CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM HỢP
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (895.56 KB, 13 trang )
CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM HỢP
1.
Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị hàm số y = f (x) như hình bên. Hàm số
g (x) = f (3 − 2x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
′
A. (0; 2).
Ta có g
′
B. (1; 3).
(x) = −2f
′
C. (−∞; −1).
D. (−1; +∞).
(3 − 2x) .
Cách 1. Dựa vào đồ thị, suy ra f
′
(x) > 0 ⇔ [
−2 < x < 2
.
x > 5
Xét g
′
(x) < 0 ⇔ f
′
(3 − 2x) > 0 ⇔ [
−2 < 3 − 2x < 2
1
2
⇔
3 − 2x > 5
< x <
Cách 2. Ta có g
(x) = 0 ⇔ f
′
(3 − 2x) = 0 ⇔
2
.→
đáp án C.
x < −1
x =
3 − 2x = −2
′
5
⇔
3 − 2x = 2
3 − 2x = 5
5
2
x = −1 .
x =
1
2
Ta có trục xét dấu của g (x).
′
Dựa vào trục xét dấu của g (x) và đối chiếu với các đáp án→đáp án C.
Chú ý. Dấu của g (x) được xác định như sau.
′
′
“Ví dụ ta chọn x = 3 ∈ (
Khi đó g
2.
′
(3) = −2f
′
′
theo do thi f (x)
5
; +∞) ⇒ 3 − 2x = −3 −
−
−
−
−
−
−
−
−
→ f
2
(−3) > 0.
Do nghiệm của g
′
(x)
′
(3 − 2x) = f
′
(−3) < 0.
là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu”.
Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị hàm số y = f (x) như hình bên. Hàm số
g (x) = f (1 − 2x) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau
′
A. (−1; 0).
B. (−∞; 0).
C. (0; 1).
D. (1; +∞).
1 − 2x = −1
Ta có g
′
(x) = 0 ⇔ −2f
′
(1 − 2x) = 0 ⇔
1 − 2x = 1
x = 1
⇔
x = 0
1 − 2x = 2
1 − 2x = 4 (nghiem kep)
x = −
.
1
2
Ta có trục xét dấu của g (x).
Dựa vào trục xét dấu của g (x) và đối chiếu với các đáp án→đáp án D.
Chú ý. Dấu của g (x) được xác định như sau. “Ví dụ chọn x = 2 ∈ (1; +∞) , suy ra 1 − 2x = −3
′
′
′
Trang 1/13
′
theo do thi f (x)
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→ f
′
(1 − 2x) = f
Nhận thấy các nghiệm
3.
′
(−3) < 0.
1
x = − ;x = 0
2
Khi đó g
′
(2) = −2f
và x = 1 của g
′
(x)
′
(−3) > 0.
là các nghiệm đơn nên qua nó đổi dấu”
Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị hàm số y = f (x) như hình bên. Hỏi hàm số g (x) = f (x
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
′
B. (−2; −1).
A. (−∞; −2).
2
)
C. (−1; 0).
D. (1; 2).
x = 0
Ta có g
′
2
(x) = 2xf (x ) ,
khi đó. g
′
x = 0
(x) = 0 ⇔ [
f
′
2
(x ) = 0
⇔
x
x
x
2
2
2
= −1
x = 0
⇔
= 1
x = ±1
x = ±2
= 4
Ta có trục xét dấu của g (x).
′
Dựa vào trục xét dấu của g (x) và đối chiếu với các đáp án→đáp án B.
′
4.
Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị hàm số y = f (x) như hình bên. Đồ thị hàm số g (x) = f (x
đồng biến trong khoảng nào trong các khoảng sau đây?
′
A. (−∞; −1).
B. (−1; 1).
C. (1; +∞).
x
Ta có. g
′
2
(x) = 3x f
′
3
(x ) ,
khi đó. g
′
(x) = 0 ⇔
x
f
2
′
= 0
⇔
3
(x ) = 0
x
x
x
2
3
3
3
3
)
D. (0; 1).
= 0
= 0
= −1
⇔ [
x = 0
.
x = ±1
= 1
Ta có trục xét dấu của g (x).
′
Dựa vào trục xét dấu của g (x) và đối chiếu với các đáp án→đáp án C.
′
5.
Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị hàm số g (x) = 2 (x − 1) f
Đặt g (x) = f (x − 2) . Mệnh đề nào dưới đây sai ?
′
′
(x
2
− 2x + 2)
như hình bên.
2
A. Hàm số g (x) đồng biến trên khoảng (
3
; 3)
2
.
C. Hàm số g (x) nghịch biến trên khoảng (−1; 0).
Ta có g
Khi đó.
′
(x) = 2xf
′
(x
2
− 2)
B. Hàm số g (x) nghịch biến trên khoảng (0; 2).
D. Hàm số g (x) nghịch biến trên khoảng (−1; 1).
;
Trang 2/13
x = 0
x = 0
′
g (x) = 0 ⇔ [
f
′
(x
2
− 2) = 0
⇔
x
x
2
2
− 2 = −1 (nghiem kep - loai)
⇔ [
x = 0
.
x = ±2
− 2 = 2
Ta có trục xét dấu của g (x).
′
Dựa vào trục xét dấu của g (x) và đối chiếu với các đáp án→đáp án C.
′
6.
Cho hàm số g (x) = f (x − 5). Đồ thị hàm số y = f (x) như hình bên. Hỏi hàm
số g (x) = f (x − 5) có bao nhiêu khoảng nghịch biến?
′
2
2
A. 4.
B. 3.
Ta có. g (x) = x. f
′
′
(x
2
− 5)
C. 2.
.
x = 0
Khi đó. g
′
x = 0
(x) = 0 ⇔ [
f
′
D. 5.
(x
2
x
⇔
− 5) = 0
x
x
2
2
2
x = 0
− 5 = −4
⇔
x = ±1
− 5 = −1
x = ±2
− 5 = 2
x = ±√7
.
Ta có trục xét dấu của g (x).
′
Dựa vào trục xét dấu của g (x) và đối chiếu với các đáp án→đáp ánA.
′
7.
Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị hàm số y = f (x) như hình vẽ bên và
f (−2) = f (2) = 0. Hàm số g (x) = [f (x)] nghịch biến trên khoảng nào trong
các khoảng sau?
′
2
A. (−1;
3
)
2
.
B. (−2; −1).
Dựa vào đồ thị hàm số y = f
′
(x) ,
suy ra bảng biến thiên của hàm số f (x) như sau.
Từ bảng biến thiên suy ra. f (x) ≤ 0, ∀x ∈ R
Ta có. g
′
(x) = 2f
′
(x) . f (x)
D. (1; 2).
C. (−1; 1).
, khi đó. g
′
(∗)
.
(x) < 0 ⇔ f
′
(∗)
(x) . f (x) < 0 ⟷ f
′
(x) > 0 ⇔ [
x < −2
.
1 < x < 2
→
đáp án D.
Trang 3/13
8. Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị hàm số g (x) = f (x − 2) + 2 như hình vẽ bên. Hàm số
y = f (x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
′
B. (
A. (−1; 1) .
Dựa vào đồ thị ta có. f
′
3 5
;
)
2 2
.
C. (−∞; 2) .
(x − 2) + 2 < 2 ⇔ 1 < x < 3 (∗)
D. (2; +∞) .
.
Đặt t = x − 2 , khi đó (∗) có dạng. f (t) + 2 < 2 ⇔ 1 < t + 2 < 3 hay f
Vậy f (x) < 0 ⇔ −1 < x < 1 →đáp ánA.
′
′
(t) < 0 ⇔ −1 < t < 1
.
′
9.
Cho hàm số f (x) có đạo hàm f
′
(x) = x
2
− 2x
x
) + 4x
2
với mọi x ∈ R. Hàm số g (x) = f (1 −
khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. (−∞; −6) .
B. (6; +∞) .
đồng biến trên
D. (−6; 6) .
C. (−5; 10) .
2
Ta có. g
′
(x) = −
1
x
1
x 2
x
9
x
f (1 −
) + 4 = − [(1 −
) − 2 (1 −
)] + 4 =
−
.
2
2
2
2
2
2
8
Khi đó. g (x) > 0 ⇔
′
9
2
x
−
2
8
> 0 ⇔ x
10. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f
khoảng nào trong các khoảng sau ?
′
đáp án D.
< 36 ⇔ −6 < x < 6 →
(x) = x
2
(x − 9) (x − 4)
B. (−3; 0).
A. (0; 2).
Ta có. g
′
2
2
(x) = 2xf (x ) = 2x
5
(x
2
− 9) (x
2
với mọi x ∈ R . Hàm số g (x) = f (x
C. (2; 3).
2
2
− 4)
2
)
đồng biến trên
D. (−∞; −3).
.
x = 0
Khi đó. g
′
(x) = 0 ⇔ 2x
5
(x
2
− 9) (x
2
2
− 4)
= 0 ⇔
x = ±3
x = ±2
.
(nghiem kep − loai)
Ta có trục xét dấu của g (x).
′
Dựa vào trục xét dấu của g (x) và đối chiếu với các đáp án→đáp án B.
′
11. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = (x − 1) (x
đồng biến của hàm số g (x) = f (x − 2x + 2)?
2
′
2
− 2x)
với mọi x ∈ R. Hỏi số thực nào dưới đây thuộc khoảng
2
3
5
B. −1.
A. .
C. − .
2
Ta có. g
′
(x) = 2 (x − 1) f
= 2 (x − 1) [(x
= 2(x − 1)
D. 4.
2
5
2
′
(x
2
− 2x + 2)
2
− 2x + 2 − 1)
[(x − 1)
4
− 1]
((x
2
2
− 2x + 2)
− 2 (x
2
− 2x + 2))]
.
x = 1
Khi đó. g (x) = 0 ⇔
′
x = 0
.
x = 2
Ta có trục xét dấu của g (x).
′
Dựa vào trục xét dấu của g (x), suy ra hàm số g(x) đồng biến trên các khoảng (0; 1) , (2; +∞) .
Vậy số 4 thuộc khoảng đồng biến của hàm số g (x)→đáp án D.
′
Trang 4/13
12. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = (x − 1) (x − 2x) với mọi x ∈ R. Có bao nhiêu số nguyên m < 100 để hàm
số g (x) = f (x − 8x + m) đồng biến trên khoảng (4; +∞)?
′
2
2
2
A. 18.
Ta có. f
′
B. 81.
(x) = (x − 1)
2
(x
2
C. 82.
− 2x) > 0 ⇔ [
x < 0
(∗)
D. 83.
.
x > 2
Xét g
′
′
(x) = (2x − 8) . f
(x
2
− 8x + m) .
Để hàm số g (x) đồng biến trên khoảng (4; +∞) khi và chỉ khi.
′
g (x) ≥ 0, ∀x > 4⇔ (2x − 8) . f
⇔ f
′
(x
′
(x
2
− 8x + m) ≥ 0, ∀x > 4
(∗)
2
− 8x + m) ≥ 0, ∀x > 4 ⟷ [
x
x
2
2
− 8x + m ≤ 0, ∀x ∈ (4; +∞)
− 8x + m ≥ 2, ∀x ∈ (4; +∞)
m ≤ min h(x) = +∞ (khong ton tai)
m ≤ −x
⇔ [
m ≥ −x
2
2
+ 8x = h(x), ∀x ∈ (4; +∞)
[4;+∞)
⇔ m ≥ 18
⇔
.
m ≥ max l(x) = 18
+ 8x + 2 = l(x), ∀x ∈ (4; +∞)
[4;+∞)
m∈Z
Vậy 18 ≤ m < 100 −−−→ m ∈ {18; 19; . . . ; 99}. có 99 − 18 + 1 = 82 số nguyên m thỏa mãn
→đáp án C.
13. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = x(x − 1) (x + mx + 9) với mọi x ∈ R. Có bao nhiêu số nguyên dương
m để hàm số g (x) = f (3 − x) đồng biến trên khoảng (3; +∞)?
2
′
A. 5.
Ta có. g
′
2
B. 6.
(x) = −f
′
(3 − x) = − (3 − x) (2 − x)
Khi đó yêu cầu bài toán tương đương g
⇔ (3 − x) (2 − x)
(x − 3)
⇔ m ≤
2
2
[(3 − x)
2
′
2
[(3 − x)
2
D. 8.
+ m (3 − x) + 9]
.
(x) ≥ 0, ∀x ∈ (3; +∞)
+ m (3 − x) + 9] ≤ 0, ∀x ∈ (3; +∞)
+ 9
= h(x), ∀x ∈ (3; +∞) ⇔ m ≤
x − 3
Ta có. h (x) =
C. 7.
min
h (x)
.
.
(3;+∞)
(x − 3)
2
+ 9
9
= (x − 3) +
x − 3
≥ 2√(x − 3) .
x − 3
9
x − 3
= 6 ⇒ m ≤
min
h (x) = 6
.
(3;+∞)
Do m ∈ Z∗ ⇒ m ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6} →đáp án B.
14. Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị hàm số y = f
g (x) = f (x − 3).
′
(x)
như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số
2
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Ta có. g
′
(x) = 2xf
Khi đó. g
′
′
(x
2
− 3)
.
x = 0
x = 0
(x) = 0 ⇔ [
f
′
(x
2
− 3) = 0
⇔
x
x
2
2
⇔ [
− 3 = −2
x = 0
.
x = ±1
− 3 = 1 (nghiem kep)
Do x ∈ {0; −1; 1} đều là các nghiệm đơn (hoặc bội lẻ) của g (x) = 0.
Suy ra hàm số có 3 điểm cực trị→đáp án B.
Chú ý. Nếu cần đếm số cực đại, cực tiểu thì ta cần thêm một bước xét dấu của g (x).
′
′
Ta có trục xét dấu của g (x).
′
Dựa vào trục xét dấu của g (x) suy ra hàm số có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại.
′
Trang 5/13
15. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R và có bảng xét dấu của y = f
bên. Hỏi hàm số g (x) = f (x − 2x) có bao nhiêu điểm cực tiểu?
′
(x)
2
A. 1.
Ta có. g
′
B. 2.
(x) = (2x − 2) f
′
(x
2
− 2x)
C. 3.
D. 4.
.
x = 1
Khi đó. g
′
2x − 2 = 0
(x) = 0 ⇔ [
f
′
(x
2
− 2x) = 0
⇔
x
x
x
2
2
2
x = 1
− 2x = −2
⇔
− 2x = 1 (nghiem kep)
x = −1 .
.
x = 3
− 2x = 3
Ta có trục xét dấu của g (x).
′
Dựa vào trục xét dấu của g (x) suy ra hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu→đáp ánA.
′
16. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f
cực trị của hàm số g (x) = f (x − 2017) − 2018x + 2019 là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Ta có. g
′
(x) = f
′
′
(x − 2017) − 2018; g (x) = 0 ⇔ f
′
Dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) suy ra phương trình f
g (x) có 1 điểm cực trị→đáp ánA.
′
g (x) = f (x) −
(x)
như hình vẽ bên. Số điểm
(x − 2017) = 2018.
′
(x − 2017) = 2018
17. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f
x
′
′
(x)
có 1 nghiệm đơn duy nhất. Suy ra hàm số
như hình vẽ bên. Hàm số
3
3
+ x
2
− x + 2
đạt cực đại tại
A. x = −1 .
B. x = 0 .
C. x = 1 .
D. x = 2 .
2
Ta có. g (x) = f (x) − x + 2x − 1; g (x) 0 ⇔ f (x) = (x − 1)
Số nghiệm của (∗)chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
y = f (x) và parabol y = (x − 1) .
′
′
2
′
′
(∗)
.
2
′
x = 0
Dựa vào đồ thị suy ra. g
′
(x) = 0 ⇔
x = 1
.
x = 2
Ta có trục xét dấu của g (x).
′
Dựa vào trục xét dấu của g (x), suy ra hàm số g(x) đạt cực đại tại x = 1→đáp án C.
′
18.
Trang 6/13
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f
số g (x) = 2f (x) + x đạt cực tiểu tại
′
(x)
như hình vẽ bên. Hàm
2
A. x = −1.
B. x = 0.
C. x = 1.
D. x = 2.
Ta có. g
′
(x) = 2f
′
′
(x) + 2x; g (x) = 0 ⇔ f
′
(x) = −x (∗)
Số nghiệm của (∗)chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
y = f (x) và đường thẳng y = −x.
′
x = −1
Dựa vào đồ thị suy ra. g
′
(x) = 0 ⇔
x = 0
x = 1
x = 2
(loại x = 1; x = 2 vì đều là nghiệm kép (hoặc bội chẵn)).
Ta có trục xét dấu của g (x).
′
Dựa vào trục xét dấu của g (x), suy ra hàm số g(x) đạt cực đại tại x = 0→đáp án B.
′
Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau. “Ví dụ trên khoảng (−∞; −1) ta thấy đồ thị hàm f
đường y = −x nên g (x) mang dấu + ”.
′
(x)
nằm phía trên
′
19. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f
đồ thị hàm số g (x) = f (x) + 3x có bao nhiểu điểm cực trị ?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Ta có. g
′
(x) = f
′
′
(x) + 3; g (x) = 0 ⇔ f
′
′
(x)
như hình vẽ bên dưới. Hỏi
(x) = −3 (∗)
Số nghiệm của (∗)chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
y = f (x) và đường thẳng y = −3.
′
x = −1
Dựa vào đồ thị suy ra. g
′
(x) = 0 ⇔
x = 0
x = 1
x = 2
(loại x = 2 vì là nghiệm kép (hoặc bội chẵn)).
Suy ra phương trình g (x) = 0 có 3 nghiệm đơn (hoặc bội lẻ).
Vậy hàm số g (x) có 3 điểm cực trị →đáp án B.
′
20. Cho hàm số bậc bốn y = f (x) . Đồ thị hàm số y = f
hàm số g (x) = f (√x + 2x + 2) là
′
(x)
như hình vẽ bên. Số điểm cực đại của
2
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Trang 7/13
Ta có. g
′
x + 1
(x) =
f
√x
2
′
( √x
2
+ 2x + 2)
.
+ 2x + 2
x + 1 = 0
Khi đó. g
′
x + 1 = 0
(x) = 0 ⇔
f
′
(√ x
2
⇔
+ 2x + 2) = 0
√x2 + 2x + 2 = −1
x = −1
⇔
√x2 + 2x + 2 = 1
x = −1 + √2 .
x = −1 − √2
√x2 + 2x + 2 = 3
Ta có trục xét dấu của g (x).
′
Dựa vào trục xét dấu của g (x), suy ra hàm số g(x) có 1 cực đại x = −1→đáp ánA.
′
21. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f
bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 1 .
Ta có. g
′
′
(x) = (x + 1) (x − 1)
2
(x − 2) + 1
B. 2 .
(x) = f
′
với mọi x ∈ R. Hàm số g (x) = f (x) − x có
C. 3 .
(x) − 1 = (x + 1) (x − 1)
2
D. 4 .
(x − 2) .
x = −1
Khi đó. g
′
(x) = 0 ⇔ (x + 1) (x − 1)
2
(x − 2) = 0 ⇔
x = 1 (nghiem kep
.
− loai)
x = 2
Do x = −1; x = 2 là các nghiệm đơn, suy ra hàm số g(x) có 2 điểm cực trị →đáp án B.
22. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f
điểm cực đại ?
A. 0.
Ta có. g
′
′
(x) = (x
2
− 1) (x − 4)
B. 1.
(x) = −f
′
với mọi x ∈ R. Hàm số g (x) = f (3 − x) có bao nhiêu
C. 2.
(3 − x) = [(3 − x)
2
D. 3.
− 1] [4 − (3 − x)] = (2 − x) (4 − x) (x + 1)
.
x = −1
Khi đó. g
′
(x) = 0 ⇔ (2 − x) (4 − x) (x + 1) = 0 ⇔
x = 2
.
x = 4
Ta có trục xét dấu của g (x).
′
Dựa vào trục xét dấu của g (x), suy ra hàm số g(x) có 1 cực đại là x = 2→đáp án B.
′
23. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M , m lần lượt là GTLN –
GTNN của hàm số g (x) = f [2 (sin x + cos x)]. Tổng M + m bằng
4
4
B. 4.
A. 3.
C. 5.
D. 6.
2
Ta có. sin
4
4
x + cos x = 1 −
0≤sin 2x≤1
1
2
4
4
sin 2x −
−
−
−
−
−
−
→ 1 ≤ 2 (sin x + cos x) ≤ 2.
2
Dựa vào đồ thị suy ra g (x) = f [2 (sin
4
4
x + cos x)] ∈ [1; 3] ⇒ {
m = 1
đáp án B.
⇒ m + M = 4→
M = 3
Trang 8/13
24. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị như hình bên. Gọi M , m theo thứ tự là GTLN
– GTNN của hàm số y = |f (x) − 2| − 3(f (x) − 2) + 5 trên đoạn [−1; 3] . Tích M . m bằng
3
A. 55.
2
B. 56.
C. 54.
D. 2.
Dựa vào đồ thị ta có, trên [−1; 3] . 1 ≤ f (x) ≤ 7 ⇔ −1 ≤ f (x) − 2 ≤ 5 → 0 ≤ |f (x) − 2| ≤ 5.
Đặt t = |f (x) − 2| với t ∈ [0; 5] . Khi đó. y = t
3
− 3t
2
+ 5 → y
′
= 3t
2
− 6t = 0 ⇔ [
t = 0
.
t = 2
Ta có. y (0) = 5;
y (2) = 1; y (5) = 55.
Suy ra. {
M = 55
đáp ánA.
⇒ M . m = 55. →
m = 1
25. Cho hàm số y = f (x) liên tục, có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Ký hiệu
g (x) = f (2√2x + √1 − x) + m. Tìm điều kiện của tham số m sao cho max g (x) > 2 min
[0;1]
B. m < 3.
A. m > 4.
g (x)
.
[0;1]
C. 0 < m < 5.
D. m < 2.
Đặt t = 2√2x + √1 − x với x ∈ [0; 1].
Ta có t
′
2
1
=
−
√2x
Ta có t(0) = 1;
4√1 − x − √2x
;t
=
2√ 1 − x
t(
′
8
= 0 ⇔ x =
2√2x(1 − x)
8
min t = 1
) = 3; t(1) = 2√2 ⇒ {
9
max t = 3
9
.
Do t = 2√2x + √1 − x liên tục trên đoạn [0; 1], suy ra 1 ≤ t ≤ 3 hay t ∈ [1; 3].
max f (t) = f (3) = 5
Dựa vào đồ thị ta có.
max g (x) = 5 + m
. Khi đó.
[1;3]
min[1;3] f (t) = f (2) = 1
Vậy max
.
[0;1]
min[0;1] g (x) = 1 + m
đáp án B.
g (x) > 2 min g (x) ⇔ 5 + m > 2(1 + m) ⇔ m < 3→
[0;1]
[0;1]
26. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Xét hàm số
g (x) = f (2x + x − 1) + m. Tìm m để max g (x) = −10 .
3
[0;1]
A. m = 3 .
B. m = −12 .
Đặt Đặt t (x) = 2x
3
+ x − 1
với x ∈ [0;
1] .
Ta có t
C. m = −10 .
′
(x) = 6x
2
+ 1 > 0, ∀x ∈ [0; 1]
D. m = −13 .
.
Suy ra hàm số t(x) đồng biến trên [0; 1] ⇒ t ∈ [−1; 2] .
Dựa vào đồ thị ta có. max f (t) = 3 .
[−1; 2]
Khi đó −10 = max
[0;1]
đáp án D.
g (x) = max [f (t) + m] = 3 + m ⇔ m = −13 →
[−1; 2]
Trang 9/13
27. Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị là đường cong hình bên. Đồ thị hàm số g (x) =
x + 2
f (x) + 1
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
Xét phương trình. f (x) + 1 = 0 ⇔ f (x) = −1 (∗) .
Nghiệm của (∗) chính là hoành độ giao điểm của đồ thị y = f (x) và đường thẳng y = −1 .
Dựa vào đồ thị ta có (∗) có 3 nghiệm phân biệt và các nghiệm này đều khác −2 .
Suy ra đồ thị g(x) có 3 đường tiệm cận đứng→đáp án D.
28. Cho hàm trùng phương y = f (x) có đồ thị là đường cong hình bên. Đồ thị hàm số
2018x
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
g (x) =
f (x) [f (x) − 1]
A. 3 .
B. 6 .
C. 9 .
Xét phương trình. f (x) [f (x) − 1] = 0 ⇔ [
D. 8 .
f (x) = 0
f (x) = 1
Do đồ thị y = f (x) cắt trục hoành (y = 0) và đường thẳng y = 1 đều tại 4 điểm phân
biệt (khác 0) nên (∗) có 8 nghiệm phân biệt khác 0, nghĩa là đồ thị g(x) có 8 đường
tiệm cận đứng.
Mặt khác f (x) là hàm trùng phương nên g(x) có bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu, suy ra y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị
.
Vậy đồ thị g(x) có tất cả. 8 + 1 = 9 đường tiệm cận→đáp án C.
g(x)
29. Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị là đường cong hình bên. Đồ thị hàm số
x
g (x) =
f
2
2
− 1
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
(x) − 4f (x)
A. 2.
B. 3.
Xét phương trình. f
2
C. 4.
f (x) = 0
(x) − 4f (x) = 0 ⇔ [
1
+) (2) có nghiệm x
3
= −1
(1)
f (x) = 4
Dựa vào đồ thị, ta có.
+) (1) có nghiệm x = a < −1 (nghiệm đơn) và x
(nghiệm kép) và x
4
2
D. 5.
(2)
= 1
= b > 1
.
(nghiệm kép).
(nghiệm đơn).
Do đó.
x
2
(x − 1) (x + 1)
− 1
g (x) =
=
f (x) [f (x) − 4]
2
(x − a) (x − 1) . (x + 1)
1
2
=
(x − b)
.
(x − a) (x − 1) . (x + 1) (x − b)
Suy ra đồ thị g(x) có 4 đường tiệm cận x = a; x = ±1; x = b→đáp án C.
30. Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị là đường cong hình bên. Đồ thị hàm số
(x
2
− 3x + 2) √x − 1
g (x) =
x [f
2
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
(x) − f (x)]
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Trang 10/13
Điều kiện để √x − 1 có nghĩa là x ≥ 1.
Xét phương trình. f
2
f (x) = 0
(x) − f (x) = 0 ⇔ [
+) (1) có nghiệm x
1
= a < 1 (loa¨
i i)
+) (2) có nghiệm x
3
= 1
và x
4
f (x) = 1
và x
2
= 2
(1)
(2)
.
(nghiệm kép).
;
= b ∈ (1; 2) x5 = c > 2
đều là các nghiệm đơn.
(x − 1) (x − 2) √x − 1
Do đó. g (x) =
√x − 1
.
=
2
x (x − a) (x − 2) (x − c) (x − d)
x. (x − a) (x − 2) . (x − 1) (x − c) (x − d)
Với điều kiện x ≥ 1 thì ta có 3 tiệm cận đứng là. x = 2; x = b; x = c →đáp án B.
31. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình bên. Tìm tất cả các
1
số thực m để đồ thị hàm số g (x) =
có ba đường tiệm cận đứng.
f (x) − m
B. m = −5 .
A. m < −5 .
1
Để đồ thị hàm số g (x) =
C. −5 < m < 4 .
D. −5 ≤ m < 4.
có ba tiệm cận đứng thì phương trình f (x) − m = 0 có ba nghiệm phân biệt.
f (x) − m
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra. m = −5→đáp án B.
32. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f (√f (x) + m) = x
3
f (x) = x
5
+ 3x
3
− 4m
3
B. 16 .
Đặt y = √f (x) + m ⇒ y
3
3
Theo bài ra ta có. f (y) = x
Lấy (1) + (2) ta được.
C. 17 .
+ f (y) = x
Ta có g
′
3
(x) = 5x
+ 6x
biết
= f (x) + m. (1)
3
− m
. (2)
+ f (x) ⇔ y = x −
→ x
4
2]
D. 18 .
(1)
3
có nghiệm ∀x ∈ [1;
.
A. 15 .
y
− m
2
≥ 0
3
= f (x) + m ⇔ 3m = x
nên g (x) đồng biến trên [1;
2]
5
+ 2x
3
= g (x)
.
.
m∈Z
Vậy yêu cầu bài toán tương đương. g (1) ≤ 3m ≤ g (2) ⇔ 1 ≤ m ≤ 16 −−−→ m ∈ {1; 2; . . . ; 16}
→đáp án B.
33. Cho hàm số y = f (x) = x
[f (x)]
3
− 6[f (x)]
2
có đồ thị như hình vẽ. Phương trình
+ 9f (x) − 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm
3
− 6x
2
+ 9x − 3
B. 5 .
A. 3 .
C. 7 .
D. 9 .
Dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) , ta suy ra phương trình.
[f (x)]
3
− 6[f (x)]
2
+ 9f (x) − 3 = 0 ⇔
f (x) = a (0 < a < 1)
(1)
f (x) = b (1 < b < 2)
(2) .
f (x) = c (3 < c < 4)
(3)
+, (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (C) : y = f (x) với đường thẳng d
0 < a < 1 , ta thấy d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt hay (1) có 3 nghiệm phân biệt.
1
: y = a
với
2
: y = b
với 1 < b < 2
3
: y = c
với 3 < c < 4
1
+, (2) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (C) : y = f (x) với đường thẳng d
, ta thấy d cắt (C) tại 1 điểm hay (2) có 1 nghiệm.
+, (3) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (C) : y = f (x) với đường thẳng d
, ta thấy d cắt (C) tại 1 điểm hay (3) có 1 nghiệm.
2
3
Vậy phương trình đã cho có tất cả 5 nghiệm→đáp án B.
Trang 11/13
34. Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình f [f (x)] = 0 có bao nhiêu
nghiệm thực phân biệt ?
A. 2 .
B. 3 .
D. 9 .
C. 8 .
Dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) , ta suy ra phương trình.
f [f (x)] = 0 ⇔
f (x) = a (−2 < a < −1)
(1)
f (x) = b (0 < b < 1)
(2) .
f (x) = c (1 < c < 2)
(3)
Tương tự như Bài 33, dựa vào đồ thị ta thấy mỗi phương trình (1), (2), (3) đều có 3 nghiệm phân biệt (và các nghiệm
giữa các phương trình không trùng nhau).
Vậy phương trình đã cho có 9 nghiệm→đáp án D.
35. Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi m là số nghiệm thực của phương
trình f [f (x)] = 1. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. m = 3 .
B. m = 5 .
C. m = 6 .
D. m = 7 .
t = a (−1 < a < 0)
Đặt t = f (x) . Dựa vào đồ thị, ta có f (t) = 1 ⇔
t = b (0 < b < 1)
.
t = c (c > 2)
• Phương trình t = a, suy ra f (x) = a (−1 < a < 0) có 3 nghiệm phân biệt.
• Phương trình t = b, suy ra f (x) = b (0 < b < 1) có 3 nghiệm phân biệt.
• Phương trình t = c, suy ra f (x) = c (c > 2) có 1 nghiệm.
Vậy phương trình có tất cả 7 nghiệm hay m = 7 →đáp án D.
36. Cho hàm số f (x) = x
3
− 3x
f [f (x)]
3f
2
= 1
2
+ 4
có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi phương trình
có bao nhiêu nghiệm thực ?
(x) − 5f (x) + 4
A. 4 .
B. 5 .
f [f (x)]
Ta có
3f
2
= 1 ⇔ f
3
C. 6 .
(x) − 3f
2
⇔ f
2
(x) − 5f (x) + 4
(x) − 5f (x) + 4
f (x) = 0
3
(x) + 4 = 3f
D. 7 .
(x) − 6f
2
(x) + 5f (x) = 0 ⇔
(1)
f (x) = 1 (2) .
f (x) = 5
(3)
Dựa vào đồ thị ta thấy (1) có 2 nghiệm ; (2) có 3 nghiệm; (3) có 1 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có tổng cộng 6 nghiệm→đáp án C.
37.
Trang 12/13
Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị hàm số như hình vẽ bên. Tìm số nghiệm thực của phương
trình f (√−x
2
+ 4x − 3) = −2
.
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
√−x2 + 4x − 3 = a < 0 (loa¨
i i)
Từ đồ thị của hàm số, ta có f (√−x
2
+ 4x − 3) = −2 ⇔
√−x
• √−x
2
• √−x
2
.
√−x2 + 4x − 3 = 1
2
+ 4x − 3 = b ∈ (2; 3)
+ 4x − 3 = 1 ⇔ x = 2.
+ 4x − 3 = b ⇔ x
Vậy phương trình f (√−x
2
2
− 4x + 3 + b
2
= 0
+ 4x − 3) = −2
có Δ
′
2
= 4 − (3 + b ) = 1 − b
2
< 0, ∀b ∈ (2; 3) .
có đúng 1 nghiệm →đáp ánA.
38. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m để phương trình f (x − 2x) = m có đúng 4 nghiệm thực phân biệt
2
thuộc đoạn [−
3 7
;
]
2 2
?
B. 2.
A. 1.
Đặt t = x
Ta có t
′
2
− 2x
với x ∈ [−
= 2x − 2; t
′
3 7
;
]
2 2
C. 3.
D. 4.
.
= 0 ⇔ x = 1
Khi đó ta có bảng biến thiên.
Từ bảng biến thiên, suy ra.
+) Cứ một nghiệm t ∈ (−1;
21
]
4
sẽ cho hai nghiệm x.
+) Với t = −1 sẽ cho một nghiệm x = 1.
Do đó để phương trình f (x
2
− 2x) = m
. Dựa vào đồ thị y = f (x), suy ra. [
có đúng 4 nghiệm ⇔ f (t) = m có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc (−1;
2 < m < 4
m∈Z
21
]
4
đáp án B.
−
−
−
→ m ∈ {3; 5} →
m = 5
Trang 13/13
