DAP AN LY THUYET SO ĐỀ THI HỌC PHẦN LẦN 1

TRNG CSP TUYấN QUANG
Khoa t nhiờn
s 01

ỏp ỏn - thi hc phn
Mụn: Lý thuyt s
Lp :Toỏn Lý K16
Hc k II; nm hc 2008-2009
Thi gian: 90 phỳt.
Cõu ỏp ỏn Cho
im
1
(3,0)
a) CMR: Tổng lập phơng của 3 số nguyên liên tiếp luôn
chia hết cho 9.
Giải
Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lợt là: n - 1 , n , n+1
Ta có: A = (n - 1)
3
+ n
3
+ (n + 1)
3
= 3n
3
- 3n + 18n + 9n
2
+ 9
= 3(n - 1)n (n+1) + 9(n
2
+ 1) + 18n

Ta thấy (n - 1)n (n + 1) 3 (CM Ví dụ 1)
3(n - 1)n (n + 1) 9
mà



+
918
9)1(9
2


n
n
A 9 (ĐPCM)
1,5
c) Chng minh rng
1172
14
2

+
+
n
với n N
Ta có: 2
4
6 (mod) 2
4n+1
2 (mod 10)

2
4n+1
= 10q + 2 (q N)

2102
22
14
+
=
+
q
n
Theo định lý Fermat ta có: 2
10
1 (mod 11)
2
10q
1 (mod 11)
7272
2102
14
+=+
+
+
q
n
4+7 (mod 11) 0 (mod 11)
Vậy
1172
14

2

+
+
n
với n N (ĐPCM)
1,5
1. Chng minh rng
( )
1728
1 0 d1729n mo

vi mi s
nguyờn dng n.
Ta chỳ ý
19.13.71729
=
v 7, 13, 19 u l cỏc s
nguyờn t nờn theo nh lý Fermat nh, ta cú
)19(mod1;)13(mod1;)7(mod1
18126

nnn
. Do ú
).19(mod1)(;)13(mod1)(;)7(mod1)(
9618172814412172828861728
==
nnnnnn

1,0

2
Vì 7, 13, 19 đôi một nguyên tố cùng nhau nên sử dụng
tính chất 9 của đồng dư ta có
)1729(mod1
1728
≡
n
1,0 đ
2) Chứng minh rằng với mọi a, n
*
N∈ thì
( )
1
, 1 , 1
1
m
a
UCLN a UCLN m a
a
 
−
− = −
 ÷
−
 
Ta có
( )
( )
( )
1

1
1
1 ... 1
1
1 1
... 1
1 ... 1 1 1
1
m
m
m
m
a a a
a
a a
a a
a a m
a M m
−
−
−
− + + +
−
=
− −
= + + +
= − + + − + − +
= − +
Vậy
( )

1
, 1 , 1
1
m
a
UCLN a UCLN m a
a
 
−
− = −
 ÷
−
 
1,0 đ
1,0 đ
3
(3,0đ)
a) Chứng minh rằng với d là một số nguyên dương
và x là một số thực tùy ý ta có
[ ]
x
x
d d
 
 
=
 
 
 
 

Đặt m =
x
d
 
 
 
. Khi đó
( )
[ ]
( )
[ ]
[ ]
1
d 1
d 1
1
x
m m
d
m x m d
m x m d
x
m m
d
x
m
d
≤ < +
⇒ ≤ < +
⇒ ≤ < +

⇒ ≤ < +
 
⇒ =
 
 
1,5 đ
b) Giải hệ phương trình đồng dư :

( )
( )
( )
2x+11 0 d9
3x 11 0 d10
4x-3 0 d5
mo
mo
mo
≡

− ≡


≡

Đáp số :
( )
x 17 d90mo≡
1,0 đ