065 đề thi vào 10 chuyên toán quảng ninh 2019 2020

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NINH

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM 2019
Môn thi: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1. (1,5 điểm)

4 x  9 x  3
x 1 2 x 1


 x  0
x3 x 2
x 1
x 2
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị lớn nhất của A
Câu 2. (2,5 điểm )
1. Giải phương trình: x  1  4  x   x  1 4  x   1
Cho biểu thức A 

2

 x   2  y  2  y 
2. Giải hệ phương trình:  3

2 x   x  y  4  xy 

Câu 3. (1,0 điểm)
n 2  a  b
Tìm các số nguyên không âm a, b, n thỏa mãn  3
2
2
n  2  a  b
Câu 4. (3,5 điểm)
Cho đường tròn  O; R  đường kính AB, điểm M nằm trên đoạn OB ( M khác O và

B). Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt  O  tại hai điểm C và E. Gọi F là hình
chiếu của C trên AE và I là hình chiếu của M trên CF.Đường thẳng AI cắt (O) tại điểm
thứ hai là H
a) Chứng minh tứ giác CIMH nội tiếp
b) Tiếp tuyến tại C của  O  cắt đường thẳng AB tại D. Gọi  O1  là đường tròn ngoại
tiếp CHD (điểm O1 là tâm đường tròn). Chứng minh đường thẳng BD là tiếp
tuyến của  O1 
c) Gọi O2 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMD. Biết OM 

R 2
, tính diện tích
2

tam giác OO1O2 theo R
Câu 5. (1,5 điểm)
1. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a  1; b  1; c  1 và a  b  c  0
Chứng minh a2018  b2019  c2020  2
2. Cho trước p là số nguyên tố. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy hai điểm A  p8 ;0  và

B  p9 ;0  thuộc trục Ox. Có bao nhiêu tứ giác ABCD nội tiếp sao cho các điểm C , D

thuộc trục Oy và đều có tung độ là các số nguyên dương.


ĐÁP ÁN
Câu 1.

x  1

1a) A 

 x  1 x  2  x  1
1  5 x  x  2  1  5 x



 x  1 x  2 x  1
4 x  9 x  3

   2 x  1 x  1
x  2   x  1 x  2 

x 2

1 5 x
6
 5 
. Với mọi x  0 ta có: x  1  1 nên
x 1
x 1
6

 1. Giá trị lớn nhất của A là 1  x  0
Do đó A  5 
x 1
Câu 2.
1b) A 

2.1

x 1  4  x 

 x  1 4  x   1

(1) . Điều kiện 1  x  4

t2  5
Đặt x  1  4  x  t  0   x  1 4  x  
2
t  1(ktm)
t2  5
Phương trình (1) trở thành: t 
1 
2
t  3(tm)

 x  0(tm)
32  5
t  3   x  1 4  x  
 2   x 2  3x  0  
2
 x  3(tm)

Vậy S  0;3

2
2
2


 x   2  y  2  y 
 x  y  4 (1)
2.2  3
 3
2
x

x

y
4

xy





2 x   x  y  4  xy 


(2)

Thế 4  x 2  y 2 từ phương trình (1) vào phương trình (2) ta được:
2x3   x  y   x 2  xy  y 2   x3  y 3  x  y

Thay x  y vào phương trình (1) ta được: x2  2  x   2
Hệ phương trình có nghiệm
Câu 3.





2; 2 ;  2;  2



Có :  a  b   2  a 2  b2   n4  2  n3  2  hay n3  n  2   4  0
2

6
6
x 1


Nếu n  3 thì n3  n  2   4  n3  4  0(ktm)  n 0;1;2
Với n  0;1. Không có số nguyên a, b thỏa mãn
 a  1; b  3
Với n  2  
(tm) .Vậy  n; a; b   2;1;3 ; 2;3;1 
 a  3; b  1

Câu 4.

O1

C
I
A

O

H
MB

D
O2

F
E

a) Chỉ ra IM / / AE suy ra MIH  EAH , mà EAH  ECH nên MIH  MCH
Suy ra tứ giác CIMH nội tiếp
b) Chỉ ra được ED là tiếp tuyến của  O  suy ra HED  HCE
Do tứ giác CIMH nội tiếp nên CHM  900 suy ra HCM  HMC  900

(1)


Mà HMD  HMC  900 nên CHM  HMD

(2)

Từ (1) và (2) suy ra HED  HMD nên tứ giác EMHD nội tiếp
Do đó HDM  HEM mà HEM  HCM mà HDM  HCD
Từ đó chứng minh được BD là tiếp tuyến của  O1 
c) Sử dụng tính chất đường nối tâm vuong góc với dây chung ta có:
OO2  HE, O2O1  HD và do ED  HD suy ra OO2  O2O1
Chỉ ra COM  450 suy ra CAE  450 nên O2OO1  450. Tam giác O2OO1 vuông cân tại O2
Chỉ ra tam giác OCDE là hình vuông cạnh R và O2 là trung điểm của DE

5R 2
5R 2
Tính được O2O 
. Vậy diện tích tam giác OO1O2 là
4
8
Câu 5.
5.1 Từ giả thiết ta có:  a  1 b  1 c  1  0 và 1  a 1  b 1  c   0
2

Suy ra  a  1 b  1 c  1  1  a 1  b 1  c   0
Rút gọn ta có: 2  ab  bc  ca   2
Mặt khác :  a  b  c   a 2  b2  c 2  2  ab  bc  ca   0
2

 a 2  b2  c 2  2  ab  bc  ca   a 2  b2  c 2  2

Dấu "  " xảy ra khi chăng hạn a  0, b  1, c  1
5.2 Xét tứ giác ABCD thỏa mãn đề bài. Gọi C  0; c  ; D  0; d  thì c  d  0
. , suy ra c.d  p8 . p9  p17
Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi OC.OD  OAOB

(1)

Do p nguyên tố và c, d nguyên dương nên có 9 cặp  c; d  với c  d thỏa mãn (1) là :

 p ;1 ,  p
17

16

; p  ,......,  p9 , p8 

Vậy có 9 tứ giác thỏa mãn đề bài