CHUYÊN đề 1 CUC TRI 1 1
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (436.91 KB, 40 trang )
Vận dụng_Vận dụng cao_18_19
Chuyên đề_Cực trị
GIẢI VẬN DỤNG CAO
CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2018-2019
2018_2019
MÔN: TOÁN 12
Thời gian làm bài 90 phút
Câu 1.
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
m
để đồ thị hàm số
y x 3mx 3 m 1 x m có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành.
3
2
A. 1;1 .
2
3
� 3 3�
; �.
B. �
� 2 2�
� 2 2�
; �.
C. �
� 3 3�
� 4 4�
; �.
D. �
� 3 3�
Câu 2.
Có bao nhiêu số nguyên không âm m đề đồ thị hàm số y x3 3 x 2 mx m 2 có các điểm
cực đại, điểm cực tiểu nằm về hai phía của trục hoành?
A. 4 .
B. 2 .
C. Vô số.
D. 3 .
Câu 3.
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
� 3 3�
; �.
B. �
� 2 2�
� 2 2�
; �.
C. �
� 3 3�
� 4 4�
; �.
D. �
� 3 3�
Cho biết hai đồ thị của hai hàm số y x 4 2 x 2 2 và y mx 4 nx 2 1 có chung ít nhất một
điểm cực trị. Tính tổng 1015m 3n.
A. 2018 .
B. 2017 .
Câu 5.
để đồ thị hàm số
y x3 3mx 2 3 m 2 1 x m3 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
A. 1;1 .
Câu 4.
m
D. 2018 .
C. 2017 .
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
m
để đồ thị hàm số
2
y x3 2m 2 1 x 2 m 1 x m3 có 2 điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
3
B. 0;1 .
A. 1;� .
C. �;1 .
Câu 6.
D. �;0 � 1; � .
3
2
Cho hàm số f x x ax bx c, có đồ thị C với a, b, c là các số thực. Biết C có hai
điểm cực trị A và B , ba điểm O, A, B thẳng hàng. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S abc ab c bằng
A. 9 .
Câu 7.
B.
25
.
9
C.
16
.
25
Có bao nhiêu số nguyên m � 2018; 2018 để đồ thị hàm số y
hai điểm cực trị nằm về hai phía của đường thẳng y x ?
A. 2017 .
B. 4034 .
C. 4033 .
Câu 8.
1 3
x mx 2 2m 1 x 3 có
3
D. 2016 .
Gọi A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3 3 x 2 2 . Tính đố dài đoạn thẳng AB.
A. AB 2 2 .
Câu 9.
D. 1 .
B. AB 2 17 .
C. AB 2 5 .
D. AB 2 10 .
Gọi A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3 5 x 2 3x 1 . Tìm tọa độ trung điểm
của AB.
�5 358 �
A. M � ;
�.
�3 27 �
� 5 338 �
;
B. N �
�.
� 3 27 �
C. Q 5; 234 .
D. P 5; 14 .
1
Vận dụng_Vận dụng cao_18_19
Câu 10.
Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3 x 2 2 x 1 . Viết phương trình đường
thẳng AB .
7
14
A. y x .
9
9
Câu 11.
Tài liệu 2018 - 2019
B. y
14
7
x .
9
9
7
14
x .
9
9
C. y
D. y
14
7
x .
9
9
1 3
2
2
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x mx m 1 x có hai điểm
3
cực trị A và B sao cho góc �
AOB nhọn.
m 1
�
D. �
.
m 1
�
uuu
r uuur
Câu 12. Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3 3 x 1 . Tính cos OA, OB .
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
2
2
A. cos OA, OB
.
B. cos OA, OB
.
5
5
uuu
r uuu
r
uuu
r uuur
1
1
cos
OA
,
OB
cos
OA
, OB
C.
.
D.
.
5
5
A. 1 m 1 .
B. m 1 .
C. m 1 .
là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
y x3 6mx 2 9 x 2m có hai điểm cực trị A, B sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến
Câu 13. Gọi S
đường thẳng AB bằng
A. 1 .
4 5
. Tính tích các phần tử của S
5
37
37
B.
.
C.
.
8
64
D. 1
3
2
2
3
Câu 14. Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3mx 3 m 1 x m m (với m là
tham số thực). Tính tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để tam giác ABC vuông tại
C 2;1
5
A. .
8
B.
8
.
5
8
C. .
5
D.
5
8
3
2
2
3
Câu 15. Biết rằng đồ thị hàm số y x 3mx 3 m 1 x m luôn có hai điểm cực trị A và B ,
trong đó A là điểm cực đại. Hỏi A nằm trên đường thẳng nào dưới đây?
A. y 3x 1 .
B. y 3 x 1 .
C. y 3x 1 .
D. y 3x 1
Câu 16. Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số y x 3 3x 2 m có hai điểm cực trị A, B sao cho
góc �
AOB 1200
A. 2 .
B. 0 .
C. 1 .
D. 4 .
3
2
2
3
Câu 17. Biết rằng đồ thị hàm y x 3mx 3 m 1 x m luôn có hai điểm cực trị A, B trong đó A
là điểm cực tiểu. Hỏi A nằm trên đường thẳng nào dưới đây?
A. y 3x 1 .
B. y 3 x 1 .
C. y 3x 1 .
D. y 3x 1
Câu 18. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số
y x 3 3mx 2 3 m 2 1 x m3 m có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm cực đại
của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ bằng
Tính tổng các phần tử của S .
2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ.
2
Vận dụng_Vận dụng cao_18_19
Chuyên đề_Cực trị
A. 6 .
C. 6 .
B. 4 2 .
D. 4 2
1 3
4
3
2
Câu 19. Tìm m để hàm số y x m 1 x m 1 có điểm cực đại, điểm cực tiểu nằm khác
3
3
phía với đường tròn x 2 y 2 4 x 3 0 ?
A 1;1 .
� 1 1�
; �
.
C. �
� 2 2�
B. 2; 2 .
D. �; 1 � 1; � .
Câu 20. Với mọi m 0, đồ thị hàm số y x 4 2mx 2 3 luôn có ba điểm cực trị. Tìm m khi bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi ba điểm này có giá trị nhỏ nhất?
3
1
A m 1.
B. m 3 .
C. m 3 2.
D. m 3 .
4
2
Câu 21. Với mọi m 0, đồ thị hàm số y x 4 2mx 2 3 luôn có ba điểm cực trị. Hỏi bán kính đường
tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi ba điểm này có giá trị nhỏ nhất là?
3
A 2.
B. 3 .
C. 1.
2 4
Câu 22. Tìm
tất
cả
các
giá
trị
thực
của
tham
số
m
D.
để
1
.
2
3
đồ
thị
hàm
số
y x 2m 1 x m 3m 2 x 4 có điểm cực đại, điểm cực tiểu ằm về hai phía trục
3
2
2
tung.
1
A. m .
2
Câu 23. Gọi S
B. 1 m 2 .
1
C. m .
2
D. m 1 hoặc m 2 .
là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
y x 3 3 m 1 x 2 3m m 2 x 2 m có hai điểm cực trị, đồng thời khoảng cách từ điểm
cực đại đến Ox bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu đến Oy . Hỏi S có bao nhiêu phần tử?
A. 0 .
B. 3 .
C. 1 .
D. 4 .
Câu 24. Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số y 2 x3 mx 2 12 x 13 có điểm cực đại và điểm
cực tiểu cách đều trục tung.
A. 2 .
B. 1 .
C. 0 .
D. 3 .
Câu 25. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x3 3 x 2 mx 2
1
có điểm cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng y x . Tính tổng các phần tử của S .
2
2
3
3
2
A. .
B. .
C. - .
D. .
3
2
2
3
Câu 26. Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số y x 3 3mx 2 4m3 có điểm cực đại và điểm cực
tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y x .
A. 2 .
B. 1 .
C. 0 .
D. 3 .
3
2
2
3
2
Câu 27. Có bao nhiêu số nguyên m � 5;5 để đồ thị của hàm số y x m 2 x m x m 2m
có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?
A. 8 .
B. 5 .
C. 7 .
D. 6 .
1 4
x mx 2 m 2 luôn có ba điểm cực trị. Biết parabol đi qua
4
ba điểm cực trị nay đi qua điểm A(2; 24) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 28. Với mọi m 0 ; đồ thị hàm số y
3
Vận dụng_Vận dụng cao_18_19
A. 1 m 3 .
B. 5 m 7 .
D. 0 m 2 .
f ( x1 ) f ( x2 )
.
x1 x2
A. S 2 .
Câu 30.
C. 3 m 5 .
2 x 2 3x m
có hai điểm cực trị phân biệt x1 ; x2 .Tính giá trị biểu thức
x2
Câu 29. Biết rằng hàm số y
S
Tài liệu 2018 - 2019
B. S 4 .
Cho hàm số y
C. S 2 .
D. S 4 .
x 2 m m 1 x m3 1
có đồ thị Cm . Hỏi điểm nào trong các điểm dưới
xm
đây là điểm cực đại của Cm tương ứng với m m1 đồng thời cũng là điểm cực tiểu của Cm
tương ứng với m m2 .
�1 5 �
A. M � ; �.
�2 4 �
Câu 31.
�1 7�
; �.
B. N �
� 2 4�
�1 5 �
C. P � ; �.
�2 4 �
�1 7�
; �.
D. Q �
� 2 4�
3x 2 5 x 1
có hai điểm cực trị phân biệt với mọi m 1 . Viết phương
x2 2x m
trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
x
3
x
3
A. y
.
B. y
.
2 m 1 2 m 1
m 1 m 1
Biết rằng hàm số y
C. y
x
3
.
2 m 1 2 m 1
D. y
Câu 32. Gọi A, B, C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y
x
3
.
m 1 m 1
1 4
x x 2 2 . Viết phương trình đường
2
tròn đi qua ba điểm A, B, C .
2
2
B. x y
A . x 2 y 2 4 0
2
2
C. x y
3
y 1 0.
2
3
y 7 0.
2
D. x 2 y 2 3 y 10 0 .
Câu 33. Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 4 2m 2 x 2 m có ba điểm
cực trị và trục hoành chia tam giác tạo thành từ ba điểm cực trị thành hai đa giác có diện tích
bằng nhau.
A. 2; 2
6
6
B. 2; 2
C.
2
D.
2
6
Câu 34. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng y 2m 1 x 3 m vuông góc với đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3 3 x 2 1
A. m
3
.
4
B. m
1
4
C. m
1
2
D. m
3
2
Câu 35. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y m 1 x 4 m song
song với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3 3 x 2 1 .
A. 3 .
B. 1 .
C. 6 .
D. �.
Câu 36. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y m 1 x 4 m tạo với
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3 3x 2 1 góc 450 .
4
Vận dụng_Vận dụng cao_18_19
Chuyên đề_Cực trị
�4 �
; 2 �.
A. �
�3
2�
�
4; �.
B. �
3
�
C. 4; 2 .
� 4 2�
; �.
D. �
�3 3
Câu 37. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 4 2mx 2 m có ba
điểm cực trị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tứ giác.
A. m 1 .
B. 0 m 1 .
C. 0 m 2 .
D. m 2 .
Câu 38. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 4 2mx 2 m có ba điểm cực trị cùng
với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác có diện tích bằng
1
A. m
2
.
1
B. m .
2
2
.
4
C. m 2.
D. m
1
2 2
.
x 2 3x m 3
có đồ thị C . Biết đồ thị C có một điểm cực trị thuộc
xm
đường thẳng y x 1 . Tìm điểm cực trị còn lại của hàm số đã cho.
A. x 2.
B. x 3.
C. x 5.
D. x 7.
Câu 39. Cho hàm số y
x2 2 x m
có đồ thị C . Biết C có một điểm cực trị thuộc đường thẳng
xm
y 4 x 8 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. m 1.
B. 1 m 0.
C. 0 m 1.
D. m 1.
Câu 40. Cho hàm số y
Câu 41. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 3 3mx 2 3m 1 có hai điểm cực trị
đối xứng nhau qua đường thẳng d : x 8 y 74 0 .
A. m 2 .
B. m 4 .
C. m 2 .
D. m 4 .
Câu 42. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 4 2 x 2 2m có ba điểm cực trị cùng với
gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp.
A. m 0 .
B. m 1 .
C. m 2 .
D. m
2
.
2
Câu 43. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 4 2m 2 x 2 m 1 có ba điểm
cực trị lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất.
1
.
5
A. m �6
1
.
5
B. m �3
C. m �
1
.
5
1
.
5
D. m �4
1 3
2
Câu 44. Gọi A( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x - mx - x + m . Tính tỉ
3
số T =
y1 - y2
x1 - x2
A. T
2
1 m2 .
3
B. T
2
1 m2 .
3
C. T
1
1 m2 .
3
D. T
1
1 m2 .
3
4
2
Câu 45. Với m >1 , đồ thị hàm số y = x - 4( m - 1) x + 2m - 1 có ba điểm cực trị. Viết phương trình
của parabol đi qua ba điểm đó.
2
A. y 2 m 1 x 2m 1 .
2
B. y 2 m 1 x 2m 1 .
2
C. y 6 m 1 x 2m 1 .
2
D. y 6 m 1 x 2m 1 .
5
Vận dụng_Vận dụng cao_18_19
Tài liệu 2018 - 2019
Câu 46. Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x 3 - 2 x 2 - 4 x + 3 . Tính diện tích S của
tam giác OAB .
322
232
166
116
A. S
.
B. S
.
C. S
.
D. S
.
27
27
27
27
Câu 47.
Tìm các giá trị thực của tham số m đề đồ thị hàm số y x 3 3x m có hai điểm cực trị là
A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 10 , với O là gốc tọa độ.
A. m 20 �m 20 . B. m 20 .
C. m 10 .
D. m 10 �m 10
Câu 48. Gọi A, B là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3 3x m . Hỏi tam giác OAB có chu vi
nhỏ nhất bằng bao nhiêu?( với O là gốc tọa độ).
A. 4 5 .
B. 2 5 .
C. 2 5 2 .
D. 4 .
Câu 49. Biết đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 ax b có phương trình
y 6 x 7 . Tính y 2 .
A. y 2 33 .
B. y 2 3 .
C. y 2 3 .
D. y 2 33 .
1 3
2
Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y x mx 2m 1 x 3
3
có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía với trục tung.
1
�1
�
A. m �1 .
B. m �� ; ��\ 1 . C. m 1 .
D. 0 m 2 .
2
�2
�
Câu 51. Cho hàm số y ax 3 bx 2 cx d , (a �0, b 2 3ac 0) có đồ thị C . Biết gốc tọa độ O thuộc
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của
C .
S abcd bc ad ?
1
A. .
36
9
C. .
4
B.
27
.
4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
D.
25
.
9
4
2
2
Câu 52. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 2 m 2 x m có ba
điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 1200 .
1
1
1
A. m 2 3 .
B. m 2 3 .
C. m 3
3
2
3
D. m
1
.
2
3
3
2
Câu 53. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 3 x 3 1 m x 1 3m có hai điểm
cực trị A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 .
1
A. m 2 .
B. m 4 .
C. m .
2
D. m 1 .
3
2
2
3
Câu 54. Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thì hàm số y x 3mx 3 m 1 x m m (với m là
tham số thực). Tính tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để tam giác ABC có bán kính
đường tròn ngoại tiếp bằng
5
A. .
8
B.
5 , trong đó C 2;1 .
8
.
5
8
C. .
5
D.
5
.
8
6
Vận dụng_Vận dụng cao_18_19
Chuyên đề_Cực trị
Câu 55. Có bao nhiêu số thực để đồ thị hàm số y x 4 2mx 2 2 có ba điểm cực trị A, B, C sao cho tứ
�3 9 �
giác ABCD nội tiếp với D � ; �
�5 5 �
A. 4 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 1 .
Câu 56. Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số y x 4 2mx 2 2 có ba điểm cực trị A, B, C sao cho
�3 9 �
tứ giác ABCD nội tiếp với D � ; �.
�5 5 �
A. 4 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 1 .
Câu 57. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 4 2mx 2 2m 3 có ba điểm
cực trị và ba điểm này nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 1.
A. m 1; m
1 3
.
2
1 5
.
2
1 3
D. m
.
2
B. m 1; m
C. m 1 .
4
2
Câu 58. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 2 m 1 x 3m 2 có ba điểm cực
trị là ba đỉnh của một tam giác cân có độ dài cạnh bên gấp đôi độ dài cạnh đáy.
A. m 1 3 15 .
B. m 1 3 120 .
C. m 1 3 60 .
D. m 1 2 3 120 .
4
2
Câu 59. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 2 m 1 x 3m 2 có ba điểm
cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 .
A. m 1 .
B. 0 m 1 .
C. 1 m 1 .
D. 1 m 0 .
4
2
Câu 60. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 2 m 1 x 2m 3 có ba điểm cực
trị A, B, C sao cho trục hoành chia tam giác ABC thành hai đa giác, biết tỉ số giữa diện tích
của tam giác nhỏ được chia ra và diện tích tam giác ABC bằng
A. m
1 15
.
2
B. m
1 3
.
2
C. m
5 3
.
2
4
.
9
D. m
1 15
.
2
----------HẾT----------
GIẢI VẬN DỤNG CAO
CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2018-2019
7
Vận dụng_Vận dụng cao_18_19
Tài liệu 2018 - 2019
2018_2019
MÔN: TOÁN 12
Thời gian làm bài 90 phút
Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc
BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
m
để đồ thị hàm số
y x3 3mx 2 3 m 2 1 x m3 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành.
� 3 3�
� 2 2�
� 4 4�
; �.
; �.
; �.
A. 1;1 .
B. �
C. �
D. �
� 2 2�
� 3 3�
� 3 3�
Lời giải
Chọn C
3x 2 6mx 3 m 2 1 1 .
Ta có y�
Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi 1 có hai nghiệm phân
biệt x1 , x2 và y1. y2 0 .
Câu 2:
�
�
9m 2 9 m 2 9 0
9m 2 9m 2 9 0
�
0
�
�
�
��
��
Khi đó ta có �
2 x1 m 2 x2 m 0 �4 x1.x2 2m x1 x2 m 2 0
�
�y1 . y2 0
�
9m 2 9m 2 9 0
2
2
�
2
�� 2
�
m
.
�
9
m
4
0
3
3
4m 4 4m 2 m 2 0
�
2
2
Vậy m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
3
3
Có bao nhiêu số nguyên không âm m đề đồ thị hàm số y x3 3 x 2 mx m 2 có các điểm
cực đại, điểm cực tiểu nằm về hai phía của trục hoành?
A. 4 .
B. 2 .
C. Vô số.
D. 3 .
Lời giải
Chọn D
3 x 2 6 x m 1 .
Ta có y�
Để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, điểm cực tiểu nằm về hai phía trục hoành khi 1 có hai
nghiệm phân biệt x1 , x2 và y1. y2 0 .
8
Vận dụng_Vận dụng cao_18_19
Chuyên đề_Cực trị
9 3m 0
�
�
0
�
�
2
��
Khi đó ta có �
2m 6 �
�
�y1 . y2 0
�
� x1 1 x2 1 0
�
� 3 �
�
�m 3
�
2
��
�2m 6 �
�
� x1.x2 x1 x2 1 0
�
� 3 �
�
�m 3
�
2
��
�2m 6 ��m 3 � � m 3 .
�
��
� 0
�
� 3 �� 3 �
�
Vậy m � 0;1; 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 3:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
m
để đồ thị hàm số
y x3 3mx 2 3 m2 1 x m3 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
� 3 3�
; �.
B. �
� 2 2�
A. 1;1 .
� 2 2�
; �.
C. �
� 3 3�
Lời giải
� 4 4�
; �.
D. �
� 3 3�
Chọn A
3 x 2 6mx 3 m 2 1 1 .
Ta có y�
Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung khi 1 có hai nghiệm phân biệt
x1 , x2 và x1.x2 0 .
�
9 m 2 9m 2 0 0
�
0
�
�
� �3 m2 1
Ta có �
� m 2 1 0 � 1 m 1 .
x
.
x
0
�1 2
0
�
� 3
Vậy m � 1;1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 4:
[2D1-3] Cho biết hai đồ thị của hai hàm số y x 4 2 x 2 2 và y mx 4 nx 2 1 có chung ít
nhất một điểm cực trị. Tính tổng 1015m 3n.
A. 2018 .
B. 2017 .
C. 2017 .
Lời giải
Chọn D
D. 2018 .
4 x3 4 x .
Ta khảo sát hàm y x 4 2 x 2 2 xem các điểm cực trị. y�
x0
�
y' 0 � �
.
x �1
�
Vì a 1 0 nên ta có A 0; 2 là điểm cực đại, B 1;1 , C 1;1 là điểm cực tiểu.
Để đồ thị hai hàm số trên có chung ít nhất 1 điểm cực trị, điểm cực trị đó là B, C ứng với
trường hợp m 0, n 0 (các trường hợp còn lại loại)
Hàm số y mx 4 nx 2 1 có điểm cực đại là B, C nên
Câu 5:
�
m n 1 1 �
m 2
�
�y 1 1
��
��
� 1015m 3m 2018
�
1 0 �4m 2n 0 �n 4
�y�
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
m
để đồ thị hàm số
2
y x3 2m 2 1 x 2 m 1 x m3 có 2 điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
3
A. 1;� .
B. 0;1 .
9
Vận dụng_Vận dụng cao_18_19
C. �;1 .
Tài liệu 2018 - 2019
D. �;0 � 1; � .
Lời giải
Chọn A
Câu 6:
2 x 2 2 2m 2 1 x m 1 .
Ta tính y�
m 1
y�
0 có 2 nghiệm trái dấu �
0 � m 1.
2
3
2
Cho hàm số f x x ax bx c, có đồ thị C với a, b, c là các số thực. Biết C có hai
điểm cực trị A và B , ba điểm O, A, B thẳng hàng. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S abc ab c bằng
25
16
A. 9 .
B.
.
C. .
D. 1 .
25
9
Lời giải
Chọn B
Ta có công thức đường thẳng qua 2 điểm cực trị của hàm số y ax 3 bx 2 cx d , a �0 là
�2c 2b 2 �
bc
y �
�x d
9a
�3 9a �
3
2
Áp dụng vào bài, ta được đường thẳng qua 2 điểm cực trị của hàm số f x x ax bx c
�2b 2a 2
d:y �
9
�3
Ba điểm O, A, B thẳng hàng � c
�
ab
�x c
9
�
ab
0 � ab 9c .
9
2
25
� 5 � 25
S abc ab c 9c 9c c 9 �
c �
�
9
� 9� 9
2
Câu 7:
Có bao nhiêu số nguyên m � 2018; 2018 để đồ thị hàm số y
hai điểm cực trị nằm về hai phía của đường thẳng y x ?
A. 2017 .
B. 4034 .
C. 4033 .
1 3
x mx 2 2m 1 x 3 có
3
D. 2016 .
Lời giải
Chọn
B.
Hàm số y
1 3
x mx 2 2m 1 x 3 1
3
TXĐ: D �.
x 2 mx 2m 1
Ta có y �
x 2 mx 2m 1 có hai nghiệm phân biệt
Hàm số có 1 có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y�
� �
m 1 0 ۹ m 1
2
11 �
1
2
�
�
�
1; m �và B �2m 1; 2m 1 2 m 3 �.
Khi đó hai điểm cực trị là A �
3�
3
�
�
�
Hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng y x khi
� � 11 ��
�
1
2
�
1 �
m �
2m 1 2m 1 2 m 3� 0
�
�
�
3
�
� � 3 ��
�
10
Vận dụng_Vận dụng cao_18_19
Chuyên đề_Cực trị
� 3m 8 4m3 12m 2 3m 10 0
� 3m 8 m 2 4m 2 4m 5 0
� 1 6
m
�
2
�
�
1 6
��
m2
� 2
� 8
m
�
� 3
Vì
m
là
số
nguyên
thỏa
mãn
m � 2018; 2018
nên
ta
có
m � 2018; 2017;... 1;3; 4;...2018 có 4034 giá thị thỏa mãn.
Câu 8:
Gọi A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3 3x 2 2 . Tính đố dài đoạn thẳng AB.
A. AB 2 2 .
B. AB 2 17 .
C. AB 2 5 .
D. AB 2 10 .
Lời giải
Chọn
C.
TXĐ: D �.
3x2 6 x
Ta có y �
x0
�
0 � �
Khi đó y�
x2
�
Không mất tính tổng quát, giả sử hai điểm cực trị là A 0; 2 và B 2; 6
Dễ có AB 2 5
Câu 9:
Gọi A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3 5 x 2 3x 1 . Tìm tọa độ trung điểm
của AB.
�5 358 �
� 5 338 �
;
A. M � ;
B. N �
C. Q 5; 234 .
D. P 5; 14 .
�.
�.
�3 27 �
� 3 27 �
Lời giải
Chọn
A.
TXĐ: D �.
3x 2 10 x 3 . Dễ có y�luôn có hai nghiêm phân biệt nên hàm số luôn có hai cực trị
Ta có y�
A , B . Trung điểm của đoạn thẳng AB là điểm uốn I
�
�
6 x 10 ; y�
0 � x
Ta có y�
Câu 10:
5
�5 358 �
� I � ;
�. Hay I �M .
3
�3 27 �
Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3 x 2 2 x 1 . Viết phương trình đường
thẳng AB .
7
14
A. y x .
9
9
B. y
14
7
x .
9
9
C. y
7
14
x .
9
9
D. y
14
7
x .
9
9
11
Vận dụng_Vận dụng cao_18_19
Tài liệu 2018 - 2019
Lời giải
Chọn
B.
3 x 2 2 x 2 , y�
0 � 3 x 2 2 x 2 0 có hai nghiệm phân biệt là hoành độ A, B
Ta có y�
1 � 14
7
14
7
�1
. y�
x nên phương trình đường thẳng AB là y x .
Do y � x �
9�
9
9
9
9
�3
Câu 11:
1 3
2
2
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x mx m 1 x có hai điểm
3
cực trị A và B sao cho góc �
AOB nhọn.
A. 1 m 1 .
B. m 1 .
m 1
�
D. �
.
m 1
�
C. m 1 .
Lời giải
Chọn
D.
x m 1
�
x 2 2mx m 2 1 , y �
0� �
Ta có y�
.
x m 1
�
Do
2
�
m 1 m 2
A�
m 1;
�
3
�
đó
2
� �
m 1 m 2
,B�
m 1;
�
� �
3
� �
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
m 2 1
2
cos OA, OB 0 � OA.OB 0 � m 1
m
�
Câu 12:
2
1
9
2
m
2
4
9
�
�.
�
�
�
AOB
Để
nhọn
thì
0
m 1
�
2
�
.
m 4 5m 2 13�
�
� 0 � m 1 0 � �
m 1
�
uuu
r uuur
Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3 3 x 1 . Tính cos OA, OB .
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
2
2
A. cos OA, OB
.B. cos OA, OB
.
5
5
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
1
1
C. cos OA, OB
. D. cos OA, OB
.
5
5
Lời giải
Chọn
A.
0 � x �1 . Do đó A 1; 1 , B 1;3 .
3x 3 3 , y�
Ta có y �
uuu
r uuu
r
uuu
r
uuu
r
Do đó OA 1; 1 , OB 1;3 . Suy ra cos OA, OB
Câu 13: Gọi S
4
2
.
2. 10
5
là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
y x3 6mx 2 9 x 2m có hai điểm cực trị A, B sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến
đường thẳng AB bằng
4 5
. Tính tích các phần tử của S
5
12
Vận dụng_Vận dụng cao_18_19
Chuyên đề_Cực trị
A. 1 .
B.
37
.
8
C.
37
.
64
D. 1
Lời giải
Chọn A
TXĐ: D �
y�
3x 2 12mx 9
0 có hai nghiệm phân biệt
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị � y�
�
3
�m
2
1
� �
36m 2 27 0 � �
�
3
m
�
�
2
2m �
�1
2 3 4m 2 x 4m
Lấy y chia cho y�ta được: y � x
�y�
3 �
�3
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
2 3 4 m 2 x y 4m 0
Theo giả thiết:
� 16m 2
d O;
4m
�
2 3 4m
�
2 2
� 1
�
4 5
5
2
16 �
4 3 4m 2 1�
�
5 �
�m 2 1
�
� 1024m 4 1616m 2 592 0 � � 2 37
m
�
64
Kết hợp với điều kiện 1 suy ra giá trị m thỏa mãn là m 1; m 1
Do đó tích các giá trị m của S là 1. 1 1 .
3
2
2
3
Câu 14: Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3mx 3 m 1 x m m (với m là
tham số thực). Tính tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để tam giác ABC vuông tại
C 2;1
5
A. .
8
B.
8
.
5
8
C. .
5
Lời giải
D.
5
8
Chọn C
TXĐ: D �
13
Vận dụng_Vận dụng cao_18_19
Tài liệu 2018 - 2019
3 x 2 6mx 3 m 2 1
Ta có: y�
0 có 2 nghiệm phân biệt
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị � y�
� �
9m 2 9 m 2 1 9 0 luôn đúng với m
� x1 m 1; x2 m 1
m�
�1
2x
Lấy y chia cho y �ta được: y � x �y�
3�
�3
� phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là 2 x y 0
Gọi A m 1; 2m 2 ; B m 1; 2m 2
uuur
uuur
� AC 3 m;3 2m và BC 1 m; 2m 1
uuur uuur
Theo giả thiết AC.BC 0 � 3 m 1 m 3 2m 2m 1 0
�m 0
� 5m 8m 0 � �
8
�
m
5
�
2
8
Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số m là: .
5
3
2
2
3
Câu 15: Biết rằng đồ thị hàm số y x 3mx 3 m 1 x m luôn có hai điểm cực trị A và B ,
trong đó A là điểm cực đại. Hỏi A nằm trên đường thẳng nào dưới đây?
A. y 3x 1 .
B. y 3 x 1 .
C. y 3x 1 .
D. y 3x 1
Lời giải
Chọn B
TXĐ: D �
0 có 2 nghiệm phân biệt
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị � y�
� �
9m 2 9 m 2 1 9 0 luôn đúng với m
� x1 m 1; x2 m 1
m�
�1
2x m
Lấy y chia cho y �ta được: y � x �y�
3�
�3
� phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là 2 x y m 0
Gọi A m 1; 3m 2 ; B m 1; 3m 2 .
Ta thấy điểm cực đại A nằm trên đường thẳng 3 x y 1 0 hay y 3x 1
14
Vận dụng_Vận dụng cao_18_19
Chuyên đề_Cực trị
Câu 16: Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số y x 3 3x 2 m có hai điểm cực trị A, B sao cho
góc �
AOB 1200
A. 2 .
B. 0 .
C. 1 .
Lời giải
D. 4 .
Chọn C
x 0 � yA m
�
y x3 3x 2 m � y�
3x 2 6 x 0 � �A
.
xB 2 � yB m 4
�
uuuruuu
r
m m 4
1
OA
.
OB
1
2
cos �
AOB cos1200
�
�m
4.
2
OA.OB m 4 m 4 2
2
3
3
2
2
3
Câu 17: Biết rằng đồ thị hàm y x 3mx 3 m 1 x m luôn có hai điểm cực trị A, B trong đó A
là điểm cực tiểu. Hỏi A nằm trên đường thẳng nào dưới đây?
A. y 3x 1 .
B. y 3 x 1 .
C. y 3x 1 .
Lời giải
D. y 3x 1
Chọn B
x1 m 1
�
y x 3 3mx 2 3 m 2 1 x m3 � y �
3x 2 6mx 3 m 2 1 0 � �
.
x2 m 1
�
Hàm số có hệ số a 0 nên xCT xCD � xA m 1 � y A 3m 2 3 x A 1 .
Câu 18: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số
y x 3 3mx 2 3 m 2 1 x m3 m có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm cực đại
của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ bằng
Tính tổng các phần tử của S .
A. 6 .
B. 4 2 .
2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ.
C. 6 .
Lời giải
D. 4 2
Chọn A
y x3 3mx 2 3 m2 1 x m3 m � y �
3x 2 6mx 3 m 2 1 0
xCD m 1 � yCD 2m 2
�
��
xCT m 1 � yCT 2m 2
�
Theo giả thiết ta có:
m 1
2
2
2
2
2 m 2 2 �
� m 2 6 m 1 0 � m1 m2 6 .
�m 1 2m 2 �
�
1 3
4
3
2
Câu 19: Tìm m để hàm số y x m 1 x m 1 có điểm cực đại, điểm cực tiểu nằm khác
3
3
phía với đường tròn x 2 y 2 4 x 3 0 ?
A 1;1 .
B. 2; 2 .
� 1 1�
; �
.
C. �
� 2 2�
D. �; 1 � 1; � .
15
Vận dụng_Vận dụng cao_18_19
Tài liệu 2018 - 2019
Lời giải
Chọn C
x 2 2 m 1 x � y�
0�
Ta có y �
x0
x 2 m 1
.
Để hàm số có ĐCĐ, ĐCT thì m �1.
2
2
Khi đó, đặt F x; y x y 4 x 3
x 0� y
4
16
3
6
m 1 � F1 F x; y m 1 3 0m .
3
9
x 2 m 1 � y 0 � F2 F x; y 4 m 1 8 m 1 3 4m 2 1. .
2
2
Giả thiết suy ra F1.F2 0 � F2 0 � 4m 1 0 �
1
1
m .
2
2
Câu 20: Với mọi m 0, đồ thị hàm số y x 4 2mx 2 3 luôn có ba điểm cực trị. Tìm m khi bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi ba điểm này có giá trị nhỏ nhất?
3
1
A m 1.
B. m 3 .
C. m 3 2.
D. m 3 .
4
2
Lời giải
Chọn D
y�
4 x3 4mx 4 x x 2 m
y�
0�
x0
x�m
.
Gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là
A 0; 3
m ; m 3
C m ; m 3
B
2
2
Khi đó, gọi H là trung điểm BC, ta có
BC 2 m
AB AC m 4 m
AH m 2
Do đó, S ABC
1
AB. AC.BC
BC . AH
2
4R
16
Vận dụng_Vận dụng cao_18_19
Chuyên đề_Cực trị
4
AB. AC m m m 2
1
�R
2
2 AH
2m
2 2m
2
m
1
1
1
�3 3 .
2 4 m 4m
32
Dấu bằng xảy ra khi
m2
1
1
�m 3 .
2 4m
2
Câu 21: Với mọi m 0, đồ thị hàm số y x 4 2mx 2 3 luôn có ba điểm cực trị. Hỏi bán kính đường
tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi ba điểm này có giá trị nhỏ nhất là?
3
A 2.
B. 3 .
C. 1.
2 4
Lời giải
D.
1
.
2
3
Chọn B
y�
4 x3 4mx 4 x x 2 m
y�
0�
x0
x�m
.
Gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là
A 0; 3
m ; m 3
C m ; m 3
2
B
2
Khi đó, gọi H là trung điểm BC, ta có
BC 2 m
AB AC m 4 m
AH m 2
Do đó, S ABC
1
AB. AC.BC
BC. AH
2
4R
4
AB. AC m m m 2
1
�R
2
2 AH
2m
2 2m
2
m
1
1
1
3
�3 3
3 .
2 4 m 4m
32 2 4
m2
1
1
�m 3 .
Dấu bằng xảy ra khi
2 4m
2
Câu 22: Tìm
tất
cả
các
giá
trị
thực
của
tham
số
m
để
đồ
thị
hàm
số
y x3 2m 1 x 2 m 2 3m 2 x 4 có điểm cực đại, điểm cực tiểu ằm về hai phía trục
tung.
17
Vận dụng_Vận dụng cao_18_19
1
A. m .
2
Chọn
Tài liệu 2018 - 2019
B. 1 m 2 .
1
C. m .
2
Lời giải.
D. m 1 hoặc m 2 .
B.
3x 2 2 2m 1 x m 2 3m 2
Ta có y�
Đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu ằm về hai phía trục tung
y 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu
ۢ
� 3 m 2 3m 2 0 � 1 m 2 .
là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
Câu 23: Gọi S
y x 3 3 m 1 x 2 3m m 2 x 2 m có hai điểm cực trị, đồng thời khoảng cách từ điểm
cực đại đến Ox bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu đến Oy . Hỏi S có bao nhiêu phần tử?
A. 0 .
B. 3 .
C. 1 .
D. 4 .
Lời giải.
Chọn
D.
3x 2 6 m 1 x 3m m 2
Ta có y�
xm
�
y�
0 � x 2 2 m 1 x m m 2 0 � �
� đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực
x m2
�
trị với mọi m .
Khi đó yCD y m m3 3m2 m 2 và xCT m 2
�
m3 3m 2 m 2 m 2
Ta có m 3m m 2 m 2 � � 3
m 3m 2 m 2 m 2
�
3
2
m 1
�
�
�
m 3m 4 0
m 2
��
� �3
.
2
�
m 1
m 3m 2m 0
�
�
m0
�
3
2
Vậy có 4 giá trị thực của m thỏa yêu cầu đề.
Câu 24: Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số y 2 x3 mx 2 12 x 13 có điểm cực đại và điểm
cực tiểu cách đều trục tung.
A. 2 .
B. 1 .
C. 0 .
D. 3 .
Lời giải.
Chọn
B.
6 x 2 2mx 12 , y�
0 � 3 x 2 mx 6 0 *
Ta có y�
Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu khi m 2 72 0 luôn đúng với mọi m .
Khi đó * có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
18
Vận dụng_Vận dụng cao_18_19
Chuyên đề_Cực trị
Giả thiết suy ra x1 x2 0 �
m
0 � m 0.
3
Vậy có 1 số thực m thỏa đề bài.
Câu 25: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x3 3 x 2 mx 2
1
có điểm cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng y x . Tính tổng các phần tử của S .
2
2
3
3
2
A. .
B. .
C. - .
D. .
3
2
2
3
Lời giải
Chọn C
Tập xác định D �.
3x 2 6 x m .
Đạo hàm: y�
0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
Hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi phương trình y�
� 9 3m 0 � m 3 1 .
Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A, B của đồ thị hàm số là
2 � b2 �
bc
2
m
AB : y �
c �x d
� AB : y (m 3) x 2
3 � 3a �
9a
3
3
m�
�x x 1
Tọa độ trung điểm I của AB là I �1 2 ; (m 3) x1 x2 2 �� I (1; m) với
3
3�
� 2
x1 x2 2
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều đường thẳng d : y x
1
2
2
�
9
�
m 3 1
m
(kho�
ngtho�
ama�
n)
�
�
AB / / d
�
3
2
��
��
� �
.
I �d
1
3
�
�
�
m 1
m (tho�
ama�
n)
�
�
2
�
2
Câu 26: Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số y x 3 3mx 2 4m3 có điểm cực đại và điểm cực
tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y x .
A. 2 .
B. 1 .
C. 0 .
Lời giải
D. 3 .
Chọn A
Tập xác định D �.
x0
�
0� �
Đạo hàm y�
3 x 2 6mx ; y�
x 2m
�
Đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu ۹ m 0 .
3
Khi đó hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A 0; 4m , B 2m; 0 .
A, B đối xứng qua đường thẳng y x � OA OB � 4m3 2m � 4m2 2 � m �
1
.
2
3
2
2
3
2
Câu 27: Có bao nhiêu số nguyên m � 5;5 để đồ thị của hàm số y x m 2 x m x m 2m
có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?
A. 8 .
B. 5 .
C. 7 .
D. 6 .
19
Vận dụng_Vận dụng cao_18_19
Tài liệu 2018 - 2019
Lời giải
Chọn C
Đồ thị C của hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành
� C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
3
2
2
3
2
Xét phương trình x m 2 x m x m 2m 0 1 .
xm
�
�
� ( x m)( x m 2)( x m) 0 � �
x m
.
�
x m 2
�
m � m
�
�
���
m
m
2
1 có ba nghiệm phân biệt ۹�
�
m �m 2
�
�m �0
�
�m �1
m { 4; 3; 2;1; 2;3; 4} .
Vậy có 7 giá trị nguyên của m thuộc 5;5 .
1 4
x mx 2 m 2 luôn có ba điểm cực trị. Biết parabol đi qua
4
ba điểm cực trị nay đi qua điểm A(2; 24) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 1 m 3 .
B. 5 m 7 .
C. 3 m 5 .
D. 0 m 2 .
Lời giải
Câu 28: Với mọi m 0 ; đồ thị hàm số y
Chọn
B.
x0
�
Ta có: y ' x3 2mx � y ' 0 � �
.
x � 2m
�
y
1 4
1
mx 2
1
mx 2
x mx 2 m 2 x ( x3 2mx)
m2 xy '
m2 .
4
4
2
4
2
2
mx
Do đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số thuộc parabol: ( P ) : y
m2 .
2
m6
�
2
Vậy điểm A(2; 24) thuộc ( P) : � 24 2m m � �
.
m 4
�
Đối chiếu điều kiện ta có m 6 .
2 x 2 3x m
Câu 29: Biết rằng hàm số y
có hai điểm cực trị phân biệt x1 ; x2 .Tính giá trị biểu thức
x2
S
f ( x1 ) f ( x2 )
.
x1 x2
A. S 2 .
B. S 4 .
Chọn
B.
Bổ đề: y
u ( x)
có
v( x)
C. S 2 .
Lời giải
D. S 4 .
u ( x0 ) u '( x0 )
�y '( x0 ) 0
thì y ( x0 )
�
v( x0 ) v '( x0 )
v( x0 ) �0
�
20
Vận dụng_Vận dụng cao_18_19
Chuyên đề_Cực trị
vậy: y '
Thật
u '( x )v( x) u ( x)v '( x)
� y '( x0 ) 0 � u '( x0 )v( x0 ) u ( x0 )v '( x0 ) 0
v( x)
� u '( x0 )v( x0 ) u ( x0 )v '( x0 ) �
u ( x0 ) u '( x0 )
u ( x0 ) u '( x0 )
� y ( x0 )
v( x0 ) v '( x0 )
v( x0 ) v '( x0 )
Áp dụng bổ đề ta có f ( x1 ) 4 x1 3; f ( x2 ) 4 x2 3 .
Vậy S
Câu 30:
f ( x1 ) f ( x2 ) 4( x1 x2 )
4.
x1 x2
x1 x2
x 2 m m 1 x m3 1
[2D1-4] Cho hàm số y
có đồ thị Cm . Hỏi điểm nào trong các điểm
xm
dưới đây là điểm cực đại của Cm tương ứng với m m1 đồng thời cũng là điểm cực tiểu của
Cm
tương ứng với m m2 .
�1 5 �
A. M � ; �.
�2 4 �
Chọn
�1 7�
; �.
B. N �
� 2 4�
�1 5 �
C. P � ; �.
�2 4 �
Lời giải
�1 7�
; �.
D. Q �
� 2 4�
B.
Ta có y �
x 2 2mx m 2 1
x m
2
.
x m 1
�
y�
0� �
x m 1
�
Lập
BBT
suy
ra
điểm
CĐ
và
A m 1; m m 2 ; B m 1; m m 2 .
2
điểm
CT
của
đồ
thị
hàm
số
là
2
3
�
m1
�
m1 1 m2 1
�
�
2
��
YCBT � � 2
2
1
m1 m1 2 m2 m2 2
�
�
m2
�
2
�1 7�
; �.
Suy ra điểm cần tìm là N �
� 2 4�
Câu 31:
3x 2 5 x 1
có hai điểm cực trị phân biệt với mọi m 1 . Viết
x2 2x m
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
x
3
x
3
A. y
.
B. y
.
2 m 1 2 m 1
m 1 m 1
[2D1-4] Biết rằng hàm số y
C. y
x
3
.
2 m 1 2 m 1
D. y
x
3
.
m 1 m 1
Lời giải
Chọn
C.
21
Vận dụng_Vận dụng cao_18_19
Ta có y�
Tài liệu 2018 - 2019
x 2 6m 2 x 5m 2
x
2
2x m
2
2
Các điểm cực trị x1 ; x2 của hàm số thỏa mãn phương trình x 6m 2 x 5m 2 0 .
�x1 x2 6m 2
Theo định lý ViÉt ta có: �
�x1.x2 5m 2
Các điểm cực trị A, B của đồ thị hàm số thỏa mãn phương trình y
Ta có y1 y2
6x 5
.
2x 2
6 x1 5 6 x2 5 24 x1 x2 22 x1 x2 20 3m 4
.
2 x1 2 2 x2 2
4 x1 x2 x1 x2 1
m 1
�
3m 4
3m 1;
Gọi I là trung điểm của AB � I �
�
2 m 1
�
Suy ra I thuộc đường thẳng y
�
�
�.
�
x
3
.
2 m 1 2 m 1
Câu 32: Gọi A, B, C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y
1 4
x x 2 2 . Viết phương trình đường
2
tròn đi qua ba điểm A, B, C .
A . x 2 y 2 4 0
2
2
C. x y
2
2
B. x y
3
y 7 0.
2
3
y 1 0. D. x 2 y 2 3 y 10 0 .
2
Lời giải
Chọn C
�
�x 0 � y 2
�
3
3
0 � �x 1 � y
y�
2x 2x , y�
�
2
�
3
�
x 1 � y
2
�
� 3� � 3�
1; �, C �1; �
Suy ra ba điểm cực trị là A 0; 2 , B �
.
� 2� � 2�
Gọi đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là x 2 y 2 ax by c 0 . Thế lần lượt các toạ độ của
ba điểm vào phương trình ta có hệ
22
Vận dụng_Vận dụng cao_18_19
Chuyên đề_Cực trị
�
� 2b c 4
�a 0
�
�
13
3
� 3
�
a
b
c
�
b .
�
�
4
2
�
� 2
c
1
3
13
�
�
�
a b c
�
2
4
�
2
2
Vậy phương trình đường tròn là x y
3
y 1 0
2
Nhận xét: Dạng bài tập này nếu làm theo cách trên thì mang thiên hướng tự luận nhiều; sau
đây tôi đưa ra một cách làm khác để bạn đọc tham khảo.
Hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của phương trình x 3 x 0
3
2
Ta thấy x 4 2 x 2 4 2 y � x x x x 4 2 y � 2 y 4 x 2
Ngoài ra, x 4 2 x 2 4 2 y � 4 2 y 2 x 2 4 2 y 0
2
� 4 y 2 18 y 2 x 2 20 0 � 4 y 2 6.2 y 2 x 2 20 6 y 0
� 4 y 2 6 4 x 2 2 x 2 20 6 y 0 � 4 x 2 4 y 2 6 y 4 0 � x 2 y 2
3
y 1 0
2
Câu 33: Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 4 2m 2 x 2 m có ba điểm
cực trị và trục hoành chia tam giác tạo thành từ ba điểm cực trị thành hai đa giác có diện tích
bằng nhau.
A. 2; 2
6
6
B. 2; 2
C.
2
D.
2
6
Lời giải
Chọn D
Trước hết để trục hoành chia tam giác tạo bởi ba điểm cực trị
thành hai đa giác thì phương trình x 4 2m2 x 2 m 0 có bốn
�m 4 m 0
� m 1 *
nghiệm phân biệt, tức là �
� m0
Do tam giác AMN và tam giác ABC đồng dạng theo tỉ số k
2
nên S AMN k S ABC .
Theo giả thiết S AMN S MNCB � S AMN
Suy ra: d A; Ox
1
2
1
1
S ABC . Do đó k
.
2
2
d A; BC � c
1Δ
2
c
4a
�m 0
�
1
3
� m
m m 4 m � m m 2 0 � �m 6 2 **
2
�
m 6 2
�
23
Vận dụng_Vận dụng cao_18_19
Tài liệu 2018 - 2019
Từ * và ** ta có m 6 2
Câu 34 Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng y 2m 1 x 3 m vuông góc với đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3 3 x 2 1
A. m
3
.
4
B. m
1
4
C. m
1
2
D. m
3
2
Lời giải
Chọn A
�x 0 � y 1
y�
3 x2 2x , y �
0��
.
x 2 � y 3
�
Vậy hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A 0;1 , B 2; 3 . Suy ra hệ số góc của đường thẳng
AB là k AB
3 1
2 .
20
Do đường thẳng y 2m 1 x 3 m vuông góc với AB nên 2m 1
1
3
�m .
2
4
Câu 34: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y m 1 x 4 m song
song với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3 3 x 2 1 .
A. 3 .
B. 1 .
C. 6 .
D. �.
Lời giải
Chọn D
y x 3 3 x 2 1 � y ' 3x 2 6 x
x 0 � y 1
�
y' 0 � �
x 2 � y 3
�
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là 0;1 , 2; 3 suy ra đường thẳng qua 2 điểm cực trị là
d : y 2 x 1 .
m 1 2
�
� m ��.
Ta có y m 1 x 4 m song song d : y 2 x 1 � �
4 m 1
�
Câu 35: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y m 1 x 4 m tạo với
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3 3 x 2 1 góc 450 .
�4 �
; 2 �.
A. �
�3
2�
�
4; �.
B. �
3
�
C. 4; 2 .
� 4 2�
; �.
D. �
�3 3
Lời giải
Chọn A
y x3 3 x 2 1 � y ' 3x 2 6 x
24
Vận dụng_Vận dụng cao_18_19
Chuyên đề_Cực trị
x 0 � y 1
�
y' 0 � �
x 2 � y 3
�
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là 0;1 , 2; 3 suy ra đường thẳng qua 2 điểm cực trị là
d : y 2 x 1 .
Đặt : y m 1 x 4 m .
m2
�
2
�
�
d , �
Ta có cos �
4.
�
�
2
�
2
m
5 m 1 1
3
�
2 m 1 1
Câu 36: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 4 2mx 2 m có ba
điểm cực trị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tứ giác.
A. m 1 .
B. 0 m 1 .
C. 0 m 2 .
Lời giải
D. m 2 .
Chọn B
y x 4 2mx 2 m
y ' 4 x 3 4mx .
Hàm số có 3 điểm cực trị � m 0 .
x 0� y m
�
y' 0 � �
x � m � y m 2 m
�
Nên tọa độ 3 điểm cực trị là A 0; m , B
m ; m 2 m , C m ; m 2 m .
A, B, C , O tạo thành 1 tứ giác (tứ giác lồi) � yB 0 � m 2 m 0 � 0 m 1 .
Câu 37: Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 4 2mx 2 m có ba điểm cực trị cùng
với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác có diện tích bằng
A. m
1
2
1
B. m .
2
.
2
.
4
C. m 2.
D. m
1
2 2
.
Hướng dẫn giải
Chọn
B.
y ' 4 x3 4mx
y ' 0 � 4 x x2 m 0
x0
�
� �2
x m
�
25
