Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

ĐỖ THỊ THU GIANG

VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
OSTROWSKI VÀ TRAPEZOID

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

ĐỖ THỊ THU GIANG

VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
OSTROWSKI VÀ TRAPEZOID
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Trần Xuân Quý

THÁI NGUYÊN - 2019

i

Mục lục
Bảng ký hiệu viết tắt

1

Mở đầu

2

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Hàm số, biến phân và biến phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Bất đẳng thức H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Bất đẳng thức Ostrowski và trapezoid . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5
7
8

Chương 2. Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid
2.1. Về bất đẳng thức Ostrowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Bất đẳng thức Ostrowski với hàm liên tục tuyệt đối . . . .
2.1.2 Bất đẳng thức Ostrowski với hàm có biến phân bị chặn . .
2.2. Về bất đẳng thức trapezoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm có biến phân bị chặn
2.2.2 Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm đơn điệu . . . . . . .

2.2.3 Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm liên tục tuyệt đối . .
2.2.4 Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm có đạo hàm cấp hai .
2.3. Làm chặt bất đẳng thức Ostrowski đối với hàm Chebysev . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

9
9
9
12
14
14

16
19
21
23

Chương 3. Bất đẳng thức kiểu Ostrowski và trapezoid liên hệ với định
lý giá trị trung bình Pompeiu với trọng số mũ phức
28
3.1. Bất đẳng thức kiểu Ostrowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2. Bất đẳng thức kiểu trapezoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3. Một bất đẳng thức kiểu Ostrowski và trapezoid mới . . . . . . . . . 34
3.3.1 Làm chặt bất đẳng thức Ostrowski . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.2 Bất đẳng thức kiểu Ostrowski mới . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.3 Làm chặt bất đẳng thức trapezoid . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.4 Bất đẳng thức kiểu trapezoid mới . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Kết luận

38

Tài liệu tham khảo

39


1

Bảng ký hiệu viết tắt
b

(f )

biến phân toàn phần của hàm số f trên đoạn [a, b];

a
n

ai

:= a1 + a2 + · · · + an ;

i=1

max{a, b}

phần tử lớn nhất trong tập hai phần tử a, b;
b

f

s

s

| f (t) | dt

:=

1
s

với s ∈ [1; ∞), hay chuẩn cấp s

a

f

∞

của hàm số f trên đoạn [a, b];
:= sup | f (t) |;
t∈(a;b)
n−1

σ(f, ξ, In )

f (ξi )hi , (tổng Riemann của hàm f trên [a, b]);

:=
i=0

f

[u,v],s

chuẩn cấp s của hàm số f trên đoạn [u, v].


2

Mở đầu

Chúng ta đều biết rằng môn Toán được coi là môn "thể thao trí tuệ" giúp
người học có nhiều cơ hội rèn luyện, phát triển tư duy cũng như bồi dưỡng năng
lực thẩm mỹ khi nghiên cứu nét đẹp của những công thức giải toán độc đáo và mới
mẻ.
Trong nhiều năm qua, hầu hết các kỳ thi quan trọng như thi học sinh giỏi Toán
cấp tỉnh, cấp Quốc gia, Quốc tế,.... các bài toán liên quan đến bất đẳng thức chiếm
một vị trí đáng kể. Đối với lớp bất đẳng thức rời rạc thì đã được khai thác khá triệt
để ở chương trinh phổ thông, thậm chí cả cấp THCS. Vì nó là bài toán so sánh,
nên trong các kỳ thi học sinh giỏi thường xuất hiện bài toán về cực trị bất đẳng
thức. Tuy vậa,x],∞

+ (b − x)2 f − iγf

[x,b],∞

[a,b],∞ ,


34

1
a+b
(b − a)2 + x −
4
2

2

f − iγf

[a,b],∞ ,

với bất kỳ x ∈ [a, b].
Định lý 3.7. Xét hàm f : [a, b] → C liên tục tuyệt đối trên [a, b], α = β + iγ ∈ C.
Nếu β = 0, thì ta có
b

f (t)
f (b)
f (a)
(b
−
x)
+
(x
−
a)
−
dt
ebα
eaα
eαt
a

−aβ

f − αf [a,x],1 + β1 e−(xβ+1) f − αf [x,b],1 , β > 0, x + β1 a,

(x − a)e
1 −(xβ+1)

−bβ
f − αf [a,x],1 + b−a
f − αf [x,b],1 , β < 0, x + β1 b,
≤ −β e
2 e


−bβ
(x − a) e−aβ f − αf
f − αf [x,b],1 , ngược lại,
[a,x],1 + e

−aβ
+ β1 e−(xβ+1) ] f − αf [a,b],1 , β > 0, x + β1 a,

[(x − a)e
1 −(bβ+1)
≤ [ −β
e
+ (b − x)e−bβ ] f − αf [a,b],1 , β < 0, x + β1 b,


[(x − a)e−aβ + (b − x)e−bβ ] f − αf [a,b],1 , ngược lại.

3.3.
3.3.1

Một bất đẳng thức kiểu Ostrowski và trapezoid mới
Làm chặt bất đẳng thức Ostrowski

Nếu α = 0 trong Hệ quả 3.1, Định lý 3.4 và Định lý 3.5 thì ta có kết quả chặt
hơn của bất đẳng thức Ostrowski như sau:
b

f (x)(b − a) −

f (t)dt
a

1
[(x − a)2 f [a,x],∞ + (b − x)2 f [x,b],∞ ],

2


q+1
q+1
(x−a) q
(b−x) q
1
1
+
f
+
f
,
p
>
1,
1

1
[a,x],p
[x,b],p
p
q = 1,

(q+1) q
(q+1) q


(x − a) f [a,x],1 + (b − x) f [x,b],1 ,

1
a+b 2
2

f [a,b],∞ ,

4 (b − a) + x − 2


q+1
q+1

(x − a) q + (b − x) q
f [a,b],p , p > 1, p1 + 1q = 1,
1


(q + 1) q




(b − a) f [a,b],1 ,

(3.9)

(3.10)

với bất kỳ x ∈ [a, b]. Các hằng số 1 và 2 trong các bất đẳng thức (3.9) và (3.10) là
đánh giá tốt nhất.


35

3.3.2

Bất đẳng thức kiểu Ostrowski mới

Xét hàm hα (t) = eαt với t ∈ [a, b]. Nếu hàm f (t) = g(t)hα (t) = g(t)eαt trong
Định lý 3.4, Hệ quả 3.1, và Định lý 3.5, thì ta thu được bất đẳng thức Ostrowski:
Nếu β = 0, ta có
b

g(x)(b − a) −

g(t)dt

Ψ+
q,α (a, x) g hα

[a,x],p

a

+ Ψ−
q,α (x, b) g hα
trong đó p > 1 và

1
p

+

1
q

[x,b],p ,

= 1,
b

g(x)(b − a) −

g(t)dt

e−aβ − [(x − a)β + 1]e−xβ
g hα
β2

[a,x],∞

a

1
β2

e−bβ − [(b − x)β − 1]e−xβ
g hα [x,b],∞
+
β2
a+b
e−aβ + e−bβ + 2
− x β − 1 e−xβ g hα
2

[a,b],∞ ,

và
b

g(x)(b − a) −

g(t)dt
a

1
(−aβ+1)
g hα [a,x],1 + (b − x)e−xβ g hα [x,b],1 , β > 0, a + β1 x,


β e
1 −(bβ+1)
(x − a)e−xβ g hα [a,x],1 + −β
e
g hα [x,b],1 , β < 0, b + β1 ≥ x,


(x − a)e−xβ g hα [a,x],1 + (b − x)e−xβ g hα [x,b],1 , ngược lại

1 (−aβ+1)

+ (b − x)e−xβ g hα [a,b],1 , β > 0, a + β1 x,

 βe
1 −(bβ+1)
(x − a)e−xβ + −β
e
g hα



(b − a)e−xβ g hα [a,b],1 , ngược lại

[a,b],1 , β

< 0, b +

1
β

≥ x,

với x ∈ [a, b]. Nếu β = 0, khi đó ta có
b

g(x)(b − a) −

f (t)dt
a

1
[(x − a)2 g hα [a,x],∞ + (b − x)2 g hα [x,b],∞ ],

2


q+1
q+1
(x−a) q
(b−x) q
g hα [a,x],p +
g hα [x,b],p , p > 1, p1 +
1
1
q
q

(q+1)
(q+1)



(x − a) g hα [a,x],1 + (b − x) g hα [x,b],1 ,

1
q

= 1,


36


1
a+b 2
2

g hα [a,b],∞ ,

4 (b − a) + x − 2


q+1
q+1

(x − a) q + (b − x) q
g hα [a,b],p , p > 1, p1 +
1


(q + 1) q




(b − a) g hα [a,b],1 ,
3.3.3

1
q

= 1,

Làm chặt bất đẳng thức trapezoid

Nếu α = 0 trong Hệ quả 3.2, Định lý 3.6 và Định lý 3.7 thì ta thu được kết quả
chặt hơn của bất đẳng thức trapezoid như sau:
b

f (a)(x − a) + f (b)(b − x) −

f (t)dt
a

1
[(x − a)2 f [a,x],∞ + (b − x)2 f [x,b],∞ ],


2
q+1
q+1
(b−x) q

(x−a) q
f
+
f [x,b],p , p > 1, p1 + 1q = 1,
1
1
[a,x],p
q
q

(q+1)
(q+1)


(x − a) f [a,x],1 + (b − x) f [x,b],1 ,

a+b 2
1
2

(b
−
a)
+
x
−
f [a,b],∞ ,

4
2



q+1
q+1

(x − a) q + (b − x) q
f [a,b],p , p > 1, p1 + 1q = 1,
1


(q + 1) q



(b − a) f [a,b],1 ,
với bất kỳ x ∈ [a, b].
3.3.4

Bất đẳng thức kiểu trapezoid mới

Xét hàm hα (t) = eαt với t ∈ [a, b]. Nếu hàm f (t) = g(t)hα (t) = g(t)eαt trong
Định lý 3.6, Hệ quả 3.2 và Định lý 3.7 thì ta có bất đẳng thức trapezoid:
Nếu β = 0, thì ta có
b

g(a)(x − a) + g(b)(b − x) −
Ψ−
q,α (a, x) g hα [a,x],p +
+
Ψ−

q,α (a, x) + Ψq,α (x, b)
trong đó p > 1 và

1
p

+

1
q

a
+
Ψq,α (x, b)

= 1,
b

g(a)(x − a) + g(b)(b − x) −

g(t)dt
a

g(t)dt

g hα

g hα

[a,b],p ,

[x,b],p


37

e−xβ − [(x − a)β − 1]e−aβ
g hα [a,x],∞ +
β2
e−xβ − [(b − x)β + 1]e−bβ
g hα [x,b],∞
+
β2
1
2e−xβ + [(x − a)β − 1]e−aβ − [(b − x)β + 1]e−bβ
β2

g hα

[a,b],∞ .

và
b

g(a)(x − a) + g(b)(b − x) −

g(t)dt
a



−aβ
g hα [a,x],1 + β1 e−(xβ+1) g hα [x,b],1 , β > 0, x + β1 ≥ a,

(x − a)e
1 −(xβ+1)
g hα [a,x],1 + (b − x)e−bβ g hα [x,b],1 , β < 0, x + β1 b,
−β e


(x − a)e−aβ g hα [a,x],1 + (b − x)e−bβ g hα [x,b],1 , ngược lại,

−aβ

+ β1 e−(xβ+1) g hα [a,b],1 , β > 0, x + β1 ≥ a,

 (x − a)e
1 (−xβ+1)
+ (b − x)e−bβ g hα [a,b],1 , β < 0, x + β1 b,
−β e



[(x − a)e−aβ + (b − x)e−bβ ] g hα [a,b],1 , ngược lại,
với x ∈ [a, b].
Nếu β = 0, thì ta có
b

g(a)(x − a) + g(b)(b − x) −

g(t)dt

a

1
[(x − a)2 g hα [a,x],∞ + (b − x)2 g hα [x,b],∞ ],

2


q+1
q+1
(b−x) q
(x−a) q
g hα [a,x],p +
g hα [x,b],p , p > 1, p1 + 1q = 1,
1
1
q
q

(q+1)
(q+1)


(x − a) g hα [a,x],1 + (b − x) g hα [x,b],1 ,

1
a+b 2
2

(b

−
a)
+
x
−
g hα [a,b],∞ ,

4
2


q+1
q+1

(x − a) q + (b − x) q
g hα [a,b],p , p > 1, p1 + 1q = 1,
1


(q + 1) q



(b − a) g hα [a,b],1 ,
với x ∈ [a, b].


38

Kết luận

Luận văn đã trình bày nhưng vấn đề sau:
• Sơ lược về hàm số, biến phân của hàm số, bất đẳng thức H¨older. Bất đẳng
thức Ostrowski và trapezoid.
• Trình bày về bất đẳng thức kiểu Ostrowski, trapezoid đối với các lớp hàm có
biến phân bị chăn, hàm đơn điệu, hàm liên tục tuyệt đối. Làm chặt bất đẳng
thức Ostrowski đối với hàm Chebyshev.
• Trình bày về bất đẳng thức kiểu Ostrowski và trapezoid liên hệ với định lý
giá trị trung bình Pompeiu với trọng số mũ phức. Một bất đẳng thức kiểu
Ostrowski và trapezoid mới và một số kết quả làm chặt các bất đẳng thức kiểu
Ostrowski và trapezoid.


39

Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Văn Mậu (1997), Bất đẳng thức và áp dụng, NXB Giáo dục.
Tiếng Anh
[2] Cerone P., Dragomir S. S. (2011), Mathematical Inequalities: A perspective,
CRS Press, Taylor and Francis Group, LLC, USA.
[3] Cerone P., Dragomir S. S., Kikianty E. (2017), “Ostrowski and Trapezoid type
inequalities related to pompeiu’s mean value theorem with complex exponential
weight”, Journal of Mathematical Inequalities, 11(4), pp. 047–964.
[4] Cvetkovski Z. (2012), Inequalities: Theorem, Techniques and Selected problems,
Springer.
[5] Dragomir S. S. (2003), “Refinement of ostrowski’s inequality for the ˇcebyˇsev
functional and applications", Analysis, 23(4), pp.287–297.
[6] Steele M. J. (2004), An in troduction to the art of Mathematical Inequalities:
The Cauchy – Swcharz Master Class, Cambridge.