CHUYỂN ĐỘNG CỦA HỆ CHẤT ĐIỂM VÀ VẬT RẮN

CHUYỂN ĐỘNG CỦA HỆ CHẤT ĐIỂM VÀ VẬT RẮN
Khi xem xét chuyển động của một vật hay một hệ bất kỳ, ta có thể mô hình vật đó như là một tập hợp các chất điểm và
áp dụng các định luật cơ học của chất điểm đối với từng chất điểm trong hệ. Vật rắn là hệ chất điểm, nhưng là một hệ
chất điểm đặc biệt trong đó khoảng cách giữa các chất điểm luôn luôn giữ nguyên không đổi trong quá trình chuyển
động của vật rắn. Đây là một đối tượng cơ học quan trọng và phổ biến nên ta chú trọng khảo sát đặc thù chuyển động
vật rắn với phương pháp luận áp dụng các quy luật chuyển động của hệ chất điểm vào chuyển động của vật rắn.
III.1. Các dạng chuyển động của vật rắn :
III.1.1. Bậc tự do của vật rắn :
Khi mô tả chuyển động của một vật rắn, ta phải xác định được chuyển động của bất kỳ điểm nào của vật. Để
xác định vị trí của vật rắn ta cần phải xác định vị trí của ba điểm bất kỳ không thẳng hàng của nó, nghĩa là cần
và chỉ cần xác định vị trí của một tam giác bất kỳ gắn liền với vật rắn. Để xác định vị trí của một điểm trong
không gian cần phải xác định ba tọa độ, do đó vị trí của ba điểm bất kỳ được xác định bởi chín tọa độ. Tuy
nhiên, do tính chất của vật rắn, ba điểm đó chính là ba đỉnh của một tam giác xác định nên chín tọa độ đó không
độc lập đối với nhau mà liện hệ với nhau bằng ba phương trình xác định độ dài không đổi của ba cạnh tam giác,
thành thử chỉ còn có sáu tọa độ là độc lập. Do đó để xác định vị trí của vật rắn chỉ cần 6 tọa độ hay 6 tham số
độc lập.
Số tham số độc lập cần biết để xác định hoàn toàn vị trí của vật rắn gọi là số bậc tự do của nó.
Vật rắn hoàn toàn tự do có 6 bậc tự do. Nếu vật rắn không hoàn toàn tự do thì bậc tự do của nó giảm xuống. Ví
dụ vật rắn có một điểm hoàn toàn cố định thì ba tọa độ của điểm đó là hoàn toàn xác định và vật rắn chỉ còn ba
bậc tự do. Vật rắn có hai điểm hoàn toàn cố định chỉ có một bậc tự do : nó chỉ có thể quay quanh trục đi qua hai
điểm trên và bậc tự do còn lại của nó sẽ xác định vị trí của vật quanh trục đó.
Nghiên cứu chuyển động của vật rắn tức là phải xác định hoàn toàn vị trí của vật rắn tại mọi thời điểm, nói cách
khác cần phải xác định được qui luật biến thiên theo thời gian của các tham số độc lập. Rõ ràng là số phương
trình cần phải biết bằng số tham số độc lập hay là bậc tự do của vật rắn.
Vậy bậc tự do của vật rắn cho biết số phương trình chuyển động độc lập cần phải biết để có thể hoàn toàn xác
định chuyển động của vật rắn.
III.1.2. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn :
Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động mà trong đó một vectơ xác định bởi hai điểm bất kỳ A và
B của vật rắn luôn song song với chính nó.
Hình bên trình bày vị trí của vật rắn ở hai thời điểm t và t+∆ t. Từ định nghĩa của chuyển động tịnh tiến :
=

ta suy ra : =
nghĩa là độ dịch chuyển của hai điểm bất kỳ A, B của vật rắn luôn bằng nhau. Từ
đó, suy ra vận tốc của các điểm A và B luôn bằng nhau và quĩ đạo của chúng là
những đường cong như nhau nhưng tịnh tiến đối với nhau. Vậy : Trong chuyển động tịnh tiến của vật rắn, quĩ
đạo của mọi điểm là những đường cong như nhau, mọi điểm của vật rắn đều có cùng vận tốc và gia tốc như
nhau.
Nhờ tính chất này khi khảo sát chuyển động tịnh tiến, ta chỉ cần khảo sát chuyển động của một điểm bất kỳ của
vật rắn. Trong nhiều trường hợp, người ta thường chọn điểm đó là khối tâm của vật rắn.
Ví dụ : chuyển động của ôtô trên đường là chuyển động tịnh tiến.
Cần lưu ý chuyển động tịnh tiến không nhất thiết phải là chuyển động thẳng. Chuyển động của pêdan xe đạp,
của cái đu quay cũng là chuyển động tịnh tiến mặc dù quĩ đạo của pêdan xe đạp như đã biết ở chương I là một
đường xyclôit.
III.1.3. Khối tâm của vật rắn :
Trong trường hợp tổng quát, khi gốc tọa độ O chọn bất kỳ, thì khối tâm (trong đời sống hàng ngày ta quen gọi là
trọng tâm) của một vật là một điểm G mà vị trí của nó được xác định bởi phương trình :
= = = (III.1a)
trong đó mi,
i
là khối lượng và vị trí của chất điểm mi, m là khối lượng của vật rắn.
Trong hệ tọa độ Đề-các và trong trường hợp vật chất phân bố liên tục thì :
x
G
=
yG

= (III.1b)
zG

=
Trong trường hợp, nếu ta chọn gốc tọa độ trùng với khối tâm G thì = 0 và từ (III.1a) ta suy ra :

= 0 (III.1c)
trong đó
i
là bán kính vectơ nối liền khối tâm với chất điểm mi.
(*) Ví dụ về tính khối tâm của một hình tam giác vuông :
Chúng ta xét một ví dụ áp dụng công thức (III.1b) để tìm vị trí của khối tâm của một tam giác vuông có
các cạnh có chiều dài là a và b. Giả sử ta chọn trục Ox hướng theo dọc chiều dài cạnh a.
Ta chọn yếu tố dm như hình vẽ bên : chiều rộng của nó là dx và chiều cao là
y. Diện tích của nó là ydx. Gọi ρ là khối lượng riêng (trong trường hợp này
là khối lượng của một đơn vị diện tích) của tam giác, thì:
dm = ρ ydx
Mặt khác, từ hình vẽ của hai tam giác đồng dạng, ta có :
y/x = b/a
từ đó y=(b/a)x. Thay vào biểu thức của dm, ta có:
dm = ρ (b/a)xdx
Thay dm vào biểu thức (III.1b), ta tìm được tọa độ x
G
của khối tâm :
x
G
= = = =
Mặt khác, khối lượng m của hình tam giác có thể được tính như sau :
m = abρ
Thay vào biểu thức của x
G
, ta tìm được :
x
G
= a
Tương tự, có thể tìm được :

y
G
= b
III.1.4. Chuyển động của khối tâm :
Ta tìm vận tốc chuyển động của khối tâm của vật rắn. Xuất phát từ biểu thức định nghĩa của vận tốc và biểu
thức định nghĩa (III.1a) của khối tâm, ta có :
= = =
trong đó
i
= (d
i
/ dt) là vận tốc của chất điểm thứ i. Tử số của biểu thức trên, như chúng ta đã biết chính là
động lượng của vật rắn. Do đó, ta có thể biểu diễn:
= = m (III.2)
Biểu thức trên chứng tỏ rằng động lượng của vật rắn chuyển động tịnh tiến bằng tích của khối lượng vật rắn và
vận tốc của khối tâm. Điều đó có nghĩa là trong chuyển động tịnh tiến của vật rắn, ta có thể xem chuyển động
của nó là một chuyển động của một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của vật rắn và nằm tại khối tâm
của vật rắn.
Bây giờ ta hãy tìm phương trình chuyển động của khối tâm. Muốn vậy, ta lấy đạo hàm theo thời gian của biểu
thức (III.2) :
= m = = = =
trong đó và là gia tốc và ngoại lực tác dụng lên chất điểm mi của vật rắn, là tổng các ngoại lực tác dụng
lên vật rắn.
Nếu ta gọi là gia tốc của khối tâm, thì phương trình trên có thể viết dưới dạng :
m = (III.3)
trong đó = (d
G
/ dt).
Phương trình trên chứng tỏ khối tâm của vật rắn chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng khối
lượng của hệ (hay của vật rắn) và chịu tác dụng của một lực bằng tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ (hay vật

rắn). Cần lưu ý rằng kết luận trên đúng cho cả trường hợp hệ chất điểm và cả của vật rắn.
III.1.5. Chuyển động quay của vật rắn :
Xét một vật rắn quay quanh trục quay ∆ với vận tốc góc
o
, khi đó bậc tự do của
vật rắn chỉ còn bằng một. Vị trí của vật rắn được xác định bởi một tọa độ duy nhất
là góc quay θ . Ta có những nhận xét sau :
a) Mọi điểm của vật rắn vạch nên những vòng tròn có tâm nằm trên trục quay ∆ .
b) Trong cùng một khoảng thời gian, mọi điểm của vật rắn đều quay được một góc
θ như nhau.
c) Tại cùng một thời điểm, mọi điểm của vật rắn đều có cùng vận tốc góc :
ω
o
= và gia tốc góc β = =
d) Tại một thời điểm, vectơ vận tốc dài và gia tốc tiếp tuyến của một chất điểm
bất kỳ của vật rắn liên hệ với vận tốc góc và gia tốc góc bởi các hệ thức sau :
= (
0
×

)
t
= ( × )

III.1.6. Chuyển động song phẳng của vật rắn :
Người ta gọi chuyển động của vật rắn là chuyển động song phẳng nếu quĩ đạo của mọi điểm của vật rắn đều
nằm trong những mặt phẳng song song với một mặt phẳng cố định P.
Hình dưới đây trình bày chuyển động song phẳng.
Chuyển động song phẳng là một chuyển động khá phổ biến trong thực tế.
Ví dụ chuyển động tịnh tiến của ôtô trên đường, chuyển động quay của vật

rắn là những chuyển động song phẳng. Chuyển động lăn không trượt của
một hình trụ trên một mặt phẳng cũng là một ví dụ chuyển động song
phẳng vì khi chuyển động thì hai mặt đáy của hình trụ luôn luôn ở trong
các mặt phẳng thẳng đứng và mỗi điểm của hình trụ đều chuyển động
trong một mặt phẳng song song với hai mặt phẳng trên. Chuyển động của
pít tông, của cái tay biên máy nổ cũng đều là chuyển động song phẳng.
Khi một vật rắn chuyển động phẳng thì mọi điểm của nó nằm trên đường
thẳng MM’ vuông góc với mặt phẳng cố định P đều chuyển
động giống nhau, vì vậy khi nghiên cứu chuyển động song phẳng ta chỉ
cần nghiên cứu chuyển động của một tiết diện S bất kỳ của vật rắn song
song với mặt phẳng P là đủ. Do đó, từ đây về sau, chúng ta chỉ vẽ tiết diện
S là đại diện cho vật rắn.