Bai 5 tinh chat tia phan giac của mot goc TLDH 7 2

FERMAT EDUCATION

Trích cuốn “TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 7 TẬP II”

BÀI 5. TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định lí thuận
x

Điểm nằm trên tia phân giác của một
cạnh của góc đó.

góc thì cách đều hai

A

2. Định lí đảo

z
M

Điểm nằm bên trong một góc và cách
góc thì nằm trên tia phân giác của góc
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

O

B

đều hai cạnh của
y

đó.

Dạng 1. Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau
Phương pháp giải: Áp dụng Định lí thuận.
1A. Cho góc xOy nhọn. Từ một điểm M trên tia phân giác của góc O, kẻ các đường
vuông góc MA, MB đến hai cạnh của góc này.
a) So sánh MA và MB.
b) Chứng minh OA  OB.
1B. Cho góc mAn nhọn. Trên tia Am lấy điểm P sao cho AP  3cm. Qua P kẻ đường thẳng
vuông góc với Am cắt tia phân giác của góc mAn tại H. Kẻ HQ vuông góc với An
(Q  An).
a) So sánh HP và HQ.
b) Tính độ dài đoạn thẳng AQ.
2A. Tam giác ABC có BD, CE lần lượt là phân giác của các góc B và C ( D  AC , E  AC ).
Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh I cách đều hai cạnh AB và AC.
2B. Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B. Các tia phân giác
của các góc xAB và yBA cắt nhau tại M. Chứng minh M cách đều hai cạnh của góc
xOy.
Dạng 2. Chứng minh một tia là tia phân giác của một góc
Phương pháp giải: Để chứng minh một tia là tia phân giác của một góc, ta có thể sử
dụng các cách sau:
Cách 1. Áp dụng Định lí đảo.

Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội.
Hotline: 0977333961. Email: Website: www.fermat.edu.vn. Fb: Fermat Education


FERMAT EDUCATION

Trích cuốn “TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 7 TẬP II”

Cách 2. Chứng minh hai góc bằng nhau dựa vào hai tam giác bằng nhau; cùng bằng
một góc; cùng phụ hoặc cùng bù với một góc; …
3A. Tam giác ABC có BD, CE lần lượt là phân giác của các góc B và C ( D  AC , E  AC ).
Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh I thuộc tia phân giác của góc BAC.
3B. Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B. Các tia phân giác
của các góc xAB và yBA cắt nhau tại M. Chứng minh M thuộc tia phân giác của góc
xOy.
4A. Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B, trên tia Oy lấy hai điểm
C và D sao cho OA  OC , OB  OD. Gọi I là giao điểm của hai đoạn thẳng AD và
BC. Chứng minh:
a) BC  AD.

b) IAB  ICD.

c) OI là tia phân giác của góc xOy.
4B. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm P, Q sao
cho AP  AQ. Hai đoạn thẳng CP, BQ cắt nhau tại O. Chứng minh:
a) Tam giác OBC là tam giác cân;
b) AO là tia phân giác của góc BAC;
c) AO đi qua trung điểm của đoạn BC và vuông góc với nó.
5.

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Cho góc xOy bằng 60 nhận Oz là tia phân giác. Từ một điểm N trên tia Oz, kẻ các
đường vuông góc NE, NF đến Ox và Oy.
a) So sánh NE và NF.
b) Tam giác EOF là tam giác gì? Vì sao?

6.

Cho hai góc xOy và yOz kề bù. Các tia Om, On lần lượt là phân giác của các góc xOy
và yOz. Trên tia Om lấy điểm A, trên tia On lấy điểm B sao cho AB vuông góc với
Oy tại C. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A và B trên đường thẳng xy.
a) So sánh AH và AC.
b) Chứng minh AB  AH  BK.

7.

Cho tam giác ABC. Các tia phân giác BM, CN của các góc B và C ( M  AC , N  AB)
cắt nhau tại H. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của điểm H trên các cạnh AB, AC
và BC. Chứng minh HD  HE  HF.

8.

Cho hai đường thẳng song song a, b và một cát tuyến c. Hai tia phân giác của một
cặp góc trong cùng phía cắt nhau tại I. Chứng minh I cách đều ba đường thẳng a, b,
c.

Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội.
Hotline: 0977333961. Email: Website: www.fermat.edu.vn. Fb: Fermat Education


FERMAT EDUCATION

9.

Trích cuốn “TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 7 TẬP II”

Cho tam giác ABC. Các tia phân giác BM, CN của các góc B và C ( M  AC , N  AB)
cắt nhau tại H. Chứng minh tia phân giác của góc BAC đi qua điểm H.

10.

Cho góc mOn khác góc bẹt. Trên hai tia Om, On lấy hai điểm C và D sao cho

OC  OD. Hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai cạnh của góc O tại C và D
cắt nhau ở E.
a) Chứng minh OE là tia phân giác của góc mOn.
b) Chứng minh OE vuông góc với CD.
BÀI 5. TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC
x

1A. a) Vì M thuộc tia phân giác của góc xOy nên M cách đều
hai cạnh Ox, Oy. Do đó, MA  MB.

A

b) Ta chứng minh OAM  OBM (cạnh huyền – góc

M

nhọn hoặc cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Từ đó, suy ra OA  OB.
O

1B. Tương tự 1A. HS tự làm.

y

B

2A. a) Vì I thuộc tia phân giác BD của góc ABC nên
A

I cách đều hai cạnh BA, BC.
Tương tự, I cách đều hai cạnh CA, CB.
Do đó, I cách đều hai cạnh AB, AC (tính chất bắc

E

cầu).

D
I

2B. Tương tự 2A. HS tự làm.
3A. Dựa vào kết quả bài 2A. Suy ra I thuộc tia phân
.
giác của BAC

B

C

.
3B. Dựa vào kết quả bài 2B. Suy ra M thuộc tia phân giác của xOy

4A. a) Chứng minh OBC  ODA (c.g.c), suy ra BC  AD.

D
; A
 C
 suy ra A
 C
.
b) Vì OBC  ODA (câu a) nên B
1
1
1
1
2
2

Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội.
Hotline: 0977333961. Email: Website: www.fermat.edu.vn. Fb: Fermat Education


FERMAT EDUCATION

Trích cuốn “TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 7 TẬP II”

Mặt khác, dễ dàng chứng minh được AB  CD.

x

Do đó, IAB  ICD (g.c.g).

B

c) Vì IAB  ICD nên IA  IC.

1

  COI
.
Ta chứng minh OAI  OCI (c.g.c)  AOI

A

2
1

Từ đó, suy ra OI là tia phân giác của góc xOy.

I

4B. a) Ta có ABQ  ACP (c.g.c).

  ACP
 , mà ABC
ACB (do ABC
Suy ra ABQ

1 2

O

1

D y

C

  OCB
.
cân) nên OBC
A

Do đó, OBC cân tại O.
b) Ta chứng minh AOB  AOC (c.c.c hoặc c.g.c), suy ra
  CAO
.
BAO

P

Q

Vậy AO là tia phân giác của góc BAC.

O

c) Kéo dài AO cắt BC tại M. Chứng minh ABM  ACM
B
C
M
(c.g.c).
  CMA
 mà BMA

  CMA
  180 (hai góc kề bù). Nên
Từ đó, MB  MC và BMA
  CMA
  90. Do đó, AM  BC.
BMA
Vậy AO đi qua trung điểm M của đoạn BC và vuông góc với BC.
5.

Tương tự 1A. HS tự làm.

6.

a) Theo tính chất tia phân giác của một góc, ta có

AH  AC.
b) Tương tự câu a, có BK  BC.

m

C

A

Do đó, AC  BC  AH  BK.
Vậy AB  AH  BK.

n
B

y

x

O

H

7.

Tương tự 2A. HS tự làm.

8.

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đường thẳng c với a, b. Nên
a
 và aAB
.
có BI, AI lần lượt là phân giác của bBA

c

K

A

Theo tính chất tia phân giác của một góc, ta có I cách đều
I

Bb, BA và Aa.

Do đó, I cách đều ba đường thẳng a, b, c.

B

b

9.

 đi qua điểm H.
Dựa vào kết quả bài 7. Tia phân giác của BAC

10.

Tương tự 4B. HS tự làm.

Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội.
Hotline: 0977333961. Email: Website: www.fermat.edu.vn. Fb: Fermat Education

z


FERMAT EDUCATION

Trích cuốn “TÀI LIỆU DẠY HỌC TOÁN 7 TẬP II”

Đây là tài liệu trích trong cuốn “Tài liệu dạy học Toán 7 tập II” do Công ty Cổ
phần Giáo dục Fermat phát hành.

Ngoài ra, chúng tôi xin giới thiệu bộ sách dành cho học sinh ôn thi vào lớp 10:

Để đặt mua sách xin liên hệ theo hotline 0984 208 495 (Mr Tuấn) hoặc:
Fermat Education
Địa chỉ: Số 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội
Điện thoại: 0977.333.961 (Ms Thu)
Website: www.fermat.edu.vn
Fanpage: www.fb.com/fermateducation.
Facebook: www.fb.com/tailieudayhoctoan

Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội.
Hotline: 0977333961. Email: Website: www.fermat.edu.vn. Fb: Fermat Education