(Hình học 9 - Chường II: Đường tròn) Bài giảng: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

HÌNH HỌC 9
CHƯƠNG II. ĐƯỜNG TRỊN

§5 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của
đường tròn
 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Tốn theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội
Email:
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1


PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ
Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Đọc lần 2 tồn bộ:
• Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí.
• Định hướng thực hiện các hoạt động
• Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
• Đọc − Hiểu − Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
• Chép lại các chú ý, nhận xét
• Thực hiện các hoạt động vào vở
4. Thực hiện bài tập lần 1
5. Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách
giải như vậy”
4. Thực hiện bài tập lần 2
5. Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng
em hãy viết u cầu theo mẫu:
• Nơi dung chưa hiểu
• Hoạt động chưa làm được
• Bài tập lần 1 chưa làm được
• Bài tập lần 2 chưa làm được
• Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ để nhận
2


được giải đáp.

3

Đ5 D ấu hiệu nhận biết tiếp tuyến
của đờng tròn

bài giảng theo chơng trình chuẩn
1. dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đờng tròn

Ta đà có các kết quả sau:
Nếu một đờng thẳng và một đờng tròn chỉ có một điểm chung thì đờng
thẳng đó là tiếp tuyến của đờng tròn.
Nếu khoảng cách từ tâm của một đờng tròn đến đờng thẳng bằng bán kính
thì đờng thẳng đó là tiếp tuyến của đờng tròn.
Định lí: Nếu một đờng thẳng đi qua một điểm của đờng tròn và vuông góc với
bán kính đi qua điểm đó thì đờng thẳng ấy là một tiếp tuyến của đờng tròn.
Ta có minh hoạ:
(d) là tiếp tuyến của (O) tại H (d) OH
hoặc viết:

(d)

O

R

H

Nếu H (O) và H (d)
(d) là tiếp tuyến của (O) tại H.

(d) ⊥ OH

ThÝ dơ 1: (H§ 1/tr 110 − sgk): Cho ABC, đờng cao AH. Chứng minh rằng
đờng thẳng BC là tiếp tuyến của đờng tròn (A; AH).



Giải Học sinh tù vÏ h×nh
Ta cã ngay:
 H ∈ (A; AH) va H ∈ (BC)
⇔ (BC) lµ tiÕp tun cđa (A; AH) tại H.

(BC) AH

2. áp dụng

Bài toán: Qua điểm A nằm bên ngoài đờng tròn (O). HÃy dựng tiếp tuyến của
đờng tròn.



4

Cách dựng Hình 75/tr 111 Sgk
Ta lần lợt:
Dựng M là trung điểm của AO.
Dựng đờng tròn tâm M bán kính MO, cắt đờng tròn (O) tại B và C.
Kẻ các đờng thẳng AB và AC. Ta đợc các tiếp tuyến cần dựng.


ThÝ dơ 2: (H§ 2/tr 111 − sgk): H·y chøng minh cách dựng trên là đúng.

Chứng minh
Với cách dựng trên, ta cã:
1
MA = MB = MO ⇒ MB = AO OAB vuông tại B
2
B (O) va B (AB)


AB là tiếp tuyến của (O) tại B.
AB OB
Tơng tự, ta cũng có AC là tiếp tuyến của (O).



Chú ý: Nh vậy, ta đà biết cách dựng tiếp tuyến của đờng tròn đi qua một điểm
A ở ngoài nó. Một yêu cầu ngợc lại là "HÃy dựng đờng tròn nhận một
đờng thẳng làm tiếp tuyến".
Thí dụ 3: (Bài 22/tr 111 Sgk): Cho đờng thẳng d, điểm A nằm trên đờng
thẳng d, điểm B nằm ngoài đờng thẳng d. HÃy dựng đờng tròn (O)
đi qua B và tiếp xúc với đờng thẳng d tại A.



Giải Học sinh tự vẽ hình
Ta lần lợt:
Dựng đờng thẳng a qua A và vuông góc với d.
Dựng đờng trung trực b của đoạn thẳng AB, b cắt a tại O.
Dựng đờng tròn (O; OA).

bài tập lần 1
Bài tập 1: Cho ABC vuông tại A. HÃy nêu cách dựng tiếp tuyến với đờng

Bài tập 2:
Bài tập 3:

Bài tập 4:

Bài tập 5:
Bài tập 6:

tròn ngoại tiếp ABC, biết tiếp tuyến ®i qua ®iĨm:
a. A.
b. B.
Cho ®êng trßn ®êng kÝnh AB. HÃy nêu cách dựng tiếp tuyến với đờng tròn, biết tiếp tuyến song song với AB.
Cho đờng tròn (O; R) và dây AB = 2a. Vẽ một tiếp tuyến song song
với AB, nó cắt các tia OA và OB theo thứ tự tại M và N. Tính diện
tích MON.
Cho nửa đờng tròn (O) với đờng kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp
tuyến Ax và By. Qua một điểm M thuộc nửa đờng tròn này, kẻ tiếp
tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lợt ở C và D. Các đờng
thẳng AD và BC cắt nhau ë N. Chøng minh r»ng:
a. MN // AC.
b. CM.DB = CD.MN.
Cho ∆ABC cã AB = 3, BC = 5, CA = 4. Vẽ đờng tròn (B; AB).
Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đờng tròn.
Cho ABC cân tại A nội tiếp đờng tròn tâm O. Vẽ hình bình hành
ABCD. Tiếp tuyến tại C của đờng tròn cắt đờng thẳng AD tại N.
Chứng minh rằng:

a. Đờng thẳng AD là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
5


b. Ba đờng thẳng AC, BD và ON cùng đi qua một điểm.
Bài tập 7: Cho đờng tròn (O), dây AB khác đờng kính. Qua O kẻ đờng vuông

góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đờng tròn ở ®iĨm C.
a. Chøng minh r»ng BC lµ tiÕp tun cđa đờng tròn.
b. Cho bán kính của đờng tròn bằng 15cm, AB = 24cm. Tính độ
dài OC.
Bài tập 8: Cho đờng tròn (O), đờng kính AB. Vẽ CD vuông góc với OA tại
trung điểm I của OA. Các tiếp tuyến với đờng tròn tại C và tại D cắt
nhau ở M.
a. Chứng minh rằng ba điểm M, A, B thẳng hàng.
b. Tứ giác OCAD là hình gì ?

c. Tính CMD .
d. Chứng minh rằng đờng thẳng MC là tiếp
tuyến của đờng tròn (B, BI).
Bài tập 9: Cho đờng tròn (O; 2cm) và một điểm A chạy trên đờng tròn đó. Từ
A vẽ tiếp tuyến xy. Trên tia Ax lấy điểm M, trên tia Ay lấy điểm N
sao cho AM = AN = 2 3 cm . Tìm quỹ tích các điểm M và N.
Bài tập 10: Cho đờng tròn (O; R). Tìm quỹ tích của điểm A mà từ đó kẻ ®ỵc

hai tiÕp tun AB, AC tíi (O; R) sao cho BAC = 600.

bài giảng nâng cao
A. Tóm tắt lí thuyết
1. định nghĩa

Định nghĩa: Một đờng thẳng đợc gọi là một tiếp tuyến của đờng tròn nếu nó chỉ có
một điểm chung với đờng tròn đó.

Nh vậy, ta có:
(d) là tiếp tun cđa (O) ⇔ (d) ∩ (O) = {H}
khi ®ã, ta nói " đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại H ".
2. Các tính chất của tiếp tuyến
Ta có các kết quả sau:
Nếu một đờng thẳng là một tiếp tuyến của một đờng tròn thì nó vuông góc
với bàn kính đi qua tiếp điểm.
Nếu một đờng thẳng vuông góc với bán kính tại mút nằm trên đờng tròn thì
đờng thẳng đó là một tiếp tuyến của đờng tròn.

6


Ta có minh hoạ:
(d) là tiếp tuyến của (O) tại H ⇔ (d) ⊥ OH
hc viÕt:

(d)

O

R

H

 NÕu H ∈ (O) vµ H ∈ (d)
⇔ (d) lµ tiÕp tun cđa (O) tại H.

(d) OH
B. phơng pháp giải toán
Dạng toán 1: Dựng tiếp tuyến của đờng tròn
Phơng pháp
Các yêu cầu dựng tiếp tuyến của đờng tròn (O) cho trớc thờng gặp
phải một trong ba dạng sau:
Dạng 1: Dựng tiếp tuyến ®i qua ®iĨm A cho tríc.
D¹ng 2: Dùng tiÕp tun song song với đờng thẳng a cho trớc.
Dạng 3: Dựng tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng a cho trớc.
Phơng pháp thực hiện các dạng toán trên đợc trình bày trong ba dạng toán
sau:
(d)
Dạng 1: Từ một điểm A cho trớc, hÃy dựng tiếp
tuyến với đờng tròn (O) cho trớc, biết:
A
O
a. Điểm A nằm trên đờng tròn.
b. Điểm A nằm ngoài đờng tròn.
Phơng pháp dựng
a. Vì A nằm trên đờng tròn nên tiếp tuyến là đờng
thẳng qua A và vuông góc với OA.
b. Ta thực hiện theo bốn phần:
Phân tích: Giả sử đà dựng đợc tiếp tuyến qua A tới đờng tròn (O) và có tiếp điểm là
B, ta có:

0
B
ABO = 90
B thuộc đờng tròn đờng kính AO.

Vậy, B là giao điểm của (O) và đờng tròn đờng kính A
O
AO.

Cách dựng: Ta thực hiện:
Dựng đờng tròn đờng kính AO, kí hiệu (AO), đờng
tròn này cắt (O) tại B và B'.
Dựng đờng thẳng AB và AB', đó chính là các tiếp A
tuyến cần dựng.
Chứng minh: Trong đờng tròn (AO) ta cã ngay:

ABO = 900 ⇒ AB lµ tiÕp tuyến của đờng tròn (O).

AB ' O = 900 AB' là tiếp tuyến của đờng tròn (O).

B

O

I
B'

7


Biện luận: Bài toán có hai nghiệm hình (tức là, qua A luôn kẻ đợc hai tiếp tuyến tới
(O)).

Chú ý: Nếu điểm A nằm trong đờng tròn (O) thì qua A không thể kẻ đợc
tiếp tuyến tới đờng tròn (O).

Ví dụ 1: Cho ABC vuông tại A. HÃy nêu cách dựng tiếp tuyến với đờng

tròn ngoại tiếp ABC, biết tiếp tuyến đi qua điểm:
a. A.
b. B.

Hớng dẫn: Trớc tiên, ta cần chỉ ra đợc tâm O của đờng tròn ngoại tiếp ABC và
khi đó:
Tiếp tuyến tại A là đờng thẳng qua A và vông góc với OA.
Tiếp tuyến tại B là đờng thẳng qua B và vông góc với OB.



a

Giải

A

Vì ABC vuông tại A nên đờng tròn ngoại tiếp ABC
có tâm O là trung điểm của BC.
C
a. Tiếp tuyến qua A là đờng thẳng a qua A và vuông góc
B
O
với OA.
b. Tiếp tuyến qua B là đờng thẳng b qua B và vuông góc

b
với OB.
Dạng 2: Cho đờng tròn (O) và một đờng tròn (d). Dựng tiếp tuyến của đờng tròn sao
cho tiếp tuyến này song song với (d).
Phơng pháp dựng
H
Phân tích: Giả sử đà dựng đợc tiếp tuyến (t) của đờng
tròn (O) và tiếp tuyến song song với (d), gọi H là tiếp (d)
điểm, ta có:
(t)
O
( t ) //( d )
OH ⊥ (t) ⇔ OH ⊥ (d).
Vậy, tiếp điểm H là giao điểm của đờng tròn (O) với đờng thẳng qua O vuông
góc với (d).
Cách dựng: Ta thực hiện:
H1
(d)
Dựng đờng thẳng xOy (d) và cắt (O) tại H.
Dựng đờng thẳng (t) qua H và vuông góc với
O
(t1)
OH, đó chính là tiếp tuyến cần dùng.
Chøng minh: Ta cã ngay:
H2
(t) ⊥ OH vµ (d) ⊥ OH (t) // (d)
(t2)
(t) là tiếp tuyến cần dựng.
Biện luận: Bài toán có hai nghiệm hình.
Ví dụ 2: Cho đờng tròn đờng kính AB. HÃy nêu cách dựng tiếp tuyến với đ-

ờng tròn, biết tiếp tuyến song song víi AB.
8




Giải
Gọi O là trung điểm của AB, ta thực hiện:
Dựng đờng thẳng d qua O và vuông góc với AB. Đờng
thẳng này cắt đờng tròn tại hai điểm H1 và H2.
Dựng hai đờng thẳng a, b theo thứ tự đi qua hai điểm H1,
H2 và song song với AB.
Khi đó, a, b là hai tiếp tuyến cần dựng.

H1

a
A

B

O

b
H2
Dạng 3: Cho đờng tròn (O) và một đờng thẳng (d). Dựng tiếp tuyến của đờng tròn sao
cho tiếp tuyến này vuông góc với (d).
Phơng pháp dựng
Phân tích: Giả sử đà dựng đợc tiếp tuyến (t) của đờng tròn (O) và tiếp tuyến vuông

góc với (d), gọi H là tiếp điểm, ta cã:
(d)

( t )⊥ d )
(

OH ⊥ (t) ⇔ OH // (d).
Vậy, tiếp điểm H là giao điểm của đờng tròn (O) với đờng thẳng qua O song song với (d).
Cách dựng: Ta thực hiện:
Dựng đờng thẳng xOy // (d) và cắt (O) tại H.
Dựng đờng thẳng (t) qua H và vuông góc với
OH, đó chính là tiếp tuyến cần dựng.
Chứng minh: Ta có ngay:
H2
(t) OH và (d) // OH ⇒ (t) ⊥ (d)
(t2)
⇒ (t) lµ tiÕp tuyến cần dựng.
Biện luận: Bài toán có hai nghiệm hình.

O

H
(t)

(d)

O

H1
(t1)

Dạng toán 2: Giải bài toán định tính và định lợng
Phơng pháp
1. Với bài toán cho trớc đờng thẳng d là tiếp tuyến của đờng tròn (O)
tại H, ta sẽ nhận đợc ngay các kết quả:
(d) OH và OH = R.
2. Với bài toán cho trớc AM và AN là hai tiếp tuyến của đờng tròn (O),
ta sẽ nhận đợc ngay các kết quả:
AM OM và AN ON,
AM = AN và MÂO = NÂO.
Dựa vào các kết quả trên ta thực hiện các yêu cầu của bài toán.

9


Ví dụ 1: Cho đờng tròn (O; R) và dây AB = 2a. VÏ mét tiÕp tuyÕn song song

víi AB, nó cắt các tia OA và OB theo thứ tự tại M và N. Tính diện
tích MON.

Hớng dẫn: Sử dụng tính đồng dạng của hai tam giác hoặc
định lí Talét.



A M

I H
Giải
O

Gọi H là tiếp điểm và OH cắt AB tại I, ta có:
B N
OH MN và OH ⊥ AB
Trong ∆OAI, ta cã:
AB
IA =
= a; OI2 = OA2 – IA2 = R2 – a2 ⇒ OI = R 2 a 2 .
2
Vì OAI ~ OMH nên:
a.R
2a.R
IA
OI
IA.OH
=
HM =
=
.
2
2 ⇒ MN = 2HM =
HM OH
OI
R −a
R2 − a2
Ta cã:

S∆MON =



1
1
OH.MN =
R.
2
2

2a.R
R2 − a2

=

a.R 2
R2 − a2

.

NhËn xÐt: Trong lời giải trên chúng ta đà lựa chọn phơng pháp trình bày
ngợc sau suy nghĩ theo kiểu phát sinh yêu cầu, cụ thể ta nghĩ:
1
Để tính SMON =
OH.MN cần xác định MN, tức là cần
2
xác định HM (vì MN = 2HM).
HM đợc xác định thông qua sự đồng dạng của OAI và
OMH, từ đó cần xác định IA và OI .
1
IA =
AB còn OI đợc xác định thông qua OIA.
2

Ví dụ 2: Cho nửa đờng tròn (O) với đờng kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp

tuyến Ax và By. Qua một điểm M thuộc nửa đờng tròn này, kẻ tiếp
tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lợt ở C và D. Các đờng
thẳng AD và BC cắt nhau ở N. Chứng minh r»ng:
b. MN // AC.
b. CM.DB = CD.MN.

 Híng dÉn: Ta lần lợt:




10

Giải

Với câu a), sử dụng định lí Ta lét để khẳng định tính song song
của hai đờng thẳng.
Với câu b), sử dụng tính chất dÃy tỉ số b»ng nhau.


a. Theo tÝnh chÊt cña tiÕp tuyÕn ta cã ngay:
DB = DM, AC = MC.
Mặt khác, vì Ax // By nên hai tam giác ANC và DNB đồng dạng, suy ra:
ND DB
DM
y
=

=
MN // AC (định lí Talet đảo).
CM
NA AC
x M
D
b. Từ kết quả câu a) suy ra
C
CM MN
N
B
=
MN // BD ⇒
⇔ CM.DB = CD.MN, ®pcm. A
O
CD
DB



NhËn xÐt: Trong lêi giải trên:

ở câu a) để chứng minh MN // AC, ta suy nghĩ theo điều kiện tơng đơng,
tức là giả sö cã:
ND
MD MD =DB DB
MN // AC ⇔
=
,
=

MC MC =AC AC
NA
luôn đúng vì Ax // By.
Do vậy, khi trình bày lời giải chúng ta đà xuất phát từ kết quả DB = DM, AC
= MC cïng víi gi¶ thiÕt Ax//By.
1.

ë c©u b) vÉn víi suy nghÜ nh trong a) ta gi¶ sư cã:
CM MN
=
CM.DB = CD.MN ⇔
⇔ MN // BD // AC.
CD
DB
Do vậy, khi trình bày lời giải chúng ta đà xuất phát từ giả thiết Ax // By
cùng kết quả thu đợc trong a) để có nhận xét MN // BD.
2.

Dạng toán 3: Chứng minh một đờng thẳng là tiếp tuyến của
đờng tròn
Phơng pháp
Để chứng minh đờng thẳng d là tiếp tuyến của đờng tròn (O; R), ta có
thể lùa chän mét trong hai c¸ch sau:
C¸ch 1: NÕu biÕt một giao điểm A của d và (O) thì ta đi chứng minh:
OA d.
Cách 2: Hạ OA vuông góc víi d, ta ®i chøng minh OA = R.
VÝ dơ 1: (Bµi 21/tr 111 − Sgk): Cho ∆ABC cã AB = 3, BC = 5, CA = 4. Vẽ đờng
tròn (B; AB). Chøng minh r»ng AC lµ tiÕp tun cđa đờng tròn.

Hớng dẫn: Sử dụng định lí Pytago để khẳng định ABC vuông tại A.

Giải Học sinh tù vÏ h×nh
Trong ∆ABC, ta cã nhËn xÐt:
AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25 = 52 = BC2 ABC vuông tại A.
Khi đó, ta có:

11


 A ∈ (B; AB) va A ∈ (AC)
⇔ AC là tiếp tuyến của (A; AB) tại A.

AB AC
Ví dụ 2: Cho ABC cân tại A nội tiếp đờng tròn tâm O. Vẽ hình bình hành

ABCD. Tiếp tuyến tại C của đờng tròn cắt đờng thẳng AD tại N.
Chứng minh rằng:
a. Đờng thẳng AD là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
b. Ba đờng thẳng AC, BD và ON cùng đi qua một điểm.



Giải

a. Vì ABC cân tại A nên OA BC.
D
A
Vì ABCD là hình bình hành nên:
I
AD // BC ⇒ AD ⊥ OA
O

⇔ AD lµ tiÕp tuyÕn của đờng tròn (O).
b. Gọi I là giao điểm của AC và BD, suy ra:
B
C
I là trung điểm AC
I ON (vì NA, NC đều là tiếp tuyến của (O))
Vậy, ba đờng thẳng AC, BD và ON cùng đi qua điểm I.

N



Nhận xét:
1. Nh vậy, trong ví dụ trên để chứng minh AD là tiếp tuyến của đờng
tròn (O), ta chỉ phải đi chứng minh AD OA bởi A thuộc (O).
2. Với yêu cầu ngợc lại " Tìm điều kiện để đờng thẳng d là tiếp tuyến của đờng
tròn (O; R) ", ta cần có:
d(O, d) = R.

Ví dụ 3: (Bài 24/tr 111 Sgk): Cho đờng tròn (O), dây AB khác đờng kính.

Qua O kẻ đờng vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đờng
tròn ở điểm C.
a. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đờng tròn.
b. Cho bán kính của đờng tròn bằng 15cm, AB = 24cm. Tính độ
dài OC.

Hớng dẫn: Ta lần lợt:

Với câu a), sử dụng kết quả của định lí.
Với câu b), sử dụng định lí Pytago.



Giải Học sinh tự vẽ hình
a. Gọi H là giao điểm của OC víi AB, suy ra:
·
·
·
·
HA = HB ⇒ ∆OAH = ∆OBH (c.c.c) ⇒ AOH = BOH ⇔ AOC = BOC
·
·
⇒ ∆OAC = ∆OBC (c.g.c) ⇒ OAC = OBC = 900

12


B ∈ (O) va B ∈ (BC)
⇒
⇔ BC lµ tiÕp tuyến của (O) tại B.
BC OB
b. Trong OAH vuông t¹i H, ta cã:
2

2

 AB 

 24 
2
OH2 = OA2 − HA2 = OA 2 − 
÷ = 15 −  ÷ = 81 ⇔ OH = 9cm.
 2 
 2
Trong OAC vuông tại A, ta có:
OA
OA
OA
OA
=
OA 2 242
Ã
OC =
=
cos AOC =
OH =
= 64cm.
=
·
·
OC
cos AOC cos AOH
OH
9
OA
VÝ dô 4: (Tơng tự bài 25/tr 112 Sgk): Cho đờng tròn (O), đờng kính AB.
Vẽ CD vuông góc với OA tại trung điểm I của OA. Các tiếp tuyến
với đờng tròn tại C và tại D cắt nhau ở M.

a. Chứng minh rằng ba điểm M, A, B thẳng hàng.
b. Tứ giác OCAD là hình gì ?

c. Tính CMD .
d. Chứng minh rằng đờng thẳng MC là tiếp
D
tuyến của đờng tròn (B, BI).
A



B
M
Giải
a. Ta có nhận xét:
AB là đờng trung trực của CD (vì nó đi qua trung điểm C
K
I của CD và vuông góc với CD).
MC = MD (tÝnh chÊt giao ®iĨm cđa hai tiÕp tun ) ⇒ M thc ®êng trung
trùc cđa CD ⇒ M thc AB.
Vậy, ba điểm M, A, B thẳng hàng.
b. Tứ giác OCAD có hai đờng chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm
mỗi đờng nên nó là hình thoi.
c. Trong ∆AOC ta cã:

OA = OC = CA ⇔ AOC là tam giác đều AOC = 600


CMO = 900 − 600 = 300 ⇒ CMD = 600.
d. Hạ BK vuông góc với MC, ta có nhận xét:

ˆ
C 1 = C 2 = 30 0 ⇒ CA là tia phân giác của góc MCD .



AC BC CB là tia phân giác của góc KCD BI = BK.
Khoảng cách BK bằng bán kính đờng kính đờng tròn (B, BI) nên MC là tiếp
tuyến của đờng tròn (B, BI).



Nhận xét: Trong lời giải trên:
1. ở câu a) để chứng minh M, A, B thẳng hàng chúng ta xác định vị trí
của chúng đối với CD và cụ thể chúng nằm trên đờng trung trực của
CD do đó xuất phát từ nhận xét AB là trung trực cđa CD chóng ta cÇn

13

O


chøng minh M cịng thc trung trùc cđa CD, ®iỊu này chỉ xảy ra khi
MC = MD.
2. ở câu b) chúng ta sử dụng kết quả " Hình thoi có hai đờng chéo vuông
góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng ".

3. ở câu c) chúng ta sử dụng kết quả câu b) và tính chất thứ 3 của tiếp
tuyến đờng tròn.
4. ở câu c) chúng ta sử dụng kết quả về vị trí tơng đối của đờng thẳng

với đờng tròn để đa ra kết luận cho tiÕp tun MC, vµ dƠ thÊy MD
cịng lµ tiÕp tuyến của (B, BI).
5. Các kết quả ở câu a) và câu d) vẫn đúng nếu thay điều kiện " trung
điểm I của OA" bởi "I nằm giữa O và A". Trong trờng hợp này ta




chứng minh MCA = ACD b»ng nhËn xÐt MCA phô ACO ,



ˆ
ˆ
ˆ
ACD phô CAO , mà ACO = CAO nên MCA = ACD .

Dạng toán 4: Sư dơng tÝnh chÊt tiÕp tun t×m q tÝch điểm
Phơng pháp
Việc sử dụng tính chất của tiếp tuyến để tìm quỹ tích điểm M, đợc hiểu
là việc khai thác các tính chất đó để chỉ ra tính chất của điểm M trong
phần thuận của bài toán quỹ tích.
Ví dụ 1: Cho đờng tròn (O; 2cm) và một điểm A chạy trên đờng tròn đó. Từ

A vẽ tiếp tuyến xy. Trên tia Ax lấy điểm M, trên tia Ay lấy ®iÓm N
sao cho AM = AN = 2 3 cm . Tìm quỹ tích các điểm M và N.

Hớng dẫn: Sử dụng kiến thức trong phần phơng pháp giải toán.
Giải
Phần thuận: Với hai điểm M, N điểm A thoả mÃn điều kiện đầu bài.

Trong OMN, ta có:
OA là đờng cao và trung tuyến
OMN cân tại O OM = ON.
Trong OAM vuông tại A, ta có:
OM = OA 2 + MA 2 = R 2 + 3R 2 = 2R.

A

M
2R

R

N
2R

O

M, N thuộc đờng tròn (O, 2R).
Phần đảo: Lấy điểm A bất kì trên đờng tròn (O; R). Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đờng
tròn (O; R), tiếp tuyến này cắt (O, 2R) tại M và N. Ta ph¶i chøng minh AM = AN
=R 3.
Ta cã ngay AM = AN.
Trong OAM vuông tại A, ta có:
AM = OM 2 − OA 2 = 4 R 2 − R 2 = R 3 .
14


Kết luận: Quỹ tích của các điểm M, N là đờng tròn (O, 2R).

Nhận xét: Nh vậy, trong lời giải trên chúng ta đà khai thác hai tính chất
của tiếp tuyến MN, bao gồm:
OA MN từ đó áp dụng vào OMN cân tại O.
OA = R từ đó áp dụng vào OAM vuông tại A.
Trong ví dụ tiÕp theo, chóng ta ®i thùc hiƯn mét vÝ dơ cơ bản
về bài toán quỹ tích điểm thoả mÃn tính chất tiếp tuyến, hÃy
nhớ rằng dạng toán này sẽ đợc gặp lại trong chơng trình toán
THPT.

Ví dụ 2: Cho đờng tròn (O; R). Tìm quỹ tích của điểm A mà từ đó kẻ đợc

hai tiếp tuyến AB, AC tới (O; R) sao cho BAC = 600.

Hớng dẫn: Bài toán đợc chuyển về tìn độ dài của OA.
Giải

Phần thuận: Giả sử tồn tại điểm A thoả mÃn điều
kiện đầu bµi.
Trong ∆OAB, ta cã:

1

BAO =
BAC = 300
2
1
⇒ OB =
OA ⇔ OA = 2OB = 2R

2
A thuộc đờng tròn (O, 2R).

B
A

R

2R

O
C

Phần đảo: Lấy điểm A bất kì trên đờng tròn (O, 2R). Tõ A vÏ hai tiÕp tuyÕn AB,

AC víi đờng tròn (O; R). Ta phải chứng minh BAC = 600.
Trong ∆OAB, ta cã:
1



OB =
OA ⇒ BAO = 300 ⇒ BAC = 2 BAO = 600.
2
KÕt luËn: Quü tÝch cña điểm A là đờng tròn (O, 2R).



Nhận xét:
1. Trong lời giải trên, dựa vào dạng đặc biệt của OAB vuông tại B, chúng

ta tính đợc độ dài đoạn OA. Tuy nhiên, trong mọi trờng hợp ta đều có thể tính
đợc độ dài đoạn OA bằng cách sử dụng hệ thức lợng giác của hàm số sinBÂO.
2. Chúng ta sẽ đi giải bài toán tổng quát là:
" Cho đờng tròn (O; R). Tìm quỹ tích của điểm A mà từ đó kẻ đợc hai
tiếp tuyến AB, AC tới (O; R) sao cho BÂC = 2 ".
Ta sẽ lần lợt thực hiện:

Phần thuận: Giả sử tồn tại điểm A thoả mÃn điều kiện đầu bài.

15


Trong ∆OAB, ta cã:

1

BAO =
BAC = α;
2
OB
R
=
OA =
ˆO sin α
sin BA
A thuộc đờng tròn (O,

R
).
sin

B
A

R



O
C

R
). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB,
sin

AC với đờng tròn (O; R). Ta ph¶i chøng minh BAC = 2α.
Trong ∆OAB, ta cã:
OB
R
=



R = sinα ⇒ BAO = α ⇒ BAC = 2 BAO = α.
sinB¢O = OA
sin α
R
KÕt ln: Q tÝch cđa điểm A là đờng tròn (O,
).
sin

Phần đảo: Lấy điểm A bất kì trên đờng tròn (O,

bài tập lần 2
Bài 1: Cho ABC cân A. HÃy nêu cách dựng tiếp tuyến a của đờng tròn ngoại tiếp
ABC, biết tiếp tuyến ®i qua ®iĨm A. Chøng minh r»ng d // BC.
Bµi 2: Cho ABC vuông cân tại A.
a. HÃy nêu cách dựng tiếp tuyến a của đờng tròn ngoại tiếp ABC, biÕt tiÕp tun
®i qua ®iĨm A. Chøng minh r»ng a // BC.
b. HÃy nêu cách dựng các tiếp tuyến b, c của đờng tròn ngoại tiếp ABC, biết
rằng các tiếp tuyến này theo thứ tự đi qua điểm B, C. Chứng minh rằng b // c.
Bài 3: Cho ABC đều.
a. HÃy nêu cách dựng tiếp tuyến a của đờng tròn ngoại tiếp ABC, biết tiếp tuyến
đi qua điểm A. Chứng minh rằng d // BC.
b. HÃy nêu cách dựng các tiếp tuyến b, c của đờng tròn ngoại tiếp ABC, biết
rằng các tiếp tuyến này theo thứ tự đi qua điểm B, C. Giả sử b cắt c tại D.
Chứng minh rằng BCD đều.
Bài 4: Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm D. Tiếp tuyến tại D của đờng tròn cắt AB
tại M, cắt AC tại N. Cho biết dạng của ABC và tính chu vi của AMN trong các trêng hỵp sau:
a. OA = 2R.
b. OA = R 2 .
Bài 5: Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đờng tròn. Từ một điểm M trên cung nhỏ BC, kẻ một tiếp tuyến thứ ba, cắt hai tiếp
tuyến kia tại P và Q. Khẳng định khi điểm M chuyển động trên cung BC thì chu vi
APQ có giá trị không đổi là đúng hay sai ?

16


Bài 6: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB. Từ một điểm M trên nửa đờng tròn
ta vẽ tiếp tuyến xy. Vẽ AD và BC vuông góc với xy.
a. Khẳng định MC = MD là đúng hay sai ?

b. Khẳng định AD + BC có giá trị không đổi khi điểm M chuyển động trên nửa
đờng tròn là đúng hay sai ?
c. Khẳng định đờng tròn đờng kính CD tiếp xúc với ba đờng thẳng AD, BC và
AB là đúng hay sai ?
d. Xác định vị của điểm M trên nửa đờng tròn (O) để cho diện tích tứ giác ABCD
lớn nhất.
Bài 7: Cho ABC vuông tại A, đờng cao AH. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam
giác ABC, d là tiếp tuyến của đờng tròn tại A. Các tiếp tuyến của đờng tròn tại B và tại
C cắt d theo thứ tự ở D và E.
a. Tính DÔE.
b. Khẳng định DE = BD + CE là đúng hay sai ?
c. Khẳng định BD.CE = R2 (R là bán kính đờng tròn (O) là đúng hay sai ?
d. Khẳng định BC là tiếp tuyến của đờng tròn có đờng kính DE là đúng hay sai ?
Bài 8: Cho ABC cân tại A, các đờng cao AD và BE cắt nhau ở H. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE.
a. Khẳng định BC = 2ED là đúng hay sai ?
b. Khẳng định DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O) là đúng hay sai ?
c. Tính độ dài DE biết DH = 2cm, HA = 6cm.
Bài 9: Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn. Đờng thẳng vuông góc với OB tại O cắt tia AC tại N. Đờng thẳng vuông góc
với OC tại O cắt tia AB tại M.
a. Xác định dạng của tứ giác AMON.
b. Điểm A phải cách O một khoảng là bao nhiêu để cho MN là tiếp tuyến của đờng tròn (O) ?

Giỏo ỏn in t của bài giảng này giá: 350.000đ.
1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2. Bạn gửi tiền về:
LÊ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941
Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT
17


ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

18