055 đề thi vào 10 chuyên toán hưng yên 2019 2020

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯNG YÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1. (2,0 điểm)
1. Cho hai biểu thức A 

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2019-2020
Môn thi: TOÁN
(Dành cho các thí sinh dự thi các lớp chuyên: Toán, Tin)

x
x x  1 x x  1 2  x  1


và B  x  1 
x 1
x x
x x
x

với x  0, x  1.
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để A  B
2. Cho a, b là hai số thực thỏa mãn 0  a  1,0  b  1, a  b và

a  b  1  b2  1  a 2 . Tìm giá trị của biểu thức Q  a 2  b2  2019
Câu 2. (2,0 điểm)
1
3

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng  d  : y 
và
x
2020
2020
parabol  P  : y  2 x 2 . Biết đường thẳng  d  cắt  P  tại hai điểm B và C. Tìm

tọa độ điểm A trên trục hoành để AB  AC lớn nhất.
2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình :
2
xy 2   y  45  2 xy  x  220 y  2024  0
Câu 3. (2,0 điểm)
1. Giải phương trình: 5x  11  6  x  5x 2  14 x  60  0
4 x 2 y  xy 2  5
2. Giải hệ phương trình: 
3
3
64 x  y  61
Câu 4. (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Lấy M là điểm bất kỳ trên
cạnh AB ( M  A , M  B), qua A kẻ đường thẳng vuông góc với CM tại H, DH
cắt AC tại K
1) Chứng minh rằng MK song song với BD
2) Gọi N là trung điểm của BC , trên tia đối của tia NO lấy điểm E sao cho
FO
ON
2

, DE cắt OC tại F . Tính
OE
2

FC
3) Goi P là giao điểm của MC và BD, Q là giao điểm của MD và AC. Tìm giá
trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác CPDQ khi M thay đổi trên cạnh AB.
9
Câu 5. (1,0 điểm) Với x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện  2  x  y  1  .
4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A  x 4  4 x3  6 x 2  4 x  2  y 4  8 y 3  24 y 2  32 y  17


ĐÁP ÁN
Câu 1. 1)
a) Ta có:
A



x x  1 x x  1 2  x  1



x x
x x
x







x .



x 1 x  x 1





x 1


x .

  2  x  1

x 1 x  x 1



x 1

x

2 x 2  x  1 2 x  x  1


x
x

x

Vậy A 



 với x  0, x  1.

2 x  x 1

x
b) ĐK: x  0, x  1

A B



  2x  1  2x

2 x  x 1

x
Vậy với x  4 thì A  B
2)

x 1

a  b  1 b  1 a  a  b 
2

2

x  2  2 x x  x  x  4(tmdk )

a 2  b2
1  b2  1  a 2

 a  b  1  b2  1  a 2

2
2

a  b  1  b  1  a
 a  1  b2  a 2  b 2  1  Q  2020.
Từ đó ta có hệ 
2
2

a  b  1  b  1  a
Câu 2.
1. Ta có: AB  AC  BC nên GTLN AB  AC  BC khi A, B, C thẳng hàng

hay A là giao điểm của  d  với Ox  A 3;0
2. Ta có: xy 2   y  45  2 xy  x  220 y  2024  0
2

  y  1 xy  x  y  129   128  27

 y  12;4;8;16;32;64;128

 y  12;4;8;16;32;64;128  y 1;3;7;15;31;63;127   x; y   33;1 ;  25;3 ; 15;7 


Câu 3.
1. ĐK: 

11
 x6
5

Ta có:

5 x  11  6  x  5 x 2  14 x  60  0 
5  x  5



 

5x  11  6 



6  x  1   x  5 5 x  11  0

x5
  x  5  5 x  11  0
5 x  11  6
6  x 1
5

1


  x  5 

 5 x  11  0  x  5
6 x
 5 x  11  6





5
1
11


Do
....


5
x

11

0...
voi
..



x

6


5
5 x  11  6
6 x


Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  5
2
2
 xy 4 x  y   5

4 x y  xy  5  
2. 

2
3
3
4 x  y   4 x  y   12 xy   61


64 x  y  61 




5


u  5
u  xy
uv  5
u 
Đặt 
hệ trở thành:  2


v
3
v  4 x  y
v  1

v  v  12u   61 
v  60  61

  x  1

  y  5
 xy  5

 5 
 
Suy ra 
5 . Vậy nghiệm của hệ là  x; y    1; 5  ;  ;4  
 4 


4 x  y  1   x 
4


  y  4


Câu 4.

H
M

A
K

B

Q
P
N

E

O
F
D

C

1. Tứ giác ADCH có AHC  ADC  900  900  1800  Tứ giác ADCH nội

tiếp  ADH  ACH
 AKH  DAK  ADK  MAK  ADH


Ta có:  AKH  KCH  CHK  ACH  MHK  MAK  MHK  AHMK là tgnt

ADH  ACH



 AKM  900  MK  AC mà BD  AC (t/c hình vuông)  MK / / BD
2. ONC vuông cân tại N 

 ODE  OED

ON
2

 OE  OC  OD  DOE cân tại O
OC
2

(1). Mà OE / /CD  CDE  OED(2)

Từ (1) và (2)  ODE  CDE  DE là tia phân giác của CDO 
3. Đặt AM  x  0 ta có AMK vuông cân tại K

FO DO
2



FC DC
2


 MK  AK 

x
x
2a  x
 CK  a 2 

2
2
2

Do AM / /CD 

AQ AM x
AQ
x
AC.x a 2.x

 

 AQ 

QC CD a
AC a  x
ax ax

 CQ  AC  AQ 

a2 2
ax

a 2
OC OP
x
ax
OP / / MK 

 OP  2 .

2a  x 2  2a  x  2
CK MK
2
ax
a
a
2a
 DP  OP  OD 


.
 2a  x  2 2 2 2a  x
SCPQD

1
1 a2 2 a

2a
1
 DP.CQ  .
. .
 a4.
2
2 a  x 2 2a  x
 a  x  2a  x 

SCDPQ đạt GTNN   a  x  2a  x  đạt GTLN . Mà
1  a  2 a  x  x  9a 2
4a 2
 SCDPQ 
.
 a  x  2a  x   
 
4
2
4
9

a
Dấu "  " xảy ra khi a  x  2a  x  x   M là trung điểm của AB.
2
2
4a
 M là trung điểm của AB
Vậy min SCDPQ 
9
Câu 5.

u  x  1
9
9
Đặt 
. Ta có:  2  x  y  1    u  1 v  1 
4
4
v  y  2
2

9
1
2
2
  u  1 v  1  . u  v  2    u  v  2   9
4
4
Theo Bunhia ta có :
u 2  v2  12 12  12  22   u  v  22  9  u 2  v2  12
Ta có , theo Mincopxki:
Ta có:

A  u 4  1  v4  1 

u

2

 v 2   1  1 
2

2

u

2

 v2   4 
2

1
17
4 
4
2


1
1


x


x



2
2 . Vậy MinA  17  

Dấu "  " xảy ra khi 

2
y  5
y  5


2
2