ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ HAY - LẠ - KHÓ

Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Toán để yêu >.<

Câu 1. Cho các hàm số f  x   mx 4  nx 3  px 2  qx  r và g  x   ax 3  bx 2  cx  d ,

 m, n, p , q , r , a, b, c , d   thỏa mãn f  0   g  0  . Các hàm số

y  f '  x  và y  g '  x  có

đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Tập nghiệm của phương trình f  x   g  x  có số phần tử là:
B. 1 .

A. 3 .

C. 4 .

D. 2

HƯỚNG DẪN GIẢI
Ta có:


 x  2  dx

f '  x   g '  x   4m  x  1 x  1 x  2   4m x 3  2 x 2  x  2







  f '  x   g '  x  dx   4m x 3  2 x 2



8
 f  x   g  x   mx 4  x 3  2mx 2  8mx  r  d
3
Mà f  0   g  0   0  r  d  0

8

 f  x   g  x   m  x4  x3  2x2  8x 
3



x  0
Khi đó : f  x   g  x    3 8 2
 x  x  2 x  8  0  1

3

Facebook: />
1


Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Tốn để u >.<

Phương trình  1 có 1 nghiệm. Vậy tập nghiệm của phương trình f  x   g  x  có 2 phần
tử.
Câu 2. Cho hàm số y  f  x  liên tục và xác định trên

có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình sau đây có nghiệm:









f x
f x
2f x
3.12    f 2  x   1 .16    m2  3m .3  

A. 5 .

C. 7 .

B. Vơ số.

D. 6 .

HƯỚNG DẪN GIẢI

Ta có:

3.12

f  x

  x   1 .16

 f

2

4
Đặt g  x   3.  
3

f  x

f  x





 m  3m .3
2

4
 f  x  1 . 
3





2

2 f  x

2 f  x

4
 m  3m  3.  
3
2

f  x

4
 f  x  1 . 
3



2



2 f  x

suy ra m 2  3m  min g  x 

Từ đồ thị ta thấy f  x   1, x 
1

4
Suy ra g  x   3.    12  1
3





4
. 
3

2.1

m
 4  m2  3m  4 
 m  4; 3; 2; 1; 0;1

Câu 3. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên R và có đồ thị của hàm số y  f '( x)
như hình vẽ bên dưới.

Facebook: />
2

Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Toán để yêu >.<





Để hàm số y  f 2x3  6x  3 đồng biến với mọi x  m  m  R  thì m  a sin
đó a , b , c 

*

, c  2b và

b
trong
c

b
là phân số tối giản). Tổng S  2a  3b  c bằng
c

B. 2.

A. 7.

D. 9.

C. 5.

HƯỚNG DẪN GIẢI



 

y '  6 x2  6 . f 2 x3  6 x  3



x  1
x2  1

 3
 x  1
y '  0  2 x  6 x  3  1 ( kep)  
2
2 x 3  6 x  3  5
 2  x  1  x  2   0

 x 3  3x  1

Xét phương trình x3  3x  1 . Với x  2 thì phương trình vơ nghiệm.
Với x  2 . Đặt x  2 cos t  8 cos3 t  6 cos t  1  cos 3t 
nghiệm x  2 cos


9

x1  2 ; x2  2 cos

; x  2 cos

1
ta được phương trình có 3
2

5
7
suy ra phương trình y '  0 có 6 nghiệm
; x  2 cos
9
9

7
5

; x3  1 ; x4  2 cos
; x5  1 ; x6  2 cos
9
9
9

Bảng xét dấu của y’ như sau
x

y'



x2

x1

-

0

-

0

+

x3

x4

0 -

0

Facebook: />
+

x5

x6

0 -

0



+

3


Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Toán để yêu >.<


7
 
5  


Hàm số đồng biến trên các khoảng  2 cos
; 1  ;  2 cos
;1  ;  2 cos ;  
9
9  
9

 


Hàm số đồng biến với mọi





7
x  m  m  R    m;     2 cos ;    m  2 cos  2 sin
9
9
18



Vậy a  2; b  7; c  18  2 a  3b  c  7
Câu 4. Cho f  x  là một đa thức hệ số thực có đồ thị của hàm số y  f '  x  như hình vẽ
bên dưới: Hàm số g  x    1  m  x  m 2  3

 m  R  thỏa mãn tính chất: mọi tam giác
có độ dài ba cạnh là a, b, c thì các số g  a  , g  b  , g  c  cũng là độ dài ba cạnh của một
2
tam giác. Khẳng định nào sau đây là đúng về hàm số y  f  mx  m  1   e mx1 .



 4

A. Hàm số đồng biến trên khoảng   ; 1  .
 3

 1 
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng   ; 0  .
 3 

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1; 2  và đồng biến trên khoảng  4; 9  .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1; 4  và đồng biến trên khoảng  4; 9  .
HƯỚNG DẪN GIẢI

a , b , c  0

a  b  c  0
(*) .
Ta có: a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác nên 
c  b  a  0
a  c  b  0
Ba số  a   ,  b   ,  c    ,   R  là độ dài 3 cạnh một tam giác

Facebook: />
4


Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Toán để yêu >.<

 a    0

 b    0
  0
 c    0



.
   0
 a  b  c    0

 
 2   2  0

  a  b  c     0

  a  b  c     0
Áp dụng vào bài toán:

1  m  0

Từ giả thiết ta có: m2  3  0
m 3 .
1  m  m2  3  0

Với m   3 thì hàm số y  e mx 1 là hàm số đồng biến trên R .
2
2
Xét hàm số y  f  mx  m  1  có y '  2m.  mx  m  1 . f '  mx  m  1  ;





 mx  m  1  0

y '  0   mx  m  1  1 . Do m   3 nên phương trình y '  0 có 5 nghiệm phân biệt.
 mx  m  1  2
x1 

3m

2m
1 m
1  m
.
 x2 
 x3 
 x4  1  x5 
m
m
m
m

2
Bảng xét dấu đạo hàm của hàm số y  f  mx  m  1  như sau:



x



y'

x2

x1

-

0

+

0

x3

-

x4

+

0

0

x5

-



0

+
2
Suy ra hàm số h( x)  f  mx  m  1   e mx1 đồng biến trên các khoảng



 3  m 2  m   1 m
  1  m

 m ; m  ;  m ; 1  ;  m ;   .

 
 


 4
  1 m

; 1  và
Với m   3 thì   ; 1   
 3
  m

D sai.

1;     1m m ;   nên A đúng và B, C,


Facebook: />


5


Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Toán để yêu >.<

Câu 5. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

và hàm số y  f '  x  có đồ thị như hình vẽ.

Bất phương trình sau đây có nghiệm đúng với mọi x   1; 2  khi và chỉ khi :
f x m
f x m
3    4    5 f  x   2  5m

A.  f  1  m  1  f  2  .

B.  f  2   m  1  f  1 .

C.  f  1  m  1  f  2  .

D.  f  2   m  1  f  1 .

HƯỚNG DẪN GIẢI
Từ đồ thị hàm số suy ra bản biến thiên
x

f ' x
f  x

1

2


f  1 

f 2

Từ bảng biến thiên suy ra f  2   f  x   f  1 , x   1; 2 
 f  2   m  f  x   m  f  1  m , x   1; 2 

Đặt t  f  x   m  f  2   m  t  f  1  m , x   1; 2 
Từ đề tương đương: 3t  4t  5t  2  3t  4t  5t  2  0  1

t  0
Xét 3t  4t  5t  2  0  
t  1

 f  2   m  0
  f  2   m  1  f  1
Dùng phương pháp xét dấu:  1  0  t  1  
f

1

m

1



Facebook: />
6

Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Toán để yêu >.<

Câu

6.

Cho

hàm

số

g  x   mx 2  nx  p  m , n, p 

1
f  x    x 4  ax 2  b  a , b 
2





có

đồ

thị

C 

và

có đồ thị  P  như hình vẽ. Diện tích hình phẳng giới

hạn bởi  C  và  P  có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?

A.  4; 4,1 .

C.  4, 3; 4, 4  .

B.  4, 2; 4, 3  .

D.  4,1; 4, 2  .

HƯỚNG DẪN GIẢI
Dựa vào đồ thi ta có f  x   g  x   0 có nghiệm x  2; x  0; x  2
Do đó f  x   g  x   

1
x  2  x  2  x 2 ( tại x  0 hai đồ thị f  x  và g  x  tiếp xúc

2

nhau)
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C  và  P  :

S

2



2

f  x   g  x  dx 

2

  2  x  2  x  2  x
1

2

Câu 7. Cho hàm số f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a , b , c , d 

Facebook: />
2

dx 

32
15

 có đồ thị như hình vẽ.

7


Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Toán để yêu >.<



     0 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt

Phương trình f f f f x

A. 12

C. 41

B. 40

D. 16

HƯỚNG DẪN GIẢI
Dưạ vào đồ thị ta có: f  x   ax  x  3  đi qua điểm A  1; 4 
2

 4  4a  a  1  f  x   x 3  6 x 2  9 x



     0  Phương trình vơ nghiệm
x  4  f  x   4  f  f  f  f  x      4  Phương trình vơ nghiệm



x  0; 4  . Đặt x  2  2  cos t , t   0;  



x  0  f  x  0  f f f f  x

 f  x    2  2cos t   6  2  2cos t   9  2  2cos t   8cos3 t  6cos t  2  2  cos 3t  1
3

2

   

 

 





Ta chứng minh được: f n x  2 cos 3n t  1 với f n x  f f f f f ....



 f f f f  x





  2  cos  3 t   1  2  cos  81t   1
4

   0  2  cos  81t   1  0

Ta có: f f f f x

  2 k  1
 81t 
81t 
 cos 
0
  k  t 

2
2
81
 2 
Do t  0;    0 

  2 k  1
81

   0  k  40 . Vậy có 41 giá trị

Facebook: />
8


Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Toán để yêu >.<

Câu 8. Cho hàm số f  x  

1 3 4 2 1
4
x  x  x  có đồ thị như hình vẽ.
3
3
3
3

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sau đây có 4 nghiệm phân
biệt thuộc đoạn 0; 2  :

2019 f





15x2  30x  16  m 15x2  30x  16  m  0

A. 1513

B. 1512

C. 1515

D. 1514

HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt t  15x2  30x  16, x  0; 2

t '  x 

30  x  1
2 15x 2  30 x  16

 

; t' x  0  x  1

BBT

x

t ' x

t  x

0
2

1


0



4

Dựa vào đồ thị suy ra 1  t  4

4

1



Với mỗi t  1; 4  cho ta 2 nghiệm x  0; 2 
Khi đó phương trình đề cho trở thành:

1
4
1
4
2019 f  t   m  t  1  2019  t 3  t 2  t    m  t  1
3
3
3
3

Facebook: />
9


Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Toán để yêu >.<

 673  t  1 t  1 t  4   m  t  1   t  1 t  4  

 





m
673



Xét g t  t  1 t  4 , t  1; 4 
BBT

t

5
2

1

4

g ' t 

g t 





0

0

0

9
4
Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 0; 2 




y

m
673

9
m

 0  1514, 25  m  0  Có 1514 giá trị nguyên m
4 673

Câu 9. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ.

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình sau đây nghiệm đúng
với mọi x  
 2; 2  :

A. 1

 mx  m

2



5  x 2  2m  1 f  x   0

B. 3

D. 2

C. 0
HƯỚNG DẪN GIẢI

TH1: Xét x  
 2;1  f  x   0









BPT  mx  m2 5  x2  2m  1  0  Min mx  m2 5  x 2  2m  1  0

Facebook: />
10


Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Tốn để u >.<

Vì x  
 2;1 nên:

mx  m

5  x  2m  1  m  m

2

2

 m  1
5  1  2 m  1  2 m  3m  1  0  
m   1

2

2

2

2

TH2: Xét x   1; 2   f  x   0









BPT  mx  m2 5  x2  2m  1  0  Max mx  m2 5  x 2  2m  1  0
Vì x   1; 2  nên:
mx  m2 5  x 2  2m  1  m  m2 5  12  2m  1  2m2  3m  1  0  

1
 m  1
2

 m  1
Kết hợp 2 trường hợp ta có: 
. Vậy có 1 giá trị nguyên m
m   1

2
Câu 10. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên 0; 5  và có đồ thị như hình vẽ.

Có tất cả bao nhiêu giá trị ngun dương của tham số m để bất phương trình sau đây nghiệm
đúng với mọi x  0; 5  :

 2019  m
A. 2014

f 2  x   f  x   1  3x  10  2x

B. 2015

C. 2016

D. 2017

HƯỚNG DẪN GIẢI

Facebook: />
11


Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Toán để yêu >.<

 2019  m 

Max
0;5 

Min
0;5 


 2019  m  Max 
0;5  
f 2  x  f  x  1


3x  10  2 x

BPT  2019  m 





3x  10  2 x

f 2  x  f  x  1

0;5 





3x  10  2x  3. x  2 5  x 

Theo BĐT Bunhiacôpxki:

 Max




3x  10  2 x 
f 2  x   f  x   1 

 3  2 x  5  x   5



3 x  10  2 x  5

Dựa vào đồ thị ta thấy f  x   1, x  0; 5  . Dấu “=” xảy ra khi x  1; x  3; x  5
Ta có:

f 2  x   f  x   1  12  1  1  1  Min
0;5





f 2  x  f  x  1  1

Vậy 2019  m  5  m  2014  Có 2014 giá trị m nguyên dương

Câu 11. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ.

Có tất cả bao nhiêu giá trị ngun của tham số m để phương trình sau đây có nghiệm:

1
3
A. 1

B. 3

 4


f
sin  sin x    m
3

 3
C. 4

D. 2

HƯỚNG DẪN GIẢI
Facebook: />
12


Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Tốn để u >.<

Ta có: 0  sin x  1  0 


3

sin x 


3

 

 hàm số sin luôn tăng nên suy ra:
 3

Trên đoạn  0;



 


3
4


sin 0  sin  sin x   sin    0  sin  sin x  
0
sin  sin x   2
3
3

3
3
 2
3

Đặt t 



1

sin  sin x  , t  0; 2  , khi đó phương trình đã cho trở thành: f  t   m
3
3
3


4

1

1

 Min  f  t    m  Max  f  t  
0;2 

0;2

  3
3







Dựa vào đồ thị ta thấy trên 0; 2  có Max f t  6; Min f t  4
0;2 

Vậy 

0;2 

4
 m  2  Có 4 giá trị nguyên m
3

Câu 12. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ.

Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để phương trình sau đây có nghiệm:


1 
f 3 x  2 f 2 x 7 f x  5
e        ln  f  x  
m


f
x




A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

HƯỚNG DẪN GIẢI

 

 

Dựa vào đồ thị ta thấy 1  f x  5 . Đặt t  f x , t  1; 5 

Facebook: />
13


Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Tốn để u >.<

Khi đó phương trình đã cho trở thành: e t



3

 2 t 7 t  5



 1
 ln  t    m
 t





Dễ dàng tìm được Max t 3  2t 2  7t  5  145; Min t 3  2t 2  7t  5  1
1;5









1
t 









1;5

1
t 

 26 

 5 

Và Max  ln  t     ln 2; Min  ln  t     ln 
1;5
1;5




 Hàm số g  t   e t

3



 2 t 7 t  5



 1
 ln  t   đồng biến trên 1; 5 
 t

 26 
  m  4 là giá trị nguyên nhỏ nhất
 5 

Vậy e  ln 2  m  e145  ln 

Câu 13. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  . Hàm số
y  f   x  liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ.

Biết f  1 

13
, f  2   6 . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
4

nhất của hàm số g  x   f 3  x   3 f  x  trên 
 1; 2  bằng:
A.

1573
64

B. 198

C.

37
4

D.

y

4

2

-1 O

1

2

x

14245
64

HƯỚNG DẪN GIẢI
Bảng biến thiên
x

1

f ' x

0

f  x

2


0
6

13
4

Facebook: />
14


Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Tốn để u >.<

Ta có g '  x   3 f 2  x  f '  x   3 f '  x  .
Xét trên đoạn [1; 2] .

 x  1
g '  x   0  3 f '  x   f 2  x   1  0  f '  x   0  
x  2
Bảng biến thiên
x

1

g '  x

0

2


0

g  x

 min 1;2 g  x   g  1  f 3  1  3 f  1 




1573
.
64

Câu 14. Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ:



 



Có bao nhiêu giá trị của n để phương trình f 16cos2 x  6sin 2x  8  f n  n  1 có
nghiệm x  R ?
A. 10.

B. 4.

C. 8.
HƯỚNG DẪN GIẢI

D. 6.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số y  f ( x) đồng biến trên R.

Facebook: />
15


Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Tốn để u >.<



 



Do đó: f 16cos2 x  6sin 2x  8  f n  n  1  16cos2 x  6sin 2x  8  n  n  1
 16.

1  cos 2 x
 6 sin 2 x  8  n  n  1  8 cos 2 x  6 sin 2 x  n  n  1
2

Phương trình có nghiệm x  R  82  62  n2  n  1  n2  n  1  100
2

2

n  n  1  10
n2  n  10  0
1  41
1  41

 2
 n2  n  10  0 
n
.

2
2
n  n  10  0
n  n  1  10
Vì n  Z nên n  3; 2; 1; 0;1; 2 .
Câu 15. Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên đoạn 
 5; 3  . Biết rằng diện tích
hình phẳng S1 , S2 , S3 giới hạn bởi đồ thị hàm số f  x  và đường parabol
y  g  x   ax 2  bx  c lần lượt là m, n, p .

y
5
y=g(x)
S3

2
S1
-1
-5

-2

S2

O

2 3

x

y=f(x)

3

Tích phân  f  x  dx bằng
5

208
.
45
208
C. m  n  p 
.
45

A. m  n  p 

208
45
208
D. m  n  p 
.
45
HƯỚNG DẪN GIẢI

B. m  n  p 

Facebook: />
16


Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Toán để yêu >.<

S1 

2

2

5

5

0

2

2

5

5



f  x  dx  S1   g  x  dx .

0

0

0

f  x  dx 

2

2

2

2

3

3

3

3

5

0

0

0

0

  f  x   g  x  dx 

S2    g  x   f  x  dx 



f  x  dx   g  x  dx 

 g  x  dx   f  x  dx 



2

5

2

0

 g  x  dx  S .
2

2

S3    f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx   f  x  dx  S1   g  x  dx .
3

Do vậy:



5

3

f  x dx  S1  S2  S3   g  x dx.
5

3

Từ đồ thị ta thấy

 g  x dx là số dương. Mà 4 đáp án chỉ có B là phù hợp, nên ta chọn B.

5

3

Chú ý: Có thể tính

 g  x dx như sau:

5

Từ đồ thị hàm số y  g  x  ta thấy nó đi qua các điểm  5; 2  ,  2; 0  ,  0; 0  nên ta có:

25a  5b  c  2
2
4

4a  2b  c  0  a  , b  , c  0. Do đó:
15
15
c  0

Câu 16. Cho hàm số y

 2 2 4 
208
5 g  x  dx  5  15 x  15 x  dx  45 .
3

f x . Đồ thị hàm số y

3

f ' x như hình vẽ

Cho bất phương trình 3. f  x   x 3  3 x  m  1 , ( m là tham số thực). Điều kiện cần và
đủ để bất phương trình  1 đúng với mọi x thuộc đoạn  3; 3  là



Facebook: />
17


Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Toán để yêu >.<

A. m  3 f  3  .

B. m  3 f  3  .

C. m  3 f  1 .

D.

m  3 f 0 .

HƯỚNG DẪN GIẢI

Yêu cầu bài toán tương đương m  3 f ( x)  x3  3x x   3; 3  (1) .


Xét hàm số g( x)  3 f ( x)  x3  3x , x   3; 3  .







Ta có g '  x   3. f '  x   3x2  3  3.  f '  x   x2  1  .



Vẽ đồ thị hàm số y  x 2  1 trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y

f' x

.

x   3

Suy ra g '  x   0  f '  x   x 2  1   x  0
(x = 0 là nghiệm bội chẵn).

x  3
Bảng biến thiên của hàm số g x

Từ bảng biến thiên của hàm số g x suy ra (1)  m  3 f  3  .

Facebook: />
18


Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Toán để yêu >.<

Câu 17. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên



và có đồ thị là đường cong trong



hình vẽ dưới đây. Đặt g  x   f f  x   1 . Tìm số nghiệm của phương trình g '  x   0 .

B. 10.

A. 8.

C. 9.
HƯỚNG DẪN GIẢI

D. 6.

1
Theo đồ thị hàm số trên thì hàm số y  f  x  có ba điểm cực trị x   , x  1 và
3
1
x  a (1  a  2) . Do đó, f '  x   0 có ba nghiệm x   , x  1 và x  a (1  a  2) .
3





Ta có: g '  x   f '  x   f ' f  x   1

 f '  x  0
Xét g '  x   0  
 f ' f  x   1  0





1
Phương trình (1) có ba nghiệm x   , x  1 và x  a (1  a  2)
3

Facebook: />
19


Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Toán để yêu >.<


1

2
 f  x  1   3
 f  x  3

Phương trình (2)   f  x   1  1  
 f  x  2
 f x 1  a

  
 f  x   a  1

Theo đồ thị, ta thấy f  x  

2
có hai nghiệm phân biệt và f  x   2 cũng có hai nghiệm
3

phân biệt.
Đặt b  a  1
Do 1  a  2 nên 2  b  3
Xét phương trình f  x   b ( 2  b  3 ). Đường thẳng y  b cắt đồ thị hàm số y  f  x  tại
hai điểm phân biệt nên phương trình (5) có hai nghiệm phân biệt.
Xét thấy các nghiệm của phương trình  1 ,  3  ,  4  và  5  là các nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình g '  x   0 có 9 nghiệm phân biệt.
Câu 18. Cho hàm số f  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình

 





f e x  m 3e x  2019 có nghiệm x   0;1 khi và chỉ khi

A. m  

m

f e

4
1011

B. m 

4
3e  2019

C. m  

2
1011

D.

3e  2019
HƯỚNG DẪN GIẢI

Phương pháp:

Facebook: />
20


Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Toán để yêu >.<

Đặt e x  t  t  0  . Ta đưa bất phương trình đã cho thánh bất phương trình ẩn t, từ đó
lập luận để có phương trình ẩn t có nghiệm thuộc (1;e).
Ta chú ý rằng hàm số y  f  x  và y  f  t  có tính chất giống nhau nên từ đồ thị hàm
số đã cho ta suy ra
tính chất hàm f  t  .
Sử dụng phương pháp hàm số để tìm m sao cho bất phương trình có nghiệm.
Bất phương trình m  f  X  có nghiệm trân (a;b) khi m  min f  X 

[ a ;b ]

Cách giải:

 





Xét bất phương trình f e x  m 3e x  2019 (*)





Đặt e x  t  t  0  , Với x   0;1  t  e 0 ; e1  t  1; e 
Ta được bất phương trình f  t   m  3t  2019   m 
t   1; e 

f t 
3t  2019

(1) (vì 3t  2019  0 với

Để bất phương trình (*) có nghiệm x  (0;1) thì bất phương trình (1) có nghiệm t   1; e 
Ta xét hàm g  t  
Ta có g '  t  

f t 

3t  2019

trên  1; e 

f '  t  3t  2019   3 f  t 

 3t  2019 

2

Nhận xét rằng đồ thị hàm số y  f  t  có tính chất giống với đồ thị hàm số y  f  x  nên
xét trên khoảng  1; e  ta thấy rằng f  t   0 và đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải hay
hàm số đồng biến trên  1; e  nên f '  t   0.
Từ đó g '  t  

f '  t  3t  2019   3 f  t 

 3t  2019 

2

 0 với t   1; e  hay hàm số g  t  đồng biến trên

 1; e 

Facebook: />
21


Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Tốn để u >.<

Ta có BBT của g(t) trên 1; e 
t

g ' t 

1

e
+

g t 


2
1011

Từ BBT ta thấy để bất phương trình m 
m  min g(t )  m  
[1; e ]

f t 
3t  2019

có nghiệm t   1; e  thì

2
.
1011

1
Câu 19. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên R và có f  1  1, f  1   . Đặt
3
2
g  x   f  x   4 f  x  . Cho biết đồ thị của y  f   x  có dạng như hình vẽ dưới đây

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số g  x  có giá trị lớn nhất và khơng có giá trị nhỏ nhất trên R
B. Hàm số g  x  có giá trị nhỏ nhất và khơng có giá trị nhỏ nhất trên R
C. Hàm số g  x  có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên R
D. Hàm số g  x  khơng có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên R
HƯỚNG DẪN GIẢI

Phương pháp:
+) Lập BBT của hàm số y  f  x  và nhận xét.

Facebook: />
22


Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Toán để yêu >.<

+) Lập BBT của hàm số y  g  x  và kết luận.
Cách giải:
BBT của hàm số y  f  x 
x



f  x

1

+

f  x

0



1
+

0



1
1
3

 f  x   1, x



Ta có: g  x   f 2  x   4 f  x   g  x   2 f  x  . f   x   4 f   x   2 f   x  . f  x   2



Mà f  x   2  0, x (do f  x   1, x )
BBT của hàm số y  g  x 
x



g  x 

1


0



1


0

+

g  x

3

Vậy hàm số g  x  có giá trị nhỏ nhất và khơng có giá trị nhỏ nhất trên R
Câu 20. Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm là hàm số y  f '  x  có đồ thị được cho
như hình vẽ dưới đây và f  0   f  1  2 f  2   f  4   f  3  . Tìm giá trị nhỏ nhất m của

hàm số y  f  x  trên 0; 4  .

A. m  f  4 

B. m  f  0 

C. m  f  2 

D. m  f  1

HƯỚNG DẪN GIẢI
Phương pháp:

Facebook: />
23


Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Toán để yêu >.<

Lập bảng biến thiên của hàm số y  f  x  trên đoạn [0;4], từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của
hàm số trên đoạn 0; 4 
Cách giải:
Quan sát đồ thị hàm số y  f '  x  ta thấy:
+) Trên khoảng  0; 2  thì f '  x   0.
+) Trên khoảng  2; 4  thì f '  x   0.
Ta có bảng biến thiên:
x

0

f '(x)

1
+

f  x

2
+

f 2

3
-

f  1

4
-

f  3

f 4

f 0

Từ bảng biến thiên ta thấy GTNN của hàm số đạt được bằng f  0  và f  4  .
Ta sẽ so sánh f  0  và f  4  như sau:
f  0   f  1  2 f  2   f  4   f  3   f  0   f  4   2 f  2   f  1   f  3 
 f  2   f  1    f  2   f  3    0 (do f  2   f  1 , f  2   f  3 ).

Do đó f  0   f  4   0  f  0   f  4  .
Vậy m  f  4  .
Câu 21. Cho hàm số f  x  liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá

 3 sin x  cos x  1 
2
trị nguyên của tham số m để phương trình f 
  f m  4m  4 có
 2 cosx  sinx  4 
nghiệm?



Facebook: />


24


Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Tốn để u >.<

A. 4

B. 5

C. Vơ số
HƯỚNG DẪN GIẢI

D. 3

Phương pháp:
+ Đặt

3 sin x  cos x  1
 t , biến đổi đưa về a sin x  b cos x  c , phương trình này có
2 cos x  sin x  4

nghiệm khi a2  b2  c 2 từ đó ta tìm ta được điều kiện của t.

 

+ Dựa vào đồ thị hàm số để xác định điều kiện nghiệm của phương trình f  x   f t
Từ đó suy ra điều kiện có nghiệm của phương trình đã cho.
Chú ý rằng nếu hàm f  t  đồng biến (hoặc nghịch biến) trên  a; b  thì phương trình
f  u   f  v  nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất trên  a; b   u  v.

Cách giải:
Vì 1  sin x  1; 1  cos x  1 nên 2cos x  sin x  3  2cos x  sin x  4  0
Đặt

3sin x  cos x  1
 t  3sin x  cos x  1  t  2 cos x  sin x  4 
2 cos x  sin x  4

  2t  1 cos x   t  3  sin x  4t  1

Phương trình trên có nghiệm khi  2t  1   t  3    4t  1
2

2

 5t 2  10t  10  16t 2  8t  1  11t 2  2t  9  0  

2

9
 t  1 0  t  1
11

Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số f  x  đồng biến trên (0;1)

 

Nên phương trình f  x   f t với t   0;1 có nghiệm duy nhất khi x  t  x  0

Facebook: />
25