Toán lớp 10 - 12 ôn thi đại học - Công thức hàm số bậc 1 bậc 2

Các khái niệm
+ Có dạng y  ax  b, a  0
+ Hàm đồng biến trên
( hoặc tạo với
Ox một góc nhọn, hoặc đường thẳng có
hướng đi lên) khi a  0
+ Hàm số nghịch biến trên
( hoặc tạo
với Ox một góc tù, hoặc đường thẳng có
hướng đi xuống ) khi a  0

CÔNG THỨC VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI – Gv: Nguyễn Chí Thành
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Hàm số bậc nhất
Hệ số góc của đường thẳng
Hàm số đồng biến – Nghịch biến
Phương pháp chung:
+ Đường thẳng có dạng y  ax  b, a  0
f  x2   f  x1 
thì hệ số góc là a ,
+ Nếu
 0 , hàm số đồng
x2  x1
+ Nếu góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là
  a  tan  .
biến.
+ Hệ số góc của đường thẳng đi qua
f  x2   f  x1 
+ Nếu
 0 , hàm số
y2  y1

x2  x1
A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2  là k 
x2  x1
nghịch biến.
+ Hai đường thẳng song song có cùng hệ số
Chú ý: Hàm số y  ax  b
góc: a1  a2 , Hai đường thẳng vuông góc thì
Đồng biến khi a  0 ,
a1 .a2  1 .

+ Góc tạo bởi đường thẳng y  a1 x  b1 với
Giao điểm hai đồ thị
Tìm giao điểm của hai đồ thị y  f  x 
và y  g  x  .
Xét hoành độ giao điểm của hai đồ thị
thỏa mãn phương trình:
f  x   g  x   x , thay x vào
y  f ( x ) hoặc y  g ( x) để tìm y và
suy ra giao điểm.
Chú ý:
Tìm giao điểm của đồ thị với Ox: cho

y 0 x
Tìm giao điểm của đồ thị với Oy: cho
x 0 y
Ba điểm thẳng hàng
Cách 1: Viết phương trình đường thẳng
đi qua 2 điểm, thay tọa độ điểm thứ 3
vào, nếu thỏa mãn thì 3 điểm thẳng
hàng, nếu không thỏa mãn thì 3 điểm

không thẳng hàng.
Cách 2: Tính hệ số góc của đường
thẳng AB và AC. Nếu K AB  K AC thì 3
điểm thẳng hàng và ngược lại.

đường thẳng y  a2 x  b2 là góc α thì
tan  

a1  a2
1  a1a2

Tìm điểm cố định của y  f  x, m  (chứng
minh đồ thị luôn đi qua điểm cố định hoặc
tìm điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi m )
Khi các giá trị của m trong hàm số
y  f  x; m thay đổi, hàm số y  f  x; m 
luôn đi qua 1 điểm thì điểm đó là điểm cố
định.
Bước 1: Chuyển y  f  x, m về dạng:

f  x, m  y  0
Bước 2: Nhóm các số chứa m lại với nhau:
m. f  x   g  x, y   0
Bước 3: Gọi I  x, y  là điểm cố định, suy ra

 f  x  0
x  ?





 g  x, y   0  y  ?
suy ra điểm cố định I
Ba đường thẳng đồng quy
Bước 1: Tìm điều kiện để các đường thẳng
cắt nhau, để đường thẳng là hàm số bậc nhất (
nếu có).
Bước 2: Tìm giao điểm của 2 đường thẳng ( 2
đường thẳng không chứa m) để 3 đường thẳng
đồng quy thì giao điểm đó khi thay vào đường
thẳng số 3 phải thỏa mãn, từ đó tìm được m;

Vẽ đồ thị
Đồ thị là đường thẳng, ta cần tìm hai điểm
đi qua , thông thường hay tìm giao điểm
với hai trục tọa độ.
+ Giao Ox : Ta cho y  0 để tìm x rồi suy
ra giao điểm.
+ Giao Oy : Ta cho x  0 để tìm y rồi suy
ra giao điểm.
+ Đồ thị y  ax đi qua điểm O  0;0 và

A 1; a  .
Đường thẳng x  a song song với Oy cắt
Nghịch biến khi a  0
Ox tại a. Đường thẳng y  b song song với
Ox cắt Oy tại b.
Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Nếu hai đường thẳng biểu diễn dưới dạng: y  a1 x  b1 và y  a2 x  b2 :
a  a2

a  a2
Cắt nhau: a1  a2 Song song:  1
Trùng nhau:  1
vuông góc: a1 .a2  1 .
b1  b2
b1  b2
Nếu hai đường thẳng biểu diễn dưới dạng: a1 x  b1 y  c1 và a2 x  b2 y  c2
Cắt nhau:

a1 b1
 .
a2 b2

Song song:

a1 b1
c

 1
a2 b2
c2

 a1 b1
 a b
 2
a1 b1
c1
2
Trùng nhau:
Vuông góc: 



a2 b2
c2
 a1a2  1
 b1b2
Chú ý: Đường thẳng ax  by  c :

a  0

song song với Ox khi: b  0
c  0


a  0

Trùng với Ox khi: b  0
c  0


a  0

song song với Oy khi: b  0
Trùng với Oy khi:
c  0

Phân giác góc phần tư thứ nhất là: y  x .
Phân giác góc phần tư thứ hai là: y   x

a  0


b  0
c  0


Đường thẳng y  ax  b song song Ox khi a  0; b  0 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


CÔNG THỨC VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI – Gv: Nguyễn Chí Thành
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Khoảng cách – Diện tích
Phương trình đường thẳng
Tương giao giữa hàm số bậc nhất và bậc hai
+ Qua hai điểm: Gọi phương trình đường thẳng là Bước 1: Xét hoành độ giao điểm của 2 đồ thị thỏa mãn
 Diện tích tam giác tạo bởi đường thẳng với hai trục:
Tìm giao của đường thẳng với Ox; Oy là A, B . Suy ra y  a.x  b (1)
phương trình: f  x   g  x  . Đưa phương trình về dạng:
1
OA.OB
2
 Khoảng cách từ O đến đường thẳng là h . Tìm giao của
đường thẳng với Ox; Oy là A, B . Sau đó sử dụng hệ thức
lượng trong tam giác vuông OAB :
1
1
1


h 2 OA2 OB 2

+ Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng
ax  by  c  0 lớn nhất:
Cách 1:
a  0
+ Xét các TH 
 m  khoảng cách.
b  0
a  0
+ Xét 
.Tìm giao của đồ thị với Ox; Oy là A, B . Sử
b  0
S

- Thay tọa độ của A  x1 , y1  ; B  x2 , y2  vào (1) ta được hệ

 y  a.x1  b
phương trình:  1
 y2  a.x2  b
Từ hệ phương trình trên tìm được a, b thay vào (1) ta
được phương trình đường thẳng.
+ Qua A  x1 , y1  và có hệ số góc là k
Gọi đường thẳng là y  ax  b . Vì hệ số góc là k nên
a  k . Vì đường thẳng qua A  x1 , y1  nên thay tọa độ A

vào đường thẳng để tìm b .
Chú ý:
Nếu đường thẳng tạo với trục Ox góc  thì k  tan 
Nếu đường thẳng song song với y  cx  d thì k  c

Ax 2  Bx  C  0 (1).

Bước 2: Để hai đồ thị tiếp xúc nhau thì phương trình
(1) có nghiệm kép:
A0

Từ đó tìm được m.

2


B
 4 AC  0

Để hai đồ thị không cắt nhau thì phương trình (1) vô
nghiệm:
+ Xét A  0  m . Thay vào phương trình kiểm tra và kết
luận .
+ Xét A  0  m . Phương trình vô nghiệm khi:
  B2  4 AC  0 . Từ đó tìm được m.
Để hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thì phương
trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:
A0

Từ đó tìm được m.

2
  B  4 AC  0
+ Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều
kiện K nào đó:
Bước 1: Tìm điều kiện để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm
phân biệt.

Bước 2: Viết hệ thức Vi – Ét:
Bước 3: Biến đổi điều kiện K rồi thay hệ thức Vi Ét vào
để tìm m, so sánh điều kiện và kết luận.

1
c
1
1
1

dụng công thức 2 
để tìm khoảng cách, từ Lập phương trình đường thẳng qua 1 điểm ( hoặc biết
2
2
h
OA OB
hệ số góc) và tiếp xúc với đồ thị (P):
đó tìm max
+ Gọi đường thẳng là y  ax  b . Dựa vào điểm đi qua
Cách 2: Dựa vào điểm cố định.
hoặc hệ số góc ta lập đường 1 phương trình.
+ Tìm tọa độ điểm cố định I  x0 ; y0  .
+ Xét phương trình hoành độ giao điểm, hai đồ thị tiếp xúc
+ Nhận xét: h  OI . Dấu bằng xảy ra khi d  OI . Bài toán nhau thì phương trình có nghiệm kép   0  1 phương
trở về tìm m để đường thẳng d đi qua I  x0 ; y0  và vuông trình.
+ Giải hệ phương trình để tìm a, b .
góc OI
Bảng biến thiên hàm số bậc nhất y  ax  b, a  0
Bảng biến thiên hàm số bậc hai y  ax 2  bx  c, a  0
a < 0 : Bảng biến thiên

a > 0 : Bảng biến thiên
x

-∞

+∞

x

-∞

+∞

x

-∞
+∞

-b
2a

y

y
-∞

a < 0 : Bảng biến thiên

a > 0 : Bảng biến thiên

+∞

+∞
y

Nếu đường thẳng vuông góc với y  cx  d thì k 

+∞

x

-b

-∞

+∞

2a

+∞

4a

y
-

-∞

4a

-∞

-∞

Hàm số bậc hai y  ax 2  bx  c, a  0
+ Hàm số y  ax 2

+ Hàm số y  ax 2  bx  c, a  0

 Nếu a  0 , hàm số đồng biến khi x  0 , nghịch biến khi x  0 .
 Nếu a  0 , hàm số đồng biến khi x  0 , nghịch biến khi x  0 .

b
+ Nếu a  0 : Hàm số đồng biến trên   ;   ; Nghịch biến trên
2
a


b
 ; nghịch biến trên
+ Nếu a  0 : Hàm số đồng biến trên  ; 
2a 


LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122

 ;  b 

2a 


  b ;  
 2a





Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai
Cách vẽ: y  ax 2  bx  c (a  0) ta làm
như sau:
b
- Tìm trục đối xứng: x  
2a
Δ 
 b
- Tọa độ đỉnh: I   ;  
 2a 4a 
- Lấy điểm phụ ( thường là giao với hai
trục O x, Oy
- Đánh dấu các điểm lên hình rồi vẽ. Ta
thường lấy 5 điểm.
Các công thức cần nhớ khi làm toán:
b
+ Trục đối xứng: x  
2a
Δ 
 b
+ Tọa độ đỉnh: I   ;  
2

a
4
a

b

 x1  x2   a
+ Định lí Vi Ét: 
 x .x  c
 1 2 a
+ Bài cho tọa độ điểm đi qua, ta phải thay
vào đồ thị.

CÔNG THỨC VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI – Gv: Nguyễn Chí Thành
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Xét tính chẵn lẻ của hàm số
Tìm tập xác định của hàm số
Bước 1: Tìm điều kiện xác định:
Bước 1: Tìm TXĐ : D
- Nếu TXĐ đối xứng, ta chuyển qua bước 2 . Ví
Nếu có căn thì căn  0 . Nếu có
dụ TXĐ là: ; 4;4
mẫu thì mẫu  0
Bước 2: Biểu diễn điều kiện dưới
- Nếu TXĐ không đối xứng suy ra hàm sô không
dạng tập hợp ta được TXĐ của hàm
chẵn không lẻ bằng cách chỉ ra : x  D nhưng
số.
x  D
Chú ý điều kiện xác định của các

Ví dụ: TXĐ: D   3;5 . Ta có: 4  D nhưng
biểu thức sau:
4  D  hàm số không chẵn không lẻ.
f  x

Biểu thức xác
Bước 2: Chỉ ra x  D   x  D :
g  x  h  x
Bước 3: Tính:

 f ( x ) : Hµm sè ch½n
g  x  0
định: 
f ( x )    f ( x ) : Hµm sè lÎ

h  x  0

   f ( x ): Hµm sè kh«ng ch½n kh«ng lÎ
f  x

Biểu thức xác
- Hàm số y  f  x   0 là hàm số vừa chẵn, vừa lẻ
g x h x
trên D tập đối xứng qua O.
- Để chứng minh hàm số không chẵn ta chứng minh
hoặc miền xác định D không đối xứng qua O, hoặc có
x0  D sao cho f   x0   f  x0  .
- Để chứng minh hàm số không lẻ ta chứng minh
hoặc miền xác định D không đối xứng qua 0, hoặc có
x0  D sao cho f   x0    f  x0  .

Chú ý: + Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung
làm trục đối xứng.
+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối
xứng.

 

 

định:


g  x  h  x
g  x  h  x  

 g  x   h  x 
 f  x a
+ f ( x)  a  
,(a  0)
 f  x   a

Tịnh tiến điểm và đồ thị
Tịnh tiến điểm A( x; y ) :
Lên trên p đơn vị ta được A1  x; y  p 
Xuống dưới p đơn vị ta được
A1  x; y  p 
Sang trái p đơn vị ta được
A1  x  p; y 
Sang phải p đơn vị ta được
A1  x  p; y 

Cho (G ) là đồ thị của y  f ( x)
p, q  0 . Ta có

và

Tịnh tiến (G ) lên trên q đơn vị thì được
đồ thị y  f ( x )  q
Tịnh tiến (G ) xuống dưới q đơn vị thì
được đồ thị y  f ( x )  q
Tịnh tiến (G ) sang trái p đơn vị thì
được đồ thị y  f ( x  p )
Tịnh tiến (G ) sang phải p đơn vị thì
được đồ thị y  f ( x  p )

f ( x)  a  a  f ( x)  a ,(a  0)

Cho đồ thị (C ) : y  f ( x). Vẽ đồ thị của

Cho đồ thị (C ) : y  f ( x). Vẽ đồ thị của hàm số

Cho đồ thị (C ) : y  f ( x). Vẽ đồ

Cho đồ thị (C ) : y  f ( x). Vẽ đồ thị của

hàm số y  f  x 

y  f ( x)

thị của hàm số y  f ( x) .

hàm số y  f ( x)  u( x) .v( x)

 Vẽ đồ thị của hàm số
(C ) : y  f ( x) .




 f ( x)  0

 Ta có: y  f ( x)    y  f ( x)
  y   f ( x)









Vẽ đồ thị của hàm số (C ) : y  f ( x)
Ta có:
 f ( x) nÕu x  0
y f x
 f (- x) nÕu x  0

Do đó, đồ thị của hàm số y  f  x 

là hợp của hai phần:
Phần 1: là phần của đồ thị (C ) nằm
ở bên phải trục Ox .
Phần 2: là phần đối xứng với phần 1 qua
trục Ox .






Vẽ đồ thị của hàm số (C ) : y  f ( x)

 f ( x) nÕu f ( x)  0
Ta có: y  f  x   
 f ( x) nÕu f ( x)  0
Do đó, đồ thị của hàm số y  f  x  là hợp của

hai phần:
 Phần 1: là phần của đồ thị (C ) nằm ở bên trên
trục Ox .
Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị (C ) ở bên
dưới trục Ox qua trục Ox .

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122

 Do đó, đồ thị của hàm số
y  f ( x) là hợp của hai phần:
 Phần 1: là phần của đồ thị (C )
nằm bên trên trục Ox .

Phần 2: là phần đối xứng với phần 1
qua trục Ox .

Vẽ đồ thị của hàm số (C ) : y  f ( x)
Ta có:
u( x).v( x) nÕu u( x)  0
y
u( x).v( x) nÕu u( x)  0
Do đó, đồ thị của hàm số
y  f ( x)  u( x) .v( x) là hợp của hai

phần:
Phần 1: là phần của đồ thị (C ) trên
miền u ( x)  0 .
Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị
(C ) trên miền u ( x)  0 qua trục Ox
