Một số phương pháp giải PT chứa ẩn ở mẫu

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẨU
I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
1. Phân tích hoặc nhóm các phân thức:
a) Ví dụ 1 : Giải phương trình
24
3
7017
1
2811
1
45
1
222
−
=
++
+
++
+
++
xxxxxxx
Lời giải: ĐK: x






−−−−≠

2
1
;1;4;7;10
.
Với ĐK trên thì phương trình đã cho tương đương với

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
24
3
10.7
1
7.4
1
4.1
1
−
=
++
+
++
+
++
xxxxxxx

24
3
10
1
7
1

.
3
1
7
1
4
1
.
3
1
4
1
1
1
.
3
1
−
=






+
−
+
+







+
−
+
+






+
−
+
⇔
xxxxxxx

24
3
10
1
1
1
.
3
1

−
=






+
−
+
⇔
xxx

107
2
−=⇔=+⇔
xxx
hoặc x = -4.
Đối chiếu với ĐK ta có phương trình đã ch có nghiệm duy nhất x = -3.
b) Ví dụ 2 : Giải phương trình

4
4
4
3
3
2
2
1

1
=
−
+
+
+
−
+
+
−
+
−
+
x
x
x
x
x
x
x
x
Lời giải: ĐK:
{ }
4;1;2;3
−−≠
x
.
Với ĐK trên phương trình đã cho tương đương với:

4

4
8
1
3
6
1
2
4
1
1
2
1
=
−
++
+
−+
+
−+
−
+
xxxx

0
3
3
2
2
4
4

1
1
=






+
+
+
−






−
+
−
⇔
xxxx

( ) ( ) ( ) ( )
0
3.2
125
4.1

85
=
++
+
−
−−
−
⇔
xx
x
xx
x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
04.1.1253.2.85
=−−+−++−⇔
xxxxxx

0
5
16
2
=−+⇔
xx










−−=⇔
5
69
1.
2
1
x
hoặc








+−=
5
69
1.
2
1
x
Đối chiếu điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm:










−−=
5
69
1.
2
1
x
và








+−=
5
69
1.
2
1
x
.

c) Ví dụ 3 : Giải phương trình:

.
52011
1
42010
1
22009
1
12008
1
+
−
+
=
+
−
+
xxxx
NGUYỄN ĐĂNG ÁNH - TRƯỜNG THCS CỬA TÙNG
1
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
Lời giải: ĐK:
.
2011
5
;
2010
4
;

2009
2
;
2008
1






−−−−≠
x
Với ĐK trên, phương trình đã cho tương đương với:
.
42010
1
22009
1
52011
1
12008
1
+
+
+
=
+
+
+

xxxx
( ) ( ) ( ) ( )
42010.22009
64019
52011.12008
64019
++
+
=
++
+
⇔
xx
x
xx
x
064019
=+⇔
x
hoặc
( ) ( ) ( ) ( )
42010.22009
1
52011.12008
1
++
=
++
xxxx
064019

=+⇔
x
hoặc
( ) ( ) ( ) ( )
042010.2200952011.12008
=++−++
xxxx
064019
=+⇔
x
hoặc
0352
2
=++
xx
4019
6
−=⇔
x
hoặc
2
3
;1
=−=
xx
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm
4019
6
−=
x

;
2
3
;1
=−=
xx
2. Đưa về phương trình bậc cao giải được
a) Ví dụ 4: Giải phương trình:
6
23
.13
253
.2
22
=
++
+
+−
xx
x
xx
x
Lời giải: ĐK






≠

3
2
;1x
. Với ĐK trên phương trình đã cho tương đương với
2x.(3x
2
+x+2) + 13x.(3x
2
-5x+2) = 6.(3x
2
-5x+2).(3x
2
+x+2)
⇔
54.x
4
- 117.x
3
+ 105.x
2
- 78.x + 24 = 0.
⇔
(2x – 1).(3x – 4).(9x
2
– 3x + 6) = 0.
⇔
x =
2
1
hoặc x =

4
3
.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm : x =
2
1
v à x =
4
3
.
b) Ví dụ 5: Giải phương trình:
x
xx
2
1
1
1
1
1
=
+
−
−
Lời giải. ĐK : x > 0 và x
≠
1.
Với ĐK trên phương trình đã cho tương đương với

x
x

2
1
1
2
2
=
−
(1)
+) Nếu 0 < x < 1 thì vế trái của (1) là số âm, trong khi vế phải là số dương
( (mâu thuẩn). Vậy phương trình không có nghiệm trong khoảng (0 ; 1).
+) Nếu x > 1 thì hai vế của phương trình (1) đều dương, bình phương hai vế
ta được :
x
4
– 2x
2
– 16x + 1 = 0
⇔
(x
2
+ 3)
2
– 8(x + 1)
2
= 0
⇔
(x
2
- 2
2

x + 3 - 2
2
).( x
2
+ 2
2
x + 3 + 2
2
) = 0.
Kết hợp với ĐK x > 1 ta có x =
.1222
−+
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
1. Đặt một ẩn phụ :
NGUYỄN ĐĂNG ÁNH - TRƯỜNG THCS CỬA TÙNG
2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
a) Ví dụ 6 : Giải phương trình :
.3
13
23
24
=
−+
++
xxx
xx
Lời giải : ĐK :
2
51

;0
±−
≠≠
xx
.
Chia cả tử số và mẫu số ở vế trái cho x
2
rồi rút gọn ta được.
0
1
1
3
1
2
2
=
+−
++
x
x
x
x
. Đặt
x
xt
1
−=
, phương trình trên trở thành :
02.33
1

5
2
2
=+−⇔=
+
+
tt
t
t
⇔
t =1 hoặc t = 2.
+) Với t = 1, ta có :
2
51
011
1
2
±
=⇔=−−⇔=−
xxx
x
x
.
+) Với t = 2, ta có :
2
1
=−
x
x
⇔

21012
2
±=⇔=+−
xxx
.
Kết luận : Phương trình đã cho có 4 nghiệm là :
2
51
±
=
x
và
21
±=
x
.
b) Ví dụ 7 : Giải phương trình :
xxxxx
6
123
13
143
2
22
=
++
+
+−
.
Lời giải : ĐK

1,0
≠≠
xx
và
3
1
≠
x
.
Với ĐK trên phương trình đã cho tương đương với :
6
1
23
13
1
43
2
=
++
+
+−
x
x
x
x
. Đặt t =
4
1
3
−+

x
x
, phương trình trở thành.
6
6
132
=
+
+
tt
⇔
2t
2
+ 7t – 4 = 0
⇔
t =
2
1
hoặc t = -4.
+) V ới t =
2
1
, ta có :
4
1
3
−+
x
x
=

2
1
⇔
6x
2
– 11x + 4 = 0
⇔
x =
3
4
hoặc x =
2
1
.
+) Với t = -4, ta có :
4
1
3
−+
x
x
= -4
⇔
3x
2
+ 1 = 0. Phương trình này không có nghiệm thực.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm : x =
3
4
v à x =

2
1
.
d) Ví dụ 8 . Giải phwơng trình :
( )
15
1
11
2
2
=
+
+
x
x
.
Lời giải : ĐK
0
≠
x
và
1
−≠
x
. Phương trình đã cho tương đương với :
( )
( )
( ) ( )
15
1.

2
1.
1
15
1.
1
2
2
2
2
2
=
+
+








+
⇔=
+
++
xxxx
xx
xx
.

Đặt t =
)1.(
1
+
xx
, phương trình trở thành
t
2
+2t – 15 = 0
⇔
t = 3 hoặc t = -5.
NGUYỄN ĐĂNG ÁNH - TRƯỜNG THCS CỬA TÙNG
3
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
+) Với t = 3, ta có
)1.(
1
+
xx
= 3
⇔
3x
2
+ 3x – 1 = 0

⇔
x =
6
213
±−

.
+) Với t = -5, ta có
)1.(
1
+
xx
= -5
⇔
5x
2
+ 5x +1 = 0.

⇔
x =
10
55
±−
.
Vậy phương trình có 4 nghiệm :
6
213
±−
,
10
55
±−
.
2. Đặt hai ẩn phụ :
a) Ví dụ 9. Giải phương trình sau :
.

3
2
.12
3
1
2
1
22






−
−
=
−
+
+






−
+
x
x

x
x
x
x
Lời giải. ĐK : x
≠
2 và x
≠
3. Đặt u =
2
1
−
+
x
x
, v =
3
2
−
−
x
x
.
Phương trình đã cho trở thành
u
2
+uv = 12v
2

⇔

(u – 3v).(u + 4v) = 0
⇔
u = 3v hoặc u = -4v.
+) Với u = 3v, ta có
3
1
−
+
x
x
= 3.
3
2
−
−
x
x
.
⇔
2x
2
– 16x + 9 = 0
⇔
x =
2
468
±
.
+) Với u = -4v, ta có
3

1
−
+
x
x
= -4.
3
2
−
−
x
x
⇔
5x
2
-12x + 19 = 0. Phương trình này không có nghiệm thực.
Vậy Phương trình đã cho có hai nghiệm x =
2
468
±
.
b) Ví dụ 10. Giải phương trình :
0
2
)9.(7
2
3
.6
2
3

2
2
22
=
−
−
−






+
−
+






−
+
x
x
x
x
x
x

.
Lời giải. ĐK : x
≠
2 và x
≠
-2. Đặt u =
2
3
−
+
x
x
, v =
2
3
+
−
x
x
thì
4
9
2
2
−
−
x
x
= uv.
Phương trình đã cho trở thành : u

2
– 7uv + 6v
2
= 0.
⇔
(u – v).(u – 6v) = 0.
⇔
u = v hoặc u = 6v.
+) Với u = v, ta có :
2
3
−
+
x
x
=
2
3
+
−
x
x
.
⇔
x
2
+ 5x +6 = x
2
– 5x + 6
⇔

10x = 0
⇔
x = 0. (TMĐK)
+) Với u = 6v, ta có :
2
3
−
+
x
x
= 6.
2
3
+
−
x
x

⇔
x
2
– 7x + 6 = 0
⇔
x = 1 hoặc x = 6. (TMĐK).
Vậy Phương trình đã cho có 3 nghiệm : x = 0 ; x = 1 và x = 6.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Giải các phương trình sau :
1.
20056
1

200715
1
20045
1
20064
1
−
−
−
=
+
+
−
xxx
.
NGUYỄN ĐĂNG ÁNH - TRƯỜNG THCS CỬA TÙNG
4
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
2.
11
)5(
25
2
2
=
+
+
x
x
.

3.
363
)2(
2
2
2
−−=
+
xx
x
x
.
4.
0
5
122106125
5
2
2
=−++
x
xx
x
.
5.
18
1
4213
1
3011

1
209
1
222
=
++
+
++
+
++
xxxxxx
.
6.
14
1
5615
1
...
127
1
65
1
23
1
2222
=
++
++
++
+

++
+
++
xxxxxxxx
.
7.
0
6
5
5
4
3
2
2
1
=
+
−
+
+
−
−
+
−
−
+
−
x
x
x

x
x
x
x
x
.
8.
12
18
22
18
32
1
222
−+
=
−+
+
−+
xxxxxx
.
NGUYỄN ĐĂNG ÁNH - TRƯỜNG THCS CỬA TÙNG
5