Tính ổn định của hệ thống tuyến tính

Chương 3:
Tính ổn định của hệ thống tuyến tính

Automatic Control Systems

1


CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH

Nội dung
3.1 Khái niệm
3.2 Mối quan hệ giữa nghiệm phương trình đặc tính và tính ổn định
3.3 Tiêu chuẩn ổn định Routh-Hurwitz
3.4 Phân tích quỹ đạo nghiệm số

Automatic Control Systems

2


CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH

3.1. Khái niệm

c

a
b

d

Cho quả cầu một vận tốc nhỏ ban đầu đủ bé thì quả cầu sẽ tiến tới trạng
thái cân bằng mới:
-

Vị trí a  vị trí cân bằng ở biên giới ổn định

-

Dao động quanh vị trí cân bằng vị trí b hoặc d  vị trí cân bằng ổn định

-

Không về trạng thái ban đầu vị trí c  vị trí cân bằng không ổn định

Automatic Control Systems

3


CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH

3.1. Khái niệm

c

a
b

d

Nếu quả cầu dao động với vận tốc lớn thì cũng sẽ không trở về vị trí cân
bằng ổn định b hoặc d
 2 trạng thái b và d chỉ ổn định trong phạm vị hẹp
 Giới hạn khảo sát tính ổn định cho hệ tuyến tính bất biến theo thời gian.

Automatic Control Systems

4


CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH

3.1. Khái niệm
u(t)

( )
=
( )

y(t)

Đáp ứng toàn phần = Đáp ứng trạng thái không + Đáp ứng đầu vào không
Đáp ứng trạng thái không: Đáp ứng của hệ thống chỉ phụ thuộc vào đầu vào,
tất cả các điều kiện ban đầu đều bằng 0
Đáp ứng đầu vào không: Đáp ứng của hệ thống theo các điều kiện ban đầu tác
động vào hệ thống, các đầu vào đều bằng 0.
Phương trình đặc tính: Phương trình đa thức của mẫu số hàm truyền đạt

Automatic Control Systems

5


CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH

3.1. Khái niệm
u(t)

( )
=
( )

y(t)

Đáp ứng xung: tín hiệu đầu ra thu được khi đầu vào là một xung đơn vị (t)
 Hệ thống có thể đặc trưng bởi đáp ứng xung của nó.
Hàm truyền đạt: Biến đổi Laplace của đáp ứng xung của hê thống, với điều kiện
ban đầu bằng 0.
= ℒ( ( ))
=

Automatic Control Systems

( − ) ( )
6


CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH

3.1. Khái niệm
1. Ổn định BIBO (Bounded Input, Bounded Output):
Bỏ qua các điều kiện ban đầu, một hệ thống tuyến tính gọi là ổn định BIBO, hay
đơn giản là ổn định khi và chỉ khi với mọi đầu vào là tín hiệu bị chặn u(t) thì tín
hiệu đầu ra bị chặn
If | u(t) | < M <  then | y(t) | < N < 

2. Ổn định đầu vào không (hay ổn định tiệm cận)
Một hệ thống bất biến theo thời gian là ổn định đầu vào không,nếu với mỗi giá trị
xác định y(k)(t0), luôn tồn tại giá trị dương M, phụ thuộc vào y(k)(t0), sao cho
| y(t) | < M <  for all t > t0 với
Và

=∑

( )

( )

lim | y(t) | = 0
t 

Automatic Control Systems

7


CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH

3.2. Mối quan hệ giữa phương trình đặc tính và tính ổn định

u(t)

( )
=
( )

y(t)

Đáp ứng toàn phần = Đáp ứng trạng thái không + Đáp ứng đầu vào không
Đối với hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian, các điều kiện ổn định BIBO, ổn
định đầu vào không và ổn định tiệm cận đều có chung điều kiện là nghiệm của
phương trình đặc tính phải nằm nửa bên trái mặt phẳng phức s.
Nếu một hệ thống là ổn định BIBO, nó cũng phải ổn định đầu vào không và ổn
định tiệm cận.

Automatic Control Systems

8


CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH

3.2. Mối quan hệ giữa phương trình đặc tính và tính ổn định
u(t)

y(t)

( )
=
( )

Xét biểu thức hàm truyền đạt:
( ) =

=

=

Automatic Control Systems

( )

≤

( )

( )

9


CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH

3.2. Mối quan hệ giữa phương trình đặc tính và tính ổn định
Điều kiện ổn định

Giá trị nghiệm của A(s) = 0

Ổn định tiệm cận hay ổn |si| < 0 i=1,2…n (Tất cả các nghiệm nằm bên trái
định

mặt phẳng phức)
Giới hạn ổn định

Re(si)=0 với si là nghiệm đơn, và |si| < 0 i=1,2…n

Không ổn định

 I thỏa:|si| > 0 hay Re(si)=0 với si là nghiệm kép

Automatic Control Systems

10


CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH

Ví dụ: Xét tính ổn định của hệ thống có hàm truyền đạt sau
=

20
+ 1)( + 2)( + 3

b.

=

20
− 1)( + 2 + 2

c.

=

20( − 1)
+ 2)( + 4

d.

=

a.

e.

=

10
+ 10)
10
+ 30 +

Automatic Control Systems

+4
+ 10

11


CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH

3.3. Tiêu chuẩn ổn định Routh-Hurwitz
Xét phương trình đặc tính của hệ thống
=

+

+ ⋯+

+

=0

Điều kiện hệ thống ổn định: Tất cả các nghiệm A(s) = 0 nằm bên trái mặt phẳng phức
Vấn đề: Nếu có một giá trị tham số không biết  không thể giải nghiệm
 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz

Automatic Control Systems

12


CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH

3.3. Tiêu chuẩn ổn định Routh-Hurwitz
3.3.1. Tiêu chuẩn Hurwitz
Xét phương trình đặc tính của hệ thống
=

+

+ ⋯+

+

=0

Điều kiện cần:
1. Tất cả các hệ số của phương trình phải có cùng dấu
2. Không có hệ số nào bị triệt tiêu
Điều kiện đủ:
Tất cả các định thức Hurwitz đều dương

Automatic Control Systems

13


CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH

3.3. Tiêu chuẩn ổn định Routh-Hurwitz
Cách xác định định thức Hurwitz

Các định thức bậc i:
=

=

=
0

Automatic Control Systems

14


CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH

3.3. Tiêu chuẩn ổn định Routh-Hurwitz
3.3.2. Tiêu chuẩn Routh
Xét phương trình đặc tính của hệ thống
=

+

+ ⋯+

+

=0

Điều kiện cần:
1. Tất cả các hệ số của phương trình phải có cùng dấu
2. Không có hệ số nào bị triệt tiêu
Điều kiện đủ:
Tất cả các số hạng của cột đầu tiên của bảng Routh có cùng dấu
Số lần đổi dấu trong các số hạng ở cột đầu tiên bằng số nghiệm có phần
thực dương.

Automatic Control Systems

15


CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH

3.3. Tiêu chuẩn ổn định Routh-Hurwitz
Cách lập bảng Routh
s6

a6

a4

a2

a0

s5

a5

a3

a1

0

s4

−

s3

−

s2

−

s1

−

s0

−

=
=
=
=
×0

Automatic Control Systems

=

−

=

−
−

=
×0

=

−

×0

=

×0−

×0

×0−

×0

0

=0

0

=0

0

0

0

0

0

0

0
16


CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH

3.3. Tiêu chuẩn ổn định Routh-Hurwitz
Quy tắc: Mỗi số hạng trong bảng Routh là một tỉ số trong đó:
• Tử số là định thức bậc 2, mang dấu âm. Cột thứ nhất của định thức là cột
thứ nhất của 2 hàng đứng sát trên hàng có số hạng đang tính; cột thứ 2
của định thức là cột đứng sát bên phải số hạng đang tính cũng của 2 hàng
trên
•

Mẫu số: Tất cả các số hạng trên cùng một hàng có cùng mẫu số là số hạng
của cột thứ nhất của hàng sát trên hàng có số hạng đang tính

Ví dụ: Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc tính

=

Automatic Control Systems

+

+3

+

+

=0

17


CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH

3.3. Tiêu chuẩn ổn định Routh-Hurwitz
Các tính chất của bảng Routh
• Có thể nhân hoặc chia tất cả các số hạng trên cùng một hàng của bảng
Routh với một số dương.
• Số lần đổi dấu của các số hạng trong cột thứ nhất của bảng Routh bằng số
nghiệm của phương trình có phần thực dương.
• Nếu cột thứ nhất của bảng Routh có một số hạng bằng 0, thì hệ thống
cũng không ổn định. Để xác định số nghiệm âm, có thể thay số 0 bằng số
 >0 rất bé để tiếp tục xác định các số hạng còn lại.

• Nếu tất cả các số hạng trên cùng một hàng của bảng Routh bằng 0 thì hệ
thống ở biên giới ổn định.
• Trường hợp hệ có khâu trễ, có thể khai triển Fourrier hàm mũ
Automatic Control Systems

18


CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH

3.3. Tiêu chuẩn ổn định Routh-Hurwitz
Các trường hợp đặc biệt:
1. Trường hợp 1: Số hạng đầu tiên trên dòng nào đó của bảng Routh
bằng 0
Xét phương trình đặc tính của hệ thống

=

+

+2

+

+

=0

Lập bảng Routh
s4

s3
s2
s1
s0

Automatic Control Systems

1
1

-3/
3

2
2
3
0
0

3
0

19


CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH

3.3. Tiêu chuẩn ổn định Routh-Hurwitz
Các trường hợp đặc biệt:
2. Trường hợp 2: Tất cả các số hạng trên cùng một dòng của bảng

Routh bằng 0
 Phương trình đặc tính có ít nhất một cặp nghiệm cùng độ lớn
nhưng trái dấu
 Phương trình đặc tính có một hoặc nhiều cặp nghiệm thuần ảo
 Phương trình đặc tính có các cặp nghiệm phức liên hợp đối xứng
qua gốc tọa độ

Automatic Control Systems

20


CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH

3.3. Tiêu chuẩn ổn định Routh-Hurwitz
Ví dụ: Xét phương trình đặc tính của hệ thống
+
+8 +8 +
+
Lập bảng Routh

=0

s5

1

8

7

s4

4

8

4

s3

6

6

0

s2

4

4

s1

0

0

 Lập phương trình phụ trợ sử dụng các hệ số của dòng s2

A(s) = 4s2 + 4 = 0
Automatic Control Systems

21


CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH

3.3. Tiêu chuẩn ổn định Routh-Hurwitz
Ví dụ: Xét phương trình đặc tính của hệ thống
+
+8 +8 +
+

=0

 Lấy vi phân phương trình phụ trợ theo s
( )

=8 =0

 Thay thế dòng bằng 0 bằng các hệ số của phương trình dA(s)/ds = 0.

S1

8

S0

4

0

Hệ thống ở biên giới ổn định, vì có 2 nghiệm thuần ảo
Automatic Control Systems

22


CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH

Bài tập
Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc tính sau

Automatic Control Systems

23


CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH

Bài tập ứng dụng
Xác định K để hệ thống ổn định
+3

Automatic Control Systems

+( + ) +

=0

24


CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH

Bài tập ứng dụng
Xác định K để hệ thống ổn định

Automatic Control Systems

25