Một số phương pháp giải bài toán vận tải

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THÙY TRANG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
BÀI TOÁN VẬN TẢI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

HÀ NỘI – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THÙY TRANG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
BÀI TOÁN VẬN TẢI
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học
TS. KIỀU VĂN HƯNG

HÀ NỘI – 2018

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❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚

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m

n

f (X) =

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i=1 j=1

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n

xij = ai , ∀i = 1, m
j=1

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m

xij = bj , ∀j = 1, n.
i=1

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m

n

cij xij −→ min
i=1 j=1














n

xij = ai (i = 1, m)
j=1
m

xij = bj (j = 1, n)
i=1

✭∗✮


❈❤÷ì♥❣ ✶✳

❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚

tr♦♥❣ ✤â xij

✽

0 (i = 1, m, j = 1, n).

✶✳✶✳✸✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝✉♥❣ ❝➛✉

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m

n

ai =
i=1

bj ✳

j=1

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m

n

ai >
i=1

bj
j=1

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n

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i=1

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j=1

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✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳ ❈❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ (∗)✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝✉♥❣
❝➛✉ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❝â ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✶✳✶✳ ●✐↔ sû ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ (∗) ❝â ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉
X ∗ = (x∗ij )✳ ❑❤✐ ✤â✿
n

x∗ij = ai , ∀i = 1, m
j=1
m

x∗ij = bj , ∀j = 1, n.
i=1

❱➻ ✈➟②
m

m

n

ai =
i=1

n

x∗ij
i=1 j=1

m

n

x∗ij

=
j=1 i=1

=
j=1

bj ✳


❈❤÷ì♥❣ ✶✳

❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
m

◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ❣✐↔ sû ❝â

n

ai =
i=1

✾

bj ✱

t❛ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐

j=1

❝â ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉✱ tù❝ ❧➔ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ →♥
❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ✈➔
❤➔♠ n♠ö❝ t✐➯✉ ❜à ❝❤➦♥ ❞÷î✐✳
m
❚❤➟t ✈➟②✱ ✤➦t✿ Q = ai❂ bj > 0✱ ①➨t ✈❡❝t♦r✿
(∗)

i=1

X=(

❚❛ ❝â✿

ai b j
)
Q

j=1

❝â t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ xij = aQibj ✈î✐ i = 1, m; j = 1, n✳

n

n

xij =
j=1
m

j=1
m

xij =
i=1

i=1

n

ai bj
bj
= ai
= ai (i = 1, m)
Q
Q
j=1
ai bj
= bj
Q

m

i=1

ai
= bj (j = 1, n).
Q

❱➔ rã r➔♥❣ xij 0✱ ∀i = 1, m, ∀j = 1, n✳ ❱➟② X ❧➔ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝õ❛
❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ (∗)✱ tù❝ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❝â t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❦❤→❝
ré♥❣✳
❳➨t ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❜➜t ❦➻ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ X = (xij ) (i = 1, m, j = 1, n)✱ tø
n
✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝→❝ xij 0 ✈➔ xij = ai✱ s✉② r❛✿
j=1

0

xij

ai (i = 1, m, j = 1, n).

❱➻ ✈➟②✿
cij xij ≥ 0
cij xij ≥ cij ai

♥➳✉ cij ≥ 0
♥➳✉ cij < 0.

❙✉② r❛✿ cij xij ≥ min{0, cij ai} (i = 1, m, j = 1, n)✳
❉♦ ✤â✿
m

n

m

n

cij xij ≥

f (X) =
i=1 j=1

i=1 j=1

min{0, cij ai } = const✳

❱➟② ❤➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉ ❜à ❝❤➦♥ ❞÷î✐ tr➯♥ ♠✐➲♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝✱ s✉② r❛ ❜➔✐
t♦→♥ ❝â ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉✳
◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳ ▼ët ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❜➜t ❦ý ❧✉æ♥ ✤÷ñ❝ ✤÷❛ ✈➲ ❞↕♥❣ ❜➔✐
t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝✉♥❣ ❝➛✉✳


❈❤÷ì♥❣ ✶✳

❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚

✶✵

✶✳✶✳✹✳ ❇↔♥❣ ✈➟♥ t↔✐

❈❤♦ X = (xij )m×n ❧➔ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐✳ ❦❤✐ ✤â ❜↔♥❣
sè ❧✐➺✉ s❛✉ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜↔♥❣ ✈➟♥ t↔✐ ù♥❣ ✈î✐ ♣❤÷ì♥❣ →♥ X ✿

❚r♦♥❣ ❜↔♥❣✱ ♠é✐ ❤➔♥❣ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝❤♦ ♠ët ✤✐➸♠ ❝✉♥❣✱ ♠é✐ ❝ët ✤➦❝ tr÷♥❣
❝❤♦ ♠ët ✤✐➸♠ ❝➛✉✿ ❝ët ✤➛✉ t✐➯♥ ❣❤✐ ❝→❝ Ai (i = 1, m)✱ ❤➔♥❣ tr➯♥ ❝ò♥❣ ❣❤✐
❝→❝ Bj (j = 1, n)✳ ❚rø ❝ët ✤➛✉ t✐➯♥ ✈➔ ❤➔♥❣ tr➯♥ ❝ò♥❣ ❝õ❛ ❜↔♥❣ ✈➟♥ t↔✐✱
♣❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➛♥ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❜↔♥❣ ✈➟♥ t↔✐✳ Ð ♠é✐ æ (i, j) tr♦♥❣ ♣❤➛♥
❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❜↔♥❣ ✈➟♥ t↔✐ t❛ ❣❤✐ ❝÷î❝ ♣❤➼ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ cij ✈➔♦ ❣â❝ ♣❤➼❛ tr➯♥
❜➯♥ ♣❤↔✐ ✈➔ ❧÷ñ♥❣ ❤➔♥❣ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ xij tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ →♥ X ✈➔♦ ❣â❝ ♣❤➼❛
❞÷î✐ ❜➯♥ tr→✐✳
− ❚➟♣ æ ❝❤å♥ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ →♥ X ❧➔✿ G(X)❂{(i, j) | xij > 0}✳ ➷ ❝❤å♥
✤➦❝ tr÷♥❣ ❝❤♦ t✉②➳♥ ✤÷í♥❣ ❝â ✈➟♥ t↔✐ ❤➔♥❣ ❤â❛ ✤✐ q✉❛✳
− ❈→❝ æ (i, j) ∈
/ G(X) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ æ ❧♦↕✐ (xij = 0)✳
− P❤÷ì♥❣ →♥ X ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ♥➳✉ t➟♣
❝→❝ æ ❝❤å♥ ❝õ❛ ♥â ✤ë❝ ❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸ ✭❉➙② ❝❤✉②➲♥✮✳ ▼ët ❞➣② L ❝→❝ æ ❝õ❛ ❜↔♥❣ ✈➟♥ t↔✐ ✤÷ñ❝
❣å✐ ❧➔ ♠ët ❞➙② ❝❤✉②➲♥ ♥➳✉ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿
− ❍❛✐ æ ❧✐➯♥ t✐➳♣ ❤♦➦❝ ❝ò♥❣ ♥➡♠ tr➯♥ ♠ët ❤➔♥❣✱ ❤♦➦❝ ❝ò♥❣ ♥➡♠ tr➯♥
♠ët ❝ët✳
− ❑❤æ♥❣ ❝â ❜❛ æ ♥➔♦ ❝ò♥❣ ♥➡♠ tr➯♥ ♠ët ❤➔♥❣ ❤♦➦❝ ❝ò♥❣ ♥➡♠ tr➯♥
♠ët ❝ët✳
❱➼ ❞ö ✶✳✶✳ ❚r♦♥❣ ❜↔♥❣ ✈➟♥ t↔✐✿


❈❤÷ì♥❣ ✶✳

❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚

✶✶

❧➔ ♠ët ❞➙② ❝❤✉②➲♥✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹ ✭❈❤✉ tr➻♥❤✮✳ ▼ët ❞➣② L ❝→❝ æ ❝õ❛ ❜↔♥❣ ✈➟♥ t↔✐ ✤÷ñ❝
❣å✐ ❧➔ ❝❤✉ tr➻♥❤ ♥➳✉ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿
− L ❧➔ ♠ët ❞➙② ❝❤✉②➲♥✳
− ➷ ✤➛✉ ✈➔ æ ❝✉è✐ ❤♦➦❝ ❝ò♥❣ ♥➡♠ tr➯♥ ♠ët ❤➔♥❣✱ ❤♦➦❝ ❝ò♥❣ ♥➡♠ tr➯♥
♠ët ❝ët✳
❱➼ ❞ö ✶✳✷✳ ❚r♦♥❣ ❜↔♥❣ ✈➟♥ t↔✐✿
L = {(1, 1); (1, 3); (2, 3); (2, 2); (3, 2)}

❧➔ ♠ët ❝❤✉ tr➻♥❤✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺ ✭P❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥✮✳ ▼ët ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ì sð ❝❤➜♣
♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ♥➳✉ t➟♣
❝→❝ æ ❝❤å♥ G(X) t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ♥â ❦❤æ♥❣ ❝❤ù❛ ❝❤✉ tr➻♥❤✳
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m

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i=1 j=1


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









n

xij = ai (i = 1, m)
j=1
m

✭∗∗✮

xij = bj (j = 1, n)
i=1

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❜❛♥ ✤➛✉✳ ❙❛✉ ✤â ①➨t t➼♥❤ tè✐ ÷✉ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❤➳ ✈à ❤♦➦❝ ♣❤÷ì♥❣
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❝õ❛ ❜↔♥❣ ✈➟♥ t↔✐ ✭tù❝ ❧➔ æ (1, 1))✳ ❑❤✐ ✤â ❤♦➦❝ ✤✐➸♠ ❝✉♥❣ A1 ❤➳t ❤➔♥❣✱
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❇÷î❝ ✸✿ ❚✐➳♣ tö❝ q✉→ tr➻♥❤ tr➯♥ ✈î✐ ♣❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛ ❜↔♥❣ ✤➳♥ ❦❤✐ ②➯✉

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✶✺

✷✳✷✳✷✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝÷î❝ ♣❤➼

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✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ ♥❤ä ♥❤➜t ✈î✐ tø♥❣ ❤➔♥❣ ✭❤♦➦❝ tø♥❣ ❝ët✮ ✤➣ ❝❤å♥✳
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40, 35, 50, 55 t t tử t t ừ ổ trữớ
ữủt 55, 40, 85 t t t tứ ỡ s s
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∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (1, 1)✿ 40 t➜♥ t❤➨♣✱ ①â❛ ❤➔♥❣ A1 ✱ æ (2, 1) trð t❤➔♥❤ æ ð
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∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (2, 1)✿ 15 t➜♥ t❤➨♣✱ ①â❛ ❝ët B1 ✱ ð ❤➔♥❣ A2 ❝á♥ 20✳
∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (2, 2)✿ 20 t➜♥ t❤➨♣✱ ①â❛ ❤➔♥❣ A2 ✱ ð ❝ët B2 ❝á♥ 20✳
∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (3, 2)✿ 20 t➜♥ t❤➨♣✱ ①â❛ ❝ët B2 ✱ ð ❤➔♥❣ A3 ❝á♥ 30✳
∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (3, 3)✿ 30 t➜♥ t❤➨♣✱ ①â❛ ❤➔♥❣ A3 ✱ ð ❝ët B3 ❝á♥ 55✳
∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (4, 3)✿ 55 t➜♥ t❤➨♣✳
❚ø ✤â t❛ ❝â✿

❚❛ t❤➜② r➡♥❣ X ð ✤➙② ❧➔ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ❦❤æ♥❣ s✉② ❜✐➳♥ ❞♦ ❝â
✤õ (m + n − 1) = (4 + 3 − 1) = 6 æ ❝❤å♥✿

40
15
X=
0
0

0
20
20
0


0
0
.
30

55


❈❤÷ì♥❣ ✷✳

▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❱❾◆ ❚❷■

✶✽

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝÷î❝ ♣❤➼✿

P❤➙♥ t➼❝❤✿
∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (1, 1)✿ 40 t➜♥ t❤➨♣ ✭❞♦ ❧➔ æ ❝â ❝÷î❝ ♣❤➼ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ ♥❤ä
♥❤➜t ❜➡♥❣ ✶✮✱ ①â❛ ❤➔♥❣ A1✱ ❝ët B1 ❝á♥ 15✳
∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (4, 1)✿ 15 t➜♥ t❤➨♣ ✭❞♦ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛ ❜↔♥❣ ♥â ❝â
❝÷î❝ ♣❤➼ ♥❤ä ♥❤➜t ❜➡♥❣ ✷✮✱ ①â❛ ❝ët B1✱ ❤➔♥❣ A4 ❝á♥ 40✳
∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (2, 3)✿ 35 t➜♥ t❤➨♣✱ ①â❛ ❤➔♥❣ A2 ✱ ❝ët B3 ❝á♥ 50✳
∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (3, 3)✿ 50 t➜♥ t❤➨♣✱ ①â❛ ❤➔♥❣ A3 ✈➔ ❝ët B3 ✳
∗ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (4, 2)✿ 40 t➜♥ t❤➨♣✳
❚ø ✤â t❛ ❝â✿

❚❛ t❤➜② r➡♥❣ X ð ✤➙② ❧➔ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ s✉② ❜✐➳♥ ❞♦ ❝❤➾ ❝â ✺
æ ❝❤å♥✿

40
0
X=
0
15

0
0
0
40


0
35
.
50
0


❈❤÷ì♥❣ ✷✳

▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❱❾◆ ❚❷■

✶✾

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❱♦❣❡❧s✿

P❤➙♥ t➼❝❤✿
∗ ❳→❝ ✤à♥❤ ❝❤➯♥❤ ❧➺❝❤ ❝❤✐ ♣❤➼ ✈➟♥ t↔✐ ❣✐ú❛ ❤❛✐ æ ❝â ❝❤✐ ♣❤➼ t❤➜♣ ♥❤➜t
ù♥❣ ✈î✐ ♠é✐ ❤➔♥❣ ✈➔ ♠é✐ ❝ët✳ ❳→❝ ✤à♥❤ ❤➔♥❣ ❤♦➦❝ ❝ët ❝â ❝❤✐ ♣❤➼ ❝ì ❤ë✐ ❧î♥
♥❤➜t✿

∗ ❈ët B2

❝â ❝❤➯♥❤ ❧➺❝❤ ❧î♥ ♥❤➜t ❜➡♥❣ ✹✱ ♣❤➙♥ ✈➔♦ æ (1, 2) ❧➔ 40 ❞♦ æ ❝â
❝❤✐ ♣❤➼ t❤➜♣ ♥❤➜t ❜➡♥❣ ✷✳ ❳â❛ ❤➔♥❣ A1 ✈➔ ❝ët B2✿

❈❤÷ì♥❣ ✷✳

▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❱❾◆ ❚❷■

✷✵

∗ ❳→❝ ✤à♥❤ ❧↕✐ ❝❤➯♥❤ ❧➺❝❤ ❝❤✐ ♣❤➼ ✈➟♥ t↔✐ s❛✉ ❦❤✐ ✤➣ ①â❛ ❤➔♥❣ A1 ✈➔
❝ët B2✳ ❍➔♥❣ A4 ❝â ❝❤➯♥❤ ❧➺❝❤ ❧î♥ ♥❤➜t ❧➔ ✸✱ ♣❤➙♥ ✈➔♦ æ (4, 1) ❧➔ 55✳ ❳â❛
❤➔♥❣ A4 ✈➔ ❝ët B1✿

∗ ❙❛✉ ❦❤✐ ①â❛ ❤➔♥❣ A4 ✈➔ ❝ët B1 ✱ ❜↔♥❣ ✈➟♥
(3, 3)✳ P❤➙♥ ❝❤♦ æ (2, 3) ❧➔ 35 ✈➔ æ (3, 3) ❧➔ 50✿

❚ø ✤â t❛ ❝â✿

t↔✐ ❝á♥ ❧↕✐ ✷ æ (2, 3) ✈➔


❈❤÷ì♥❣ ✷✳

▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❱❾◆ ❚❷■

✷✶

❚❛ t❤➜② r➡♥❣ X ð ✤➙② ❧➔ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝ ❜✐➯♥ s✉② ❜✐➳♥ ❞♦ ❝❤➾ ❝â ✹
æ ❝❤å♥✿


0
0
X=
0
55

40
0
0
0


0
35
.
50
0

◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✶✳ Ð ✈➼ ❞ö ♥➔②✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❱♦❣❡❧s ❝❤♦ t❛ ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❝ü❝

❜✐➯♥ ❜❛♥ ✤➛✉ ❝â tê♥❣ ❝❤✐ ♣❤➼ t❤➜♣ ♥❤➜t✱ t✐➳♣ ✤➳♥ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝ü❝ t✐➸✉
❝÷î❝ ♣❤➼ ✈➔ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣â❝ ❚➙② ❇➢❝✳
❱➼ ❞ö ✷✳✷ ✭❇➔✐ t♦→♥ ✈➟♥ t↔✐ ❤ð✮✳ ❈æ♥❣ t② ❝ê ♣❤➛♥ ❙ú❛ ▲❛♠ ❙ì♥ ❝â
❜è♥ tr❛♥❣ tr↕✐ ❜á sú❛ (A1, A2, A3, A4) ❝✉♥❣ ❝➜♣ sú❛ ❜á t❤÷í♥❣ ①✉②➯♥ ✤➳♥
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