009 đề thi HSG toán 9 tỉnh phú thọ 2018 2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HÓA
LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018-2019
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút

A. TRẮC NGHIỆM (8 điểm)
1024  n 2
Câu 1. Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương n sao cho
là số tự nhiên
15
A. 1
B. 4
C. 3
D. 5
Câu 2. Cho hình thang ABCD có hai cạnh đáy AB, CD sao cho AB  4, CD  9 ,

DAB  DBC . Độ dài đường chéo BD bằng:
A. 6
B. 7
C. 8
D. 10
Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đường thẳng di qua điểm M  2;5  và song song với
đường thẳng y  2 x có phương trình là:
A. y  2 x  1 B. y  2 x  1
C. y  2 x  9
D. y  2 x  1
Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A  2;3  và B  6;1. Độ dài đường cao hạ

từ đỉnh O của tam giác OAB bằng:
5
5 2
2
A.
B.
C. 5 2
D.
2
2
2
Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 2;3 ; B 2; 2 ; C  2; 2  , D  3;3 .
Diện tích tứ giác ABCD bằng:
15
15 2
A.
B.
C. 15
D. 30
2
2
Câu 7. Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên đồ thị hàm số y  x 2 sao cho ABCD là một tứ giác
lồi nội tiếp đường tròn đường kính AC. Gọi M  x1; y1  ; N  x2 ; y2  lần lượt là trung điểm của
AC, BD. Giá trị y1  y2 bằng:
2
C. 1
D. 2
2
Câu 8. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB  3, AC  4 và phân giác AD. Giá trị
DC  DB bằng:

1
3
4
5
A.
B.
C.
D.
7
7
7
7
Câu 9. Gọi S là tập nghiệm của phương trình, số nghiệm của phương trình
x  x  1  .....  x  2019  x 2  2019 x  2020 là:
A. 2
B. 4
C. 2019
D. 2020
A. 0

B.

Câu 10. Biết x  3 2  3  3 2  3 là một nghiệm của phương trình x3   a  1 x  2a  0.
Giá trị

a  a 2  1 bằng:

6 2
3 1
B. 3  1

C.
D. 3  1
2
2
Câu 11. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH , trung tuyến AM. Biết
AH 24
 và cạnh huyền BC  35. Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng:
AM 25
A.


A. 3,5

B. 7

C. 8,75

D. 14

Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB  5 , đường cao AH  2. Kẻ HK vuông
góc AC ( K thuộc AC). Độ dài CK bằng:

3 5
8 5
5 5
16 5
B.
C.
D.
2

2
2
5
Câu 13. Một học sinh đứng ở mặt đất cách tháp ăng-ten 100m. Biết rằng học sinh đó nhìn
thấy đỉnh tháp ở góc 190 so với đường nằm ngang, khoảng cách từ mắt đến mặt đất bằng
1,5m. Chiều cao của tháp (làm tròn đến đơn vị mét) bằng:
A. 34
B. 35
C. 36
D. 38
Câu 14. Tỉ số giữa bán kính đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp của một
tam giác đều là:
1
1
1
2
A.
B.
C.
D.
4
2
3
3
Câu 15. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với
BC tại D. Biết BD  2DC  10. Diện tích tam giác ABC bằng:
A. 25
B. 50
C. 50 2
D. 100

Câu 16. Có tất cả bao nhiêu cách xếp bạn An, Bình, Cường, Thắng , Việt ngồi thành một
hàng ngang sao cho hai bạn Thắng và Việt không ngồi cạnh nhau.
A. 48
B. 72
C. 96
D. 118
B. Tự luận (12 điểm)
Câu 1. (3,0 điểm)
a) Chứng minh rằng trong 5 số nguyên dương đôi một phân biệt luôn tồn tại 4 số có
tổng là hợp số
b) Bạn Thắng lần lượt chia số 2018 cho 1;2;3;4…;2018 rồi viết ra 2018 số dư tương
ứng sau đó bạn Việt chia số 2019 cho 1;2;3;4;….;2019 rồi viết ra 2019 số dư tương
ứng. Hỏi ai có tổng số dư lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu.
Câu 2. (3,0 điểm)
2  x  y   xy  1  0
a) Giải hệ phương trình:  3
3
 x  y  3 x  y   32  0
2
1

b) Giải phương trình:  x    10  11x  x  1
x

Câu 3. (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp  O  , D thuộc đoạn BC (D không trùng B, C) và  O ' tiếp
xúc trong với O tại K, tiếp xúc với đoạn CD, AD tại F, E. Các đường thẳng KF , KE cắt (O)
tại M, N
a) Chứng minh rằng MN / / EF
b) Chứng minh rằng MC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác KFC

c) Chứng minh EF luôn đi qua điểm cố định khi D chạy trên BC.
Câu 4. (1,0 điểm) Cho các số thực x1, x2 ,......, xn 0;1
A.

Chứng minh rằng: 1  x1  x2  x3  .....  xn   4  x12  x22  x32  ......  xn2 
2


ĐÁP ÁN
Câu 1,
a) Áp dụng quy tắc chẵn – lẻ. Xét các trường hợp sau:
Ta có a, b, c cùng chẵn nên đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có tổng và cả hiệu của
chúng là số chia hết cho 2.
Ta có a, b, c củng lẻ nên đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có tổng và cả hiệu của
chúng là số chia hết cho 2.
Ta có a, b, c có một cặp số lẻ nên hiệu và tổng của 2 số lẻ chiaa hết cho 2.
a, b, c có một cặp là số chẵn nên hiệu và tổng của 2 số chẵn chia hết cho 2.
Hai trường hợp đầu có 3 cặp số thỏa mãn đầu bài. Hai trường hợp cuối có một cặp số thỏa
mãn đầu bài. Vậy có ít nhất 1 cặp số mà tổng và hiệu của chúng chia hết cho 2 nên là hợp
số.
Áp dụng quy tắc số dư. Ta thấy phép chia cho 5 có thể được các số dư là 0,1,2 , 3,4, Xét các
trường hợp:
*Cả 4 số có số dư khác nhau  0,1,2,3 ;  0,2,3,4 ;  0,1,4,2 ;  0,4,2,3 1,2,3,4  bao giờ cũng
có ít nhất 1 cặp số có số dư là 1  4  hoặc  2  3 nên tổng 1 cặp số đó chia hết cho 5. Với
nhóm số dư 1,2,3,4  nên suy ra 2 cặp có tổng chia hết cho 5
*Cả 4 số có số dư trùng nhau nên 6 cặp từng đôi một có hiệu bằng 0 nên chia hết cho 5.
*Cả 2 cặp số có số dư trùng nhau nên hiệu của 2 cặp số đó bằng 0 chia hết cho 5
*Cả 1 cặp có số dư trùng nhau nên hiệu của 1 cặp số đó bằng 0 chia hết cho 5.
Vậy ít nhất cũng chọn ra 1 cặp số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 5. Hay trong 5
số nguyên dương đôi một phân biệt luôn tồn tại 4 số có tổng là hợp số.

b) Gọi T là tổng các số dư của Thắng, V là tổng các số dư của Việt. Gọi t1;....t2018 là số
dư chia 2018 cho 1,2,....,2018 ; gọi v1;.....v2019 là số dư chia 2019 cho 1,2......2019. Ta
thấy rằng: T  t1  t2  ....  t2018 ;V  v1  v2  ...  v2019 với i  1,2,3,.....2018 . Nếu
2019 i  v1  0  ti  i  1. Nếu v1  i  1  v1  ti  1

 V   t1  1   t2  1  .......   t2018  1  S  2019  T  2018  S  2019   . Trong đó
S  2019  là tổng các ước không vượt quá 2018 của 2019. Ta có 2019  1.3.773 . Suy ra
S  2019   677 nên ta có V  T  2018  677  T  1341. Suy ra V  T

Và V  T  1341
Câu 2.

2  x  y   xy  1  0
2  x  y   xy  1  0

a) Ta có:  3

3
3
 x  y  3 x  y   32  0 
 x  y   3xy  x  y   3  x  y   32  0


Ta đặt x  y  s, xy  p  s2  4 p  . Khi đó hệ tương đương với :
2s  p  1  0
. Giải hệ trên ta có nghiệm
 3
s

3

ps

3
s

32

0



b) Điều kiện xác định: x  0
2

1
2
2

4
3
2
 x    9  x  1  21x  x  1   x  1  12 x  x  8 x  1  0
x

 1  17
2
x 
4 x  x  1  0
8
2

2
  4 x  x  1 3x  x  1  0   2

 1  13
3 x  x  1  0
x 
6

1  17 1  13 
S 
;

8
6 

Câu 3.

A

O'

E
N

I

K

O
H

B

D

F

C

M
a) Qua K kẻ tiếp tuyến chung  d  với  O  và  O ' . Gọi H là giao của (d) và BC

KEF  FKH  MNK  MN / / EF
b) Ta có tam giác HKF cân tại H suy ra HKF  HFK  MB  MC suy ra AM là phân
giác BAC. Suy ra BCM  MKC nên ta có MC là tiếp tuyến  KFC 


c) Gọi AM cắt EF tại I. Ta chứng minh I cố định. Thật vậy, ta có AKN  AMN  AIE
nên tứ giác AEIK nội tiếp
Suy ra DEF  EKF  EAI  EIA  EKI  IKE  EIA  IKF hay MIF  IKF
Suy ra MIF MKI ( g.g )  MI 2  MK .MF (1)
Ta có MC là tiếp tuyến  KFC  suy ra MC 2  MF .MK (2)
Từ (1) và (2) suy ra MI  MK . Lúc đó ta có:

MIC  MCI  IAC  ICA  MCB  BCI  ICA  BCI
Nên CI là phân giác ABC , mà AM là phân giác BAC nên I cố định
Câu 4.
Áp dụng BĐT  A  B   4 AB với A  1; B  x1  .....  xn ta có:
2

1  x1  x2  x3  .....  xn   4  x1  x2  x3  .....  xn  với x1, x2 ,....xn 0;1
Nên x1  x1  1  0  x12  x1  0  x1  x12 . Tương tự ta có:
2

x2  x22 ;.......; xn  xn2  x1  x2  x3  .....  xn  x12  x22  x32  .......  xn2

Suy ra 1  x1  x2  x3  ......  xn   4  x1  x2  x3  .....  xn   4  x12  x22  x32  .....  xn2 
2

Dấu "  " xảy ra khi có 1 số bằng 1, các số còn lại bằng 0