042 đề thi vào 10 chuyên toán phú thọ 2019 2020

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2019-2020
Môn: TOÁN CHUYÊN

Câu 1. (2,0 điểm)
1
1
 3. Tính giá trị biểu thức P  x3  3
x
x
1
1

1
x 1
x 1

a) Cho số thực x thỏa mãn x 
b) Giải phương trình
Câu 2. (2,0 điểm)

a b
4a
 
b c ac
b) Có 15 bạn học sinh nam và 15 bạn học sinh nữ ngồi quanh một bàn tròn.
Chứng minh rằng luôn tồn tại một học sinh mà 2 bạn ngồi cạnh bạn đó đều

là nữ

a) Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng

Câu 3. (2,0 điểm) Với mỗi số thực x , kí hiệu  x  là số nguyên lớn nhất không
 3 
vượt quá x. Ví dụ  2   1;    2
2

a) Chứng minh rằng x  1   x  x   x  1   x  1 với mọi x 
b) Có bao nhiêu số nguyên dương n  840 thỏa mãn  n  là ước của n ?
Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại B, đường cao BH  H  AC . Goi
  là đường tròn tâm C bán kính CB. Gọi F là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng
BH ( F khác B và H). AF cắt   tại hai điểm D, E ( D nằm giữa A và E ). Gọi K là
trung điểm DE.
a) Chứng minh rằng FKCH là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh rằng AD. AE  AH . AC  AF. AK
c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp BFK tiếp xúc với   tại B
Câu 5. (1,0 điểm) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho
n 2019
1

n
2
2020


ĐÁP ÁN
Câu 1.
3

1

a) Từ giả thiết có  x    33 hay
x

1
1
1

x3  3  3 x    27  x3  3  3.3  27
x
x
x

1
 P  x3  3  27  9  18
x
x  0
b) Điều kiện xác định 
x  1

Phương trình đã cho tương đương với
Đặt

2 x
1  x  2 x 1  0
x 1

x  t  t  0; t  1 ta có : t 2  2t  1  0  t  1  2  do...t  0 



Khi đó x  1  2



2

 3 2 2

 Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  6  2 5

Câu 2.
a)

a b
4a
 
  ac  b2   a  c   4abc
b c ac
Theo Cô si

ac  b 2  2 ab 2c  0
a  c  2 ac  0
  ac  b 2   a  c   4abc

b) Giả sử tồn tại một cách xếp 30 bạn lên bàn tròn sao cho không có bận nào
ngồi giữa hai bạn nữ. Gọi các bạn theo thứ tự là A1; A2 ;.....; A30 . Chúng ta chia
30 bạn sang 2 bàn tròn gồm  A1; A3 ;....; A29  và  A2 ; A4 ;....; A30  và giữ nguyên

thứ tự
Khi đó ở cả hai bàn mới, không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau


15
.
2
Suy ra tổng số bạn nữ ở cẩ hai bàn nhỏ hơn 15 (trái giả thiết)
Vậy luôn tồn tại một học sinh mà 2 bạn ngồi cạnh đó đều là nữ.
 Số bạn nữ ở mỗi bàn sẽ không vượt quá

Câu 3.
a) Ta có ngay  x   x (theo định nghĩa)
Giả sử  x   1  x thì  x   1là số nguyên mà  x   1   x ;
Mà theo định nghĩa thì  x  là số nguyên lớn nhất không vượt quá x (mâu thuẫn do

 x   x  1 . Do đó x   x  1  x  1   x
 x   1   x  1
  x   1   x  1
Lại có 
x

1

1

x






Vậy x  1   x   x   x   1   x  1
b) Giả sử n là số nguyên dương thỏa mãn
2
Đặt k   n  thì 1  k  28 và k 2  n   k  1 hay k 2  n  k 2  2k
 n  k 2  r với 0  r  2k
Mặt khác n k hay  k 2  r  k nên r  0; k ;2k với 1  k  28

Lại có 840  282  2.28
Mà n có dạng k 2 ; k 2  k ; k 2  2k đều thỏa mãn yêu cầu bài toán
 Số nguyên dương n thỏa mãn yêu cầu bài toán là 3.28  84


Câu 4.

B

E
K

D
A

F
H

C

a) FKC  FHC  900  FKCH là tứ giác nội tiếp
b) Xét hai tam giác ADB và ABE có A chung; ABD  AEB
AD AB

 AD. AE  AB 2
Do đó ADB ABE ( g.g ) 
AB AE
2
Mặt khác AB  AH . AC  AD. AE  AH . AC
Ta có AFH ACK ( g.g )  AF . AK  AH .AC
 AD.AE  AH .AC  AF.AK
c) Ta có AH . AC  AB2 nên AF . AK  AB2

Ta có AFB ABK  c.g.c   ABF  AKB hay AB là tiếp tuyến của đường tròn
ngoại tiếp BFK  AB là tiếp tuyến chung
 Đường tròn ngoại tiếp tam giác BFK tiếp xúc với   tại B


Câu 5.
Ta chứng minh n  100000000 thỏa mãn

10 
Thật vậy

9 2019

2100000000

4
109.2019  2 

24.9.2019
1
1
 100000000  100000000  100000000  999927316 
2
2
2
2
2020
9.2019

Tiếp theo ta chứng minh nhận xét
Nếu n  a  1000000000 thỏa mãn, thì n  2a cũng thỏa mãn
Thật vậy,

n2019  2a 

2n
22 a

2019

22019 a 2019
22019 a 2019 a 2019
1
 a . a  1000000000 . a  a 
2
2
2
2

2
2020

Từ nhận xét trên kết hợp với quy nạp, ta thấy n  2k.109 thỏa mãn bài toán với mọi
k  . Vậy tồn tại vô số số nguyên dương n