Đề học sinh giỏi lớp 10

ĐỀ TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2008-2009.
Vòng 1:
Bài 1: Giải các phương trình:
1)
3
2
11
22
=
++
−
+−
xx
x
xx
x
2)
2
7
)1)(34()78(
2
=+++
xxx
Bài 2:
Cho hệ phương trình:



=+−−
−=+
myx

myx
32
4
,m là tham số.
1) Giải phương trình khi m=-1.
2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
Bài 3:
1) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

0,
54
1182
2
2
≤
+−
+−
=
x
xx
xx
y
2) Giải bất phương trình:

xxx 35121
−<−−+
Bài 4:
1) Tứ giác ABCD có diện tích S và có chu vi bằng
S4
.Hãy xác dịnh dạng tứ

giác đó.
2) Cho tam giác ABC có BC=a ,CA=b,AB=c.Gọi (I) là đường tròn sao cho :
0
2
)/(
2
)/(
2
)/(
=+=+=+
cPbPaP
ICIBIA
( P là phương tích của A,B,C đối với
đường tròn (I).
a) Chứng minh I là trực tâm của tam giac ABC.
b) Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam Giác ABC .Tìm bán kính R
1

của đường tròn (I) theo R.
Bài 5: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1.Chứng minh:

2
1
27
13
222
<++≤
cba
.
Vòng 2

Bài 1:
1) Giải phương trình:

xxxxxx 2)1()2)(1(42
2
−+=+−−−
2) Giải bất phương trình:

8)
1
(
22
≥
−
+
x
x
x
Bài 2<
1) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

2
1
,
144
4
2
2
>

+−
−−=
x
xx
xy
2) Cho phương trình :ax
2
+bx+c=0 vô nghiệm vàa-b+c<0.Chứng minh :
0
≤
a

và c<0.
Bài 3:
1) Cho tam giác ABC có diện tích
2
3
=
S
,A(2;-3),B(3;-2) trọngtâm G nằm trên
đường thẳng d:3x-y-8=0.Tìm toạ độ đỉnh C.
2) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) Gọi M là trung điểm của
BC. Đường tròn (O
1
) ngoại tiếp tam giác AOM cắt đường thẳng BC tại
điểm thứ hai E và đường tròn (O) tại D. AD cắt BC tại F.
Chứng minh EA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và đường tròn(O
2
)
ngoại tiếp tam giác AMF

Bài 4: Tính các góc của tam giác ABC đồng thời thoả
mãn:tan
3
A+cot
3
A=tanA+cotA và sin
2008
B+(1-cosB)
2008
=sinB+2sin
2
2
B
Bài 5: Cho x+y+z=0;x+1>0,y+1>0,z=4>0.tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

411
+
+
+
+
+
=
z
z
y
y
x
x
A
------Hêt------