Vấn đề dựng hònh bằng thước kẻ và compa trong hình học euclid

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

LÝ VĂN HOÀNG

VẤN ĐỀ DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC KẺ
VÀ COMPA TRONG HÌNH HỌC EUCLID

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

LÝ VĂN HOÀNG

VẤN ĐỀ DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC KẺ
VÀ COMPA TRONG HÌNH HỌC EUCLID
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
ThS. PHẠM THANH TÂM

HÀ NỘI – 2018

Mục lục

Lời cảm ơn

1

Lời mở đầu

3

1 Hệ tiên đề của lý thuyết dựng hình trong mặt phẳng
trên một trường.

6

1.1

Hệ thống các tiên đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

Các tiên đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2

Tiên đề về thước kẻ . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.3

Tiên đề về compa . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Các phép dựng hình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2

2 Tiêu chuẩn dựng hình bằng thước kẻ và compa

9

2.1

Định lí Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Tiêu chuẩn dựng hình bằng thước kẻ và compa

2.3

9

. . . .

12

2.2.1

Nhóm giải được . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2.2

Giải phương trình bằng căn thức . . . . . . . .

16

2.2.3

Phương trình bậc ba và phương trình bậc bốn .

23

Ba bài toán điển hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.3.1

32

Gấp đôi khối lập phương . . . . . . . . . . . . .
i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lý Văn Hoàng

2.3.2

Bài toán chia ba một góc . . . . . . . . . . . . .

33

2.3.3

Phép cầu phương hình tròn . . . . . . . . . . .

34

2.3.4

Đa giác đều 17 cạnh . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.3.5

Dựng hình bằng compa và thước kẻ chia vạch .

44

Tài liệu tham khảo

53

ii


Lời cảm ơn
Sau thời gian học tập và rèn luyện, để có kiến thức như ngày hôm
nay, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Phạm Thanh
Tâm, người đã trực tiếp tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong suốt thời
gian tôi làm khóa luận. Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành
tới các thầy cô giáo trong tổ Hình học cũng như các thầy cô giáo
trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện
tốt nhất để tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.

Do hạn chế về thời gian và khả năng nghiên cứu khoa học nên Khóa
luận khó tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự đóng
góp, bổ sung quý báu từ các thầy cô và các bạn.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

1


Lời cam đoan

Dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo Phạm Thanh Tâm cùng
với sự cố gắng của bản thân, Khóa luận tốt nghiệp của tôi đã được
hoàn thành. Các nội dung trình bày trong khóa luận là kết quả của
quá trình học tập, tổng hợp, tham khảo và kế thừa những thành quả
nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự trân
trọng và lòng biết ơn của tôi. Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên
cứu của đề tài “Vấn đề dựng hình bằng thước kẻ và compa trong hình
học Euclid” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.
Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

2


Mở đầu
Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Ngành giáo dục đang có những bước đổi mới toàn diện về phương
pháp dạy và học các môn học trong nhà trường. Trong các môn học
đó, thì môn Toán là một trong những môn quan trọng nhất, là nền
tảng để phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh, là chìa khóa mở tất
cả những bí ẩn khoa học. Trong môn toán, bài toán dựng hình là một
trong những bài toán khó và đã gắn liền với học sinh từ thcs tới thpt
theo một hệ thống lôgic như sau:
(i) Ngay từ lớp 6, học sinh đã được học để dựng các hình đơn giản
như góc, đường tròn, tam giác.
(ii) Lớp 7, học sinh đã được dựng các hình với những mối quan hệ
đặc biệt hơn như quan hệ về vuông góc, tia phân giác, hai hình
bằng nhau, đường trung trực, đường trung tuyến.
(iii) Lớp 8, học sinh được dựng các tứ giác với tính chất được biệt
như hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông,...và

được dựng các hình lăng trụ đứng, hình chóp.
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lý Văn Hoàng

(iv) Lớp 9, học sinh được dựng các góc đặc biệt, góc trong đường tròn
và các hình trụ nón cầu.
(v) Lên các lớp 10, 11, 12, học sinh được học dựng ba đường conic
và dựng các hình trong không gian.
Trong hình học thì việc dựng hình là một việc vô cùng quan
trọng, nó quyết định khởi đầu việc một bài toán có giải được hay
không. Nếu dựng hình không chuẩn xác, ta sẽ rất khó khăn và thậm
chí là không thể tìm ra lời giải của bài.
Do đó, tôi chọn đề tài “Vấn đề dựng hình bằng thước kẻ và compa
trong hình học Euclid” để có thể tìm hiểu sâu hơn và vận dụng tốt
vào các bài toán dựng hình.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề tài này tôi muốn hiểu cứu sâu hơn về vấn đề dựng
hình bằng thước kẻ và compa trong hình học Euclid, tìm hiểu điều
kiện cần và đủ cho bài toán dựng hình bằng thước kẻ và compa.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
a. Đối tượng nghiên cứu: Dựng hình bằng thước kẻ và compa.
b. Phạm vi nghiên cứu: Trong mặt phẳng trên một trường.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về điều kiện cần và đủ cho bài toán dựng hình bằng
thước kẻ và compa.
4

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lý Văn Hoàng

5. Phương pháp nghiên cứu
Trước hết tìm và tham khảo tài liệu, sách giáo khoa, sách giáo trình
có liên quan về dựng hình bằng thước kẻ và compa trong hình học
Euclid.
Phân tích và tổng hợp các ví dụ và bài tập minh họa , tham khảo
các kiến giáo viên hướng dẫn.
6. Ý nghĩa khoa học, thực tiễn của đề tài
Là tài liệu tham khảo cho các sinh viên chuyên ngành toán học.
7. Cấu trúc khóa luận
Khóa Luận gồm hai chương.
Chương 1 "Hệ tiên đề của lý thuyết dựng hình trong mặt phẳng trên
một trường" sẽ trình bày hệ thống các tiên đề và các phép dựng hình
cơ bản.
Chương 2 "Tiêu chuẩn dựng hình bằng thước kẻ và compa" sẽ trình
bày định lí Descarter, tiêu chuẩn dựng hình bằng thước kẻ và comp;
ba bài toán điển hình, đa giác đều 17 cạnh và cuối cùng là dựng hình
bằng compa và thước kẻ chia vạch.

Xuân Hòa, ngày 10/05/2018
Người làm khóa luận

Lý Văn Hoàng
5

Chương 1
Hệ tiên đề của lý thuyết dựng hình
trong mặt phẳng trên một trường.
1.1
1.1.1

Hệ thống các tiên đề.
Các tiên đề

Khái niệm dựng hình là một khái niệm cơ bản, chúng ta thừa nhận
khái niệm đó mà không định nghĩa. Sau đây, chúng ta sẽ trình bày lại
hệ thống các tiên đề của lý thuyết dựng hình trong mặt phẳng Euclid
và mặt phẳng Descarter trên một trường. Các tiên đề về phép dựng
hình bao gồm 8 phép dựng cụ thể như sau:
Phép dựng 1: Mọi hình đã cho là đã dựng được.
Phép dựng 2: Nếu đã dựng hai hình thì hợp của hai hình đó là hình
đã dựng được.
Phép dựng 3: Nếu hai hình đã dựng được thì ta có thể xác lập rằng
hiệu của chúng có là tập rỗng hay không.
Phép dựng 4:Nếu hiệu của hai hình đã dựng được là tập không rỗng
thì hiệu đó là đã dựng được.
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lý Văn Hoàng

Phép dựng 5: Nếu hai hình đã cho thì ta có thể xác lập rằng giao

của chúng có là tập rỗng hay không.
Phép dựng 6: Nếu giao của hai hình dựng được là tập không rỗng
thì giao đó là đã dựng được.
Phép dựng 7: Có thể dựng được điểm, cho biết là thuộc một hình
đã dựng.
Phép dựng 8: Có thể dựng được điểm, cho biết là không thuộc một
hình đã dựng với điều kiện hình đã dựng không chiếm toàn bộ không
gian.
1.1.2

Tiên đề về thước kẻ

Các tiên đề về thước kẻ bao gồm 3 tiên đề cụ thể như sau:
Thước kẻ 1: Dựng đường thẳng nối liền hai điểm đã dựng.
Thước kẻ 2: Dựng đường thẳng đi qua hai điểm đã dựng.
Thước kẻ 3: Dựng tia xuất phát từ một điểm đã dựng và đi qua
một điểm khác đã dựng.
1.1.3

Tiên đề về compa

Các tiên đề về compa bao gồm 2 tiên đề cụ thể như sau:
Compa 1: Dựng đường tròn nếu tâm đường tròn và đoạn thẳng bằng
bán kính.
Compa 2: Dựng được bất kì cung nào trong hai cung bù nhau của
một đường tròn khi tâm của đường tròn và các điểm đầu mút của
cung đó đã dựng.

7

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2

Lý Văn Hoàng

Các phép dựng hình cơ bản

Hệ thống tiên đề trên cho phép ta thực hiện được 10 phép dựng cơ
bản sau:
1. Dựng điểm bất kì.
2. Dựng đoạn thẳng nối liền hai điểm đã dựng.
3. Dựng đường thẳng đi qua hai điểm đã dựng.
4. Dựng tia xuất phát từ một điểm đã dựng và đi qua một điểm
khác đã dựng.
5. Dựng đường tròn nếu tâm đường tròn và đoạn thẳng bằng bán
kính đường tròn đã dựng.
6. Dựng được một cung bất kì.
7. Dựng được bất kì cung nào trong hai cung bù nhau của một
đường tròn khi tâm đường tròn và các điểm đầu mút của cung đó đã
dựng.
8. Dựng bất kì một số hữu hạn điểm chung của hai hình đã dựng
nếu các điểm đó tồn tại.
9. Dựng điểm thuộc một hình đã dựng.
10. Dựng được điểm không thuộc một hình đã dựng.

8

Chương 2
Tiêu chuẩn dựng hình bằng thước
kẻ và compa
2.1

Định lí Descartes

Định lí này là một ví dụ quan trọng khi chúng ta giải quyết những
bài toán của hình học bằng cách nhìn từ quan điểm của đại số.
Định lý 2.1. Cho các điểm P1 = (a1 , b1 ), ..., Pn = (an , bn ) trên mặt
phẳng Descartes thực. Ngoài ra, ta cũng giả sử rằng hai điểm (0,0),
(1,0) là đã cho. Khi đó, ta có thể dựng được điểm Q = (α, β) bằng thước
và compa nếu và chỉ nếu α và β biểu diễn được qua a1 , ..., a2 , b1 , ..., bn
bởi hữu hạn các phép toán trường +, −, ., : và phép toán lấy căn bận
hai của một số thực dương.
Chứng minh. Lấy hai điểm P1 = (a1 , b1 ), P2 = (a2 , b2 ), đường thẳng đi
qua hai điểm này có phương trình là phương trình có dạng:
y − b1 =

b2 − b1
(x − a1 ).
a2 − a1

Hệ số của nó biểu diễn được qua a1 , a2 , b1 , b2 bởi hữu hạn các phép
toán trên trường +, −, ., :
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lý Văn Hoàng

Đường tròn tâm (a,b) và bán kính r có phương trình là:
(x − a)2 + (y − b)2 = r2 .
Ta thấy đây là một phương trình bậc hai mà hệ số chỉ phụ thuộc
vào a, b, r2 . Chú ý rằng r có thể được xác định bởi khoảng cách giữa
P1 = (a1 , b1 ) và Pn = (a2 , b2 ). Khi đó, ta được:
r2 = (a1 − a2 )2 + (b1 − b2 )2 .
Để tìm giao điểm của hai đường thẳng, ta sẽ giải hệ hai phương trình
tuyến tính mà việc giải đó chỉ sử dụng đến các phép toán trường
+, −, ., :
Để tìm giao điểm của hai đường thẳng và đường tròn, ta chỉ cần giải
phương trình bậc hai theo x. Việc giải đó chỉ sử dụng đến các phép
toán trường +, −, ., : và phép toán lấy căn bậc hai của một số thực
dương.
Để tìm giao của hai đường tròn, ta chỉ cần trừ hai phương trình để
tìm mối liên hệ giữa x và y sau đó thay vào một phương trình nhằm
thu được một phương trình bậc hai theo x. Dó đó, việc giải quyết cũng
chỉ sử dụng đến các phép toán +, −, ., : và phép toán lấy căn bậc hai
của một số thực dương.
Tóm lại, để tìm tọa độ của một điểm Q = (α, β) dựng được bằng
thước và compa từ những điểm cho trước P1 , P2 , ..., Pn ta cần phải giải
một số hữu hạn những phương trình bậc nhất và bậc hai mà hệ số
của chúng chỉ phụ thuộc và (ai , bi ) và những hệ số thu được từ những
bước trên. Vậy α và β sẽ được biểu diễn được qua a1 , ..., a2 , b1 , ..., bn

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lý Văn Hoàng

bởi hữu hạn các phép toán trường +, −, ., : và phép toán lấy căn bậc
hai của một số số thực dương.
Ngược lại, mọi nghiệm của phương trình tuyến tính và phương trình
bậc hai dều đựng được bằng thước và compa. Thật vậy, mọi phương
trình này đều giải được sau một số lần hữu hạn khi ta áp dụng các
phép toán tính +, −, ., : và phép khai căn bậc hai. Và mỗi phép tính
ấy đều sẽ được diễn tả bằng thước kẻ và compa.
Với tổng và hiệu của hai đoạn thẳng, ta chỉ cần đặt hai đoạn thẳng
đó nối tiếp với nhau đối với tổng; chồng lên nhau đối với hiệu.
Với tích, đặt đoạn thẳng a trên trục x và các đoạn 1, b trên trục y. Ta
vẽ đường thẳng nối hai điểm 1, a, phương trình của đường thẳng đó
1
là y = −( )x + 1. Vẽ đường thẳng song song với đường thẳng trên và
a
1
đi qua b, phương trình của đường thẳng đó chính là y = −( )x + b.
a
Dó đó, nó sẽ cắt trục x tại điểm (ab,0). Khi đó, ta đã dựng được đoạn
thẳng ab từ các đoạn 1, a, b.
Với thương, ta đặt đoạn thẳng 1 trên trục x và hai đoạn a, b trên trục
y rồi vẽ đường thẳng đi qua 1 và a. Vẽ đường thẳng đi qua b và song
b
song với đường thẳng, sẽ cắt trục x tại điểm .
a
Với căn bậc 2 của a > 0, dựng như hình vẽ.

11

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2
2.2.1

Lý Văn Hoàng

Tiêu chuẩn dựng hình bằng thước kẻ và compa
Nhóm giải được

Mục đích của phần này là mô tả nhóm Galois của các mở rộng căn.
Trước tiên, ta sẽ xét các mở rộng căn bậc r đơn vị dạng K(εr ). Đặt
ε = εr . trong chương 1, ta thấy 1, ε, ..., εr−1 là các nghiệm của phương
trình X r − 1 = 0. Vì vậy, K(εr ) là trường phân rã của đa thức
X r − 1 = 0. Nhóm Galois của trường này có những tính chất sau.
Định lý 2.2. Cho E là một mở rộng căn bậc r của K và là trường
phân rã trên K. Khi đó, E(Er ) là trường phân rã trên K có nhóm
Galois là nhóm giải được.
√
Chứng minh. Ví dụ: Với E = P (ε, 3 2), trong đó: ε = ε3 . Ta thấy E
là một mở rộng căn bậc 3 và đồng thời là trường phân rã trên P. Từ
chuỗi các trường P ⊂ Pε ⊂ E thì ta có chuỗi các nhóm Galois là:
G(E/P ) ⊃ G(E/Pε ) ⊃ {idE }.
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lý Văn Hoàng

Nhóm G(E/P ) ∼
= A3 là nhóm
= S3 là nhóm giải được vì G(E/Pε ) ∼
xích. A3 là ước chuẩn của S3 và G(E/P )/G(E/Pε ) ∼
= S2
= G(Pε )/P ∼
là nhóm Abel, trong đó Sn là nhóm hoán vị bậc n.
Trong định nghĩa nhóm giải được, thì ta có thể thay nhóm Abel bằng
nhóm xích. Để thấy điều này ta cần xét mối quan hệ giữa các ước
chuẩn lồng với nhau.
Định lý 2.3. Cho G là một nhóm còn U là một ước chuẩn của G.
Một nhóm con U ⊇ K của G là ước chuẩn khi và chỉ khi K/U là ước
chuẩn của G/U. Khi đó:
G/K ∼
= (G/U )/(K/U ).
Chứng minh. Theo định nghĩa thì U cũng là ước chuẩn của K. Do đó,
ta có thể xét nhóm thương K/U . Nhóm này là nhóm con của G/U .
Gọi µ là ánh xạ chính tắc từ G lên G/U. Ta được: µ(K) = K/U .
Nếu K là ước chuẩn của G thì:
µ(x).µ(K).µ(x)−1 = µ(x.K.x−1 ) = µ(K) với ∀ x G.
Suy ra, µ(K) là ước chuẩn của G/U.
Đảo lại, giả sử K/U là ước chuẩn của G/U. Khi đó, ta có một ánh
xạ chính tắc µ từ G/U lên (G/U )/(K/U ). Dễ thấy, ánh xạ hợp nhất
µ µ là một toàn cấu từ G lên (G/U )/(K/U ) và
ker(µ µ) = x ∈ G|xU ∈ K/U = K.
Vậy nên, K là ước chuẩn của G và G/K ∼
= (G/U )/(K/U ) theo định lí
đồng cấu nhóm.

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lý Văn Hoàng

Định lý 2.4. Mọi nhóm hữu hạn giải được G đều có một chuỗi giảm
các nhóm con
G = K0 ⊇ K1 ⊇ ... ⊇ Km = {e}
sao cho Ki là ước chuẩn của Ki−1 và nhóm thương Ki−1 /Ki là nhóm
xích có cấp nguyên tố, i= 1,...,m.
Chứng minh. Ta có thể giả thiết G = eG . Xét các chuối giảm:
G = G0 ⊃ G1 ⊃ ... ⊃ Gn = {e}.
Trong đó Gi là ước chuẩn thực sự của Gi−i và Gi−1 /Gi là nhóm abel
cho mọi i = 1, ..., n. Trong tất cả chuỗi như vậy ta chọn một chuỗi sao
cho ta không thể thêm vào giữ G và G1 một nhóm K nào khác để tạo
ra được một chuỗi mới có các tính chất như trên. Đặt G = G/Gi . Ta
sẽ chỉ ra rằng G không có một nhóm con nào khác ngoài hai nhóm
con tầm thường là chính nó và nhóm chỉ gồm phần tử đơn vị e. Giả
sử G có một nhóm con không tầm thường là K. Do G là nhóm abel
nên ta được K và G/K cũng là nhóm abel. Đặt:
K := {x ∈ G|xG1 ∈ K}
Dễ thấy rằng K là một nhóm nằm giữa G và G1 và không trùng với
hai nhóm này. Rõ ràng ta thấy là G1 là ước chuẩn của K và K/G1 =
K. Theo định lí đẳng cấu nhóm thì K cũng là ước chuẩn của G và
G/K ∼
= G/K. Như vậy là chuỗi sau đây:
G = G0 ⊃ G1 ⊃ ... ⊃ Gn = {e}

cũng thuộc vào lớp các chuỗi ở trên. Đây là một điều mâu thuẫn với
cách chọn G1 . Lấy x là một phần tử tùy ý khác với phần tử đơn vị
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lý Văn Hoàng

của G. Do {xn |n ∈ Z} là nhóm con của G nên nhóm này sẽ trùng
với G. Vì vậy G là nhóm xích. Cấp |G| phải là số nguyên tố vì nếu
|G| là một hợp số dạng pq với p,q >1 thì G có một nhóm con không
tầm thường là {xnp |n ∈ Z}. Theo cách chọn chuỗi thì G1 là nhóm giải
được với |G1 | < |G|. Dùng quy nạp ta có thể giả thiết G1 là một chuỗi
giảm các nhóm con
G = K1 ⊃ K2 ⊃ ... ⊃ Km = {e}
Trong đó K − i có là ước chuẩn của Ki−1 và Ki−1 /Ki là nhóm xích
có cấp nguyên tố với mọi i = 2, ..., m. Do G/G1 là nhóm xích có cấp
nguyên tố nên chuỗi sau:
G = G0 ⊃ G1 ⊃ K2 ⊃ ... ⊃ Km = {e}
cũng có các tính chất tương tự.
Ví dụ: Cho G là nhóm xích cấp 4 (G không phải nhóm nguyên tố)
sinh bởi phần tử x. Khi đó, ta sẽ có chuỗi G ⊃ U ⊃ {e}, trong đó U
là nhóm con {0.x2 }. Do G là nhóm abel nên u là ước chuẩn của G. Có
thể thấy U = U/{e} và G/U là nhóm xích cấp 2 (số nguyên tố). Lớp
nhóm giải được có nhiều tính chất tốt.
Định lý 2.5. Nếu đa thức f ∈ K[X] giải được bằng căn thức thì nhóm
Galois G(f/K) là nhóm giải được.
Chứng minh. Gọi L là trường phân rã của f trên K. Theo định nghĩa
ta có f giải được bằng căn thức có nghĩa là L nằm trong một mở rộng

căn E của K.
Ta có thể giả thiết rằng E là trường phân rã (Bổ đề 5.3, [2]).

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lý Văn Hoàng

Đặt r := [E : K].
Theo định lí 2.2 thì E(εr ) là trường phân rã trên K với G(E(εr /K)) là
nhóm giải được. Mà G(f/K)= G(L/K) là nhóm thương của G(L(εr /K))
(bổ đề 4.6, [2]). Vì vậy, G(L/K) cũng là nhóm giải được (bổ đề 5.6,
[2]).
Vậy theo định lí này, nếu ta tìm thấy các nhóm Galois không giải
được thì ta sẽ có các đa thức không giải được bằng căn thức.
2.2.2

Giải phương trình bằng căn thức

Trong chương trước ta đã chỉ ra rằng nếu một đa thức giải được
bằng căn thức thì nhóm Galois là nhóm giải được. Trong chương này,
ta sẽ chứng minh điều ngược lại, tức là, nếu nhóm Galois là nhóm giải
được thì đa thức giải được bằng căn thức.
Trước tiên, ta thấy các tự đẳng cấu có tính độc lập tuyến tính theo
nghĩa sau.
Định lý 2.6. Với mọi nhóm con hữu hạn U của G(E/K) ta có:
U = G(E/E U ).
Chứng minh. Vì mọi đẳng cấu của U giữ vai trò cố định các phần tử

của E U nên U ⊆ G(E/E U ). Vì vây, ta chỉ cần chứng minh G(E/E U ) ⊆
U . Giả sử, U = (Φ1 , ...Φn ). Do ánh xạ: Φ −→ Φi .Φ là một song sánh
từ U lên U nên U = (Φi Φ1 , ..., Φi Φn ) với mọi i= 1,...,n. Từ đó, ta suy
ra:
Φi (Φ1 (a) + ... + Φn (a)) = Φ1 (a) + ... + Φn (a)

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lý Văn Hoàng

với mọi a ∈ E. Vì vậy, Φ1 (a) + ... + Φn (a) ∈ E U . Cho Ψ là một tự
đẳng cấu tùy ý của E/E U . Ta có:
Ψi (Φ1 (a) + ... + Φn (a)) = Φ1 (a) + ... + Φn (a)
và do đó,
ΨΦ1 (a) + ... + ΨΦn (a) − Φ1 (a) − ... − Φn (a) = 0
Với mọi a ∈ E. Theo bổ đề 6.1 [2] thì điều này chỉ xảy ra khi dãy các
tự đẳng cấu ΨΦ1 , ..., ΨΦn , Φ1 , ..., Φn có những phần tử trùng nhau. Ta
lại thấy ΨΦi = ΨΦi nếu i = j. Vì vậy, tồn tại những tự đẳng cấu Φi
và Φj sao cho ΨΦi = Φj . Khi đó, Ψ = Φj .Ψ−1
j U . Điều này chứng tỏ
G(E/E U ) ⊆ U .
Định lý 2.7. Cho E là một trường phân rã trên K. Nếu U là một
ước chuẩn của nhóm Galois G(E/K) thì trường bất biến E U là trường
phân rã trên K và
G(E/K)/U ∼
= G(E U /K).
Chứng minh. Trước tiên, ta thấy E U là mở rộng hữu hạn của K và

mọi phần tử của E U đều là những phần tử đại số trên K (định lí
3.10, [2]). giả sử, E U = K(a1 , ..., an ). Gọi Gi là đa thức tối tiểu của
ai trên K. Với mọi nghiệm b của gi ta có ít nhất một đẳng cấu ϕ
của E U /K sao cho b = ϕ(ai ). Ta mở rộng ϕ thành một đẳng cấu Φ
của E/K. Do E là trường phân rã trên K nên Φ là tự đẳng cấu của
E/K. Do U là ước chuẩn của G(E/K) nên Φ− 1.Ψ.Φ U ∀Ψ U . Theo
định nghĩa của trường bất biến E U ta có Φ− 1ΨΦ(ai ) = ai . Từ đó suy
ra, ΨΦ(ai ) = Φ(ai ) và do đó, Ψ(ϕ(ai )) = ϕ(ai ). Điều này cho thấy
17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lý Văn Hoàng

b = ϕ(ai ) E U . Vậy E U chứa tất cả các nghiệm của gi , i=1,...,n, và ta
có thể kết luận E U là trường phân rã của đa thức f = g1 , ..., gn . Theo
bổ đề 4.6 [2] thì
G(E/K)/G(E/E U ) ∼
= G(E U /K).
Do U = G(E/E U ) (theo bổ đề 6.2, [2]) nên định lí đã được chứng
minh.
Ta sẽ thấy mọi trường phân rã có nhóm Galois là nhóm giải được thì
đều là một mở rộng căn của K nếu K có chứa các đơn vị căn thích
hợp. Trước tiên thì ta xét trường hợp Galois có xích.
Định lý 2.8. Cho E là một trường phân rã trên K và r là tích của tất
cả các ước nguyên tố của [E : K]. Nếu nhóm Galois G(E/K) là nhóm
giải được thì E(εr ) là mở rộng căn r của K.
Chứng minh. Đặt ε = εr và U = G(E(ε)/K(ε) Theo bổ đề 6.6 ([2])
thì U là nhóm con của G(E/K). Vì vây,[E(ε) : K(ε)] = |U | là ước của

[E : K] = G(E/K).
Cho G là nhóm hữu hạn và U là một nhóm con của G. Ta luôn luôn
có |U| là ước của |G|. Thật vây, quan hệ đồng dư mod U chia G ra
thành các lớp kề trái xU. Do ánh xạ z → xz là một song ánh đi từ U
lên xU nên |xU| = |U| với mọi x ∈ G. Từ đây suy ra:
|G| = [G : U ]|U |.
Trong đó, [G:U] kí hiệu số các lớp kề trái mod U. Mặt khác, do
G(E/K) là nhóm giải được (bổ đề 5.6, [2]). Theo định lí 2.4 tồn tại
một chuỗi các nhóm con:
U = U0 ⊇ U1 ⊇ ... ⊇ Un = {e}
18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lý Văn Hoàng

Trong đó Ui là ước chuẩn của Ui−1 và Ui−1 /Ui là nhóm xích có cấp
nguyên tố với mọi i = 1, ..., n. Đặt:
Li := E(ε)Ui
với mọi i = 0, 1, ..., n. Khi đó: Ui = G(Ln /Li ).
Theo định lí 2.6 xét dãy tăng các trường
K(ε) = L0 ⊇ L1 ⊇ ... ⊇ Ln = E(ε)
Trong đó K(ε) = L0 theo hệ quả 6.3 [2]. Do E là một trường phân rã
trên K nên E(ε) là một trường phân rã trên Li−1 ⊆ K(ε), i = 1, ..., n.
Áp dụng định lí 2.7 ta thấy Li là trường phân rã trên Li−1 và
Ui−1 /Ui = G(Ln /Li−1 )/G(Ln /Li ) ∼
= G(Li /Li−1 ).
Vì vây, G(Li /Li−1 ) là nhóm xích. Đặt r1 := [Li : Li−1 ].
Do r1 = |G(Li /Li−1 )| = |Ui−1 /Ui | nên ri là một số nguyên tố. Theo

bổ đề 3.9, [2] thì ri là ước của [E(ε) : Li−1 ] và do đó cũng là ước của
[E(ε) : K(ε)]. Do [E(ε) : K(ε)] là ước của [E : K] và r là tích tất cả
các ước nguyên tố của [E : K] nên ri là ước của r. Do Li−1 chưa ε nên
Li−1 cũng chứa εr/ri = εri . Theo bổ đề 6.5 [2] thì Li = Li−1 (ai ) trong
đó ai là căn bậc ri của Li−1 l. Từ đây suy ra E(ε) = K(ε, a1 , ..., an ) là
mở rộng căn bậc r của K.
Bây giờ ta có thể đưa ra điều kiện cần và đủ để một phương trình
giải được bằng căn thức.
Định lý 2.9. Đa thức f ∈ K[X] giải được bằng căn thức khi và chỉ
khi nhóm Galois G(f /K) là giải được.

19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lý Văn Hoàng

Chứng minh. Do điều kiện cần chính là định lý 2.5 nên ta chỉ cần
chứng minh điều kiện đủ. Do đa thức f là là giải được khi trường
phân rã của f nằm trong một mở rộng căn nên điều kiện đủ là hệ quả
của định lí 2.8.
Ta đã thấy nhóm Galois của các phương trình bậc n đẳng cấu với một
nhóm con của nhóm đối xứng Sn . Do Sn là nhóm giải được với n ≤ 4
nên mọi nhóm con của chúng đều là nhóm giải được theo bổ đề 5.6
[2]. Điều này lí giải vì sao các phương trình có bậc nhỏ hơn hoặc bằng
bốn giải được bằng căn thức.
Nếu ta biết được cấu trúc của một nhóm Galois giải được thì ta có
thể tính được nghiệm của đa thức đã cho.
Định lý 2.10. Mọi nhóm hữu hạn có cấp là lũy thừa của số nguyên

tố đều là nhóm giải được.
Chứng minh. Cho G là một nhóm hữu hạn có |G| = pm với p là một
số nguyên tố và m

0. Như ta đã thấy ở trên thì ta có:
pm =

n≥1 nsn

trong đó n chạy trên tất cả các ước của pm . Nếu n > 1 thì n chia hết
cho p. Từ đây suy ra:
s 1 = pm −

n≥2 nsn

cũng chia hết cho p và do đó s1 > 1.
Gọi H là tập hợp tất cả các phần tử x ∈ G thỏa mãn điều kiện
x = zxz −1 với mọi z ∈ G, tức là các phần tử chỉ liên hợp với chính nó.
Dễ thấy rằng H là ước chuẩn của abel của G. Do |h| = s1 nên |h| = pt
với t > 0. Khi đó:
20


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lý Văn Hoàng

|G/H| = [G : H] =

|G|

= pm−t < pm .
|H|

Dùng quy nạp theo m ta có giả thiết G/H là nhóm giải được.
Xét một chuỗi các nhóm con:
G/U = G0 ⊇ G1 ... ⊇ Gn = {eG/U },
trong đó, Gi là ước chuẩn của Gi−1 và

Gi−1
là nhóm abel với mọi
Gi

i = 1, ..., n. Đặt:
Gi := x ∈ G|xH ∈ Gi .
Ta thấy Gi /K = Gi . Theo định lí đẳng cấu nhóm thì Gi là ước chuẩn
của Gi−1 và
Gi−1 /Gi ∼
= Gi−1 /Gi .
Vì vậy, ta có chuỗi các nhóm con
G = G0 ⊇ G1 ... ⊇ Gn = U ⊇ Gn+1 = {eG },
Trong đó Gi là ước chuẩn của Gi−1 và Gi−1 /Gi là nhóm abel với mọi
i = 1, ..., n + 1.
Vậy ta đươc điều phải chứng minh.
Từ định lí 2.8 và 2.10 ta nhận được kết quả như sau:
Hệ quả 2.1. Cho E là một trường phân rã trên U. Nếu [E:U] là lũy
thừa của một số nguyên tố p thì E(εp ) là mở rộng căn bậc p của U.
Chứng minh. Ví dụ: Xét trường E:= Q(ε) với ε = ε5 . Ta sẽ đặt:
f := X 4 + X 3 + X 2 + X + 1. Mà X 5 − 1 = (X − 1)f nên do đó E là
trường phân rã của f và f = (X − ε)(X − ε2 )(X − ε3 )(X − ε4 ).
21