032 đề thi HSG toán 9 huyện con cuông 2018 2019

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CON CUÔNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1. (5 điểm) Cho biểu thức A 

KỲ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2018-2019
Môn thi: TOÁN

x 1
2 x
25 x x  0




4  x  x  4
x 2
x 2

a) Rút gọn A
4
9
c) Tìm giá trị của x để A có giá trị nguyên
Câu 2. (4 điểm)
1. Giải các phương trình sau:

b) Tính giá trị của A khi x 

a)

4 x2  4 x  1  2 x  1

x  3  4 x  2x  6  5  x
2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n3  3n2  2018n chia hết cho 6
Câu 3. (2,5 điểm) Cho đường thẳng  d  có phương trình:
b)

 m  1 x   m  2 y  3 (d) (m là tham số)
a) Tìm giá trị của m biết đường thẳng  d  đi qua điểm A  1; 2 

9
2
Câu 4. (7,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên cùng nửa mặt
phẳng bờ AB vẽ các tiếp tuyến Ax, By. Lấy điểm M bất kỳ thuộc nửa đường tròn
(M khác A và B). Kẻ MH  AB tại H
a) Tính MH biết AH  3cm, HB  5cm
b) Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Gọi
b) Tìm m để (d) cắt hai trục tọa độ và tạo thành tam giác có diện tích bằng

I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh M , I , H thẳng hàng
c) Vẽ đường tròn tâm  O ' nội tiếp AMB tiếp xúc với AB ở K . Chứng minh
diện tích S AMB  AK .KB

Câu 5. (1,5 điểm) Cho x, y là các số tự thực dương thỏa mãn  x  1 y  1  4 xy .
Chứng minh rằng:

1
3x 2  1



1
3y2  1

1


ĐÁP ÁN
Câu 1.
a) A 





x 1
2 x
25 x


4 x
x 2
x 2



x 1



x 2 2 x



x 2





 

x 2  25 x
x 2



x  3 x  2  2x  4 x  2  5 x



x 2



x 2





3 x





x 2


x 2



x 2

4
b) Với x  0, x  4 , tại x  (tmdk )
9

4
2
3.
9  3 3
A
2
4
2 4
2

3
9
c) Với x  0, x  4
3

A nguyên 
Mặt khác

3 x
có giá trụ nguyên
x 2

3 x
6
6


 3
 3 vi...
 0
x 2
x 2
x 2



A  0  x  0
Suy ra 0  A  3, A    A  1  x  1

 A  2  x  16

Vậy A nguyên thì x 0;1;16







3 x
x 2


Câu 2.
1.
a) 4 x 2  4 x  1  2 x  1  2 x  1  2 x  1
1
1


x


x




2
2





 x0
2x 1  2x  1
0 x  2(ktm)




  2 x  1  2 x  1   x  0
b) Điều kiện: 0  x  5
x  3  4 x  2x  6  5  x
 x3  5 x  2





2

x 1  4

(1)

Vế trái của 1 bé hơn bằng 4; vế phải lớn hơn hoặc bằng 4. Dấu bằng xảy ra khi vầ

 x3  5 x
chỉ khi 
 x  1(tmdk )


 x 1  0
Vậy S  1

2. n3  3n2  2018n  n  n  1 n  2   2016n
Vì n  n  1 n  2  là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6
2016n luôn chia hết cho 6
Vậy n3  3n2  2018n luôn chia hết cho 6 với mọi n
Câu 3.
 x  1
a) Đường thẳng  d  đi qua điểm A  1; 2  nên ta có 
m0
y


2

b) Để d cắt 2 trục tọa độ thì m  1;2

 3

;0  ,
Giả sử  d  cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm A và B. ta tính được tọa độ A 
 m 1 
3 

B  0;
 . Ta có tam giác OAB vuông tại O nên
 m2

1
1 3
3
SOAB  OA.OB  .
.
2
2 m 1 m  2

1  13
m

9
1 3
3
9
2
SOAB  
.
 
(tmdk )
2
2 m 1 m  2 2

1 5
m 

2
Câu 4.

x

y
D
M

C
I
A

O'

H K O

B

a) Tam giác AMC vuông tai M có MH là đường cao nên

MH  AH .BH (Hệ thức lượng)  MH  3.5  15(cm)
b) Vì AC / / BD nên ta có :

AC AI CM


(vì AC  CM , BD  MD)
BD ID MD


Suy ra MI / / AC mà MH / / AC (cùng  AB)
Suy ra M , I , H thẳng hàng

c) Đặt AB  a, AM  c, BM  b
Ta có:
a cb
abc
AK 
; BK 
2
2
a  c  b a  b  c 1   a  c  b  . a  b  c  
 AK .BK 
.
 

2
2
2
2


2
2
2
2
2
1  a   b  c   1  a   b  c   2bc  1 2bc 1
1
 .
 bc  AM .BM  S AMB
 .
 

2 
2
2
2
2
 2 2
 2 
Vậy S AMB  AK .KB

Câu 5.
Từ  x  1 y  1  4 xy 

x 1 y 1
 1  1 
.
 4  1  1    4
x
y
x 
y


Đặt





2
1

1
a  ; b   3  a  b  ab  a  b  2 ab  ab  2 ab  ab  ab  1
x
y
Áp dụng BĐT AM – GM cho 2 số thực dương, ta có:
1
1
a
a
1 a
a 
x



 


2
1
a  b  a  1 2  a  b a  1 
3x 2  1
a

b

ab

a


3 2
x
1
1 a
b 
Tương tự ta có:
 


3y2  1 2  a  b b  1 

Cộng vế theo vế ta được:
1
1
1 a
b
a
b 

 




3x 2  1
3y2  1 2  a  b a  b a  1 b  1 
1
2ab  a  b  1  ab  3  1  1  3 
 1 
  1 

  1 
 1
2   a  1 b  1  2 
2  2
4 


a
 a

 a  b b  1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
 a  b 1 x  y 1
b
b


 a  b b  1