng (d). Đường thẳng
(d) gọi là tiếp tuyến của (P ) nếu (d) không song song với trục đối
xứng của (P ) và (d) có một điểm chung duy nhất với (P )
Định lý 1.5. Cho Parabol (P ) có phương trình chính tắc:
(P ) : y 2 = 2px
Đường thẳng (d) : Ax + By + C = 0 (Với A2 + B 2 = 0) là tiếp tuyến
của (P ) khi và chỉ khi: pB 2 = 2AC. (gọi là điều kiện tiếp xúc)
Chứng minh. Ta thấy trục Ox cắt (P ) tại một điểm nhưng không là
tiếp tuyến của (P ).
19