022 đề thi HSG toán 9 tỉnh quảng trị 2018 2019

SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019
MÔN: TOÁN

Câu 1. Cho a  4  10  2 5  4  10  2 5
a) Chứng minh rằng a là nghiệm của phương trình a 2  2a  4  0

a 4  4 a 3  a 2  6a  4
b) Tính giá trị của P 
a 2  2a  12
 x3  y 3  8
Câu 2. a) Giải hệ phương trình 
 x  y  2 xy  2

b) Giải phương trình  x  1 x  2  x  3  x  4  x  5  360
2

Câu 3.
a) Chứng min rằng a2  b2  c2  ab  bc  ca với mọi số thực a, b, c
b) Cho a, b, c  1và ab  ac  bc  9. Tìm GTNN và GTLN của P  a 2  b2  c2
Câu 4. Cho ABC vuông tại A  AC  AB . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC,
D là điểm nằm trên đoạn thẳng AH (D khác A, H ). Đường thẳng BD cắt đường tròn tâm C
bán kính CA tại E và F ( F nằm giữa B và D), M là điểm trên đoạn thẳng AB sao cho

ACF  2BFM , MF cắt AH tại N
a) Chứng minh rằng BH .BC  BE.BF và tứ giác EFHC nội tiếp
b) Chứng minh rằng HD là tia phân giác của EHF
c) Chứng minh rằng F là trung điểm của MN

a2
c2
2c


. Chứng minh rằng bc
Câu 5. Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn 2
a  b2 a 2  c 2 b  c
là một số chính phương.


ĐÁP ÁN
Câu 1.
a) Ta có:
a2  8  2
82





4 



10  2 5 4  10  2 5  8  2 6  2 5



2

5 1  6  2 5 





5 1

2

 a  5  1  5  a  1  5  a 2  2a  1  a 2  2a  4  0

Nên a là nghiệm của phương trình a 2  2a  4  0
b) Ta có:
a 4  2a 3  4a 2  2a 3  4a 2  8a  a 2  2a  4  8
P
a 2  2a  4  16
a 2  a 2  2a  4   2a  a 2  2a  4   a 2  2a  4  8 8 1

 
a 2  2a  4  16
16 2

Câu 2.

 x  y   x  y 2  3xy   8



a) Hệ phương trình 
.Đặt
 x  y  2 xy  2
Ta có:

x  y  a
với a 2  4b

 xy  b

2
3

a  a  3b   8 2a  6ab  16

 2a3  3a  2  a   16  2a3  3a 2  6a  16  0

2b  2  a

a  2b  2
 2a3  4a 2  7a 2  14a  8a  16  0

  a  2   2a 2  7 a  8   0
Vì 2a 2  7a  8  0 vô nghiệm, nên a  2  b  0 . Hệ có nghiệm  x; y   0;2 ; 2;0 
b) Phương trình :  x 2  6 x  5 x 2  6 x  8 x 2  6 x  9   360
Đặt x2  6 x  5  t , ta có:

t  t  3 t  4   360  0  t 3  7t 2  12t  360  0   t  5  t 2  12t  72   0

x  0
Vì t 2  12t  72  0 vô nghiệm nên t  5  x 2  6 x  0  
 x  6
Vậy S  0; 6

Câu 3.
a) Ta có : 2  a 2  b2  c 2   2  ab  bc  ca   0   a  b    b  c    c  a   0
2

2

2

Dấu "  " xảy ra khi a  b  c
b) Vì a, b, c  1nên

 a  1 b  1  0 a  b  ab  1


 b  1 c  1  0  b  c  bc  1  2  a  b  c   ab  bc  ca  3  12


c  a  ca  1
 c  1 a  1  0
 a  b  c  6   a  b  c   36  a 2  b2  c 2  2.9  36  a 2  b2  c 2  18
2

Vậy GTLN của P là 18, đạt được khi  a; b; c  là các hoán vị của 1;1;4 
Mặt khác a2  b2  c2  ab  bc  ca  9 nên GTNN của P là 9. Đạt được khi

abc 3


Câu 4.

B
K
M

F
H
DN
A

C

E
a) Ta có: FAB  AEB  BAF

BEA 

BF BA

 BA2  BE.BF
BA BE

áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông thì BA2  BH .BC  BH .BC  BE.BF


BH BF


 BHF
BE BC

BEC  BHF  BEC nên tứ giác EFHC nội tiếp

b) Ta có BHF  BEC  CFE  CHE mà AHB  AHC  900 nên AHF  AHE  HD là tia
phân giác của EHF
c) Gọi K là giao điểm của AH với (C) , chứng minh được BK là tiếp tuyến của đường tròn
(C) , ta có 2BFM  ACF  2 AEF


 BFM  AEF  MN / / AE  ANM  KAE lại có : NAM  AEK
 AMN

EKA 

MN AN

(1) . Do đó AFN  FAE  1800
KA EA

1
1
EKF  FAE  1800  AFN  EKF  ECF  EHF  AHE
2
2
Hay AFN  AHE; ANM  HAE  AFN
Từ (1) và (2) ta có:

EHA 

AN NF

(2)
EA AH

MN NF 2 NF 2 NF



 MN  2 NF  FM  FN
KA AH 2 AH
KA

Câu 5.

a2
c2
2c
a2
c
c2
c







0
Ta có: 2
a  b2 a 2  c 2 b  c
a 2  b2 b  c a 2  c 2 b  c


a 2  b  c   c  a 2  b2 

 b  c   a 2  b2 



c2 b  c   c  a 2  c2 

b  c   a2  c2 

0

b  a 2  bc 



c  a 2  bc 

 b  c   a 2  b2   b  c   a 2  c 2 
a 2  bc   b  c 

a 2  bc  b
c 



0

0
b  c  a 2  b2 a 2  c2 
 b  c   a 2  b2  a 2  c 2 

  a 2  bc   b  c   0
2

Xét a2  bc  0  bc  a 2 là số chính phương . Xét b  c thì bc  c 2 là số chính phương.

0