005 đè thi HSG toán 9 tỉnh phú yên 2018 2019

SỞ GD & ĐT PHÚ YÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1. Cho biểu thức A 



a) Rút gọn biểu thức A

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019
MÔN : TOÁN

x3 x



x32



x 1

b) Tìm x để A  1

Câu 2. Giải phương trình 2 x2  6 x  5  x  2  x  1  10  0
Câu 3.
a) Tìm hai số nguyên tố p, q sao cho p 2  8q  1
b) Chứng minh rằng n5  n chia hết cho 30 với mọi n
Câu 4.
Cho a, b, c  0 thỏa mãn a  b  c  ab  bc  ca  6abc. Tìm GTNN của

P

1 1 1
 
a 2 b2 c 2

Câu 5. Cho đường tròn tâm O bán kính R và M là điểm cố định nằm bên trong đường
tròn. Qua M vẽ hai dây di động AB, CD vuông góc với nhau.
a) Chứng minh rằng AC 2  BD2  AD2  BC 2 và AD2  BC 2 không đổi
b) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng IO2  IM 2  R2 suy ra quỹ tích của
điểm I
Câu 6. Cho hình thang ABCD  AB / /CD . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC
và BD. Gọi G là giao điểm của đường thẳng đi qua E vuông góc với AD và đường
thẳng đi qua F vuông góc với BC. So sánh GA và GB


ĐÁP ÁN
Câu 1.
a) ĐKXĐ: x  3, x  1. Ta có: A 

1  x  

 

x  3 1

x 1

x  3 1

b) Ta có A  1   x  3  1  1   x  3  0  x  3; x  1
Câu 2.
ĐKXĐ: x  1. Phương trình  2  x  2   5  x  2  x  1  2  x  1  0
2

 2  x  2  4  x  2 x  1   x  2 x  1  2
2

 x  1

2

0

 2  x  2   x  2   2 x  1   x  1  x  2   2 x  1   0
2 x  1  x  2
 x  2  2 x  1 2x  4  x  1  0  
 x  1  2 x  4
x  2
 x 8
Xét 2 x  1  x  2  
x
x

8

0




x  2
Xét x  1  2 x  4   2
 x3
4 x  17 x  15  0
Vậy S  3;8







Câu 3.
a) Ta có p 2 chia cho 3 dư 0 hoặc dư 1
Xét p 2 chia cho 3 dư 0, vì p là số nguyên tố nên p  3  q  1vô lý
Xét p 2 chia cho 3 dư 1, suy ra 8q chia hết cho 3 mà 8;3  1nên q  3  p  5  tm 
b) Ta có:

n5  n  n  n2  1 n2  1   n2  1 n2  4  5  n  n2  1 n2  4   5n  n2  1

  n  2 n  1 n  n  1 n  2   5  n  1 n  n  1 chia hết cho 5 và 6 nên chia hết cho 30

Câu 4.
1 1 1 1
1
1
  
  6
a b c ab ac bc
Áp dụng BĐT xy  yz  zx  x 2  y 2  z 2 ta có:

Từ giả thiết a  b  c  ab  bc  ca  6abc 


1
1
1
1 1 1
   2  2  2 (1)
ab bc ca a b c
2

1 1 1
 1 1 1
Áp dụng BĐT Bunhia ta có:      12  12  12   2  2  2 
a b c
a b c 
1 1 1
1
1 1
   3. 2  2  2 (2)
a b c
a b c
Cộng theo vế (1) và (2) được:


6



1 1 1 1
1
1
1
1 1
1
1 1
  
 
 2  2  2  3. 2  2  2  P  3. P  6
a b c ab bc ca a b c
a b c



P 3





P  2 3  0  P  3 . Dấu "  " xảy ra khi a  b  c  1

Câu 5.

C
I
A

B

M

D

J

O

E

a) Ta có: AC 2  BD2  MA2  MC 2  MB2  MD2

  MA2  MD2    MB 2  MC 2   AD2  BC 2

Kẻ đường kính CE ta có CDE  900 hay CD  DE
 DE / / AB nên tứ giác ABED là hình thang cân


 AD  BE. Ta có: AD2  BC 2  BE 2  BC 2  CE 2  4R2 không đổi
b) Vì IB  IC  I M nên IO2  IM 2  OC 2  IM 2  IM 2  R2
Gọi J là trung điểm của MO. Áp dụng công thức đường trung tuyến trong IMO

IO 2  IM 2 MO 2
R 2 MO 2
Ta có: IJ 
(không đổi vì O, M cố định).



2

4
2
4
Do đó I chạy trên đường tròn tâm J bán kính IJ không đổi.
Câu 6.

A

M
D

H

F G E

B
K
N

C

Gọi H là trung điểm của AB
Ta có HA  HB và FD  FB nên HF là đường trung bình ABD  HF / / AD
Mà EM  AD nên EM  HF , tương tự HE cũng là đường trung bình ABC nên
HE / / BC mà FK  BC nên FK  HE . Do đó G là trực tâm
HEF  HG  EF
(1)
Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD, BC
Ta có ME là đường trung bình tam giác ACD nên ME / /CD
Tương tự NF / /CD mà MN / /CD hay M , F , E, N thẳng hàng

Suy ra EF / / AB(2).
Từ (1) và (2) suy ra HG  AB mà HA  HB do đó GAB cân tại G nên GA  GB